CN109632538A - 基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法 - Google Patents

基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于材料疲劳可靠性领域，具体涉及一种基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法。技术方案如下：包括如下步骤：1)通过最小二乘法原理获得各单个试样的疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线；2)将各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线通过等效转换的方法进行归一化处理；3)规定在不同应力强度因子范围ΔK下，对归一化后的曲线数据进行统计分析，进而绘制高斯分布曲线图；4)拟合出可靠度为99％的p‑da/dN‑ΔK拟合曲线；5)拟合出可靠度为1％的p‑da/dN‑ΔK拟合曲线。本发明通过等效转换原理将原本复杂交错的中值拟合曲线进行归一化处理，避免不合理的试验数据对拟合结果的影响，减化了由于材料加工工艺不合格、试验操作不当等客观因素对试验结果的误导性。

Description

基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析 方法
技术领域
本发明属于材料疲劳可靠性领域，具体涉及一种基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法。
背景技术
疲劳裂纹扩展是疲劳断裂领域的重要研究内容，疲劳裂纹扩展速率是判断工程结构材料损伤容限分析的重要依据，同时也是金属材料的主要力学性能之一。考虑到经济性问题，对于材料疲劳裂纹扩展行为的研究常使用典型标准试样来代替整体结构。由于材料自身性能、实际结构等一系列内在因素的不同，以及工作载荷、环境等外在因素的影响，造成材料疲劳裂纹扩展过程中呈现复杂的力学行为和试验数据的不稳定性。即使在控制、操作良好的试验条件下，承受恒幅循环载荷的试样，其试验数据也不可避免地存在分散性。目前，工程中常用规定置信度、可靠度的方法来评估材料的疲劳裂纹扩展行为规律，其结果往往偏于保守，并不符合经济性要求。因此，针对材料的疲劳裂纹扩展试验数据进行合理的统计分析并客观地描述疲劳裂纹扩展速率分散性的分布规律，对于船舶、飞机、桥梁、高速列车等服役安全要求较高的结构设计和寿命预测有着重要的意义。
发明内容
本发明提供一种基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法，通过等效转换原理将原本复杂交错的中值拟合曲线进行归一化处理，避免不合理的试验数据对拟合结果的影响，减化了由于材料加工工艺不合格、试验操作不当等客观因素对试验结果的误导性；通过与试验测试数据进行对比可以发现，拟合曲线结果能够准确地描述试验数据的分散性情况，并客观地反映出材料的疲劳裂纹扩展行为规律。
本发明的技术方案如下：基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法，包括如下步骤：
1)通过最小二乘法原理获得各单个试样的疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线；
2)将各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线通过等效转换的方法进行归一化处理；赋予各试样疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线相等的斜率值，即各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线斜率值的均值，对给定斜率的各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线的参数lgC值进行求解；求解方式以方差最小为原则，根据最小二乘法原理获得等效平行曲线的不同截距，即可得到一系列相互平行的曲线方程；
3)规定在不同应力强度因子范围ΔK下，对归一化后的曲线数据进行统计分析，通过对规定的ΔK值取对数，分别计算出lg(ΔK)的垂线与中值拟合曲线交点处的lg(da/dN)值，对同一lg(ΔK)下不同lg(da/dN)值的平均值和标准差进行求解，进而绘制高斯分布曲线图；
4)计算出各应力强度因子范围ΔK下高斯分布曲线图上可靠度为99％的lg(da/dN)值，从而获得一系列的数据点拟合出可靠度为99％的p-da/dN-ΔK拟合曲线；
5)计算出各应力强度因子范围ΔK下高斯分布曲线图上可靠度为1％的lg(da/dN)值，从而获得一系列的数据点拟合出可靠度为1％的p-da/dN-ΔK拟合曲线。
本发明的有益效果为：本发明通过等效转换原理将原本复杂交错的中值拟合曲线进行归一化处理，避免不合理的试验数据对拟合结果的影响，减化了由于材料加工工艺不合格、试验操作不当等客观因素对试验结果的误导性。通过与试验测试数据进行对比可以发现，拟合曲线结果能够准确地描述试验数据的分散性情况，并客观地反映出材料的疲劳裂纹扩展行为规律。
附图说明
图1为不同宽度M(T)试样的有效试验数据点的da/dN-ΔK关系图；
图2为不同宽度M(T)试样疲劳裂纹扩展速率曲线拟合结果图；其中(a)为中值拟合曲线，(b)为规定99％可靠度、95％置信度拟合曲线；
图3为不同宽度M(T)试样总体试验数据的p-da/dN-ΔK拟合曲线；其中(a)为50mm宽度试样的p-da/dN-ΔK拟合曲线，(b)为80mm宽度试样的p-da/dN-ΔK拟合曲线；
图4为不同宽度试样4组中值拟合曲线图；其中(a)为50mm宽度试样4组中值拟合曲线，(b)为80mm宽度试样4组中值拟合曲线；
图5为基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法的原理图；
图6为不同宽度试样可靠度为99％和1％的基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法的p-da/dN-ΔK拟合曲线；其中(a)为50mm宽度试样的p-da/dN-ΔK拟合曲线，(b)为80mm宽度试样的p-da/dN-ΔK拟合曲线；
图7为基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法拟合曲线结果与试验实测数据的对比图；其中(a)为50mm宽度试样，(b)为80mm宽度试样。
具体实施方式
针对6N01铝合金材料，进行实验室空气环境条件下的疲劳裂纹扩展试验。为了真实模拟实际受力情况，选择的试样形式为标准中心裂纹拉伸M(T)试样。试样设计为两种宽度尺寸，其具体尺寸分别为宽度W为80mm、厚度B为3mm和宽度W为50mm、厚度B为3mm。不同宽度的M(T)试样各加工4个试样，加工过程严格遵守GB/T 6398-2000对M(T)试样相关加工工艺的规定。6N01铝合金的化学成分含量如表1所示，其部分力学性能测试结果如表2所示；
表1 6N01铝合金的化学成分含量(质量分数，％)
表2 6N01铝合金的部分力学性能测试结果
不同宽度M(T)试样的疲劳裂纹扩展试验在岛津电液伺服材料疲劳试验机上进行，其静态拉向示值相对误差为±1％，动态拉向示值相对误差为2％。试验采用正弦波加载方式，为了保证试验结果的稳定性，控制试验频率f为10Hz，恒应力比R为0.1。试验过程中采用放大倍数为×30倍的移动显微镜(JXD-B)，通过目测法观测预制中心两侧的裂纹扩展过程。
在双对数坐标系上绘制全部8个不同宽度M(T)试样的有效试验数据点，其da/dN-ΔK关系如图1所示。
对比例
传统统计分析方法，包括如下步骤：
1)金属材料的中值疲劳裂纹扩展速率曲线的拟合方法
应用Paris公式，采用最小二乘法拟合金属材料的中值疲劳裂纹扩展速率曲线方程；采用Paris公式描述材料稳态裂纹扩展阶段疲劳裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子范围ΔK的关系，其表达式为：
式中：a为裂纹长度；N为应力循环次数；C、m为材料常数。
采集全部有效da/dN-ΔK数据，对Paris公式两边取对数，则有：
根据Paris公式材料常数计算方法的相关介绍可知，将Paris公式进行对数处理后可发现，lg(da/dN)与lg(ΔK)在双对数坐标系下呈线性关系。采用最小二乘法原理，通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配对da/dN-ΔK关系曲线进行线性拟合，并求得材料常数C和m。
由公式(2)可见，da/dN-ΔK试验数据在双对数坐标系下呈现线性关系，采用最小二乘法对指定的lg(da/dN)-lg(ΔK)数据进行线性拟合，获得的拟合曲线被称为Paris曲线，其中lgC和m分别为Paris曲线的截距和斜率。
根据公式(2)，令lg(da/dN)为y、lg(ΔK)为x、lgC为β0，则da/dN-ΔK关系曲线在双对数坐标系下的表达式为：
y＝β0+mx (3)
采用最小二乘法原理求解参数β0和m的估计值和则有：
其中：
式中：xi为应力强度因子范围ΔK第i个试验数据点的对数值；yi为疲劳裂纹扩展速率da/dN第i个试验数据点的对数值；n为试验数据点个数。
根据公式(4)至公式(10)，将求得的材料常数估计值和代入公式(3)，则对数中值疲劳裂纹扩展速率曲线方程可表示为：
其中，材料常数C的估计值可表示为：
根据公式11和公式12，获得中值疲劳裂纹扩展速率曲线方程为：
为了表征x和y两个随机变量之间的线性相关程度，可引入相关系数r进行表示，则有：
式中：当|r越接近1，说明x与y的线性相关程度越显著；反之，当|r越接近0，则说明x与y的线性相关程度较差。
2)规定置信度、可靠度的疲劳裂纹扩展速率及其表达式
欲使测试出的疲劳裂纹扩展速率具有一定的置信度和可靠度，就必须保证有足够的试验样本。考虑到工程结构材料的经济成本和人员操作的时间成本较高，往往可提供的试样数量有限。因此，可借助单侧容限因数k，获得具有置信度γ和可靠度p的疲劳裂纹扩展速率拟合方程。
疲劳裂纹扩展速率统计分析方法的相关研究表明，相同应力强度因子范围内的疲劳裂纹扩展速率对数值服从高斯分布(Gauss distribution)，在可靠度p下的疲劳裂纹扩展速率对数值可表示为：
yp＝μ+upσ (15)
引入随机变量函数疲劳裂纹扩展速率的对数值大于母体真值μ+upσ的概率用置信度γ表示，则有：
其中：
式中：β为标准差修正系数；k为单侧容限因数；n为总体观测点个数；up、uγ分别为可靠度和置信度的标准正态偏量。
表3、表4和表5分别给出不同条件下部分可靠度和置信度的标准正态偏量以及标准差修正系数β值。从表5中可以看出，当总体观测点个数越多，其标准差修正系数β越接近于1。
表3可靠度标准正态偏量
表4置信度标准正态偏量
表5标准差修正系数
根据公式(15)至公式(17)，可以获得具有置信度γ和可靠度p的疲劳裂纹扩展速率对数表达式：
对于不同的试验数据点，则有：
其中，样本总体方差为：
根据公式(18)至公式(20)，可以计算出样本总体方差以及单个样本方差，从而得到规定置信度、可靠度的疲劳裂纹扩展速率表达式为：
式中：为第j个样本中第i个试验数据点的对数中值疲劳裂纹扩展速率；为第j个样本中第i个试验数据点的具有一定置信度和可靠度的对数中值疲劳裂纹扩展速率；yij为第j个样本中第i个试验数据点的对数值疲劳裂纹扩展速率。
根据中值和规定置信度、可靠度的疲劳裂纹扩展速率曲线拟合方法，对不同宽度M(T)试样的疲劳裂纹扩展试验数据进行拟合。图2给出不同宽度M(T)试样疲劳裂纹扩展速率曲线拟合结果。通过不同宽度试样99％可靠度和95％置信度的疲劳裂纹扩展速率拟合曲线结果可以看出(如图2(b)所示)，在相同的应力比下，当应力强度因子范围ΔK＝7.5MPa·m1 /2时，试样宽度为50mm的疲劳裂纹扩展速率是试样宽度为80mm的2.07倍。在相同裂纹扩展驱动力的作用下，M(T)试样的疲劳裂纹扩展速率测试结果随给定试样宽度的增大而减慢。在规定置信度、可靠度下，不同宽度试样的疲劳裂纹扩展速率曲线统计分析结果如表6所示；
表6不同宽度试样疲劳裂纹扩展速率曲线统计分析结果
3)统计分析
将两种不同宽度试样的总体试验数据点分别进行p-da/dN-ΔK关系曲线拟合。图3给出不同宽度试样在可靠度为99％、50％和1％的p-da/dN-ΔK拟合曲线。如图3所示，各规定可靠度的p-da/dN-ΔK拟合曲线之间形成了具有一定宽度的数据分散带，分散带的宽度越宽说明试验数据的分散性越大，反之说明分散性越小。根据不同宽度试样的p-da/dN-ΔK关系曲线拟合结果可以发现，可靠度为99％的拟合曲线高于任意疲劳裂纹扩展试验测试数据。因此，通过可靠度为99％的拟合曲线来评估材料的断裂力学性能，在此范围内的疲劳裂纹扩展速率不会导致材料失效，其所反映出的试验数据分散性及寿命预测结果等信息相对保守。
传统统计分析方法是通过借助单侧容限因数k对总体试验数据进行拟合处理，并获得规定置信度、可靠度的p-da/dN-ΔK拟合曲线方程。分析可知，采用传统统计分析方法对工程实际中结构材料抵抗裂纹扩展的能力进行评估，其目的是确保结构材料在使用周期内不发生失效，但该方法并不能够准确地描述材料的疲劳裂纹扩展行为。
传统的统计分析方法是通过总体试验数据拟合出中值疲劳裂纹扩展速率曲线，借助单侧容限因数k，获得规定置信度、可靠度的p-da/dN-ΔK曲线方程。由于试验数据的分散性较大，p-da/dN-ΔK曲线的拟合结果往往受到特殊数据点的影响(由于加载不当、裂纹扩展长度测试不准等因素造成的不合理试验数据点)，其不能够真实、合理地反映出材料的力学性能和疲劳裂纹扩展行为规律。
实施例
基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法，包括如下步骤：
通过最小二乘法原理获得各单个试样的疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线以及相应的分布规律。图4给出不同宽度试样4组中值(置信度为50％、可靠度为50％)拟合曲线；图4中各试样的中值拟合曲线结果表明，虽然各拟合曲线的疲劳裂纹扩展行为规律不尽相同，但由于材料相同、性能相似，其概率分布特征的差异性并不明显，即根据最小二乘法原理所获得的拟合曲线斜率值(材料常数m值)相差不大。因此，可将各拟合曲线通过等效转换的方法进行归一化处理。根据以上因素，本专利提出基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法。首先通过等效转换的方法将各试样的中值拟合曲线进行处理，进而在规定应力强度因子范围内进行统计分析。
图5给出基于拟合曲线等效转换统计分析方法的原理图。
选用宽度为80mm试样的中值拟合曲线，赋予各试样中值拟合曲线相等的斜率值，即各拟合曲线斜率值的均值，对给定斜率的各拟合曲线的参数lgC值(拟合曲线的截距值)进行求解。求解方式以方差最小为原则，根据最小二乘法原理获得等效平行曲线的不同截距，即可得到一系列相互平行的曲线方程。通过分布检验可知，在相同的应力强度因子范围内，疲劳裂纹扩展速率的对数值服从高斯分布，其da/dN-ΔK拟合曲线对应的疲劳裂纹扩展速率对数值同样服从高斯分布。以该论据为基础，规定在不同应力强度因子范围ΔK下，对曲线数据进行统计分析，通过对规定的ΔK值取对数，分别计算出lg(ΔK)的垂线与中值拟合曲线交点处的lg(da/dN)值，对同一lg(ΔK)下不同lg(da/dN)值的平均值和标准差进行求解，进而绘制高斯分布曲线；
计算出各应力强度因子范围ΔK下高斯分布曲线图上可靠度为99％的lg(da/dN)值，从而获得一系列的数据点拟合出可靠度为99％的p-da/dN-ΔK拟合曲线；
计算出各应力强度因子范围ΔK下高斯分布曲线图上可靠度为1％的lg(da/dN)值，从而获得一系列的数据点拟合出可靠度为1％的p-da/dN-ΔK拟合曲线。
图6给出不同宽度试样可靠度为99％和1％的p-da/dN-ΔK拟合曲线。
基于拟合曲线等效转换的统计分析方法是通过等效转换原理将原本复杂交错的中值拟合曲线进行归一化处理，避免不合理的试验数据对拟合结果的影响，减化了由于材料加工工艺不合格、试验操作不当等客观因素对试验结果的误导性。通过与试验测试数据进行对比可以发现，拟合曲线结果能够准确地描述试验数据的分散性情况，并客观地反映出材料的疲劳裂纹扩展行为规律。对拟合曲线等效转换统计分析方法的p-da/dN-ΔK拟合曲线中材料常数lgC和m值进行求解，表7给出等效转换统计分析方法材料常数的求解结果；
表7拟合曲线等效转换的统计分析方法p-da/dN-ΔK拟合曲线的材料常数
图7给出等效转换统计分析方法拟合曲线结果与试验实测数据的对比图。
本专利提出的等效转换统计分析方法是通过将原本复杂交错的中值疲劳裂纹扩展速率曲线进行归一化处理，进而对在不同应力强度因子范围ΔK内的疲劳裂纹扩展速率对数值进行统计分析。该方法能够有效地减少由于材料加工工艺不合格、试验操作不当等客观因素造成的不合理试验数据对p-da/dN-ΔK关系曲线拟合结果的影响。
等效转换统计分析方法能够优化传统的统计分析方法，真实呈现材料疲劳裂纹扩展速率的概率分布特征，可为材料的寿命预测提供准确、有价值的评估结果，同时满足经济性要求。本专利的研究成果可以为材料损伤断裂行为评估技术领域的发展作出贡献。因此，本专利具有重要的科学意义、理论意义以及经济价值。

Claims (1)

1.基于拟合曲线等效转换的概率疲劳裂纹扩展速率统计分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
1)通过最小二乘法原理获得各单个试样的疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线；
2)将各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线通过等效转换的方法进行归一化处理；赋予各试样疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线相等的斜率值，即各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线斜率值的均值，对给定斜率的各疲劳裂纹扩展速率中值拟合曲线的参数lgC值进行求解；求解方式以方差最小为原则，根据最小二乘法原理获得等效平行曲线的不同截距，即可得到一系列相互平行的曲线方程；
3)规定在不同应力强度因子范围ΔK下，对归一化后的曲线数据进行统计分析，通过对规定的ΔK值取对数，分别计算出lg(ΔK)的垂线与中值拟合曲线交点处的lg(da/dN)值，对同一lg(ΔK)下不同lg(da/dN)值的平均值和标准差进行求解，进而绘制高斯分布曲线图；
4)计算出各应力强度因子范围ΔK下高斯分布曲线图上可靠度为99％的lg(da/dN)值，从而获得一系列的数据点拟合出可靠度为99％的p-da/dN-ΔK拟合曲线；
5)计算出各应力强度因子范围ΔK下高斯分布曲线图上可靠度为1％的lg(da/dN)值，从而获得一系列的数据点拟合出可靠度为1％的p-da/dN-ΔK拟合曲线。
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