CN108932364A - 参数化的约束系统刚度设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种参数化的约束系统刚度设计方法，克服了逆向或者局部逆向设计方式难以满足现阶段对产品开发周期要求的问题，该方法的步骤如下：1)设定约束条件：(1)乘员胸部加速度限值G；G是正向设计时根据乘员保护要求提出的胸部加速度限值；(2)乘员最大相对位移D_o/v；D_o/v是总布置阶段已经确定好的乘员生存空间；(3)根据碰撞试验要求确定碰撞出速度v₀及车体的双台阶波形的基本参数；2)定义简化曲线：(1)定义双台阶波；(2)定义梯形波；3)根据面积相等原理进行碰撞波形与约束系统刚度的耦合分析；4)引入振动方程求解乘员的相对运动响应；5)求解约束系统刚度；6)建立插值公式实现约束系统刚度的快速求解。

Description

参数化的约束系统刚度设计方法

技术领域

本发明涉及一种设计方法，更具体地说，本发明涉及一种参数化的约束系统刚度设计方法。

背景技术

乘员的约束系统主要包括汽车座椅、座椅安全带、安全气囊、吸能式转向管柱、汽车仪表板和内饰件。约束和刚度是约束系统的特性曲线，具体为乘员加速度-相对位移曲线，可以表达约束系统对乘员的作用效果。

目前的汽车被动安全性设计主要采取逆向设计，或者局部逆向设计的方式进行的。在设计过程中，约束系统设计往往是在车体结构设计之后，即在整车3D模型确定之后，采用仿真技术分析的方式进行约束系统匹配，是一个大面积寻优的过程。近年来，随着汽车行业的快速发展，汽车产品的开发周期越来越短，而这种逆向或者局部逆向的设计方式难以满足现阶段对产品开发周期的要求，因此越来越多的研究人员开始关注在汽车的概念设计阶段进行安全性设计。而在汽车概念设计阶段进行安全性设计，需要确定车体结构和约束系统的吸能目标。在汽车的概念设计阶段进行约束系统刚度的设计可以指导约束子系统的设计，避免CAE设计过程中大量重复的试算。已有的汽车安全性概念设计研究中，常以双台阶波作为车体结构的吸能目标，并且已有较成熟的双台阶波设计方法。而约束刚度作为约束系统的设计目标，其设计方法还处在空白阶段。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服了现有技术中逆向或者局部逆向设计方式难以满足现阶段对产品开发周期要求的问题，提供了一种参数化的约束系统刚度设计方法。

为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的：所述的参数化的约束系统刚度设计方法的步骤如下：

1)设定约束条件：

(1)乘员胸部加速度限值G；

G是正向设计时根据乘员保护要求提出的胸部加速度限值；

(2)乘员最大相对位移D_o/v；

D_o/v是总布置阶段已经确定好的乘员生存空间；

(3)根据碰撞试验要求确定碰撞初速度v₀及车体的双台阶波形的基本参数；

2)定义简化曲线：

(1)定义双台阶波；

(2)定义梯形波；

3)根据面积相等原理进行碰撞波形与约束刚度的耦合分析；

4)引入振动方程求解乘员相对运动响应；

5)求解约束系统刚度；

6)建立插值公式实现约束系统刚度的快速求解。

技术方案中所述的定义双台阶波是指：双台阶波可以表达更多的碰撞信息，且双台阶波在位移域与车体前端结构的可压溃空间对应，因此在车体结构抗撞性的概念设计中，经常以双台阶波作为车体前端结构设计的目标波形；考虑新车型的开发或者改型中的乘员约束系统刚度设计的问题，以双台阶波形作为车体波形，探究约束系统刚度目标设计的方法；

双台阶波中a_v表示纵坐标为车体加速度，t表示横坐标为时间，A₁和A₂分别为双台阶波的两个幅值，t₁为发动机碰撞时刻，t_v为碰撞结束时刻；则有：

式中，A₁和A₂单位为m/s²，t₁和t_v单位为s，v₀单位为m/s；

将时间域的双台阶波转化到相对位移域，相对位移域的双台阶波的幅值不变；D表示横坐标为相对位移；D_r1为发动机碰撞时刻乘员的相对位移，与t₁对应；D_r2为车体停止运动时乘员的相对位移，与碰撞结束时刻t_v对应；针对双台阶波的参数A₁、A₂、t₁和t_v为已知，D_r1和D_r2为未知量；

所述的定义梯形波是指：

梯形约束刚度曲线中梯形约束系统刚度的简化参数包括约束系统等效刚度k、乘员加速度G、乘员最大相对位移D_o/v，以及乘员加速度达到限值时刻t_L的极限相对位移D_L，由约束系统等效刚度k的值确定；其中G和D_o/v是已知量，k和D_L为未知量。

技术方案中所述的根据面积相等原理进行碰撞波形与约束系统刚度的耦合分析是指：将双台阶波和梯形波绘制在相对位移域上，选择车体较乘员先停的碰撞情况，即D_r2<D_o/v，图中A₁和A₂为双台阶波两台阶的幅值，D_r1为发动机前端与壁障接触时乘员的相对位移，D_r2为车停时乘员的相对位移；

根据面积相等原理，碰撞波形和乘员加速度在相对位移域上的积分相等，根据公式：

则有

公式(4)在相对位移域上定量化地显示了车体和约束系统特性的解析关系，但等式中包括已知的车体简化参数A₁，单位为m/s²；A₂，单位为m/s²；乘员加速度限值G，单位为m/s²；设计参数约束系统特性刚度k以及待求解的中间变量D_r1，单位为m和D_r2，单位为m。

技术方案中所述的引入振动方程求解乘员相对运动响应是指：在梯形波上乘员加速度达到限值时刻t_L之前乘员是在两段恒定加速度A₁和A₂作用下的振动响应，根据双台阶波输入下的振动方程求解，可以得到乘员的运动响应为

其中约束系统固有频率ω和约束刚度k的关系为：

根据公式(7)可以求得在t₁时刻乘员的相对位移x_o/v(t₁)为D_r1：

在t_L时刻乘员的相对位移x_o/v(t_L)即为极限位移D_L：

本步骤引入单自由度振动方程求解乘员的相对运动响应公式，进而获得D_r1和D_L的表达式，为下一步求解约束刚度做铺垫。

技术方案中所述的求解约束系统刚度是指：从双台阶波与梯形波的对应关系图中得出：

联立公式(10)和公式(11)

A₁cosωt_L+(A₂-A₁)cosω(t_L-t₁)＝A₂-G (12)

当乘员加速度达到G时，得到t_L的值为

D_r2的值为：

根据公式有：

由方程(9)、(13)、(14)与(15)联立求解，若提出G和车内空间D_o/v的要求，就可以得到相对应的约束系统刚度k；

由于方程组过于复杂，此处采用一个简化方法来计算D_r2；

以上，如果用该值来进行推导结果将十分庞大，只能通过编程来求解，工程上，乘员加速度达到峰值和车体回弹的时刻接近，所以我们考虑如果令t_v＝t_L，代表在乘员刚刚达到加速度峰值车体开始回弹的碰撞情况下来计算D_r2，计算过程会大幅度简化：

将式(9)和式(16)带入式(15)，则有

至此建立了车体、约束系统特性和乘员响应的相关性，其意义在于碰撞过程中复杂的耦合关系简化为数学求解过程，可以在设计初期确定乘员约束系统特性，具体是根据目标车型，将已知条件包括双台阶波参数A₁，A₂，t₁，t_v，以及边界条件G和D_o/v带入，即可获得以ω为变量的等式f(ω)＝0，求解ω和k的数值：

本步骤考虑如果令t_v＝t_L，求解约束系统刚度。

技术方案中所述的建立插值公式实现约束系统刚度的快速求是指：

中不仅包括ω的平方项，还包括ω的三角函数项，无法进行直接的解析求解，为了简便计算过程，将f(ω)用二次多项式拟合，例如取ω＝ω₁，ω₂，ω₃；计算对应的f(ω₁),f(ω₂),f(ω₃)，可以确定p₁，p₂和p₃值，如式(19)，

f(ω)＝p₁ω²+p₂ω+p₃ (19)

计算当f(ω)＝0时ω的取值，根据公式即可获得k。

与现有技术相比本发明的有益效果是：

本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法可以在安全性设计初期利用简单的数学计算进行约束系统刚度的设计。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步的说明：

图1为本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的流程框图；

图2为本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的双台阶波示意图；

图3为本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的相对位移域的双台阶波示意图；

图4为本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的梯形约束刚度曲线示意图；

图5为本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的双台阶波与梯形波的对应关系图；

具体实施方式

下面结合附图对本发明作详细的描述：

本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的步骤如下:

1.设定约束条件

本发明所述的一种参数化的约束系统刚度设计方法的约束条件主要有两个：

1)乘员胸部加速度限值G；G是正向设计时根据乘员保护要求提出的胸部加速度限值；

2)乘员最大相对位移D_o/v；D_o/v是总布置阶段已经确定好的乘员生存空间；

3)此外还需要根据碰撞试验要求确定碰撞出速度v₀，以及车体的双台阶波形的基本参数。

2.定义简化曲线

1)定义双台阶波

双台阶波可以表达更多的碰撞信息，且双台阶波在位移域与车体前端结构的可压溃空间对应，因此在车体结构抗撞性的概念设计中，经常以双台阶波作为车体前端结构设计的目标波形；考虑新车型的开发或者改型中的乘员约束系统刚度设计的问题，以双台阶波形作为车体波形，探究约束系统刚度目标设计的方法。

参阅图2，图中a_v表示纵坐标为车体加速度，t表示横坐标为时间，A₁和A₂分别为双台阶波的两个幅值，t₁为发动机碰撞时刻，t_v为碰撞结束时刻；则有：

式中，A₁和A₂单位为m/s²，t₁和t_v单位为s，v₀单位为m/s。

参阅图3，将时间域的双台阶波转化到相对位移域，图中双台阶波的幅值不变；D表示横坐标为相对位移；D_r1为发动机碰撞时刻乘员的相对位移，与t₁对应；D_r2为车体停止运动时乘员的相对位移，与碰撞结束时刻t_v对应；针对双台阶波的参数A₁、A₂、t₁和t_v已知，D_r1和D_r2为未知量。

2)定义梯形波

参阅图4，图中梯形约束系统刚度的简化参数包括约束系统等效刚度k、乘员加速度G、乘员最大相对位移D_o/v，以及乘员加速度达到限值时刻t_L的极限相对位移D_L，由约束系统等效刚度k的值确定；其中G和D_o/v是已知量，k和D_L为未知量。

3.根据面积相等原理进行碰撞波形与约束系统刚度之间的耦合分析

参阅图5，将双台阶波和梯形波绘制在相对位移域上，选择车体较乘员先停的碰撞情况，即D_r2<D_o/v，图中A₁和A₂为双台阶波两台阶的幅值，D_r1为发动机前端与壁障接触时乘员的相对位移，D_r2为车停时乘员的相对位移；

根据面积相等原理，碰撞波形和乘员加速度在相对位移域上的积分相等，根据公式：

则有

公式(4)在相对位移域上定量化地显示了车体和约束系统特性的解析关系，但等式中包括已知的车体简化参数A₁，单位为m/s²；A₂，单位为m/s²；乘员加速度限值G，单位为m/s²；设计参数约束系统特性刚度k以及待求解的中间变量D_r1，单位为m和D_r2，单位为m。

本步骤利用面积相等原理进行碰撞波形与约束刚度的耦合作用分析，进而获得约束刚度曲线上未知数D_r1和D_r2的方程。

4.引入振动方程求解乘员相对运动响应

基于能量无法对车体和乘员响应的关系进行完全的解析求解，因此本发明所述的一种约束系统刚度求解方法通过对碰撞过程中车体-约束系统-乘员间运动关系的分析，从运动学角度求解未知的中间变量，最终实现对车体-约束系统响应的解析解耦过程。

在梯形波上乘员加速度达到限值时刻t_L之前乘员是在两段恒定加速度A₁和A₂作用下的振动响应，根据双台阶波输入下的振动方程求解，可以得到乘员的运动响应为

其中约束系统固有频率ω和约束刚度k的关系为：

根据公式(7)可以求得在t₁时刻乘员的相对位移x_o/v(t₁)为D_r1：

在t_L时刻乘员的相对位移x_o/v(t_L)，即为极限位移D_L：

本步骤引入单自由度振动方程求解乘员的相对运动响应公式，进而获得D_r1和D_L的表达式，为下一步求解约束刚度做铺垫。

5.求解约束系统刚度

从双台阶波与梯形波的对应关系图中得出：

联立公式(10)和公式(11)

A₁cosωt_L+(A₂-A₁)cosω(t_L-t₁)＝A₂-G (12)

当乘员加速度达到G时，得到t_L的值为

在t_v时刻，D_r2的值为：

根据公式(4)有：

由方程(9)、(13)、(14)与(15)联立求解，若提出G和车内空间D_o/v的要求，就可以得到相对应的约束系统刚度k。

由于方程组过于复杂，此处采用一个简化方法来计算D_r2。

以上，如果用该值来进行推导结果将十分庞大，只能通过编程来求解，工程上，乘员加速度达到峰值和车体回弹的时刻接近，所以我们考虑如果令t_v＝t_L，代表在乘员刚刚达到加速度峰值车体开始回弹的碰撞情况下来计算D_r2，计算过程会大幅度简化：

将式(9)和式(16)带入式(15)，则有

至此建立了车体、约束系统特性和乘员响应的相关性，其意义在于碰撞过程中复杂的耦合关系简化为数学求解过程，可以在设计初期确定乘员约束系统特性，具体是根据目标车型，将已知条件包括车体特性简化参数(双台阶波参数A₁，A₂，t₁，t_v)，以及边界条件G和D_o/v带入，即可获得以ω为变量的等式f(ω)＝0，求解ω和k的数值：

本步骤考虑如果令t_v＝t_L，求解约束刚度。

6.建立插值公式实现约束系统刚度的快速求解

但是，公式(18)中不仅包括ω的平方项，还包括ω的三角函数项，无法进行直接的解析求解，为了简便计算过程，将f(ω)用二次多项式拟合，拟合公式为公式(19)，例如取ω＝ω₁，ω₂，ω₃；计算对应的f(ω₁),f(ω₂),f(ω₃)，可以确定p₁，p₂和p₃值，计算当f(ω)＝0时ω的取值，根据公式(11)即可获得k；

f(ω)＝p₁ω²+p₂ω+p₃ (19)

本步骤利用插值公式实现约束系统刚度的快速求解。

实施例1

利用上述方法对汽车抗撞性概念设计阶段约束系统的主要参数进行设计，设计步骤如下：

1.设定约束条件

初始已知条件为某车型(后文称M6车型)的双台波幅值A₁为15g、A₂为25g，碰撞结束时刻t_v为0.07s，最大相对位移D_o/v为0.225m、乘员胸部加速度限值G为30g、碰撞速度为v₀为56km/h。

2.定义简化曲线

由约束条件可知，双台阶波的两个幅值A₁和A₂分别为147m/s²和245m/s²，碰撞结束时刻t_v为0.07s，进而根据公式(2)求得发动机碰撞时刻t₁为0.0154s：

将时间域的双台阶波转化到相对位移域，双台阶波的幅值不变，仍为147m/s²和245m/s²；发动机碰撞时刻0.0154s，乘员的相对位移D_r1和0.07s车体速度减为0时乘员的相对位移D_r2为未知量。

由约束条件可知，梯形约束系统刚度的简化参数中，乘员加速度G为294m/s²、乘员最大相对位移D_o/v为0.225m，约束系统刚度k以及乘员加速度达到限值时刻t_L的极限相对位移D_L为未知量。

3.根据面积相等原理进行碰撞波形与约束系统刚度的耦合分析

参阅图5，将双台阶波和梯形波绘制在相对位移域上，选择车体较乘员先停的碰撞情况，即D_r2<D_o/v。

根据面积相等原理，碰撞波形和乘员加速度在相对位移域上的积分相等。根据公式(4)有：

等式中包括已知的车体简化参数A₁；A₂；乘员加速度限值G，单位均为m/s²；设计参数约束系统特性刚度k，单位s^-2以及待求解的中间变量D_r1和D_r2。

4.引入振动方程求解乘员相对运动响应

通过对碰撞过程中车体-约束系统-乘员间运动关系的分析，从运动学角度求解未知的中间变量，最终实现对车体-约束系统响应的解析解耦过程。

在梯形波上乘员加速度达到限值时刻t_L之前乘员是在两段恒定加速度A₁和A₂作用下的振动响应，根据公式(7)，可以得到乘员的相对位移为

其中约束系统固有频率ω和约束刚度k的关系为：

5.求解约束系统刚度

根据公式(7)可以得到D_r1为：

D_L为：

根据公式(11)有

联立公式(27)和公式(28)

147cosωt_L+98cosω(t_L-0.0154)＝-49

当乘员加速度达到G时，得到t_L的值为

根据公式(14)有：

根据公式(15)有：

由此，若提出G和车内空间D_o/v的要求，就可以得到相对应的约束系统刚度k。用该值来进行推导结果将十分庞大，只能通过编程来求解。

由于方程组过于复杂，此处采用一个简化方法来计算D_r2。

工程上，乘员加速度达到峰值和车体回弹的时刻非常接近，所以我们考虑如果令t_L＝t_v＝0.07s，代表在乘员刚刚达到加速度峰值车体开始回弹的碰撞情况下来计算D_r2，根据公式(16)计算过程简化为：

将式(26)和式(33)带入式(15)，则可以求解未知数ω。

至此建立了车体、约束系统特性和乘员响应的相关性，即可获得以ω为变量的等式f(ω)＝0，根据公式(18)，带入双台阶波参数(A₁，A₂，t₁，t_v)和约束条件(G和D_o/v)，求解ω的方程如下：

6.建立插值公式实现约束系统刚度的快速求解

将f(ω)用二次多项式拟合，拟合公式为(19)。取ω＝40,50,60；根据公式(34)计算对应的f(40)＝26.57，f(50)＝-4.19，f(60)＝-27.55，根据公式(20)可以确定p₁，p₂和p₃值如式(35)。

根据公式(19)，最终拟合公式为(36)，计算当f(ω)＝0时ω的取值为：

f(ω)＝0.037ω²-6.41ω+223.61＝0

ω＝86.62±38.24

舍去不合理解，ω＝48.38，k≈2340。到此，梯形约束刚度曲线的参数G、D_o/v、k和D_L均已知，约束系统刚度设计完成。

Claims (6)

1.一种参数化的约束系统刚度设计方法，其特征在于，所述的参数化的约束系统刚度设计方法的步骤如下：

1)设定约束条件：

(1)乘员胸部加速度限值G；

G是正向设计时根据乘员保护要求提出的胸部加速度限值；

(2)乘员最大相对位移D_o/v；

D_o/v是总布置阶段已经确定好的乘员生存空间；

(3)根据碰撞试验要求确定碰撞初速度v₀及车体的双台阶波形的基本参数；

2)定义简化曲线：

(1)定义双台阶波；

(2)定义梯形波；

3)根据面积相等原理进行碰撞波形与约束刚度的耦合分析；

4)引入振动方程求解乘员相对运动响应；

5)求解约束系统刚度；

6)建立插值公式实现约束系统刚度的快速求解。

2.按照权利要求1所述的参数化的约束系统刚度设计方法，其特征在于，所述的定义双台阶波是指：

双台阶波可以表达更多的碰撞信息，且双台阶波在位移域与车体前端结构的可压溃空间对应，因此在车体结构抗撞性的概念设计中，经常以双台阶波作为车体前端结构设计的目标波形；考虑新车型的开发或者改型中的乘员约束系统刚度设计的问题，以双台阶波形作为车体波形，探究约束系统刚度目标设计的方法；

双台阶波中a_v表示纵坐标为车体加速度，t表示横坐标为时间，A₁和A₂分别为双台阶波的两个幅值，t₁为发动机碰撞时刻，t_v为碰撞结束时刻；则有：

式中，A₁和A₂单位为m/s²，t₁和t_v单位为s，v₀单位为m/s；

将时间域的双台阶波转化到相对位移域，相对位移域的双台阶波的幅值不变；D表示横坐标为相对位移；D_r1为发动机碰撞时刻乘员的相对位移，与t₁对应；D_r2为车体停止运动时乘员的相对位移，与碰撞结束时刻t_v对应；针对双台阶波的参数A₁、A₂、t₁和t_v为已知，D_r1和D_r2为未知量；

所述的定义梯形波是指：

梯形约束刚度曲线中梯形约束系统刚度的简化参数包括约束系统等效刚度k、乘员加速度G、乘员最大相对位移D_o/v，以及乘员加速度达到限值时刻t_L的极限相对位移D_L，由约束系统等效刚度k的值确定；其中G和D_o/v是已知量，k和D_L为未知量。

3.按照权利要求1所述的参数化的约束系统刚度设计方法，其特征在于，所述的根据面积相等原理进行碰撞波形与约束系统刚度的耦合分析是指：

将双台阶波和梯形波绘制在相对位移域上，选择车体较乘员先停的碰撞情况，即D_r2<D_o/v，图中A₁和A₂为双台阶波两台阶的幅值，D_r1为发动机前端与壁障接触时乘员的相对位移，D_r2为车停时乘员的相对位移；

根据面积相等原理，碰撞波形和乘员加速度在相对位移域上的积分相等，根据公式：

则有

公式(4)在相对位移域上定量化地显示了车体和约束系统特性的解析关系，但等式中包括已知的车体简化参数A₁，单位为m/s²；A₂，单位为m/s²；乘员加速度限值G，单位为m/s²；设计参数约束系统特性刚度k以及待求解的中间变量D_r1，单位为m和D_r2，单位为m。

4.按照权利要求1所述的参数化的约束系统刚度设计方法，其特征在于，所述的引入振动方程求解乘员相对运动响应是指：

在梯形波上乘员加速度达到限值时刻t_L之前乘员是在两段恒定加速度A₁和A₂作用下的振动响应，根据双台阶波输入下的振动方程求解，可以得到乘员的运动响应为

其中约束系统固有频率ω和约束刚度k的关系为：

根据公式(7)求得在t₁时刻乘员的相对位移x_o/v(t₁)为D_r1：

在t_L时刻乘员的相对位移x_o/v(t_L)即为极限位移D_L：

本步骤引入单自由度振动方程求解乘员的相对运动响应公式，进而获得D_r1和D_L的表达式，为下一步求解约束刚度做铺垫。

5.按照权利要求1所述的参数化的约束系统刚度设计方法，其特征在于，所述的求解约束系统刚度是指：

从双台阶波与梯形波的对应关系图中得出：

联立公式(10)和公式(11)

A₁cosωt_L+(A₂-A₁)cosω(t_L-t₁)＝A₂-G (12)

当乘员加速度达到G时，得到t_L的值为

D_r2的值为：

根据公式有：

由方程(9)、(13)、(14)与(15)联立求解，若提出G和车内空间D_o/v的要求，就可以得到相对应的约束系统刚度k；

由于方程组过于复杂，此处采用一个简化方法来计算D_r2；

以上，如果用该值来进行推导结果将十分庞大，只能通过编程来求解，工程上，乘员加速度达到峰值和车体回弹的时刻接近，所以我们考虑如果令t_v＝t_L，代表在乘员刚刚达到加速度峰值车体开始回弹的碰撞情况下来计算D_r2，计算过程会大幅度简化：

将式(9)和式(16)带入式(15)，则有

至此建立了车体、约束系统特性和乘员响应的相关性，其意义在于碰撞过程中复杂的耦合关系简化为数学求解过程，可以在设计初期确定乘员约束系统特性，具体是根据目标车型，将已知条件包括双台阶波参数A₁，A₂，t₁，t_v，以及边界条件G和D_o/v带入，即可获得以ω为变量的等式f(ω)＝0，求解ω和k的数值：

本步骤考虑如果令t_v＝t_L，求解约束系统刚度。

6.按照权利要求1所述的参数化的约束系统刚度设计方法，其特征在于，所述的建立插值公式实现约束系统刚度的快速求是指：

中不仅包括ω的平方项，还包括ω的三角函数项，无法进行直接的解析求解，为了简便计算过程，将f(ω)用二次多项式拟合，例如取ω＝ω₁，ω₂，ω₃；计算对应的f(ω₁),f(ω₂),f(ω₃)，可以确定p₁，p₂和p₃值，

f(ω)＝p₁ω²+p₂ω+p₃ (19)

计算当f(ω)＝0时ω的取值，根据公式即可获得k。