CN108984879A - 一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法 - Google Patents

一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，通过对串联多自由度系统进行建模，得到串联多自由度系统模型；建立位移传递函数模型；建立视在质量模型；建立加速度频率响应模型；建立位移频率响应模型，获得位移频率响应。通过使用“视在质量”，建立了系统中相邻质量点之间的运动联系。在不建立整个系统动力学模型的前提下，采用从后向前、逐步递推的方式建立相邻质量点之间的位移传递函数和加速度传递函数，并得到每个质量点的视在质量；第一个质量点的视在质量结合边界条件，得到第一个质量点的位移频率响应和加速度频率响应；通过前面建立的相邻质量点之间的传递函数，依次得到所有质量点的位移频率响应和加速度频率响应。

Description

一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法
技术领域
本发明涉及结构动力学技术领域。更具体地，涉及一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法。
背景技术
结构动力学问题中常常将复杂的多自由度系统的振动问题简化为如附图1所示的串联多自由度系统，系统受到左侧f(t)的力激励。为求得系统中的每个质量点(m1,m2,m3,…,mn)在力激励作用下的频率响应(位移响应或者加速度响应)，需要建立系统的振动微分方程，求解振动方程，得到每个质量点的频率响应。
按照传统思路，对于图1所示的n自由度系统，需要建立n个振动微分方程，联立n个方程求解，才能得到每个质量点的频率响应。当系统自由度经常变化，或者系统自由度n较大时，建立方程和求解方程会耗费大量时间，降低求解效率。
因此，需要提供一种当系统自由度经常变化或者系统自由度较大时，都能较快求解的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法。
发明内容
本发明的一个目的在于提供一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，该方法通过使用“视在质量”，建立系统中相邻质量点之间的运动联系，采用逐步递推的方式编程求解每个质量点的频率响应；且该方法不需要建立整个系统的振动微分方程，只需要将每个质量点的质量、连接弹簧的刚度、阻尼器的阻尼输入程序即可求得每个质量点的频率响应。因此当系统自由度变化或系统自由度较大时，采用该方法都能较快求解，提高了求解效率。
为达到上述目的，本发明采用下述技术方案：
一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，包括以下步骤：
1)对串联多自由度系统进行建模，得到串联多自由度系统模型：
将串联多自由度系统分解为多个质量点，获得串联多自由度系统中每个质量点的质量ml、任意两个质量点之间的连接刚度kl和阻尼cl，其中l＝1，2，3，…，
2)建立位移传递函数模型，将步骤1)获得的ml、kl和cl代入位移传递函数模型中，获得质量点mn的位移xn和质量点mn-1的位移xn-1之间的传递函数Hn-1(ω)；
3)建立视在质量模型，将步骤2)获得的位移传递函数Hn-1(ω)代入视在质量模型中，获得质量点mn-1的视在质量Mapp n-1；
4)将步骤3)获得的视在质量Mapp n-1代入位移传递函数模型中，获得质量点mn-1的位移xn-1和质量点mn-2的位移xn-2之间的传递函数Hn-2(ω)；
5)将步骤3)获得的视在质量Mapp n-1代入视在质量模型中，获得质量点mn-2的视在质量Mapp n-2；
6)将步骤5)获得的视在质量Mapp n-2代入位移传递函数模型中，获得质量点mn-2的位移xn-2和质量点mn-3的位移xn-3之间的传递函数Hn-3(ω)；
7)将步骤5)获得的视在质量Mapp n-2代入视在质量模型中，获得质量点mn-3的视在质量Mapp n-3；
8)依次循环下去，直到获得质量点m1的视在质量Mapp 1；
9)建立加速度频率响应模型，将步骤8)获得的视在质量Mapp 1代入加速度频率响应模型中，获得质量点m1的加速度频率响应A1(ω)；
10)建立位移频率响应模型，将步骤9)获得的质量点m1的加速度频率响应A1(ω)代入位移频率响应模型中，获得质量点m1的位移频率响应X1(ω)；
11)重复步骤2)～10)，获得其余质量点m2,m3,…,mn的位移频率响应X2(ω),X3(ω),…,Xn(ω)。
优选地，步骤2)中所述其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-1＝ω/ωn-1，
优选地，步骤3)中所述其中，αn-1＝mn/mn-1。
优选地，步骤4)中所述其中，βn-2＝ω/ωn-2，
优选地，步骤5)中所述
优选地，步骤6)中所述其中，βn-3＝ω/ωn-3，
优选地，步骤7)中所述
优选地，步骤8)中所述所述
优选地，步骤9)中所述
优选地，步骤10)中所述所述
另一方面，本发明还提出了上述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法在运载火箭和卫星的组合体的动力学分析领域中的应用。本发明的计算方法主要应用于串联的多自由度系统的位移频率响应计算和分析，如运载火箭和卫星的组合体的快速动力学分析领域。例如，运载火箭一般由数级(≥3级)火箭串联而成，连同其上的卫星，一起组成了一个串联的多自由度(自由度≥4)系统。在得到每一级火箭和卫星的质量、刚度和阻尼后，便可使用本方法快速的求解组合系统在外部激励作用下的动力学响应。由于不需要建立整个系统的动力学方程，简化了求解程序，提高了求解效率，可在火箭和卫星的方案设计阶段为设计师提供快速、高效的数据支撑。
本发明的有益效果如下：
本发明提出的基于视在质量的串联多自由度系统位移频率响应计算方法，通过使用“视在质量”，建立了系统中相邻质量点之间的运动联系。在不建立整个系统动力学模型的前提下，采用从后向前、逐步递推的方式建立相邻质量点之间的位移传递函数和加速度传递函数，并得到每个质量点的视在质量；通过第一个质量点的视在质量结合边界条件可求解得到第一个质量点的位移频率响应和加速度频率响应；而后通过前面建立的相邻质量点之间的传递函数，可依次得到所有质量点的位移和加速度频率响应。由于不需要建立整个系统的振动微分方程，本方法适用于求解系统自由度变化、系统自由度较大等情况下的串联多自由度系统动力学响应。
附图说明
下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明。
图1示出串联多自由度振动系统示意图；其中，f(t)为系统受到的力激励(即时域)；F(ω)为f(t)的傅里叶变换；ml为第l个质量点的质量且l＝1,2,…,n；xl为第l个质量点的位移(时域)且l＝1,2,…,n；Xl(ω)为xl的傅里叶变换且l＝1,2,…,n；Al(ω)为第l个质量点的加速度的傅里叶变换且l＝1,2,…,n；kl为第l个弹簧的刚度且l＝1,2,…,n-1；cl为第l个阻尼器的阻尼且l＝1,2,…,n-1。
图2示出mn-1的视在质量Mapp n-1；其中Fn-1(ω)为质量点mn-1受到的力(即为左侧弹簧和阻尼器的合力)的傅里叶变换；Mapp n-1为mn-1的视在质量。
图3示出mn-2的视在质量Mapp n-2；其中Fn-2(ω)为质量点mn-2受到的力(即为左侧弹簧和阻尼器的合力)的傅里叶变换；Mapp n-2为mn-2的视在质量。
具体实施方式
为了更清楚地说明本发明，下面结合优选实施例和附图对本发明做进一步的说明。本领域技术人员应当理解，下面所具体描述的内容是说明性的而非限制性的，不应以此限制本发明的保护范围。
现有技术中，在求解串联多自由度振动系统中每个质量点的频率响应时，需要建立n个振动微分方程，联立n个方程求解，才能得到每个质量点的频率响应。当系统自由度经常变化时，每次求解都必须重新建立系统振动微分方程；当系统自由度n较大时，联立求解n个振动方程会耗费大量时间。为解决上述问题，本发明提出了一种基于视在质量的串联多自由度系统频率响应计算方法。
具体包括如下步骤：
1)建立系统模型示意图，确定每个质量点的质量、任意两个质量点之间的连接刚度和阻尼，如图1所示；质量点的质量、连接刚度和阻尼分别为ml(其中l＝1，2，3，…，n)和kl、cl(其中l＝1，2，3，…，n-1)；
2)建立mn的位移xn和mn-1的位移xn-1之间的传递函数Hn-1(ω)；运动微分方程如下：
将上式进行傅里叶变换，整理得：
其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-1＝ω/ωn-1，
3)计算mn-1的视在质量Mapp n-1，如图2所示；
mn-1的视在质量Mapp n-1定义为mn-1受到的力Fn-1(ω)与其加速度An-1(ω)之比。建立运动微分方程如下：
其中，fn-1(t)为Fn-1(ω)的逆傅里叶变换。
联立公式(1)、公式(2)和公式(3)，并进行傅里叶变换，求得Mapp n-1表达式如下：
其中，αn-1＝mn/mn-1。
4)将mn-1和mn看做一个整体，用视在质量Mapp n-1代替；建立mn-1的位移xn-1和mn-2的位移xn-2之间的传递函数Hn-2(ω)。
微分方程如下：
其中，为的逆傅里叶变换。
将公式(5)进行傅里叶变换，并整理得：
其中，βn-2＝ω/ωn-2，
5)计算mn-2的视在质量Mapp n-2，如图3所示；
建立微分方程如下：
其中，fn-2(t)为Fn-2(ω)的逆傅里叶变换。
联立公式(5)、公式(6)和公式(7)，并进行傅里叶变换，求得Mapp n-2表达式如下：
6)将mn-2、mn-1和mn看做一个整体，用视在质量Mapp n-2代替，建立mn-3的位移xn-3和mn-2的位移xn-2之间的传递函数Hn-3(ω)；
由于动力学模型相似，参考公式(6)，可得：
其中，βn-3＝ω/ωn-3，
7)计算mn-3的视在质量Mapp n-3；
参考公式(8)，可得：
8)依次循环下去，直到计算得到m1的视在质量Mapp 1、m1的位移x1和m2的位移x2之间的传递函数H1(ω)，如下：
9)将力激励的傅里叶变换F(ω)带入公式(11)，可计算得到m1的加速度频率响应A1(ω)，由A1(ω)可得到m1的位移频率响应X1(ω)，如下：
10)由上述步骤中得到的位移传递函数，可依次得到m2,m3,…,mn的位移频率响应X2(ω),X3(ω),…,Xn(ω)，在此不再赘述。
本发明提出的基于视在质量的串联多自由度系统频率响应计算方法，通过使用“视在质量”，建立系统中相邻质量点之间的运动联系，采用逐步递推的方式编程求解每个质量点的频率响应。本方法不需要建立整个系统的振动微分方程，只需要将每个质量点的质量、连接弹簧的刚度、阻尼器的阻尼输入程序即可求得每个质量点的频率响应。因此当系统自由度变化、系统自由度较大时，都能较快求解，提高了求解效率。
显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动，这里无法对所有的实施方式予以穷举，凡是属于本发明的技术方案所引伸出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之列。

Claims (10)

1.一种串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)对串联多自由度系统进行建模，得到串联多自由度系统模型：
将串联多自由度系统分解为多个质量点，获得串联多自由度系统中每个质量点的质量ml、任意两个质量点之间的连接刚度kl和阻尼cl，其中l＝1，2，3，…，n；
2)建立位移传递函数模型，将步骤1)获得的ml、kl和cl代入位移传递函数模型中，获得质量点mn的位移xn和质量点mn-1的位移xn-1之间的传递函数Hn-1(ω)；
3)建立视在质量模型，将步骤2)获得的位移传递函数Hn-1(ω)代入视在质量模型中，获得质量点mn-1的视在质量Mapp n-1；
4)将步骤3)获得的视在质量Mapp n-1代入位移传递函数模型中，获得质量点mn-1的位移xn-1和质量点mn-2的位移xn-2之间的传递函数Hn-2(ω)；
5)将步骤3)获得的视在质量Mapp n-1代入视在质量模型中，获得质量点mn-2的视在质量Mapp n-2；
6)将步骤5)获得的视在质量Mapp n-2代入位移传递函数模型中，获得质量点mn-2的位移xn-2和质量点mn-3的位移xn-3之间的传递函数Hn-3(ω)；
7)将步骤5)获得的视在质量Mapp n-2代入视在质量模型中，获得质量点mn-3的视在质量Mapp n-3；
8)依次循环下去，直到获得质量点m1的视在质量Mapp 1；
9)建立加速度频率响应模型，将步骤8)获得的视在质量Mapp 1代入加速度频率响应模型中，获得质量点m1的加速度频率响应A1(ω)；
10)建立位移频率响应模型，将步骤9)获得的质量点m1的加速度频率响应A1(ω)代入位移频率响应模型中，获得质量点m1的位移频率响应X1(ω)；
11)重复步骤2)～10)，获得其余质量点m2,m3,…,mn的位移频率响应X2(ω),X3(ω),…,Xn(ω)。
2.根据权利要求1所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，步骤2)中所述其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-1＝ω/ωn-1，
3.根据权利要求1所述的基于视在质量的串联多自由度系统频率响应计算方法，其特征在于，步骤3)中所述其中，αn-1＝mn/mn-1。
4.根据权利要求1所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，步骤4)中所述其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-2＝ω/ωn-2，
5.根据权利要求1所述的基于视在质量的串联多自由度系统频率响应计算方法，其特征在于，步骤5)中所述其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-2＝ω/ωn-2，
6.根据权利要求1所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，步骤6)中所述其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-3＝ω/ωn-3，
7.根据权利要求1所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，步骤7)中所述其中，j为复数单位，ω为圆频率，βn-3＝ω/ωn-3，
8.根据权利要求1所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，步骤8)中所述所述其中，j为复数单位，ω为圆频率。
9.根据权利要求1所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法，其特征在于，步骤9)中所述步骤10)中所述其中，ω为圆频率。
10.一种如权利要求1～9所述的串联多自由度系统的位移频率响应计算方法在运载火箭和卫星的组合体的动力学分析领域中的应用。
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