CN109408854A - 一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法。方法为：首先建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型；然后选择磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数；接着以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型；最后利用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面。本发明基于改进的粒子群算法，优化的型面具有良好的车辆运行安全性、运行平稳性、曲线通过性能，同时降低了轮轨磨耗。

Description

一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法

技术领域

本发明属于列车车轮设计技术领域，特别是一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法。

背景技术

车轮作为列车车辆系统最为关键的部件之一，不但要承受列车与运行轨道之间全部的相互作用载荷及直接性冲击，而且还要和轨道相互粘着产生列车行进的牵引力和到站的制动力。静止时，车轮承担列车全部重量；在轨道上高速运行时，车轮额外承受列车和轨道相互作用传递的垂向力；进站制动时，车轮因踏面和轨道面的挤压力而不断承受摩擦力。高负荷的工作强度，使得车轮出现踏面擦伤与剥离，车轮直径也因摩擦而变小，从而影响列车的行车安全及运行稳定，需要引起格外重视。

从列车行车安全方面来讲，车轮长时间高负荷的作业不可避免的带来了车轮磨耗损伤甚至是车轮外形轮廓的改变，这些均会直接影响轮轨之间的接触系统，进而影响列车的运行安全。因此，选择合适的低磨耗型车轮型面外形，即选择与轨道平稳性和曲线行进路线更贴切拟合的车轮型面，改善轮轨间接触性能，会减少车轮与轨道的直接接触应力，避免车轮由于踏面剥离、踏面擦伤、多边形磨耗或是严重磨损导致的列车脱轨等重大交通事故的发生。

因此，建立的列车车轮磨耗数值预测模型，仿真分析不同运行里程的车轮磨耗，获得某线路列车的车轮磨耗规律，并以此为车轮型面的优化设计依据，制定合理的车轮型面外形十分必要。国内外许多学者对车轮型面的优化进行了大量的研究，其中2015年，任文娟为了解决我国某动车组存在轮缘磨耗严重问题，提出一种改进的并行反求设计方法；2016年，苏建提出了一种基于轮缘磨耗控制的多目标型面优化方法，在利用改进的粒子群迭代求解时建立车轮型面曲线库。从以上的研究文献的综述可知，大多数研究方法主要是对车轮主踏面进行优化设计，很少面向整个车轮型面、针对车轮轮缘磨耗和考虑车辆的综合动力学性能；而车轮型面单目标优化设计可能会带来其它性能指标下降。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，能够使优化的型面具有良好的车辆运行安全性、运行平稳性、曲线通过性能，同时降低轮轨磨耗。

实现本发明目的的技术解决方案是：一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，包括以下步骤：

步骤1，建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型；

步骤2，选择磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数；

步骤3，以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型；

步骤4，利用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面。

进一步地，步骤1所述的建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型，具体如下：

通过用二次NURBS曲线构造LM车轮型面外形，选取车轮和钢轨的正常磨耗部分作为车轮型面优化区域，将车轮型面外形中的圆弧段中的控制点坐标以及相对应的权因子作为设计变量。

进一步地，步骤2所述的选择轮轨磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数，具体如下：

(2.1)磨耗指数相关的目标函数f₁：

式中：为t时刻列车导向轮对左轮和钢轨的磨耗指数，为t时刻列车导向轮对右轮和钢轨的磨耗指数，S为在[t₀,t₁]时间段内的列车运行的距离；

(2.2)脱轨系数相关的目标函数f₂：

式中：fir(·,l_fir,u_fir)为带通滤波器，l_fir、u_fir分别为带通滤波器的截断低频率和截断高频率，Q_L(t)、Q_R(t)分别为导向轮对左右车轮作用在钢轨的横向力，P_L(t)、P_R(t)分别为导向轮对左右车轮作用在钢轨的垂向力；

(2.3)车辆直线运行横向平稳性相关的目标函数f：

f₃＝SP_l (3)

式中：SP_l为车辆直线运行横向Sperling平稳性指标；

(2.4)车辆蛇行失稳临界速度相关的目标函数f₄：

f₄＝V_cr (4)

式中：Vcr为车辆运行蛇行失稳临界速度。

进一步地，步骤3所述的以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型，具体如下：

(3.1)车轮型面优化区域单调非递减约束条件：

设定拟优化车轮型面曲线拟合函数为g(y_i)，其一次导数为非单调递减函数，将其一次导数设为约束条件g₁(y_i)，则约束条件g₁(y_i)满足式(5)：

g₁(y_i)＝g'(y_i)≥0 i∈(5,20) (5)

(3.2)车轮型面凹凸性约束条件：

对LM标准磨耗型型面进行几何分析，确定型面优化区域的凹凸变化拐点位置，将型面曲线二次导数作为约束条件g₂(y_i)，则约束条件g₂(y_i)满足式(6)：

(3.3)轮重减载率相关的约束函数g₃：

式中：P为平均轮轨垂向力，ΔP为轮重减载量，P₀＝0.60表示安全标准下的轮重减载率；

(3.4)轮轨横向力有关的约束函数g₄：

g₄＝max{|Q_L|,|Q_R|}-Q₀≤0 (8)

式中：Q_L、Q_R为经过低通滤波处理的导向轮对左右轮的轮轨横向力，Q₀＝19+0.3P_st，P_st表示车轮静载荷，Q₀表示木枕钩头道钉轨道在轮轨横向力作用下，当道钉拔起时其应力为弹性极限时的轮轨横向力数值；

(3.5)轮轴横向力相关的约束函数g₅：

g₅＝max{|H_L|,|H_R|}-H₀≤0 (9)

式中：H_L、H_R为经过低通滤波处理的导向轮对左右车轮的轮轴横向力，H₀表示根据GB5599-85相关规定的轮轴横向力的限定值。

进一步地，步骤4所述的利用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面，具体如下：

通过对惯性因子w_p和加速因子c₁、c₂进行改进，来提高算法的收敛速度和搜索全局最优解的能力，具体如下：

(4.1)惯性权重的改进：

采用非线性减小的方式设置惯性权值w_p，公式如式(10)所示：

式中：w_start表示惯性权值的初始值，w_end表示惯性权值的最终值，N_max表示算法的最大迭代次数，N表示算法的当前迭代次数；

(4.2)加速因子的改进：

加速因子c₁和c₂的调整公式如式(11)所示：

式(11)中：c_1start、c_1end分别为加速因子c₁的初始值和最终值，c_2start、c_2end分别为加速因子c₂的初始值和最终值，N_max、N分别为算法的最大迭代次数和当前迭代次数。

本发明与现有技术相比，其显著优点是：(1)基于改进的粒子群算法，分别改进标准粒子群算法中的惯性权重和加速因子，具有很好的收敛速度和寻优能力；(2)采用多目标优化方法进行优化设计，在对车轮型面的描述、多目标优化建模及模型方法等方面进行求解，可以对多个目标指标进行综合考虑，有利于延长车轮正常使用寿命，降低车轮维修成本；(3)检测结果较为显著，优化的型面具有良好的车辆运行安全性、运行平稳性、曲线通过性能，同时降低了轮轨磨耗。

附图说明

图1为本发明基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法的流程示意图。

图2为本发明中LM车轮型面优化区域图。

图3为本发明实施例中不同迭代次数下的粒子寻优位置和全局最优粒子图，其中(a)为第1次迭代的粒子寻优位置和全局最优粒子图，(b)为第10次迭代的粒子寻优位置和全局最优粒子图，(c)为第20次迭代的粒子寻优位置和全局最优粒子图，(d)为第30次迭代的粒子寻优位置和全局最优粒子图，(e)为第40次迭代的粒子寻优位置和全局最优粒子图，(f)为第50次迭代的粒子寻优位置和全局最优粒子图。

图4为本发明实施例中优化粒子群化算法和基本粒子群算法收敛曲线图。

图5为本发明实施例中不同曲线半径工况下两种型面磨耗指数值对比图，其中(a)为不同曲线半径下两种型面磨耗指数RMS值对比图，(b)为不同曲线半径下两种型面磨耗指数MAX值对比图。

图6为本发明实施例中不同曲线半径工况下两种型面脱轨系数值对比图，其中(a)为不同曲线半径下两种型面脱轨系数RMS值对比图，(b)为不同曲线半径下两种型面脱轨系数MAX值对比图。

图7为本发明实施例中不同曲线半径工况下两种型面轮重减载率值对比图，其中(a)为不同曲线半径下两种型面轮重减载率RMS值对比图，(b)为不同曲线半径下两种型面轮重减载率MAX值对比图。

图8为本发明实施例中不同曲线半径工况下两种型面轮轨冲角值对比图，其中(a)为不同曲线半径下两种型面轮轨冲角RMS值对比图，(b)为不同曲线半径下两种型面轮轨冲角MAX值对比图。

图9为本发明实施例中直线工况下两种型面的横向Sperling平稳性指标对比图，其中(a)为直线工况下两种型面的横向平稳性指标对比图，(b)为最优型面的横向平稳性优化率随运行速度变化图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。

结合图1，本发明基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，首先建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型；然后选择磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数；接着以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型；最后利用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面。具体步骤如下：

步骤1，建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型，具体如下：

通过用二次NURBS曲线构造LM车轮型面外形，选取车轮和钢轨的正常磨耗部分作为车轮型面优化区域，如图2所示，将车轮型面外形中的圆弧段中的控制点坐标以及相对应的权因子作为设计变量。

步骤2，选择轮轨磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数，具体相关函数为：

(2.1)磨耗指数相关的目标函数：

式中：表示t时刻列车导向轮对左轮和钢轨的磨耗指数，表示t时刻列车导向轮对右轮和钢轨的磨耗指数，S表示在[t₀,t₁]时间段内的列车运行的距离；

(2.2)脱轨系数相关的目标函数：

式中：fir(·,l_fir,u_fir)表示带通滤波器，l_fir、u_fir分别表示带通滤波器的截断低频率和截断高频率，Q_L(t)、Q_R(t)分别表示导向轮对左右车轮作用在钢轨的横向力，P_L(t)、P_R(t)分别表示导向轮对左右车轮作用在钢轨的垂向力；

(2.3)车辆直线运行横向平稳性相关的目标函数：

f₃＝SP_l (3)

式中：SP_l表示车辆直线运行横向Sperling平稳性指标；

(2.4)车辆蛇行失稳临界速度相关的目标函数：

f₄＝V_cr (4)

式中：Vcr表示车辆运行蛇行失稳临界速度。

步骤3，以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型，具体如下：

(3.1)车轮型面优化区域单调非递减约束条件：

设定拟优化车轮型面曲线拟合函数为g(y_i)，其一次导数为非单调递减函数，将其一次导数设为约束条件g₁(y_i)，则约束条件g₁(y_i)满足式(5)：

g₁(y_i)＝g'(y_i)≥0i∈(5,20) (5)

(3.2)车轮型面凹凸性约束条件：

对LM标准磨耗型型面进行几何分析可知，型面优化区域的凹凸变化拐点位置为型值点i＝8的位置，将型面曲线二次导数作为约束条件g₂(y_i)，则约束条件g₂(y_i)满足式(6)：

(3.3)设轮重减载率相关的约束函数：

式中：为平均轮轨垂向力，ΔP为轮重减载量，P₀＝0.60表示安全标准下的轮重减载率；

(3.4)设轮轨横向力有关的约束函数：

g₄＝max{|Q_L|,|Q_R|}-Q₀≤0 (8)

式中：Q_L、Q_R为经过低通滤波处理的导向轮对左右轮的轮轨横向力，Q₀＝19+0.3P_st；P_st表示车轮静载荷，Q₀表示木枕钩头道钉轨道在轮轨横向力作用下，当道钉拔起时其应力为弹性极限时的轮轨横向力数值；

(3.5)设轮轴横向力相关的约束函数：

g₅＝max{|H_L|,|H_R|}-H₀≤0 (9)

式中：H_L、H_R为经过低通滤波处理的导向轮对左右车轮的轮轴横向力。

步骤4，使用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面，具体如下：

通过对惯性因子w_p和加速因子c₁、c₂进行改进，来提高算法的收敛速度和搜索全局最优解的能力，惯性因子和加速因子改进方法如下：

(4.1)惯性权重的改进：

采用非线性减小的方式设置惯性权值w_p，公式如式(10)所示：

式中：w_start表示惯性权值的初始值，w_end表示惯性权值的最终值，N_max表示算法的最大迭代次数，N表示算法的当前迭代次数；

由式(10)可以看出：在迭代初期，由于迭代次数N很小，w_p取得较大值，粒子能够在全局空间进行搜索，当迭代次数N慢慢变大时，根据余弦函数的性质，w_p值将非线性减小，粒子将在局部空间进行搜索，最终在迭代末期确定最优位置。

为比较w_p改进前后对粒子群算法性能的影响，选用f(x,y)＝100(x²-y²)+(1-x)²进行测试，其中设置-20<x、y<20，计算进行50次迭代、种群规模40、权重w_start＝0.8、w_end＝1.4，迭代次数N＝1、10、20、30、40、50的仿真结果如图3(a)～(f)所示。

从图3中可以看出，在迭代次数达到20时，粒子已经移动到全局最优位置，优化粒子群化算法和基本粒子群算法的收敛特性曲线如图4所示。

为验证改进算法的计算性能，对改进和基本标准的粒子群算法分别做60次计算，每次计算中最大为50次迭代，统计其耗用时间和达到全局最优的迭代次数的均值，对比结果如表1所示，基于惯性权重优化算法比基本标准算法平均时间减少14.52％，达到最优的迭代次数减少16.67％，从图4中可以看出，基于惯性权重优化算法能够快速达到收敛。

表1两种算法耗用时间和达到全局最优的迭代次数的均值

(4.2)加速因子的改进：

基于Ratnaweera和Halgamuge的思路，提出如下调整方案，具体的加速因子c₁和c₂的调整公式如下式(11)所示：

式中：c_1start、c_1end分别为加速因子c₁的初始值和最终值，c_2start、c_2end分别为加速因子c₂的初始值和最终值，N_max、N分别为算法的最大迭代次数和当前迭代次数。

由式(11)可以看出：在算法运行初期，由于迭代次数N很小，加速因子c₁取得较大的数值，而加速因子c₂取得较小的数值；但在算法运行后期，随着迭代次数N不断的变大，加速因子c₁不断的变小，加速因子c₂不断的变大。这种加速因子调整方案使得算法在运行初期粒子能够以大概率在局部范围内进行寻优，在运行后期则使得粒子向全局最好位置移动。

实施例1

应用本发明基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，并利用由Simpack建立的计算机仿真模型所得的仿真数据进行实验：选用3种线路几何模型设置半径分别为400m、600m、800m理想曲线线路，车辆运行速度为60km/h，选择美国5级轨道谱作为轨道线路激励。

选择1号轮对左轮的磨耗指数RMS值的作为研究对象，对比分析二种型面在不同曲线半径通过下的磨耗指数情况，仿真结果如表2所示：

表2二种型面在不同曲线半径通过下第一轮对左轮磨耗指标数据

对表中统计数据进行对比分析，画出如图5(a)～(b)所示的条形图。

从表2和图5可知，装载最优型面的车辆在通过不同曲线半径的线路时，其磨耗指数都有较大程度的下降，通过三种不同曲线线路时的磨耗指数RMS的降幅分别为10.74％、13.65％和16.65％，MAX的降幅分别为15.62％、17.33％、19.58％，并且随着曲线半径越大，第一轮对左轮磨耗指数降幅也越大。由此可见，最优型面比标准磨耗型面能够更好地降低轮轨磨耗，延长车轮的使用寿命。

仿真装载最优型面和标准型面在3种不同的曲线半径下第一轮对左轮脱轨系数计算结果，其数值如表3所示：

表3二种型面在不同曲线半径通过下第一轮对左轮脱轨系数数据

对表中统计数据进行对比分析，画出如图6(a)～(b)所示的条形图。

从表3和图6可以看出，当采用最优型面的车辆在通过不同曲线半径时，其脱轨系数都有较大程度的下降，在通过400m、600m、800m不同曲线半径线路时的脱轨系数RMS值降幅分别为6.62％、8.74％、11.28％，MAX值降幅分别为5.34％、8.32％、10.45％，并且随着曲线半径变大，最优型面的脱轨系数RMS值和MAX值会越小，同时最优型面的脱轨系数RMS值和MAX值的优化率降幅也会越大，这说明最优型面具有良好的曲线通过安全能力。

给出装载二种不同的型面在3种不同的曲线半径下第一轮对左轮轮重减载率的仿真数据，如下表4所示：

表4二种型面在不同曲线半径通过下第一轮对左轮轮重减载率数据

从表4和图7(a)～(b)可知，当采用最优型面的地铁车辆在通过不同曲线半径轨道时，轮重减载率有较大程度的下降，在通过400m、600m、800m不同曲线半径线路时的轮重减载率RMS值降幅分别为5.89％、5.32％、8.50％，MAX值降幅分别为2.89％、7.66％、11.04％，随着曲线半径越大，最优型面的轮重减载率会降低，最优型面的轮重减载率的优化率会越大，这表明最优型面具有良好的曲线通过能力。

仿真装载最优型面和标准型面在3种不同的曲线半径下第一轮对左轮轮轨冲角计算结果，其数据结果如表5.10所示：

表5二种型面在不同曲线半径通过下第一轮对左轮轮轨冲角数据

对表中统计数据进行对比分析，画出如图8(a)～(b)所示的条形图。

从表5和图8可知，装载最优型面的地铁车辆在通过不同曲线半径时，轮轨冲角都有较大程度的下降，在通过400～800m曲线半径轨道时，轮轨冲角RMS值降幅范围为7.23％～10.57％，MAX值降幅范围为10.36％～16.69％；并且随着曲线半径变大，最优型面的轮轨冲角RMS值和MAX值会变小，与此同时轮轨冲角RMS值和MAX值降幅也会变大，这说明最优型面可以很好的减轻轮轨磨耗。

分别将最优型面和LM型面代入车辆动力学模型进行SIMPACK仿真，由于所建车辆动力学模型的车辆垂向平稳性性能较好，所以只选择车辆运行横向Sperling平稳性衡量地铁车辆直线运行平稳性，表6给出二种型面的地铁车辆以50～100km/h运行速度通过直线线路时的对比统计数据，并作图9(a)～(b)。

表6二种型面在不同速度下的横向Sperling平稳性指标数据

由图9可知，当车辆以50～100km/h速度运行在直线工况下时，从整体上看，装载最优型面的车辆的横向平稳性指标低于装载LM标准型面；同时，最优型面横向Sperling平稳性优化率随车辆运行速度的变大而呈现变大的趋势，这说明最优型面具有良好的直线运行平稳性。

从磨耗指数、脱轨系数、轮重减载率、轮轨冲角、横向平稳性指标等角度对优化的车轮型面和LM标准磨耗型型面进行动力学仿真对比，结果表明：与标准型面相比，优化的型面具有良好的车辆运行安全性、运行平稳性、曲线通过性能，同时能够降低轮轨磨耗。本发明有利于提高城市交通轨道系统效率，实现简捷运行；有利于提高城市交通轨道地铁车辆的安全性能，保证乘客舒适感。

Claims (5)

1.一种基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型；

步骤2，选择磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数；

步骤3，以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型；

步骤4，利用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面。

2.根据权利要求1所述的基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，其特征在于，步骤1所述的建立基于NURBS理论的车轮型面多目标优化模型，具体如下：

通过用二次NURBS曲线构造LM车轮型面外形，选取车轮和钢轨的正常磨耗部分作为车轮型面优化区域，将车轮型面外形中的圆弧段中的控制点坐标以及相对应的权因子作为设计变量。

3.根据权利要求1所述的基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，其特征在于，步骤2所述的选择轮轨磨耗指数、脱轨系数、横向平稳性指标和临界速度，作为优化目标函数，具体如下：

(2.1)磨耗指数相关的目标函数f₁：

式中：为t时刻列车导向轮对左轮和钢轨的磨耗指数，为t时刻列车导向轮对右轮和钢轨的磨耗指数，S为在[t₀,t₁]时间段内的列车运行的距离；

(2.2)脱轨系数相关的目标函数f₂：

式中：fir(·,l_fir,u_fir)为带通滤波器，l_fir、u_fir分别为带通滤波器的截断低频率和截断高频率，Q_L(t)、Q_R(t)分别为导向轮对左右车轮作用在钢轨的横向力，P_L(t)、P_R(t)分别为导向轮对左右车轮作用在钢轨的垂向力；

(2.3)车辆直线运行横向平稳性相关的目标函数f₃：

f₃＝SP_l (3)

式中：SP_l为车辆直线运行横向Sperling平稳性指标；

(2.4)车辆蛇行失稳临界速度相关的目标函数f₄：

f₄＝V_cr (4)

式中：Vcr为车辆运行蛇行失稳临界速度。

4.根据权利要求1所述的基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，其特征在于，步骤3所述的以满足轮轨横向力、轮轴横向力以及轮重减载率为动力学约束条件，以优化型面曲线的凹凸性及连续性、平滑性为几何约束条件，建立多目标优化模型，具体如下：

(3.1)车轮型面优化区域单调非递减约束条件：

设定拟优化车轮型面曲线拟合函数为g(y_i)，其一次导数为非单调递减函数，将其一次导数设为约束条件g₁(y_i)，则约束条件g₁(y_i)满足式(5)：

g₁(y_i)＝g'(y_i)≥0i∈(5,20) (5)

(3.2)车轮型面凹凸性约束条件：

对LM标准磨耗型型面进行几何分析，确定型面优化区域的凹凸变化拐点位置，将型面曲线二次导数作为约束条件g₂(y_i)，则约束条件g₂(y_i)满足式(6)：

(3.3)轮重减载率相关的约束函数g₃：

式中：为平均轮轨垂向力，ΔP为轮重减载量，P₀＝0.60表示安全标准下的轮重减载率；

(3.4)轮轨横向力有关的约束函数g₄：

g₄＝max{|Q_L|,|Q_R|}-Q₀≤0 (8)

式中：Q_L、Q_R为经过低通滤波处理的导向轮对左右轮的轮轨横向力，Q₀＝19+0.3P_st，P_st表示车轮静载荷，Q₀表示木枕钩头道钉轨道在轮轨横向力作用下，当道钉拔起时其应力为弹性极限时的轮轨横向力数值；

(3.5)轮轴横向力相关的约束函数g₅：

g₅＝max{|H_L|,|H_R|}-H₀≤0 (9)

式中：H_L、H_R为经过低通滤波处理的导向轮对左右车轮的轮轴横向力，H₀表示根据GB5599-85相关规定的轮轴横向力的限定值。

5.根据权利要求1所述的基于改进的粒子群算法的车轮型面多目标优化方法，其特征在于，步骤4所述的利用改进的粒子群算法对多目标优化模型进行迭代求解，最终获得优化的低磨耗车轮型面，具体如下：

通过对惯性因子w_p和加速因子c₁、c₂进行改进，来提高算法的收敛速度和搜索全局最优解的能力，具体如下：

(4.1)惯性权重的改进：

采用非线性减小的方式设置惯性权值w_p，公式如式(10)所示：

式中：w_start表示惯性权值的初始值，w_end表示惯性权值的最终值，N_max表示算法的最大迭代次数，N表示算法的当前迭代次数；

(4.2)加速因子的改进：

加速因子c₁和c₂的调整公式如式(11)所示：

式(11)中：c_1start、c_1end分别为加速因子c₁的初始值和最终值，c_2start、c_2end分别为加速因子c₂的初始值和最终值，N_max、N分别为算法的最大迭代次数和当前迭代次数。