CN109581877B - 一种基于eso的磁悬浮球滑模变结构控制方法 - Google Patents

一种基于eso的磁悬浮球滑模变结构控制方法 Download PDF

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Abstract

一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，包括以下步骤：步骤1，对磁悬浮球系统的机理模型在平衡点处进行线性化处理；步骤2，构建磁悬浮球系统的扩张状态空间模型；步骤3，设计用于观测和估计速度状态和未知扰动的ESO，利用扰动信息对控制器进行补偿；步骤4，判定ESO的稳定性；步骤5，构建磁悬浮球系统的误差系统；步骤6，设计滑模面函数，求等效控制律；步骤7，采用幂次趋近律构建滑模变结构控制器，求出滑模控制律以及最终控制律。本发明对小球的速度状态以及未知的外部扰动进行观测和估计，采用滑模变结构控制器对系统进行控制，并将扰动估计值作为控制器的补偿量，增强了系统的鲁棒性和抗干扰性能。

Description

一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法
技术领域
本发明涉及基于位移传感器的磁悬浮球控制系统，特别是一种基于扩张状态观测器(Extended state observer,ESO)的磁悬浮球滑模变结构控制方法。
背景技术
随着电磁理论、电磁材料学、电力电子技术、自动化控制技术的发展，磁悬浮技术也得到了长足的发展。近年来，悬浮技术在磁悬浮列车、风力发电机、航空航天、微电子学和核反应堆离心机等领域得到了广泛的应用。磁悬浮技术已经深入到我们生活的方方面面，所以研究磁悬浮技术具有深远的意义。但磁悬浮系统往往是多自由度的复杂非线性系统，其数学模型非常复杂，而磁悬浮球系统则是一个典型的复杂单自由度非线性系统，可以作为研究复杂多自由度系统的基础平台，所以研究磁悬浮球的控制很有必要。磁悬浮球系统的基本原理是通过改变施加到电磁铁上的电压或电流，以控制磁场强度的大小，进而使小球受到的磁力与其他外力相平衡，保持悬浮状态。为了使小球能在设定的位置稳定悬浮，需要利用小球的状态反馈信息设计一个实时的控制器。
然而磁悬浮平台的状态反馈装置一般为位移传感器，只能检测到小球的位移状态，而无法获得小球速度等状态，限制了一些控制方法的应用，也不利于磁悬浮球的稳定控制。又因为磁悬浮球系统为复杂的非线性系统，而且容易受到外界因素的干扰，如温度、光线和系统老化等，无法对其精确建模。
目前，已经有很多控制方法在磁悬浮球平台上得到了应用，Arun等人采用PID控制方法对系统进行控制，但控制器对外部扰动的抑制能力较差，容易引起系统的抖振现象。Neha等人采用状态反馈控制方法对磁悬浮球系统进行了仿真控制，轨迹跟踪效果良好，但系统出现很大幅度的超调，由于用到了惯性实验观测器，控制器的设计较为复杂。Anirudh等人采用模糊PD+I控制方法，消除了控制过程中的积分饱和现象，又将系统输出作为模糊控制器的输入，消除了系统中的超调现象，但研究仅限于仿真。Zi-Jiang Yang等人结合自适应线性反馈控制器、非线性鲁棒控制器和PI控制器，提出了一种自适应非线性鲁棒控制方法，并对系统进行了稳定性分析，对控制方法进行了仿真验证，有很好的轨迹跟踪效果。Panayiotis等人成功的将神经网络前馈控制方法应用到了磁悬浮球控制中，但控制器的设计十分复杂。然而这些控制方法中线性控制方法难以取得良好的控制效果，而非线性控制方法又比较复杂，很难在工程上应用，因而大多研究尚在仿真阶段，脱离了实际硬件和操作环境，使其工程意义大打折扣。所以设计一种简单、具有较强鲁棒性且不完全依赖于系统精确模型的磁悬浮球控制器是一件很有意义和挑战性的工作。
发明内容
为了克服现有磁悬浮平台无法获得小球速度状态、无法对其精确建模的不足，本发明提供了一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，对小球的速度状态以及未知的外部扰动进行观测和估计，采用滑模变结构控制器对系统进行控制，并将扰动估计值作为控制器的补偿量，增强了系统的鲁棒性和抗干扰性能。
为达到以上目的，本发明采用的技术方案是：
一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，所述方法包括以下步骤：
步骤1，对磁悬浮球系统的机理模型在平衡点处进行线性化处理；
步骤2，构建磁悬浮球系统的扩张状态空间模型；
步骤3，设计用于观测和估计速度状态和未知扰动的ESO，利用扰动信息对控制器进行补偿；
步骤4，判定ESO的稳定性；
步骤5，构建磁悬浮球系统的误差系统；
步骤6，设计滑模面函数，求等效控制律；
步骤7，采用幂次趋近律构建滑模变结构控制器，求出滑模控制律以及最终控制律。
进一步，所述磁悬浮球控制系统通过位移传感器获得小球的位置状态信息，系统的数学模型描述为
Figure BDA0001949265620000021
其中，m为小球质量，d为小球直径，x,i分别为小球的位置和电磁线圈中的电流，x0,i0分别为小球的平衡位置和平衡位置处电磁线圈的电流，F(i,x)为电磁力，F(i0,x0)为平衡位置处的电磁力，u(t)为功率放大器的输入电压，ka为功率放大器增益，μ0为真空磁导率，N为线圈匝数，A为磁导截面积。
再进一步，所述步骤1中，对磁悬浮球系统模型在平衡点处进行线性化处理的过程为；
将电磁力F(i,x)在平衡点(i0,x0)作泰勒级数展开，舍弃高阶项得
Figure BDA0001949265620000031
将式(2)代入式(1)，得
Figure BDA0001949265620000032
由式(1)、(3)得位移x和功率放大器的输入电压u(t)的关系为
Figure BDA0001949265620000033
对(4)式等号两边进行拉普拉斯变换，得磁悬浮球系统的传递函数形式为
Figure BDA0001949265620000034
令x1＝x(t),
Figure BDA0001949265620000035
分别为磁悬浮球的位移和速度状态变量，u＝u(t)为控制输入量，y＝x1为系统输出量，
Figure BDA0001949265620000036
得到磁悬浮球系统的状态空间方程为
Figure BDA0001949265620000037
其中f(x1,x2,u)表示模型的参数不确定性，d表示外界未知扰动。
再进一步，所述步骤2中，构建磁悬浮球系统的扩张状态空间模型的过程为：
构建扩张状态x3＝f(x1,x2,u)+d，作为一个新的状态变量，称为系统“总和扰动”，并令
Figure BDA0001949265620000038
则系统的扩张状态空间模型为
Figure BDA0001949265620000039
所述步骤3中，利用扰动信息对控制器进行补偿的过程为：
定义误差信号的加权矩阵L＝[β1,β2,β3]T，对(7)式中的磁悬浮球系统建立状态观测器，得到
Figure BDA0001949265620000041
实际上可以通过简便公式来确定L矩阵中的参数，当系统的计算步长指定时，有
Figure BDA0001949265620000042
由于z3是总和扰动，是要消除的部分，根据式(8)得
Figure BDA0001949265620000043
将控制律设计为
Figure BDA0001949265620000044
这样就将扰动z3消除了，其中b≈b0是决定补偿强弱的“补偿因子”，作为可调参数来用，u0是滑模控制器计算得到的控制律。
所述步骤4中，判定ESO的稳定性的过程为：
引理1：对于一个含有外部扰动的系统，其扩张状态空间模型为
Figure BDA0001949265620000045
其中h是外部扰动，它对应的ESO设计为
Figure BDA0001949265620000046
定义e＝z-x作为ESO的估计误差，则有
Figure BDA0001949265620000047
设计L矩阵，使得Ae＝(A-LC)Hurwitz，那么对于任意有界的扰动h，观测器的估计误差e都是有界的；
对于磁悬浮球系统，有
Figure BDA0001949265620000048
根据引理1，只要合理的调节观测器增益，使得Ae所有的特征值都具有负实部，系统就会是Hurwitz渐进稳定的，使估计误差到达任意小的范围，实现对扰动的准确估计。
所述步骤5中，构建磁悬浮球误差系统的过程为：
消除了建模不确定性f(x1,x2,u)和外部扰动d之后，磁悬浮球系统的状态空间方程写成
Figure BDA0001949265620000051
由于控制目的是使小球在平衡位置附近稳定运动，即x1≠0，无法直接设计滑模面函数，所以需要构建如下误差系统：
Figure BDA0001949265620000052
所述步骤6中，设计滑模切换函数，求等效控制律的过程为：
设计滑模面函数为s＝ce1+e2，对滑模面函数求导得
Figure BDA0001949265620000053
令
Figure BDA0001949265620000054
得到等效控制律
Figure BDA0001949265620000055
所述步骤7中，采用幂次趋近律构建滑模变结构控制器，求出滑模控制律以及最终控制律的过程为：
采用幂次趋近律构建滑模控制器
Figure BDA0001949265620000056
由式(17)和(19)，得到等效控制律
Figure BDA0001949265620000057
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0001949265620000058
结合控制率(17)，对上述李雅普诺夫函数求导，得
Figure BDA0001949265620000059
由此可知系统是渐进稳定的，滑模面满足可达条件；
所以，最终控制率为
Figure BDA00019492656200000510
其中参数b可调。
本发明的技术构思为：首先，该方法将磁悬浮球系统模型在平衡点处进行线性化处理，降低建模难度以及控制器和ESO设计的复杂度；接着，采用ESO对系统速度状态和未知扰动进行观测和估计，使滑模变结构控制器能够更好的应用到磁悬浮球平台，而且能够消除建模参数不确定性和未知的外部扰动；最后，结合滑模控制器与ESO对系统进行控制，提出一种新的针对于磁悬浮球系统的滑模变结构控制方法。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：与现有的控制方法相比，该方法充分考虑了系统外部未知扰动和模型参数不确定性的影响，同时估计出了速度状态量，使得滑模变结构控制方法得以在磁悬浮球系统中更好的应用。
附图说明
图1是磁悬浮球控制系统结构示意图。其中，1是作为控制对象的磁悬浮本体装置，2是以数据采集为核心的输入输出部分，3是可进行人机交互的PC机。
图2是本发明方法流程图。
具体实施方式
为了使本发明的技术方案、设计思路能更加清晰，下面结合附图再进行详尽的描述。应当理解，此处所描述的具体实施案例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
参照图1和图2，一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，如图1所示，磁悬浮球控制系统通过位移传感器获得小球的位置状态信息。系统的数学模型可以描述为
Figure BDA0001949265620000061
其中，m为小球质量，d为小球直径，x,i分别为小球的位置和电磁线圈中的电流，x0,i0分别为小球的平衡位置和平衡位置处电磁线圈的电流，F(i,x)为电磁力，F(i0,x0)为平衡位置处的电磁力，u(t)为功率放大器的输入电压，ka为功率放大器增益，μ0为真空磁导率，N为线圈匝数，A为磁导截面积。
结合图2，一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，包括以下步骤：
步骤1，对磁悬浮球系统模型在平衡点处进行线性化处理；
将电磁力F(i,x)在平衡点(i0,x0)作泰勒级数展开，舍弃高阶项得
Figure BDA0001949265620000071
将式(2)代入式(1)，得
Figure BDA0001949265620000072
由式(1)、(3)得位移x和功率放大器的输入电压u(t)的关系为
Figure BDA0001949265620000073
对(4)式等号两边进行拉普拉斯变换，得磁悬浮球系统的传递函数形式为
Figure BDA0001949265620000074
令x1＝x(t),
Figure BDA0001949265620000075
分别为磁悬浮球的位移和速度状态变量，u＝u(t)为控制输入量，y＝x1为系统输出量，
Figure BDA0001949265620000076
得到磁悬浮球系统的状态空间方程为
Figure BDA0001949265620000077
其中f(x1,x2,u)表示模型的参数不确定性，d表示外界未知扰动；
步骤2，构建磁悬浮球系统的扩张状态空间模型；
构建扩张状态x3＝f(x1,x2,u)+d，作为一个新的状态变量，称为系统“总和扰动”，并令
Figure BDA0001949265620000078
则系统的扩张状态空间模型为
Figure BDA0001949265620000079
步骤3，设计用于观测和估计速度状态和未知扰动x3的ESO，利用扰动信息对控制器进行补偿；
定义误差信号的加权矩阵L＝[β1,β2,β3]T，对(7)式中的磁悬浮球系统建立状态观测器，得到
Figure BDA0001949265620000081
实际上可以通过简便公式来确定L矩阵中的参数，当系统的计算步长指定时，有
Figure BDA0001949265620000082
由于z3是总和扰动，是要消除的部分，根据式(8)得
Figure BDA0001949265620000083
可将控制律设计为
Figure BDA0001949265620000084
这样就将扰动z3消除了；其中b≈b0是决定补偿强弱的“补偿因子”，作为可调参数来用，u0是滑模控制器计算得到的控制律；
步骤4，判定ESO的稳定性；
引理1对于一个含有外部扰动的系统，其扩张状态空间模型为
Figure BDA0001949265620000085
其中h是外部扰动，它对应的ESO可以设计为
Figure BDA0001949265620000086
定义e＝z-x作为ESO的估计误差，则有
Figure BDA0001949265620000087
设计L矩阵，使得Ae＝(A-LC)Hurwitz，那么对于任意有界的扰动h，观测器的估计误差e都是有界的；
对于磁悬浮球系统，有
Figure BDA0001949265620000088
根据引理1，只要合理的调节观测器增益，使得Ae所有的特征值都具有负实部，系统就会是Hurwitz渐进稳定的，使估计误差到达任意小的范围，实现对扰动的准确估计；
步骤5，构建磁悬浮球误差系统；
消除了建模不确定性f(x1,x2,u)和外部扰动d之后，磁悬浮球系统的状态空间方程写成
Figure BDA0001949265620000091
由于控制目的是使小球在平衡位置附近稳定运动，即x1≠0，无法直接设计滑模面函数，所以需要构建如下误差系统：
Figure BDA0001949265620000092
步骤6，设计滑模切换函数，求等效控制律；
设计滑模面函数为s＝ce1+e2，对滑模面函数求导得
Figure BDA0001949265620000093
令
Figure BDA0001949265620000094
得到等效控制律
Figure BDA0001949265620000095
步骤7，采用幂次趋近律构建滑模变结构控制器，求出滑模控制律以及最终控制律；
采用幂次趋近律构建滑模控制器
Figure BDA0001949265620000096
由式(17)和(19)，得到等效控制律
Figure BDA0001949265620000097
选取李雅普诺夫函数
Figure BDA0001949265620000098
结合控制率(17)，对上述李雅普诺夫函数求导，可得
Figure BDA0001949265620000099
由此可知系统是渐进稳定的，滑模面满足可达条件。
所以，最终控制率为
Figure BDA0001949265620000101
其中参数b可调。

Claims (8)

1.一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
步骤1，对磁悬浮球系统的机理模型在平衡点处进行线性化处理；
步骤2，构建磁悬浮球系统的扩张状态空间模型；
步骤3，设计用于观测和估计速度状态和未知扰动的ESO，利用扰动信息对控制器进行补偿；
步骤4，判定ESO的稳定性；
步骤5，构建磁悬浮球系统的误差系统；
步骤6，设计滑模面函数，求等效控制律；
步骤7，采用幂次趋近律构建滑模变结构控制器，求出滑模控制律以及最终控制律。
2.如权利要求1所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述磁悬浮球控制系统通过位移传感器获得小球的位置状态信息，系统的数学模型描述为
Figure FDA0003253761030000011
其中，m为小球质量，d为小球直径，x,i分别为小球的位置和电磁线圈中的电流，x0,i0分别为小球的平衡位置和平衡位置处电磁线圈的电流，F(i,x)为电磁力，F(i0,x0)为平衡位置处的电磁力，u(t)为功率放大器的输入电压，ka为功率放大器增益，μ0为真空磁导率，N为线圈匝数，A为磁导截面积。
3.如权利要求2所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述步骤1中，对磁悬浮球系统模型在平衡点处进行线性化处理的过程为；
将电磁力F(i,x)在平衡点(i0,x0)作泰勒级数展开，舍弃高阶项得
Figure FDA0003253761030000012
将式(2)代入式(1)，得
Figure FDA0003253761030000021
由式(1)、(3)得位移x和功率放大器的输入电压u(t)的关系为
Figure FDA0003253761030000022
对(4)式等号两边进行拉普拉斯变换，得磁悬浮球系统的传递函数形式为
Figure FDA0003253761030000023
令x1＝x(t),
Figure FDA0003253761030000024
分别为磁悬浮球的位移和速度状态变量，u＝u(t)为控制输入量，y＝x1为系统输出量，
Figure FDA0003253761030000025
得到磁悬浮球系统的状态空间方程为
Figure FDA0003253761030000026
其中f(x1,x2,u)表示模型的参数不确定性，d表示外界未知扰动。
4.如权利要求3所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述步骤2中，构建磁悬浮球系统的扩张状态空间模型的过程为：
构建扩张状态x3＝f(x1,x2,u)+d，作为一个新的状态变量，称为系统“总和扰动”，并令
Figure FDA0003253761030000027
则系统的扩张状态空间模型为
Figure FDA0003253761030000028
5.如权利要求4所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述步骤3中，利用扰动信息对控制器进行补偿的过程为：
定义误差信号的加权矩阵L＝[β1,β2,β3]T，对(7)式中的磁悬浮球系统建立状态观测器，得到
Figure FDA0003253761030000031
通过简便公式来确定L矩阵中的参数，当系统的计算步长指定时，有
Figure FDA0003253761030000032
由于z3是总和扰动，是要消除的部分，根据式(8)得
Figure FDA0003253761030000033
将控制律设计为
Figure FDA0003253761030000034
这样就将扰动z3消除了，其中b≈b0是决定补偿强弱的“补偿因子”，作为可调参数来用，u0是滑模控制器计算得到的控制律。
6.如权利要求5所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述步骤4中，判定ESO的稳定性的过程为：
引理1：对于一个含有外部扰动的系统，其扩张状态空间模型为
Figure FDA0003253761030000035
其中h是外部扰动，它对应的ESO设计为
Figure FDA0003253761030000036
定义e＝z-x作为ESO的估计误差，则有
Figure FDA0003253761030000037
设计L矩阵，使得Ae＝(A-LC)Hurwitz，那么对于任意有界的扰动h，观测器的估计误差e都是有界的；
对于磁悬浮球系统，有
Figure FDA0003253761030000038
根据引理1，只要合理的调节观测器增益，使得Ae所有的特征值都具有负实部，系统就会是Hurwitz渐进稳定的，使估计误差到达任意小的范围，实现对扰动的准确估计。
7.如权利要求6所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述步骤5中，构建磁悬浮球误差系统的过程为：
消除了建模不确定性f(x1,x2,u)和外部扰动d之后，磁悬浮球系统的状态空间方程写成
Figure FDA0003253761030000041
由于控制目的是使小球在平衡位置附近稳定运动，即x1≠0，无法直接设计滑模面函数，所以需要构建如下误差系统：
Figure FDA0003253761030000042
所述步骤6中，设计滑模切换函数，求等效控制律的过程为：
设计滑模面函数为s＝ce1+e2，对滑模面函数求导得
Figure FDA0003253761030000043
令
Figure FDA0003253761030000044
得到等效控制律
Figure FDA0003253761030000045
8.如权利要求7所述的一种基于ESO的磁悬浮球滑模变结构控制方法，其特征在于，所述步骤7中，采用幂次趋近律构建滑模变结构控制器，求出滑模控制律以及最终控制律的过程为：
采用幂次趋近律构建滑模控制器
Figure FDA0003253761030000046
由式(17)和(19)，得到等效控制律
Figure FDA0003253761030000051
选取李雅普诺夫函数
Figure FDA0003253761030000052
结合控制率(17)，对上述李雅普诺夫函数求导，得
Figure FDA0003253761030000053
由此可知系统是渐进稳定的，滑模面满足可达条件；
所以，最终控制率为
Figure FDA0003253761030000054
其中参数b可调。
CN201910046322.2A 2019-01-18 2019-01-18 一种基于eso的磁悬浮球滑模变结构控制方法 Active CN109581877B (zh)

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