CN108959772A - 一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法 - Google Patents

一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，与现有技术相比解决了特征模式分析方法无法适用于大规模有限周期阵列结构的缺陷。本发明包括以下步骤：大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分；对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程；整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算。本发明能显著减少周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目，并大幅度减少所需的计算内存以及计算时间。

Description

一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法
技术领域
本发明涉及周期阵列结构电磁特性数值计算技术领域，具体来说是一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法。
背景技术
大规模有限周期阵列结构广泛应用于无线通信和雷达工程领域，如相控阵天线、反射阵列天线、频率选择表面和电磁超表面等。在设计有限周期性阵列结构时，最常见方法是使用全波电磁计算方法与优化算法相结合。但是这种设计方法不能提供有关阵列工作原理的很多物理信息。
近年来兴起的特征模式分析方法是矩量法结合本征模式理论求解电磁问题的一类新方法，其能分析得到任意复杂形状的电磁问题的本征模式。设计者利用特征模式分析可以得到不同模式电流、模式辐射场的分布信息以及结构的谐振特性。这些信息能使设计者更加深入地理解电磁结构的工作原理，通过特征模式分析准确地获得阵列的模式特性，是一个系统的有明确物理概念的阵列设计方法。
然而，传统的基于矩量法的特征模式分析方法需要求解一个广义的本征值方程。通常情况下只需要计算前面几个特征值较小的特征模式，因此该本征值方程通常使用迭代的模式求解器如Arnoldi和Lanczos方法求解。其计算量和存储量分别为O(N3)和O(N2)，其中N为未知量的数目。
对于大规模有限周期阵列结构，随着阵列单元数目的增多或者单个阵列单元离散的未知量的增加，总的计算未知量和相应的计算负担会急剧增加。由于计算时间和内存消耗的限制，传统的特征模式分析方法无法适用于大规模有限周期阵列的特征模式分析问题。
因此，如何设计出适用于大规模有限周期阵列结构的特征模式分析方法已经成为急需解决的技术问题。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有技术中特征模式分析方法无法适用于大规模有限周期阵列结构的缺陷，提供一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法来解决上述问题。
为了实现上述目的，本发明的技术方案如下：
一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，包括以下步骤：
大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分，利用几何结构特性，对参考单元进行建模剖分得到离散的网格信息，通过空间平移得到所有单元的几何信息；
对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程，使用参考单元的RWG基函数对特征电流进行离散得到矩阵形式的特征值方程，并使用迭代的特征值求解器Arnoldi计算得到参考单元的特征模式；
整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算，对参考单元的特征模式进行截断选取特征值较小的前若干主特征模式构建一组正交的全域基函数，得到其它单元上的正交全域基函数组，利用全域基函数离散周期阵列的特征模式电流得到降阶的矩阵特征值方程，使用迭代的特征值求解器Arnoldi计算整个周期阵列结构的特征模式。
所述大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分包括以下步骤：
设定位于XOY平面的二维有限周期阵列坐标轴，其中，x和y方向的阵列单元数目分别为Nx和Ny，阵列的总单元数目为P＝Nx×Ny，x和y方向的间距分别为dx和dy；
利用几何结构特征，将距离O点最近的单元作为参考单元进行建模；
对参考单元使用三角形网格进行离散，并定义相应的RWG基函数组为
其中，N0为基函数的数目，中的上标表示单元编号、下标表示参考单元中的RWG基函数编号；
利用阵列结构的周期特征，通过将参考单元的几何信息进行空间平移得到第p个单元的几何信息；
用于离散第p个单元的RWG基函数组为
其中，rp为第p个单元相对参考单元的位置矢量，中的上标表示单元编号为p、下标n表示单元中的RWG基函数编号。
所述的对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程包括以下步骤：
通过参考单元在入射电磁波{Einc(r),Hinc(r)}作用下，在参考单元金属散射体表面上产生感应面电流J(r)，利用金属表面满足的边界条件建立电场积分方程，其表达式如下：
其阻抗算子如下：
其中，r、r′分别表示观察点和源点，是单位外法向矢量，μ、ε和k分别是自由空间的磁导率、介电参数和传播常数，ω是入射电磁波的角频率，j表示虚部单位；
g(r,r′)为自由空间中的格林函数：
其中π是圆周率，j表示虚部单位；
将参考单元的特征模式通过求解如下本征值问题得到如下：
其中，为参考单元的第m个模式电流，λm为参考单元第m个模式电流相对应的第m个特征值，R(r,r′)和X(r,r′)分别表示阻抗算子Z(r,r′)的实部和虚部；
将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程。
所述整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算包括以下步骤：
对参考单元的特征模式电流进行截断，选取特征值较小的前M(M≤N0)个主特征模式构建一组正交的全域基函数；
假设截断数为M(M≤N0)，定义在参考单元上的一组正交全域基函数表示为：
其中，上标为单元编号，下标为全域基函数的编号；
系数矩阵表示为：
第p个单元上的正交基函数表示如下：
对阵列建立基于电场积分方程的特征值方程，其表达式如下：
其中，为阵列的第i个模式电流、为其相对的第i个特征值，Rarray(r,r′)和Xarray(r,r′)分别表示阻抗算子Zarray(r,r′)的实部和虚部；
将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程，
第i个模式电流用定义在单元上的一组正交的全域基函数来展开：
其中，P是阵列中的单元数目，M是单个单元模式电流的截断数即单个单元上的全域基函数的数目，表示用于展开阵列的第i个模式电流的第p个单元上的第m个全域基函数的系数；
采用伽辽金测试，得到如下的矩阵形式的广义本征值方程：
其中，是系数矩阵，和分别表示阻抗矩阵的实部和虚部，且阻抗矩阵元素表示为：
每个子矩阵进一步表示为：
其中，表示基于RWG基函数展开的阻抗矩阵或者互作用矩阵；
对于阵列的阻抗矩阵有：
将广义本征值方程转化为标准的本征值方程，采用基于隐式迭代Arnoldi方法的ARPACK程序求解；
对矩阵系数进行归一化操作，得到整个阵列的特征模式电流。
所述的将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程包括以下步骤：
将第m个模式电流用定义在参考单元上的一组RWG基函数表示，其表达式如下：
其中，αmn表示用于展开第m个模式电流的第n个RWG基函数系数；
采用伽辽金测试，得到如下的矩阵形式的广义本征值方程：
XIm＝λmRIm，
其中，是未知系数矩阵，R和X分别表示阻抗矩阵Z的实部和虚部，阻抗矩阵Z的元素表示为：
将广义本征值方程转化成标准的本征值方程，其表达式如下：
X-1RIm＝(λm)-1Im；
采用基于隐式迭代Arnoldi方法的ARPACK程序对本征值方程进行求解；
对参考单元特征电流进行归一化，
对系数矩阵进行归一化操作，其表达式如下：
对Im进行归一化处理后，其正交性关系式如下：
其中，δmk是克罗内克函数，且
将参考单元的第m个模式电流表示为
其特征电流满足相应的正交关系：
有益效果
本发明的一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，与现有技术相比能显著减少周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目，并大幅度减少所需的计算内存以及计算时间。
本发明将单个阵列单元的特征电流用作一组全域基函数来对整个周期阵列的特征模式进行展开；通过对全域基函数的阶数进行截断，能够显著减少周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目(大幅度减少所需的计算内存以及计算时间)。
本发明具有以下优点：(1)建模简单，只需要对周期阵列结构中的一个子单元进行建模即可，避免了建立繁复的模型工作；(2)减少未知量和节省计算资源，将截断的单个单元的特征模式电流用做全域基函数，从而显著减少周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目。
附图说明
图1为本发明的方法顺序图；
图2为位于XOY平面的二维有限周期阵列示意图；
图3a为传统的特征模求解器计算的贴片阵列的模式权重系数曲线图；
图3b为本发明方法计算的贴片阵列的模式权重系数曲线图；
图4a为传统特征模方法计算的模式电流分布图；
图4b为本发明方法计算的模式电流分布图；
图5a为传统特征模方法计算的模式电流分布图；
图5b为本发明方法计算的模式电流分布图。
具体实施方式
为使对本发明的结构特征及所达成的功效有更进一步的了解与认识，用以较佳的实施例及附图配合详细的说明，说明如下：
如图1所示，本发明所述的一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，包括以下步骤：
第一步，大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分。利用几何结构特性，对参考单元进行建模剖分得到离散的网格信息，通过空间平移得到所有单元的几何信息。在此，对大规模有限周期阵列结构进行几何建模时，只需要对单个单元进行建模剖分得到离散信息，其他单元通过空间平移得到，以此能够大大简化几何建模和剖分的处理过程。其具体步骤如下：
(1)设定位于XOY平面的二维有限周期阵列坐标轴，其中，x和y方向的阵列单元数目分别为Nx和Ny，阵列的总单元数目为P＝Nx×Ny，x和y方向的间距分别为dx和dy。
如图2所示，其为位于XOY平面的二维有限周期阵列示意图，也给出了阵列单元的顺序编号方式。
(2)利用几何结构特征，将距离O点最近的单元作为参考单元进行建模，以图2为例，利用几何结构特征，只需要将编号为1的单元当做参考单元对其进行建模即可。
对参考单元使用三角形网格进行离散，并定义相应的RWG基函数组为
其中，N0为基函数的数目，中的上标表示单元编号、下标表示参考单元中的RWG基函数编号。
(3)利用阵列结构的周期特征，通过将参考单元的几何信息进行空间平移得到第p个单元的几何信息。
用于离散第p个单元的RWG基函数组为
其中，rp为第p个单元相对参考单元的位置矢量，中的上标表示单元编号为p、下标n表示单元中的RWG基函数编号。
第二步，对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程。使用参考单元的RWG基函数对特征电流进行离散得到矩阵形式的特征值方程，并使用迭代的特征值求解器Arnoldi计算得到参考单元的特征模式。
其具体步骤如下：
(1)通过参考单元(图2中编号为1的单元)在入射电磁波{Einc(r),Hinc(r)}作用下，在参考单元金属散射体表面上产生感应面电流J(r)，利用金属表面满足的边界条件建立电场积分方程，其表达式如下：
其阻抗算子如下：
其中，r、r′分别表示观察点和源点，是单位外法向矢量，μ、ε和k分别是自由空间的磁导率、介电参数和传播常数，ω是入射电磁波的角频率，j表示虚部单位；
g(r,r′)为自由空间中的格林函数：
其中π是圆周率，j表示虚部单位。
(2)将参考单元的特征模式通过求解如下本征值问题得到如下：
其中，为参考单元的第m个模式电流，λm为参考单元第m个模式电流相对应的第m个特征值，R(r,r′)和X(r,r′)分别表示阻抗算子Z(r,r′)的实部和虚部；
(3)为了方便使用数值方法计算特征模式，将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程。其具体步骤如下：
A、将第m个模式电流用定义在参考单元上的一组RWG基函数表示，其表达式如下：
其中，αmn表示用于展开第m个模式电流的第n个RWG基函数系数；
B、将用RWG基函数表示的第m个模式电流代入参考单元的特征模式本征值表达式，采用伽辽金测试，得到如下的矩阵形式的广义本征值方程：
XIm＝λmRIm，
其中，是未知系数矩阵，R和X分别表示阻抗矩阵Z的实部和虚部，阻抗矩阵Z的元素表示为：
C、将广义本征值方程转化成标准的本征值方程，其表达式如下：
X-1RIm＝(λm)-1Im；
D、采用基于隐式迭代Arnoldi方法的ARPACK程序对本征值方程进行求解；
E、对参考单元特征电流进行归一化，
E1)对系数矩阵进行归一化操作，其表达式如下：
对Im进行归一化处理后，其正交性关系式如下：
其中，δmk是克罗内克函数，且
E2)将参考单元的第m个模式电流表示为
其特征电流满足相应的正交关系：
第三步，整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算。对参考单元的特征模式进行截断选取特征值较小的前若干主特征模式构建一组正交的全域基函数，得到其它单元上的正交全域基函数组，利用全域基函数离散周期阵列的特征模式电流得到降阶的矩阵特征值方程，使用迭代的特征值求解器Arnoldi计算整个周期阵列结构的特征模式。
对含有P个单元的大规模有限周期阵列结构，若采用传统的特征模式计算方法，每个单元上用于离散的局域RWG基函数数目为N0，总未知量为PN0，其计算复杂度和内存复杂度分别为和随着单元数P的增大或者单元内未知量数目N0的增加，传统特征模计算方法将无法适用于大规模有限周期阵列结构。
本发明通过选取参考单元的特征模式做为全域基函数来展开周期阵列的特征模式电流。对于参考单元结构，不同模式特征值的大小代表该模式辐射或者存储能量的能力。通常情况下，同一频率下特征值幅度越小的模式辐射或者存储能量的能力越强，特征值幅度趋于无限大的模式，属于谐振模式，对能量的存储和辐射没有贡献。因此从能量的角度，可以选取特征值较小的前M个主特征模式构建全域基函数。由于M≤N0，所以本发明能够显著减少周期阵列的矩阵特征方程的未知量数目，大幅度减少所需的计算时间以及内存消耗，对于本发明的方法，其计算复杂度和内存复杂度分别为和
其具体步骤如下：
(1)对参考单元的特征模式电流进行截断，选取特征值较小的前M(M≤N0)个主特征模式构建一组正交的全域基函数。
假设截断数为M(M≤N0)，定义在参考单元上的一组正交全域基函数表示为：
其中，上标为单元编号，下标为全域基函数的编号；
系数矩阵表示为：
第p个单元上的正交基函数表示如下：
(2)对阵列建立基于电场积分方程的特征值方程，其表达式如下：
其中，为阵列的第i个模式电流、为其相对的第i个特征值，Rarray(r,r′)和Xarray(r,r′)分别表示阻抗算子Zarray(r,r′)的实部和虚部。
(3)将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程。
第i个模式电流用定义在单元上的一组正交的全域基函数来展开：
其中，P是阵列中的单元数目，M是单个单元模式电流的截断数即单个单元上的全域基函数的数目，表示用于展开阵列的第i个模式电流的第p个单元上的第m个全域基函数的系数。
(4)同理，采用伽辽金测试，得到如下的矩阵形式的广义本征值方程：
其中，是系数矩阵，和分别表示阻抗矩阵的实部和虚部，且阻抗矩阵元素表示为：
每个子矩阵进一步表示为：
其中，表示基于RWG基函数展开的阻抗矩阵或者互作用矩阵；
对于阵列的阻抗矩阵有：
由此可见，在阵列阻抗矩阵的计算过程中，一旦块矩阵形成，其立即通过矩阵矢量乘转化成并填充在阵列阻抗矩阵的相应位置上。因此，在计算过程中只需要开辟维数为N0×N0和MP×MP的空间分别存储矩阵和即可。
此外对于Nx×Ny的有限周期阵列，利用阵列的对称特性可以大幅度简化矩阵填充过程。考虑块矩阵和定义为从单元p1中心指向单元q1中心的二维矢量，有着相同的定义。如果矢量那么相应的块矩阵满足而且对于块矩阵和互为转置矩阵。因此，在阵列阻抗矩阵的填充过程中，只需要填充(2×Nx×Ny-Nx-Ny+1)次块矩阵即可，利用空间对称性可以大幅度减少块矩阵的计算次数，减少了填充时间。
(5)将广义本征值方程转化为标准的本征值方程，采用基于隐式迭代Arnoldi方法的ARPACK程序求解。此时对于阵列的特征值方程，如果截断数M＜＜N0，其矩阵的维数从N0P降低到MP，大幅度减少了计算资源消耗。
(6)对矩阵系数进行归一化操作，得到整个阵列的特征模式电流。
为了验证本发明的正确性与有效性，下面以矩形贴片阵列的特征模式分析为例。该例在主频为3.3GHz，内存为16GB的个人计算机上完成。
10×10的金属矩形贴片阵列模型，金属矩形贴片放在z＝0的平面上，贴片尺寸为0.5m×0.5m,阵列在x和y方向的间距分别为dx＝dy＝0.6m。入射平面波的频率为300MHz,入射波的入射方向θ＝0°,(沿着Z轴正方向)，极化角度为θ＝90°,(沿着X轴正方向)。矩形贴片单元采用三角形剖分，单个单元的未知量为124，阵列的总未知量为12400。
分别采用本发明提出的方法和传统的特征模计算方法计算前100个特征值较小的特征模式。在本专利提出的方法中，参考单元的特征模式截断数设置为10，即取前10个模式构建正交的基函数组。
图3a和3b给出了传统的特征模求解器和本发明提出的方法与计算的贴片阵列的模式权重系数(Modal Significances,MS)比较结果。其中模式权重系数MS的定义为通过对比可以发现本发明方法计算得到的模式权重系数与传统特征模求解器计算的结果十分吻合。
图4a和图4b分别给出了两种方法计算得到的模式1电流分布情况，图5a和图5b分别给出了两种方法计算得到的模式2电流分布情况。由图4a和图4b可以看出，两种方法计算得到的模式电流分布吻合的很好，由图5a和图5b可以看出，两种方法计算得到的模式电流分布吻合的很好。
综合图3a、3b、图4a、图4b、图5a和图5b可知，本发明方法计算的模式权重系数以及模式电流分布和传统特征模方法计算的结果十分吻合，以此证明了本发明方法的精确性。
表1本发明提出的方法与传统的特征模求解器计算时间和内存消耗对比表
方法 运行时间 峰值内存
传统特征模方法 690s 2379.1MB
本发明方法 9.34s 23.6MB
如表1所示，表1为统计了本发明提出的方法与传统的特征模求解器消耗的时间和内存对比情况。从表1可以看出，采用本发明方法相比传统特征模方法需要更好的计算内存和计算时间，以此进一步证明了本发明方法的有效性。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明的范围内。本发明要求的保护范围由所附的权利要求书及其等同物界定。

Claims (5)

1.一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
11)大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分，利用几何结构特性，对参考单元进行建模剖分得到离散的网格信息，通过空间平移得到所有单元的几何信息；
12)对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程，使用参考单元的RWG基函数对特征电流进行离散得到矩阵形式的特征值方程，并使用迭代的特征值求解器Arnoldi计算得到参考单元的特征模式；
13)整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算，对参考单元的特征模式进行截断选取特征值较小的前若干主特征模式构建一组正交的全域基函数，得到其它单元上的正交全域基函数组，利用全域基函数离散周期阵列的特征模式电流得到降阶的矩阵特征值方程，使用迭代的特征值求解器Arnoldi计算整个周期阵列结构的特征模式。
2.根据权利要求1所述的一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，其特征在于，所述大规模有限周期阵列结构的几何建模和剖分包括以下步骤：
21)设定位于XOY平面的二维有限周期阵列坐标轴，其中，x和y方向的阵列单元数目分别为Nx和Ny，阵列的总单元数目为P＝Nx×Ny，x和y方向的间距分别为dx和dy；
22)利用几何结构特征，将距离O点最近的单元作为参考单元进行建模；
对参考单元使用三角形网格进行离散，并定义相应的RWG基函数组为
其中，N0为基函数的数目，中的上标表示单元编号、下标表示参考单元中的RWG基函数编号；
23)利用阵列结构的周期特征，通过将参考单元的几何信息进行空间平移得到第p个单元的几何信息；
用于离散第p个单元的RWG基函数组为
其中，rp为第p个单元相对参考单元的位置矢量，中的上标表示单元编号为p、下标n表示单元中的RWG基函数编号。
3.根据权利要求1所述的一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，其特征在于，所述的对参考单元建立基于电场积分方程的特征值方程包括以下步骤：
31)通过参考单元在入射电磁波{Einc(r),Hinc(r)}作用下，在参考单元金属散射体表面上产生感应面电流J(r)，利用金属表面满足的边界条件建立电场积分方程，其表达式如下：
其阻抗算子如下：
其中，r、r′分别表示观察点和源点，是单位外法向矢量，μ、ε和k分别是自由空间的磁导率、介电参数和传播常数，ω是入射电磁波的角频率，j表示虚部单位；
g(r,r′)为自由空间中的格林函数：
其中π是圆周率，j表示虚部单位；
32)将参考单元的特征模式通过求解如下本征值问题得到如下：
其中，为参考单元的第m个模式电流，λm为参考单元第m个模式电流相对应的第m个特征值，R(r,r′)和X(r,r′)分别表示阻抗算子Z(r,r′)的实部和虚部；
33)将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程。
4.根据权利要求1所述的一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，其特征在于，所述整个大规模有限周期阵列结构特征模式的计算包括以下步骤：
41)对参考单元的特征模式电流进行截断，选取特征值较小的前M(M≤N0)个主特征模式构建一组正交的全域基函数；
假设截断数为M(M≤N0)，定义在参考单元上的一组正交全域基函数表示为：
其中，上标为单元编号，下标为全域基函数的编号；
系数矩阵表示为：
第p个单元上的正交基函数表示如下：
42)对阵列建立基于电场积分方程的特征值方程，其表达式如下：
其中，为阵列的第i个模式电流、为其相对的第i个特征值，Rarray(r,r′)和Xarray(r,r′)分别表示阻抗算子Zarray(r,r′)的实部和虚部；
43)将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程，
第i个模式电流用定义在单元上的一组正交的全域基函数来展开：
其中，P是阵列中的单元数目，M是单个单元模式电流的截断数即单个单元上的全域基函数的数目，表示用于展开阵列的第i个模式电流的第p个单元上的第m个全域基函数的系数；
44)采用伽辽金测试，得到如下的矩阵形式的广义本征值方程：
其中，是系数矩阵，和分别表示阻抗矩阵的实部和虚部，且阻抗矩阵元素表示为：
每个子矩阵进一步表示为：
其中，表示基于RWG基函数展开的阻抗矩阵或者互作用矩阵；
对于阵列的阻抗矩阵有：
45)将广义本征值方程转化为标准的本征值方程，采用基于隐式迭代Arnoldi方法的ARPACK程序求解；
46)对矩阵系数进行归一化操作，得到整个阵列的特征模式电流。
5.根据权利要求3所述的一种大规模有限周期阵列结构特征模式分析方法，其特征在于，所述的将算子特征值方程转化为矩阵特征值方程包括以下步骤：
51)将第m个模式电流用定义在参考单元上的一组RWG基函数表示，其表达式如下：
其中，αmn表示用于展开第m个模式电流的第n个RWG基函数系数；
52)采用伽辽金测试，得到如下的矩阵形式的广义本征值方程：
XIm＝λmRIm，
其中，是未知系数矩阵，R和X分别表示阻抗矩阵Z的实部和虚部，阻抗矩阵Z的元素表示为：
53)将广义本征值方程转化成标准的本征值方程，其表达式如下：
X-1RIm＝(λm)-1Im；
54)采用基于隐式迭代Arnoldi方法的ARPACK程序对本征值方程进行求解；
55)对参考单元特征电流进行归一化，
551)对系数矩阵进行归一化操作，其表达式如下：
对Im进行归一化处理后，其正交性关系式如下：
其中，δmk是克罗内克函数，且
552)将参考单元的第m个模式电流表示为
其特征电流满足相应的正交关系：
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