CN109358023A - 一种快速测量随溶液浓度变化的液相扩散系数的平台及方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种快速测量随浓度(C)变化的液相扩散系数D(C)的平台及方法。该平台核心元件为液芯柱透镜，其液芯区为扩散池；选择透镜参数以减小球差并提高液体浓度的检测灵敏度；单色准直光束经此液芯柱透镜后在其焦面上形成动态扩散图像。该方法包括由t0时刻的扩散图像获得沿扩散方向的实验浓度分布函数Ce(xj，t0)；以无限稀条件下的扩散系数D0为边界条件求解扩散方程；D(C)展开为D(C)＝D0×(1+α1×C+α2×C2+α3×C3+…)，预设待定系数(α1，α2，α3...)后得到与Ce(xj，t0)同时刻的计算浓度分布函数Cn(xj，t0)；比较Ce(xj，t0)与Cn(xj，t0)，以二者标准偏差最小值对应的系数[(α1)best，(α2)best，(α3)best]确定D(C)值；以D(C)及光线追迹方法计算任意时刻(ti≠t0)的浓度分布Cn(xj，ti)并仿真扩散图像，比较实验及仿真图像以验证D(C)关系。

Description

一种快速测量随溶液浓度变化的液相扩散系数的平台及方法
技术领域
本发明属于液相传质技术中测量随浓度变化的液相扩散系数的方法。
背景技术
液相扩散系数是研究传质过程，计算传质速率及化工设计与开发的重要基础数据，广泛应用在生物、化工、医学及环保等新兴行业中。一般而言，液相扩散系数是溶液浓度的函数，随扩散溶液浓度的变化而变化。液相扩散系数存在多种测量方法，其中，膜池法(Stoke R.H.,An improved diaphragm-cell for diffusion studies,and some testsof the method,J.Am.Chem.Soc.,72:763-767(1950))、光的干涉法(赵长伟,李继定，马沛生，夏淑倩,Measurement of Liquid Diffusion Coefficients of Aqueous Solutionsof Glycine,L-Alanine,L-Valine and L-Isoleucine by Holographic Interferometry,Chinese Journal of Chemical Engineering,13(2):285-290(2005))和“泰勒分散法”(Cottet H.,Biron J.P.,Martin M.,Taylor dispersion analysis of mixtures,Anal.Chem.,79(23):9066-9073(2007))是三种主要的传统测量方法。采用传统方法测量随浓度变化的液相扩散系数时，需要配制大量不同浓度，且浓度相近的“溶液对”，通过测量这些“溶液对”的液相扩散系数，获得随溶液浓度变化的液相扩散系数，进而求出扩散系数与溶液浓度的关联式。显然，传统测量方法分别存在装置复杂、稳定性不足、结果精度差等问题；测量随浓度变化的液相扩散系数，则存在耗时长、工作量大的问题。为了解决传统测量方法存在的问题，基于单色准直光束经过玻璃毛细管后可以测量液体折射率沿管轴方向分布的特点，我们发明了“一种测量液相扩散系数的方法及装置”(李强，普小云，孙丽存，李宇)，中国发明专利ZL201110283339.3[P]，并发表了“用毛细管成像法测量液相扩散系数—等折射率薄层测量方法”(物理学报，62(9):094206，2013)的学术论文；为了提高液体折射率测量的分辨能力，并减小系统成像的球差，我们发明了“基于非对称液芯柱透镜精确测量液体折射率及液相扩散系数的方法”(孙丽存，普小云，孟伟东，李强)，中国发明专利201310412166.X[P]，并发表了“Asymmetric liquid-core cylindrical lens used tomeasure liquid diffusion coefficient”(Applied Optics,55(8):2011-2017,2016)的学术论文；为了缩短测量时间，提高测量效率，我们发明了只需用一幅扩散图像即可快速测量不随浓度变化的液相扩散系数的方法“用液芯柱透镜的瞬时折射率空间分布测量液相扩散系数的方法”(孟伟东，普小云，孙丽存，杨瑞芬，翟影)，中国发明专利201410440938.5[P]，并发表了“New method to measure liquid diffusivity by analyzing aninstantaneous diffusion image”，(Optics Express,，2015，23(18)，23155～23166)的学术论文；为了获得一副高质量的扩散图像，需要在一个特定的液芯折射率位置处完全消除球差并在这个折射率附近减小球差，我们发明了含有两个液芯区域的“测量液相扩散系数的消球差可变焦双液芯柱透镜”(普小云，孟伟东，夏燕，宋芳嬉)中国发明专利ZL201610436334.2[P]，并发表了“Double liquid-core cylindrical lens utilized tomeasure liquid diffusion coefficient”，(Optics Express,25(5):5626,2017)的学术论文。如上发明专利以及相关论文，虽然解决了液相扩散系数传统测量方法中存在的一部分问题，但是在测量随浓度变化的液相扩散系数时，仍然需要配制大量不同浓度的扩散溶液，通过分别测量这些不同溶液浓度的液相扩散系数，获得扩散系数与溶液浓度的关联式。液相传质过程的研究与应用具有显著价值的是：一种能够快速测量随浓度变化的液相扩散系数的新方法。
发明内容
本发明旨在提供一种能够快速测量随浓度变化的液相扩散系数的平台及方法。为此，本发明由硬件平台和软件程序两个部分组成。其中，硬件用于采集清晰扩散图像；软件包括获取实验浓度分布函数Ce(xj，t0)、计算浓度分布函数Cn(xj，t0)、获得随浓度分布的液相扩散系数D(C)以及模拟计算扩散图像，通过仿真图像与实验图像的对比验证D(C)关系。
(一)扩散图像采集平台
该平台为光学及光电元器件组成，包括：
作为工作光源的低功率半导体激光器(1)；
位于所述工作光源之后由显微物镜、针孔滤波器以及大口径的球面透镜组成
准直扩束装置(2)，对单色激光束实现准直扩束；
位于所述准直扩束装置之后可调宽度的矩形狭缝作为准直光束的限宽元件(3)；
位于所述限宽元件之后作为成像元件和液相扩散池的液芯柱透镜(4)；
以及
位于所述液芯柱透镜之后基于CMOS或CCD芯片的成像系统(5)。
进一步，所述的平台其液芯柱透镜(4)是：
(1)由两片曲率半径不同的球面柱透镜胶合起来构成的液芯柱透镜，既用作成像元件，其液芯区域又用作液相扩散池；
(2)通过选择液芯柱透镜的尺寸常数R1、R2、R3、R4，以及d1、d2、d3、d4,使得由液芯柱透镜、单色准直光源、CMOS或CCD相机构成的成像测量系统，具有较小的最小可分辨折射率改变量以及成像的球差。
进一步，所述的平台其液芯柱透镜(4)焦面成像特点是：液相扩散造成扩散池内的溶液沿扩散方向形成折射率的梯度分布，单色准直光束通过非对称液芯柱透镜后，在CMOS或CCD成面上形成束腰形状的动态扩散图像。
进一步，所述的平台，其液芯柱透镜(4)采集到的液相扩散图像宽度(Wj)与芯区液体折射率(nj)满足以下关系：
当nj＝nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS或CCD面上成清晰点像，焦距fc；
当nj＜nc或nj＞nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS或CCD面上成一弥散像，弥散斑宽度即扩散图像宽度Wj、光束半宽度h与焦距fj(nj)之间满足公式h/fj＝(Wj/2)/ABS(fj-fc)，式中，“ABS”表示绝对值。
(二)基于(一)平台的快速测量随溶液浓度变化的液相扩散系数的方法
包括：
A.在t0时刻采集一幅液相扩散图像；
B.对所述图像进行灰度二值化处理；
C.提取图像宽度作为特征参数，转换图像宽度为扩散溶液折射率；
D.转换扩散溶液折射率为扩散溶液浓度；
E.获得沿扩散方向(x)的实验浓度分布函数Ce(xj，t0)；
F.用瞬态扩散图像分析方法，基于所述的实验浓度分布函数Ce(xj，t0)获得无限稀(C→0)条件下扩散体系的液相扩散系数D0＝D(C＝0)，并以D0作为求解一般扩散方程的边界条件。
进一步，所述方法采用离散数学中的有限差分方法求解如下一般扩散方程：
式中，C(x,t)表示t时刻，x位置处的扩散溶液浓度；D(C)表示随溶液浓度(C)变化的液相扩散系数，将其展开为浓度的多项式，
D(C)＝D0(1+α1C+α2C2+α3C3+L)， (2)
式中,α1，α2，α3，…为待定系数。
用有限差分方法将(1)式离散化成为，
式中，其中，
Δx＝h为空间步长，Δt＝τ为时间步长。
空间变量离散化为
x＝xj＝jΔx＝jh,j＝0,1,2,L M+1； (4)
时间变量离散化为
t＝ti＝iΔt＝iτ,i＝0,1,2,L. (5)
将(3)式从j＝1展开到j＝M，得到由M个线性方程组成的方程组，
扩散方程(1)满足的初始条件，离散化为
扩散方程(1)满足的边界条件，离散化为，
在初始及边界条件(7)、(8)、(9)的限定下，设定一组确定D(C)关系的待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k，k＝1]后，可以由(6)式，计算出特定时刻(t0)的一组溶液浓度的空间分布值Cn(xj，t0),(j＝0,1,…,M+1)。
进一步，所述方法是：求Ce(xj，t0)与Cn(xj，t0)的差值后，计算二者的标准偏差值σk,
改变待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k]后,重复计算σk(k＝2,…,N)；从N组标准偏差σk值中寻找最小值σk＝(σk)min，与(σk)min对应的一组待定系数[α1＝(α1)best，α2＝(α2)best，α3＝(α3)best]，就是D(C)的最佳逼近值，即：
D(C)＝D0[1+(α1)best×C+(α2)best×C2+(α3)best×C3+L]. (11)
进一步，所述方法用所述液相扩散系数D(C)关系(11)式和有限差分方法求解扩散方程(1)～(9)式，基于光线追迹法计算不同时刻(ti≠t0)的溶液浓度空间分布值Cn(xj，ti)，(j＝0，1，...，M+1；i≠0)，并以此模拟仿真实验扩散图像。
进一步，所述方法是：用所述模拟仿真实验扩散图像与实验扩散图像的形状对比，以验证已获得的D(C)关系的正确性。
概括以上所述，本发明采用液芯柱透镜获得实验扩散图像，其中，液芯柱透镜起核心成像元件以及液相扩散池的作用。单色准直光束经过液芯柱透镜后，在其焦面上形成一系列动态扩散图像，本发明只需在t0时刻摄取一幅扩散图像，经过图像特征提取后得到扩散溶液的浓度沿扩散方向x的实验浓度分布函数Ce(xj，t0)。本发明采用离散数学中的有限差分方法求解扩散方程，计算出与实验浓度分布函数同时刻的计算浓度分布Cn(xj，t0)，再通过Ce(xj，t0)与Cn(xj，t0)的数值比较，快速确定随浓度变化的液相扩散系数D(C)。
本发明具有如下积极效果:
液相扩散系数是研究传质过程，计算传质速率及生物、化工、医学及环保等行业的重要基础数据，之前的测量方法耗时长，工作量大。
本发明在测量D(C)关系时的积极效果之一，是只需要采集适当时间(t0时刻)的一幅液相扩散图像，经过对该图像的分析处理就可以快速获得随浓度变化的液相扩散系数D(C)。因此，采用本发明可以大幅度地缩短测量D(C)关系需要的实验时间，显著地提高工作效率。
验证D(C)关系的正确性。本发明的积极效果之二，是可以由t0时刻获得的D(C)关系，经过仿真计算后，得到ti≠t0的其他时刻的模拟扩散图像，通过模拟扩散图像与实验扩散图像的形状对比分析，验证D(C)关系的正确性。因此，本发明对D(C)关系的验证具有较强的客观性。
附图说明
图1是扩散图像采集工作平台。平台由5个部分组成，分别是(1)激光器；(2)准直扩束系统；(3)限宽狭缝；(4)液芯柱透镜；(5)图像采集系统。
图2是消球差的非对称液芯柱透镜装置结构参数示意图。图中，两片非对称液芯柱透镜的曲率半径分别为R1＝32.0mm、R2＝24.0mm、R3＝34.7mm、R4＝79.5mm。透镜厚度及透镜之间间距分别为d1＝d4＝3.0mm、d2＝1.8mm、d3＝1.2mm。液芯宽度2h1＝18.2mm，透镜宽度2h2＝26.2mm。
图3是液芯柱透镜特征参数随液体折射率的变化曲线。其中，实线表示折射率灵敏度；虚线表示焦深(DOF)；点化线表示最小可分辨折射率改变量。
图4是液芯柱透镜球差随液体折射率的变化曲线。
图5是单色准直光束通过液芯柱透镜后在CMOS面上形成动态扩散图像。液相扩散造成扩散池内的溶液沿扩散方向(x)形成折射率的梯度分布，n1＜n2＜n3＝nc＜n4。单色准直光束通过此液芯柱透镜后，在CMOS面上形成一个束腰形状的扩散图像，其中，n3＝nc的液体薄层对应CMOS面上的清晰成像点。
图6是不同扩散时间采集的扩散图像。纵标表示图像宽度对应的乙二醇溶液浓度，图像“束腰”处对应的溶液折射率n＝nc＝1.3619。(a)120min的扩散图像；(b)250min的扩散图像；(c)360min的扩散图像。
图7分析纯乙二醇水溶液的扩散图像采集及处理过程图。图像采集条件：温度25℃，扩散时间t＝t0＝260min，nc＝1.3619。该图为实验扩散图像。
图8分析纯乙二醇水溶液的扩散图像采集及处理过程图。图像采集条件：温度25℃，扩散时间t＝t0＝260min，nc＝1.3619。该图为二值化处理后的实验扩散图像。
图9分析纯乙二醇水溶液的扩散图像采集及处理过程图。图像采集条件：温度25℃，扩散时间t＝t0＝260min，nc＝1.3619。该图为折射率ne随扩散方向(x)的分布曲线We(x，t)。
图10分析纯乙二醇水溶液的扩散图像采集及处理过程图。图像采集条件：温度25℃，扩散时间t＝t0＝260min，nc＝1.3619。该图为折射率ne随扩散方向(x)的分布曲线ne(x，t)。
图11分析纯乙二醇水溶液的扩散图像采集及处理过程图。图像采集条件：温度25℃，扩散时间t＝t0＝260min，nc＝1.3619。该图为扩散浓度Ce随扩散方向(x)的分布曲线Ce(x，t)。
图12扩散图像宽度(Wj)与芯区液体折射率(nj)的关系。当nj＝nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS面上清晰成像，焦距fc；当nj＜nc或nj＞nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS面上成一弥散像，光束半宽度(h)、弥散斑宽度(Wj)与焦距(fj)之间满足h/fj＝(Wj/2)/ABS(fj-fc)。其中，“ABS”指绝对值。
图13是扩散图像宽度随液体折射率的变化曲线。实圆点是实验测量值；折线是理论计算值。
图14是光线追迹法仿真计算流程。
图15是模拟仿真图像与实验扩散图像的形状比较。采集时间为t0＝260min,清晰成像的折射率薄层nc＝1.3619。11(a)：实验扩散图像；11(b)：模拟仿真图像。
图16是实测随浓度变化的液相扩散系数D(C)及与文献报导值比较。虚线：用本方法实测结果；圆点：文献1“J.Ferna′ndez-Sempere,F.Ruiz-Bevia′,J.Colom-Valiente,andF.Ma′s-Pe′rez.Determination of Diffusion Coefficients ofGlycols.J.Chem.Eng.Data 1996,41,47-48”报导值；三角：文献“Bogacheva,I.S.；Zemdikhanov,K.B.；Usmanov,A.G.Molecular diffusion coefficients and otherproperties of binary solutions of some liquid organic compounds.Izv.Vyssh.Uchebn.Zaved.,Khim.Khim.Tekhnol.1982,25(2),182-186.”报导值。
图17是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3387，25℃)。(a)：实验扩散图像，扩散时间t0＝240min。(a′)：与(a)对应的仿真扩散图像。
图18是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3387，25℃)。(b)：实验扩散图像，扩散时间t0＝270min。(b′)：与(b)对应的仿真扩散图像。
图19是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3387，25℃)。(c)：实验扩散图像，扩散时间t0＝300min。(c′)：与(c)对应的仿真扩散图像。
图20是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3387，25℃)。(d)：实验扩散图像，扩散时间t0＝330min。(d′)：与(d)对应的仿真扩散图像。
图21是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3619，25℃)。(a)：实验扩散图像，扩散时间t0＝240min。(a′)：与(a)对应的仿真扩散图像。
图22是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3619，25℃)。(b)：实验扩散图像，扩散时间t0＝270min。(b′)：与(b)对应的仿真扩散图像。
图23是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3619，25℃)。(c)：实验扩散图像，扩散时间t0＝300min。(c′)：与(c)对应的仿真扩散图像。
图24是乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3619，25℃)。(d)：实验扩散图像，扩散时间t0＝330min。(d′)：与(a),(b),(c),(d)对应的仿真扩散图像。
图25乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3796，25℃)。(a),：实验扩散图像，扩散时间t0＝245min。(a′)：与(a)对应的仿真扩散图像。
图26乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3796，25℃)。(b)：实验扩散图像，扩散时间t0＝275min。(b′)：与(b)对应的仿真扩散图像。
图27乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3796，25℃)。(c)：实验扩散图像，扩散时间t0＝305min。(c′)：与(c)对应的仿真扩散图像。
图28乙二醇水溶液的实验与仿真扩散图像的比较(nc＝1.3796，25℃)。(d)：实验扩散图像，扩散时间t0＝335min。(d′)：(d)对应的仿真扩散图像。
以下结合具体实施方式进一步说明本发明，具体实施方式中的实例包括但不限制本发明的保护范围。
具体实施方式：
实例1：
本发明硬件主要解决清晰扩散图像的采集问题；软件按功能分为三个部分，第一个部分用于获取实验浓度分布函数Ce(xj，t0)；第二个部分用于计算浓度分布函数Cn(xj，t0)并获得随浓度分布的液相扩散系数D(C)；第三个部分用于模拟计算扩散图像，通过仿真图像与实验图像的对比验证D(C)关系。下面分别阐述：
(一)构建液相扩散图像采集平台并采集扩散图像
本发明采用的液相扩散图像采集平台如图1所示，平台结构按其功能分为如五个部分。(1)低功率半导体激光器作为工作光源，激光波长λ＝589nm,CW基横模输出，最大功率20mw。(2)由40倍显微物镜、孔径15μm针孔滤波器以及焦距300mm的球面透镜组成准直扩束装置，对单色激光束准直扩。(3)可调宽度的矩形狭缝作为准直光束的限宽元件。(4)作为成像元件和液相扩散池的液芯柱透镜。(5)基于CMOS芯片的成像系统，其分辨率为3120×1392pixel2、像元尺寸为6.45×6.45μm2。
如上液相扩散图像采集平台的核心部分是作为成像元件和液相扩散池的液芯柱透镜，其结构如图2所示:：
(1)由两片曲率半径不同的球面柱透镜胶合起来构成的液芯柱透镜。液芯柱透镜既用作成像元件，其液芯区域又用作液相扩散池；
(2)通过选择柱透镜的尺寸常数R1、R2、R3、R4，以及d1、d2、d3、d4,使得由液芯柱透镜、单色准直光源、CMOS或CCD相机构成的成像测量系统，具有较大的折射率灵敏度、较小的测距偏差、较小的最小可分辨折射率改变量以及成像的球差等四个特征参数。
特征参数1：“折射率灵敏度”指在液芯柱透镜中，液芯区液体的折射率改变0.0002时引起的柱透镜焦距的改变量(Δf)。
特征参数2：“测距偏差”指在测量液芯柱透镜焦距时，由于焦深(Depth of field,DOF)引起的测量偏差(δf)。
特征参数3：“最小可分辨折射率改变量”指测量液芯区液体的折射率时，系统可以检测到的液体折射率的最小改变量(δn)，δn＝0.0002/(Δf/δf)。
特征参数4：“球差”指单色准直光束经液芯柱透镜在焦面成像时，边缘光线按折射定律在光轴上的焦距f1，与按高斯成像公式的焦距f2的差值(f1-f2)。
经过优化后的液芯柱透镜参数如图2所示，其特征参数1、2、3随液芯折射率的变化曲线如图3所示；特征参数4随液芯折射率的变化曲线如图4所示。
液相扩散造成扩散池内的溶液沿扩散方向形成折射率的梯度分布，单色准直光束经此液芯柱透镜后，在其焦面(CMOS芯片位置)上形成如图5右侧所示的束腰形状的动态实验扩散图像。
实验扩散图像与采集时间(t0)密切相关，不同时间采集的扩散图像如图6所示。图6表明，(1)在较短的扩散时间内(t≤120min)，两种扩散溶液接触时的凹形界面对扩散图像有显著的影响；(2)当扩散时间较长时(t≥360min)，高浓度一端的浓度C<C2＝1；低浓度一端的浓度C＞C1＝0，扩散图像采集不完整。因此，应该选择适当的时间(t0)采集实验扩散图像。
(二)获取实验浓度分布函数Ce(xj，t0)
首先，对如图7所示的实验扩散图像做进行灰度二值化处理，处理结果如图8所示；再对二值化后的扩散图像8做图像特征参数(Wj,宽度)提取，提取结果如图9所示；经过Wj至扩散溶液折射率(nj)间的变换，变换结果如图10所示；再经过nj与扩散溶液浓度(C)间的变换后，获得扩散溶液浓度沿扩散方向(x)的分布函数Ce(xj，t0),如图11所示。
实验扩散图像宽度(Wj)与芯区液体折射率(nj)满足如图12所示的关系。当nj＝nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS或CCD面上成清晰点像，焦距fc；nc是fc的函数，可以由液芯柱透镜的尺寸常数以及fc算出，反之亦然。
当nj＜nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS面上成一弥散像，弥散斑宽度(Wj，即扩散图像宽度)、光束半宽度(h)与焦距(fj(nj))之间满足(12)式，
当nj＞nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS面上成一弥散像，扩散图像宽度(Wj)、光束半宽度(h)与焦距(fj(nj))之间满足公式(13)式，
当h＝7.5mm，nc＝1.3619时，根据(12)和(13)式，扩散图像宽度(Wj)与芯区液体折射率(nj)满足的关系如图13所示。Wj和nj的关系，也可以通过实验方法，通过配制不同浓度(Cj)的扩散溶液，并实测折射率(nj)和扩散图像宽度(Wj)的方法获得。用实验方法实测的结果见如图13中实圆点所示，与计算曲线高度吻合。
(三)计算浓度分布函数Cn(xj，t0)及随浓度分布的液相扩散系数D(C)
首先，计算Cn(xj，t0)曲线，计算分为5个步骤。
(1)以名称“用液芯柱透镜的瞬时折射率空间分布测量液相扩散系数的方法”(专利号：ZL201410440938.5)介绍的方法，基于实验浓度分布函数Ce(xj，t0)，获得无限稀(C→0)条件下扩散体系的液相扩散系数D0＝D(C＝0)，并以D0作为求解扩散方程的边界条件。
(2)设D(C)表示随溶液浓度(C)变化的液相扩散系数，将其展开为浓度的多项式，D(C)＝D0(1+α1C+α2C2+α3C3+L)。式中,α1，α2，α3，…为待定系数。
(3)采用离散数学中的有限差分方法求解扩散方程，即(1)式。式中，C(x,t)表示t时刻，x位置处的扩散溶液浓度。用有限差分方法将(1)式离散化成为(3)式；将(3)式从j＝1展开到j＝M，得到由M个线性方程组成的方程组(6)式；将扩散方程满足的初始条件，离散化为(7)式；将扩散方程满足的浓度边界条件，离散化为(8)式；将扩散方程满足的扩散系数边界条件，离散化为(9)式。
(4)在初始及边界条件(7)、(8)、(9)的限定下，设定一组确定D(C)关系的待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k，k＝1]，并由(6)式计算出与实验浓度分布函数同一时刻(t0)的一组溶液浓度值Cn(xj，t0),(j＝0,1,…,M+1)。
(5)用Ce(xj，t0)与Cn(xj，t0)求差值后，计算二者的标准偏差值(10)式(σk)。
计算出初始Cn(xj，t0)值后，改变待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k]后重复计算σk(k＝2,…,N)。从N组标准偏差σk值中寻找最小值σk＝(σk)min，与(σk)min对应的一组待定系数[α1＝(α10best，α2＝(α2)best，α3＝(α3)best]，就是D(C)的最佳逼近值，即(11)式。
(四)基于光线追迹法和D(C)关系用有限差分方法仿真扩散图像
对由图1构成的光学工作平台，采用光线追迹法计算准直光线经过液芯柱透镜后在CMOS像面上的坐标位置，并由光线数统计得出像面上的光强分布，即计算扩散图像。为此，我们把扩散体系平均分为3120个折射率薄层(与CMOS的纵向像元数一致)，将准直光束平均分为n条光线(根据光强要求可以任意设置入射光线数)后入射于每一个折射率薄层，按折射定律计算每条光线经过液芯柱透镜的四个折射面后出现在CMOS面上的位置，通过统计每一个CMOS像元接收到的光线数得到CMOS面上的光强分布。计算流程如图14所示。
用光线追迹法计算扩散图像，需要知道柱透镜液芯中溶液折射率的空间分布函数nn(xj，ti)。为此，我们将得到的D(C)关系式(11)代入离散化后的扩散方程(3)式中，再次应用有限差分方法计算不同时刻(ti≠t0)溶液浓度的空间分布Cn(xj，ti)(j＝0，1，...，M+1；i≠0)值，并通过实验方法将Cn(xj，ti)转化成为nn(xj，ti)。
用光线追迹法计算出的扩散图像及相应的实验扩散图像如图15所示。不同时刻的计算扩散图像与相应时刻采集到的实验图像作对比，若二者一致，仿真成功。扩散图像的成功仿真验证了液相扩散系数与浓度函数关系，即D(C)关系的正确性。
实例2：
第一，构建液相扩散图像采集平台
扩散图像的采集平台如图1所示。其中核心元件“液芯柱透镜”的设计参数如图2所示，透镜的长度L＝50.0mm，材料为BK9玻璃，折射率n0＝1.5163。
第二，配制实验溶液并测量折射率
在室温(25℃)下，用分析纯乙二醇溶液(99.9％)和去离子蒸馏水配制不同质量分数浓度C的乙二醇水溶液。用精度为0.0002的阿贝折射计，测量配制样品的折射率n，经线性拟合得到乙二醇水溶液浓度与折射率的实验曲线关系C(n)＝10.16*n-13.542，线性相关系数R2＝0.9998。
第三，测量并计算配制实验溶液的图像宽度
在室温(25℃)下，调整CMOS位置让折射率n＝nc＝1.3619的实验溶液清晰成像，并固定此成像位置；在液芯区先后注入不同浓度的配制样品，测量这些样品对应的图像宽度，如图13中实圆点所示；根据(12)和(13)式，计算图像宽度(Wj)与芯区液体折射率(nj)满足的关系，计算结果如图13中实线所示，与实验测量值高度吻合。
第四，采集扩散图像
在室温(25℃)下，用微量注射器先后注入分析纯乙二醇溶液和去离子蒸馏水，在n＝nc＝1.3619薄层清晰成像位置采集不同时间的扩散图像，如图6所示。图6表明，(1)在较短的扩散时间时(t≤120min)，两种扩散溶液接触时的凹形界面对扩散图像有显著的影响；(2)当扩散时间较长时(t≥360min)，高浓度一端的浓度C<C2＝1；低浓度一端的浓度C＞C1＝0，扩散图像采集不完整。因此，应该在360min＞t＞120min期间采集实验扩散图像。图7是在t＝t0＝260min时采集到的实验扩散图像。
第五，处理实验扩散图像后获取实验浓度分布函数Ce(xj，t0)
对如图7所示的实验扩散图像的处理分四个步骤。
(1)对图7做进行灰度二值化处理，处理结果如图8所示；
(2)再对二值化后的扩散图像(图8)做图像特征参数(宽度)提取，获得图像宽度沿扩散方向的分布函数We(xj，t0)。处理结果如图9所示。
(3)由图12所示的图像宽度Wj与溶液折射率间nj的实验关系，
将We(xj，t0)转化为溶液折射率nj沿扩散方向的分布函数ne(xj，t0)，处理结果如图10所示。
(4)由溶液浓度C与折射率n间的实验关系C(n)＝10.16*n-13.542，将ne(xj，t0)转化为溶液浓度沿扩散方向的分布函数Ce(xj，t0)。处理结果如图11所示。
第六，计算浓度分布函数Cn(xj，t0)
Cn(xj，t0)曲线的计算分为五个步骤。
(1)以名称“用液芯柱透镜的瞬时折射率空间分布测量液相扩散系数的方法”(专利号：ZL201410440938.5)介绍的方法，基于实验浓度分布函数Ce(xj，t0)，获得无限稀(C→0)条件下扩散体系的液相扩散系数D0＝D(C＝0)＝1.10×10-5cm2/s，并以D0作为求解扩散方程的边界条件。
(2)设D(C)表示随溶液浓度(C)变化的液相扩散系数，将其展开为浓度的多项式，D(C)＝D0(1+α1C+α2C2+α3C3+L)。式中,α1，α2，α3，…为待定系数。
(3)采用离散数学中的有限差分方法求解扩散方程，即(1)式。式中，C(x,t)表示t时刻，x位置处的扩散溶液浓度。用有限差分方法将(1)式离散化成为(3)式；将(3)式从j＝1展开到j＝M＝3118，得到由M个线性方程组成的方程组(6)式；将扩散方程满足的初始条件，离散化为(7)式；将扩散方程满足的浓度边界条件，离散化为(8)式；将扩散方程满足的扩散系数边界条件，离散化为(9)式。
(4)在初始及边界条件(7)、(8)、(9)的限定下，设定一组确定D(C)关系的待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k，k＝1]，并由(6)式计算出与实验浓度分布函数同一时刻(t0)的一组溶液浓度值Cn(xj，t0),(j＝0,1,…,M+1)。
(5)用Ce(xj，t0)与Cn(xj，t0)求差值后，计算二者的标准偏差值(10)式(σk)。
第七，计算随浓度分布变化的液相扩散系数D(C)
由上述步骤计算出Cn(xj，t0)的初始值后，改变待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k]后重复计算σk(k＝2,…,N)。从N组标准偏差σk值中寻找最小值σk＝(σk)min，与(σk)min对应的一组待定系数[α1＝(α1)best＝-0.8570，α2＝(α2)best＝0.0013，α3＝(α3)best＝0.0000]，就是室温(25℃)下、t0＝260min时刻不同浓度的乙二醇水溶液的液相扩散系数D(C)＝1.100×10-5(1-0.8570C+0.0013C2)cm2/s。
室温(25℃)下，我们采集了乙二醇水溶液在240至285min期间，不同时刻(ti)的扩散图像。经步骤第五至第七的处理得到的D(C)关系如表1所示：
表1 240～285min期间D(C)的测量结果及待定系数拟合结果
续表1：
如上表所示，不同采集时间的平均值 在质量分数浓度C＝0.1时，标准偏差σ＝0.001×10-5cm2/s，相对偏差＝0.01％；在质量分数浓度C＝1时，标准偏差σ＝0.006×10-5cm2/s，相对偏差RSD＝4％.
测量结果与文献值做了对比，对比结果如图16所示。我们的测量值在文献[1]“J.Ferna′ndez-Sempere,F.Ruiz-Bevia′,J.Colom-Valiente,and F.Ma′s-Pe′rez.Determination of Diffusion Coefficients of Glycols.J.Chem.Eng.Data 1996,41,47-48”和文献[2]“Bogacheva,I.S.；Zemdikhanov,K.B.；Usmanov,A.G.Moleculardiffusion coefficients and other properties of binary solutions of someliquid organic compounds.Izv.Vyssh.Uchebn.Zaved.,Khim.Khim.Tekhnol.1982,25(2),182-186.”之间，更接近文献[1]的报导值。
第八，用光线追迹法模拟仿真实验扩散图像
用光线追迹法计算扩散图像，需要知道不同时刻(ti)柱透镜中溶液折射率的空间分布函数nn(xj，ti)。为此，我们将D(C)＝1.100×10-5(1-0.8558C+0.0155C2)cm2/s关系代入离散化后的扩散方程(4)式中，再次应用有限差分方法计算不同时刻(ti≠t0)溶液浓度的空间分布Cn(xj，ti)(j＝0，1，...，M+1；i≠0)值，并通过实验方法将Cn(xj，ti)转化成为nn(xj，ti)。
我们把液芯柱透镜中的扩散溶液沿扩散方向(x轴)平均分为3120个折射率薄层(与CMOS的纵向像元数一致)，将每一个薄层中的准直光束分配n条光线(根据光强要求可以任意设置入射光线数)。光线入射到每一个折射率薄层后，按折射定律计算每条光线经过液芯柱透镜的四个折射面后出现在CMOS面上的坐标位置，通过统计每一个CMOS像元接收到的光线数后得到CMOS面上的光强分布。
图17～20是在n1＝nc＝1.3387的折射率薄层清晰成像(图中束腰位置)的条件下，在不同扩散时间采集到的的实验扩散图像；(a′),(b′),(c′),(d′)是对应的计算扩散图像。
图21～24是在n1＝nc＝1.3619的折射率薄层清晰成像(图中束腰位置)的条件下，在不同扩散时间采集到的的实验扩散图像；(a′),(b′),(c′),(d′)是对应的计算扩散图像。
图25～28是在n1＝nc＝1.3796的折射率薄层清晰成像(图中束腰位置)的条件下，在不同扩散时间采集到的的实验扩散图像；(a′),(b′),(c′),(d′)是对应的计算扩散图像。
对比计算和实验扩散图像，二者在形状轮廓上完全吻合，仿真成功。扩散图像的成功仿真验证了液相扩散系数与浓度函数关系，即D(C)关系的正确性。此外，仿真结果表明，清晰成像时对应的折射率薄层的选择不影响仿真结果。

Claims (9)

1.一种快速测量随溶液浓度变化的液相扩散系数的平台，该平台为光学及光电元器件组成，包括：
作为工作光源的低功率半导体激光器(1)；
位于所述工作光源之后由显微物镜、针孔滤波器以及大口径的球面透镜组成准直扩束装置(2)，对单色激光束实现准直扩束；
位于所述准直扩束装置之后可调宽度的矩形狭缝作为准直光束的限宽元件(3)；
位于所述限宽元件之后作为成像元件和液相扩散池的液芯柱透镜(4)；
以及
位于所述液芯柱透镜之后基于CMOS或CCD芯片的成像系统(5)。
2.根据权利要求1所述的平台，其液芯柱透镜(4)是：
(1)由两片曲率半径不同的球面柱透镜胶合起来构成的液芯柱透镜，既用作成像元件，其液芯区域又用作液相扩散池；
(2)通过选择液芯柱透镜的尺寸常数R1、R2、R3、R4，以及d1、d2、d3、d4,使得由液芯柱透镜、单色准直光源、CMOS或CCD相机构成的成像测量系统，具有较小的最小可分辨折射率改变量以及成像的球差。
3.根据权利要求1或2所述的平台，其液芯柱透镜(4)焦面成像特点是：液相扩散造成扩散池内的溶液沿扩散方向形成折射率的梯度分布，单色准直光束通过非对称液芯柱透镜后，在CMOS或CCD成面上形成束腰形状的动态扩散图像。
4.根据权利要求3所述的平台，其液芯柱透镜(4)采集到的液相扩散图像宽度(Wj)与芯区液体折射率(nj)满足以下关系：
当nj＝nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS或CCD面上成清晰点像，焦距fc；
当nj＜nc或nj＞nc时，单色准直光束通过其对应的溶液薄层后在CMOS或CCD面上成一弥散像，弥散斑宽度即扩散图像宽度Wj、光束半宽度h与焦距fj(nj)之间满足公式h/fj＝(Wj/2)/ABS(fj-fc)，式中，“ABS”表示绝对值。
5.基于权利要求1、2、3、4所述之一种快速测量随溶液浓度变化的液相扩散系数的方法，包括：
A.在t0时刻采集一幅液相扩散图像；
B.对所述图像进行灰度二值化处理；
C.提取图像宽度作为特征参数，转换图像宽度为扩散溶液折射率；
D.转换扩散溶液折射率为扩散溶液浓度；
E.获得沿扩散方向(x)的实验浓度分布函数Ce(xj，t0)；
F.用瞬态扩散图像分析方法，基于所述的实验浓度分布函数Ce(xj，t0)获得无限稀(C→0)条件下扩散体系的液相扩散系数D0＝D(C＝0)，并以D0作为求解一般扩散方程的边界条件。
6.根据权利要求5所述的方法，其特征是：采用离散数学中的有限差分方法求解如下一般扩散方程：
式中，C(x,t)表示t时刻，x位置处的扩散溶液浓度；D(C)表示随溶液浓度(C)变化的液相扩散系数，将其展开为浓度的多项式，
D(C)＝D0(1+α1C+α2C2+α3C3+L)，(2)
式中,α1，α2，α3，…为待定系数。
用有限差分方法将(1)式离散化成为，
式中，其中，Δx＝h为空间步长，Δt＝τ为时间步长。
空间变量离散化为
x＝xj＝jΔx＝jh,j＝0,1,2,L M+1； (4)
时间变量离散化为
t＝ti＝iΔt＝iτ,i＝0,1,2,L. (5)
将(3)式从j＝1展开到j＝M，得到由M个线性方程组成的方程组，
扩散方程(1)满足的初始条件，离散化为
扩散方程(1)满足的边界条件，离散化为，
在初始及边界条件(7)、(8)、(9)的限定下，设定一组确定D(C)关系的待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k，k＝1]后，可以由(6)式，计算出特定时刻(t0)的一组溶液浓度的空间分布值Cn(xj，t0),(j＝0,1,…,M+1)。
7.根据权利要求6所述的方法，其特征是：求Ce(xj，t0)与Cn(xj，t0)的差值后，计算二者的标准偏差值σk,
改变待定系数[(α1)k，(α2)k，(α3)k]后,重复计算σk(k＝2,…,N)；从N组标准偏差σk值中寻找最小值σk＝(σk)min，与(σk)min对应的一组待定系数[α1＝(α1)best，α2＝(α2)best，α3＝(α3)best]，就是D(C)的最佳逼近值，即：
D(C)＝D0[1+(α1)best×C+(α2)best×C2+(α3)best×C3+L]. (11)
8.根据权利要求6所述的方法，其特征是用所述液相扩散系数D(C)关系(11)式和有限差分方法求解扩散方程(1)～(9)式，基于光线追迹法计算不同时刻(ti≠t0)的溶液浓度空间分布值Cn(xj，ti)，(j＝0，1，...，M+1；i≠0)，并以此模拟仿真实验扩散图像。
9.根据权利要求8所述的方法，其特征是：用所述模拟仿真实验扩散图像与实验扩散图像的形状对比，以验证已获得的D(C)关系的正确性。
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