CN109165404B - 一种扩展光滑无网格伽辽金法 - Google Patents

一种扩展光滑无网格伽辽金法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种扩展光滑无网格伽辽金法，将扩展有限元、无网格伽辽金与光滑积分技术三者相结合，其中对传统的无网格伽辽金法进行改造，使用拓扑适应性更强的三角形作为背景积分胞元，使几何体的离散化过程更加简洁易行；放弃了传统的高斯积分方法，引入了光滑积分技术，避免了繁琐的形函数求导过程，使计算精度有一定的提升；将改进后的无网格法用于开发混凝土裂纹扩展的仿真中，取得了较传统扩展有限元更接近于真实情况的模拟效果。

Description

一种扩展光滑无网格伽辽金法
技术领域
本发明属于裂纹扩展分析技术领域，涉及一种扩展光滑无网格伽辽金法。
背景技术
裂纹扩展指材料在外界因素作用下裂纹成核、生长的动态过程。对连续介质的裂纹扩展问题，目前最普遍的方法是扩展有限元法(XFEM)无网格法等，这些方法存在的问题是：
1、XFEM是基于传统的有限元，在裂纹及裂纹扩展未知变量发展而来的，对于拓扑适应性最强的三角单元来说，其模拟精度较低，需要通过细分网格来提高其计算精度，计算效率低。
2、无网格最常用的模拟裂纹扩展的方法是配点法，即，将几何体及裂纹用节点离散表示，然后用配点法计算各节点的位移及应力，该方法的特点是简单易行，被大量运用于工程中的裂纹扩展模拟预测中。但该方法具有明显的缺点：1)计算震荡性，计算精度不稳定，节点计算域内的节点数过多，反而会降低其计算精度；2)精度低。配点法是平衡微分方程的一种强形式，其精度低于常规的伽辽金法；3)计算效率低。常规无网格伽辽金法需要进行高斯积分，为保证计算精度，通常在背景积分胞元内布置大量的积分点，并计算这些积分点的形函数偏导数，这极大地影响了无网格伽辽金的计算效率，成为工程实践中的最大困难。
发明内容
针对以上传统方法在裂纹扩展中的缺陷，本发明提出一种扩展光滑无网格伽辽金法，将扩展有限元、无网格伽辽金与光滑积分技术三者相结合，能够取得更接近于真实情况的分析效果。
本发明是通过以下技术方案来实现：
一种扩展光滑无网格伽辽金法，包括以下操作：
1)将连续介质体离散为一系列节点；
2)对所离散的系列节点施加应力、位移边界条件后，采用光滑无网格伽辽金法计算各节点的应力、应变判断裂纹的初始位置：
2.1)将计算域内的各节点场函数用无网格法近似为：
Figure BDA0001731866390000021
其中，NJ(x)为位移形函数，采用移动最小二乘法MLS构建，
Figure BDA0001731866390000022
为节点位移；
在MLS构建形函数过程中，其权函数取为如下“准奇异”函数形式：
Figure BDA0001731866390000023
其中：w(x-xJ)为常规的MLS形函数；r(x-xJ)为节点支撑域内的各节点xJ与计算点x的距离；ε为极小值，取为10-3；处理后的MLS形函数就具有了δ特征，便于简单精确地施加位移边界条件；
2.2)伽辽金形式的固体力学控制方程组为
Figure BDA0001731866390000024
其中：
K＝∫ΩεTσdΩ (4)
Figure BDA0001731866390000025
刚度矩阵K采用光滑积分进行数值积分计算：
Figure BDA0001731866390000031
使用有限元的网格划分技术，在分析域内布置三角形背景积分网格；
Figure BDA0001731866390000032
-1在每一个三角形背景积分网格内，单刚矩阵采用如下积分形式计算：
Figure BDA0001731866390000033
其中，
Figure BDA0001731866390000034
为第I个背景积分网格的光滑应变分量，计算方法为：
Figure BDA0001731866390000035
其中，xc1,xc2,xc3分别为三角背景积分网格的3条边的中点坐标；
nc1,nc2,nc3分别为三角形三边的单位外法向量；
l1,l2,l3分别为三角形三边的边长；
N(xc1),N(xc2),N(xc3)分别为三角形三边中点对应的形函数向量；
uc1,uc2,uc3分别为三边中点各自支撑域内节点位移向量；
A为三角形面积；
Figure BDA0001731866390000036
为第I个三角背景网格的光滑应力向量，
Figure BDA0001731866390000037
Figure BDA0001731866390000038
-2利用有限元的方法，将各背景积分单元上的单刚组集成整个分析域的刚度矩阵：
Figure BDA0001731866390000039
求解出系统控制方程后，得到各节点的应力、应变值，对各节点进行如下判断：若该节点的等效主应变>10-3，该节点即为开裂节点；
2.3)各开裂节点的连接，就形成了初始裂纹；
3)确定初始裂纹后，利用以下方法判断裂纹扩展趋势及应力、应变分布特性：
3.1)判断裂纹附近裂纹节点及裂尖节点，使用下列判断方法：
Figure BDA0001731866390000041
至裂纹的距离<影响域半径的所有节点；
Figure BDA0001731866390000042
定义水平集函数为：
Figure BDA0001731866390000043
若计算点同时满足f(x)＜0及条件
Figure BDA0001731866390000044
则定义该节点为裂纹节点；
3.2)对裂尖节点，其形函数扩展为如下形式：
Figure BDA0001731866390000045
其中，aJ和bK为节点的扩展自由度，
Figure BDA0001731866390000046
为裂纹界面，
Figure BDA0001731866390000047
为裂尖界面。
将以上扩展的位移场函数代入光滑无网格伽辽金法的控制方程：
Figure BDA0001731866390000048
其中刚度矩阵K和等效节点荷载向量分别由式(4)～(8)计算得到；
求解光滑无网格伽辽金法控制方程(3)，得到各节点的位移场
Figure BDA0001731866390000049
并根据本构关系和几何关系获得裂纹附近各节点的应力应变等场变量，从而预测裂纹扩展的趋势。
所述的三角形背景网格使用有限元三角形单元划分技术生成，用三角形覆盖整个分析域即可。
与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：
本发明提供的一种扩展光滑无网格伽辽金法，是扩展有限元、无网格伽辽金与光滑积分技术三者相结合：
1)对传统的无网格伽辽金法进行改造，使用拓扑适应性更强的三角形作为背景积分胞元，使几何体的离散化过程更加简洁易行；
2)放弃了传统的高斯积分方法，引入了光滑积分技术，避免了繁琐的形函数求导过程，使计算精度有一定的提升；
3)将改进后的无网格法用于开发混凝土裂纹扩展的仿真中，取得了较传统扩展有限元更接近于真实情况的模拟效果。
附图说明
图1是将计算域离散为一系列点的示意图；
图2是传统的背景积分网格方案示意图；
图3是光滑无网格伽辽金法的背景积分方案示意图；
图4是三角背景网格光滑积分方案示意图；
图5是混凝土方板的上下及右侧端均做线性位移。
图6是混凝土方板离散为一系列点的示意图；
图7是混凝土方板三角背景网格光滑积分方案示意图；
图8为施加位移边界条件形成初始裂纹的示意图；
图9为裂纹扩展后变形图；
图10为混凝土方板水平应力分布图(Pa)；
图11为混凝土方板竖向应力分布图(Pa)。
具体实施方式
下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。
一种扩展光滑无网格伽辽金法，包括以下操作：
Step 1:将连续介质体离散为一系列节点，如图1所示；
Step 2:施加应力、位移边界条件后，采用光滑积分方案与传统的无网格伽辽金法相结合方法(光滑无网格伽辽金法)计算各节点的应力、应变判断裂纹的初始位置；使用的判断准则是最大主应变法：若该节点的等效主应变>10-3，该节点即为开裂节点，各开裂节点的连接，就形成了初始裂纹。
光滑无网格伽辽金法的分析过程如下：
①将计算域内的各节点场函数用无网格法近似为：
Figure BDA0001731866390000061
其中，NI(x)为位移形函数，可以利用任何一种无网格近似方法构造(具体采用移动最小二乘法MLS构建)，
Figure BDA0001731866390000062
为节点位移。
传统的移动最小二乘法MLS具有C∞阶近似精度，但其致命的缺点就是，其构造的形函数不具有δ函数性质，这就导致无网格法在精确施加位移边界条件方面存在较大困难，为克服这个困难，对传统的MLS做了如下改进：
将MLS中的权函数取为如下函数形式：
Figure BDA0001731866390000063
其中
w(x-xI)——常规的MLS形函数；
r(x-xI)——节点支撑域内的各节点xI与计算点x的距离；
ε——极小值，取为10-3；
处理后的MLS形函数就具有了δ特征，便于简单精确地施加位移边界条件。
②光滑积分
对于伽辽金法，其系统控制方程组
Figure BDA0001731866390000071
其中：
K＝∫ΩεTσdΩ (4)
Figure BDA0001731866390000072
刚度矩阵K需用通过数值积分获得。
传统方案中的数值积分通常采用高斯积分，即对分析域有限元一样划分背景网格，在各个背景网格内采用高阶高斯积分(如4点积分)，如图2所示。
传统方法最主要的缺点是，积分计算量太大，影响效率。因此，本发明对传统方案进行改造，引入了光滑积分方案：
使用有限元的网格划分技术，在分析域内布置三角形背景积分网格，如图3所示，背景网格可利用传统的有限元三角形单元的划分技术生成。
三角形背景网格可以使用成熟的有限元三角形单元划分技术生成，用三角形覆盖整个分析域即可，对三角网格的形状大小并无特殊要求，简单易行。
在每一个三角形背景积分网格内，单刚矩阵采用如下积分形式计算：
Figure BDA0001731866390000081
其中，
Figure BDA0001731866390000082
——第I个背景积分网格的光滑应变分量，计算方法为
Figure BDA0001731866390000083
xc1,xc2,xc3——三角背景积分网格的3条边的中点坐标；
nc1,nc2,nc3——三角形三边的单位外法向量；
l1,l2,l3——三角形三边的边长；
N(xc1),N(xc2),N(xc3)——三角形三边中点对应的形函数向量；
uc1,uc2,uc3——三边中点各自支撑域内节点位移向量；
A——三角形面积；
Figure BDA0001731866390000084
——第I个三角背景网格的光滑应力向量，
Figure BDA0001731866390000085
由式(7)可知，引入光滑积分方案后，应变分量中不再包含复杂繁琐的形函数偏导数项，从而极大地提高了伽辽金法的计算效率。
利用有限元的方法，将各背景积分单元上的单刚组集成整个分析域的刚度矩阵：
Figure BDA0001731866390000086
Step 3确定初始裂纹后，利用扩展光滑无网格伽辽金法判断裂纹扩展趋势及应力、应变分布特性。
其中，扩展光滑无网格伽辽金法是上述的光滑无网格方案与裂纹的扩展特性相结合的一种新型数值模拟方案，该方案如下：
①判断裂纹附近裂纹节点及裂尖节点，使用下列判断方法：
Figure BDA0001731866390000091
至裂纹的距离<影响域半径的所有节点；
Figure BDA0001731866390000092
定义水平集函数为：
Figure BDA0001731866390000093
若计算点同时满足f(x)＜0及条件
Figure BDA0001731866390000094
则定义该节点为裂纹节点。
②对裂尖节点，其形函数扩展为如下形式：
Figure BDA0001731866390000095
这里aJ和bK为节点的扩展自由度，
Figure BDA0001731866390000096
为裂纹界面，
Figure BDA0001731866390000097
为裂尖界面。
将以上扩展的位移场函数代入光滑伽辽金法的控制方程：
Figure BDA0001731866390000098
其中刚度矩阵K和等效节点荷载向量分别由式(4)～(8)计算得到。
求解光滑无网格伽辽金法控制方程(11)，得到各节点的位移场
Figure BDA0001731866390000099
并根据本构关系和几何关系获得裂纹附近各节点的应力应变等场变量，从而预测裂纹扩展的趋势。
基于以上扩展光滑伽辽金法，用于模拟混凝土等材料的裂纹扩展问题。
将整个工作系统分为两个区段，分别是前处理区，和后处理区，在前处理区要一次完成模型导入、模型离散、背景积分网格的布置、初始裂纹的生成等过程；后处理区就依次绘制裂纹扩展后的变形图、应力云图等。
下面给出具体的分析实施例。有一块混凝土方板，边长为10m，弹性模量E＝107Pa，泊松比v＝0.3，方板的上下及右侧端均做线性位移，如图5所示。
前处理区的分析按照上述方法进行，后处理的结果展示如下：
离散结果如图6所示；
背景三角形积分网格，如图7所示；
施加位移边界条件，并形成初始裂纹，如图8所示；
裂纹扩展后变形图(放大一倍)，如图9所示；
混凝土方板的水平应力σx的分布云图，如图10所示；
混凝土方板的竖向应力σy云图如图11所示；
由以上结果看出，利用本发明得到的应力分量在裂尖附近出现了较明显的集中现象，裂纹也出现了明显的张开变形，张开度与应力值皆接近于理论值，与实际情况较符合。
上给出的实施例是实现本发明较优的例子，本发明不限于上述实施例。本领域的技术人员根据本发明技术方案的技术特征所做出的任何非本质的添加、替换，均属于本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种扩展光滑无网格伽辽金法，其特征在于，包括以下操作：
1)将连续介质体离散为一系列节点；
2)对所离散的系列节点施加应力、位移边界条件后，采用光滑无网格伽辽金法计算各节点的应力、应变判断裂纹的初始位置：
2.1)将计算域内的各节点场函数用无网格法近似为：
Figure FDA0002907718590000011
其中，NJ(x)为位移形函数，采用移动最小二乘法MLS构建，
Figure FDA0002907718590000012
为节点位移；
在MLS构建形函数过程中，其权函数取为如下“准奇异”函数形式：
Figure FDA0002907718590000013
其中：w(x-xJ)为常规的MLS形函数；r(x-xJ)为节点支撑域内的各节点xJ与计算点x的距离；ε为极小值，取为10-3；处理后的MLS形函数就具有了δ特征，便于简单精确地施加位移边界条件；
2.2)伽辽金形式的固体力学控制方程组为
Figure FDA0002907718590000014
其中：
K＝∫ΩεTσdΩ (4)
Figure FDA0002907718590000015
刚度矩阵K采用光滑积分进行数值积分计算：
Figure FDA0002907718590000016
使用有限元的网格划分技术，在分析域内布置三角形背景积分网格；
Figure FDA0002907718590000021
-1在每一个三角形背景积分网格内，单刚矩阵采用如下积分形式计算：
Figure FDA0002907718590000022
其中，KI为第I个背景积分单元的刚度矩阵
Figure FDA0002907718590000023
为第I个背景积分网格的光滑应变分量，计算方法为：
Figure FDA0002907718590000024
其中，xc1,xc2,xc3分别为三角背景积分网格的3条边的中点坐标；
nc1,nc2,nc3分别为三角形三边的单位外法向量；
l1,l2,l3分别为三角形三边的边长；
N(xc1),N(xc2),N(xc3)分别为三角形三边中点对应的形函数向量；
uc1,uc2,uc3分别为三边中点各自支撑域内节点位移向量；
A为三角形面积；
Figure FDA0002907718590000025
为第I个三角背景网格的光滑应力向量，
Figure FDA0002907718590000026
D为弹性矩阵
Figure FDA0002907718590000027
-2利用有限元的方法，将各背景积分单元上的单刚组集成整个分析域的刚度矩阵：
Figure FDA0002907718590000028
求解出系统控制方程后，得到各节点的应力、应变值，对各节点进行如下判断：若该节点的等效主应变>10-3，该节点即为开裂节点；
2.3)各开裂节点的连接，就形成了初始裂纹；
3)确定初始裂纹后，利用以下方法判断裂纹扩展趋势及应力、应变分布特性：
3.1)判断裂纹附近裂纹节点及裂尖节点，使用下列判断方法：
Figure FDA0002907718590000031
至裂纹的距离<影响域半径的所有节点；
Figure FDA0002907718590000032
定义水平集函数为：
Figure FDA0002907718590000033
若计算点同时满足f(x)＜0及条件
Figure FDA0002907718590000034
则定义该节点为裂纹节点；
3.2)对裂尖节点，其形函数扩展为如下形式：
Figure FDA0002907718590000035
其中，aJ和bK为节点的扩展自由度，
Figure FDA0002907718590000036
为裂纹界面，
Figure FDA0002907718590000037
为裂尖界面；
将以上扩展的位移场函数代入光滑无网格伽辽金法的控制方程：
Figure FDA0002907718590000038
其中刚度矩阵K和等效节点荷载向量分别由式(4)～(8)计算得到；
求解光滑无网格伽辽金法控制方程(11)，得到各节点的位移场
Figure FDA0002907718590000039
并根据本构关系和几何关系获得裂纹附近各节点的应力、应变等场变量，从而预测裂纹扩展的趋势。
2.如权利要求1所述的扩展光滑无网格伽辽金法，其特征在于，所述的三角形背景网格使用有限元三角形单元划分技术生成，用三角形覆盖整个分析域即可。
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