CN108898540B - 基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，步骤包括：1)将两个明文图像f₁和f₂在水平方向上连接，将两个明文图像组合成一个放大图像f_e；然后基于双耦合Logistic映射对该放大图像f_e执行混沌置换过程，完成混沌加扰过程并获得加扰图像f′_e；然后，将加扰图像f′_e分解为由表示的两个新分量；2)利用两个新分量，制作临时图像f_c；3)对临时图像f_c执行具有周期性对、分数阶对和矢量对的二维离散多参数分数阶变换，得到密文和公共相位，至此完成双图像加密。本发明方法，便于密钥管理，增强了密码系统的安全性。

Description

基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法

技术领域

本发明属于图像加密技术领域，涉及一种基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法。

背景技术

为了减少互联网上图像通信的过载，双图加密近年来引起了人们的广泛关注。Liu等人提出了一个双重图像加密方案，采用迭代随机二进制编码在回转变换域，其中两个秘密图像被视为复数函数的实部和虚部，并在随机二进制数据的控制下相互交换。Chen等人提出了一种基于衍射成像的双图像加密方法，该方法使用横向平移相位光栅，将衍射强度图案作为密文图像获得。Wang等人定义了一个随机正交矩阵来线性重组两个秘密图像，并根据DRPE将混合图像加密为密文。Zhong等人利用两个加扰的明文图像作为复杂函数的相位和幅度，该分数傅立叶域基于DRPE编码。Zhao和Wang将秘密图像加密成振幅密文，并使用DRPE对主图像进行解密系统。Wang等人在一个随机二进制分布矩阵的帮助下，将两个原始图像混合到一个复杂函数中，然后通过使用多级相位编码来加密复杂函数。Zhang和Xiao采用Chirikov标准图对两个秘密图像的像素进行加扰，这两个秘密图像被认为是合成函数的幅度和相位。Wang等人将每幅图像的信息记录到FrFT光谱的两个强度干涉图样中，并通过使用随机混合编码将加密图像重组为合成密文。Wang等人通过控制随机振幅掩模提出了两种安全层加密方案，其中使用非线性空间和频谱编码技术来消除信息泄露的风险。

虽然上述双图加密方案可以提高图像传输和通信的效率，但相位掩码通常被用作大多数密码系统中的私钥，不便于存储，传输和管理密钥。为了克服这个缺点，提出了基于多参数的加密方案，其中通过附加密钥而不是相位密钥来增强安全性。Lang报告了一种基于离散多参数分数傅立叶变(DMPFrFT)的图像加密算法，不使用相位密钥，其中通过使用变换的额外参数可以增强信息的安全性。Shan等人提出了基于DMPFrFT的双重图像加密，其中一个原始图像被混沌映射加扰并用作复函数的幅度，另一个图像被编码为相位部分。周等人通过使用离散多参数分数傅里叶变换提出了一种图像加密方法，它由分数阶，周期性和矢量构成。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，解决了现有技术中存在的问题。

本发明所采用的技术方案是，一种基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，按照以下步骤具体实施：

步骤1，将两个大小为N×N的明文图像f₁和f₂在水平方向上连接，将两个明文图像组合成一个大小为N×2N个像素的放大图像f_e；然后基于双耦合Logistic映射对该放大图像f_e执行混沌置换过程，Logistic映射是一维非线性混沌函数，表达式为：

f(x)＝px(1-x) (1)

其中，p是系统参数，并且0≤p≤4，Logistic映射的迭代表达式为：

x_n+1＝px_n(1-x_n) (2)

其中，x_n∈(0，1)是迭代值，x₀是初始值，双耦合Logistic映射的迭代表达式为：

x_n+1＝px_n(1-x_n)+ε(y_n-x_n) (3)

y_n+1＝py_n(1-y_n)+ε(x_n-y_n) (4)

其中，ε是耦合常数，并且-2＜ε＜2；

设置初始参数x₀,y₀,ε₀,p₀和一个整数K值，分别通过式(1)、式(2)生成长度为N+K和2N+K的两个随机序列；丢弃前K值，得到两个序列X和Y，即X＝{c(m)|m＝1，2，…，N}和Y＝{r(n)|n＝1，2，…，2N}；对序列X和Y按升序或降序排序，得到两个新序列X′和Y′，即X′＝{c[w(m)]|m＝1，2，…，N}和Y′＝{r[w(n)]|n＝1，2，…，2N}，符号w表示地址码；

假设f′_e是使用新序列X′和Y′的加扰放大图像，如果f′_e中的像素的坐标是(m,n)，则其强度等于f_e中(w(m),w(n))位置处的像素的值；

通过上述步骤，完成混沌加扰过程并获得加扰图像f′_e；然后，将加扰图像f′_e分解为由f′_i(i＝1，2)表示的两个新分量；

步骤2，利用两个新分量f′_i(i＝1，2)，制作临时图像f_c，

首先，利用Logistic映射生成混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))，分量的大小为N×N个像素，给定初始值x₁和控制参数p₁，通过式(2)生成得到序列X＝{x₁，x₂，…，x_N×N+K}，x_i∈(0，1)，M×N+K是生成的序列长度，再抛弃前K值来增加序列的随机性和扰动，得到一个新的序列X′＝{x′₁，x′₂，…，x′_N×N}，x′_i∈(0，1)并转换为二维矩阵；然后，将矩阵的每个元素乘以2π以形成混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))的相位值；

将分量f′₂用最大值1归一化，由归一化后的f′₂和混沌随机相位掩模exp(iΦ₁)计算调制相位掩模，表达式为：

exp(iΦ₂(x))＝exp(i(Φ₁(x)+α(x))) (5)

其中，角度α(x)计算式为：

分量f′₁与混沌相位掩模exp(iΦ₁)及调制相位掩模exp(iΦ₂)相乘得到临时图像f_c，临时图像f_c的表达式为：

f_c＝(f′₁×exp(iΦ₁)×exp(iΦ₂)) (7)

步骤3，对临时图像f_c执行具有周期性对(M_L，M_R)、分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)的二维离散多参数分数阶变换，得到密文和公共相位，至此完成双图像加密。

本发明的有益效果是，1)在加密和解密过程中，混沌函数的初始值，DMPFAT的小数阶和矢量参数被用作密钥。2)本发明方法对诸如所选择的明文攻击等潜在攻击具有高度抵抗力，并且具有对基于相位截短傅里叶变换的加密方案致命的特定攻击的固有免疫性。3)本发明方法不使用相位密匙，便于私钥的存储，传输和管理。4)本发明方法对选择明文攻击之类的潜在攻击具有高度抵抗性，对抗诸如暴力攻击，噪声攻击和遮挡攻击等其他攻击具有高鲁棒性。5)具有无需使用相位密钥的优点，便于私钥的存储、传输和管理。

附图说明

图1是本发明双图像加密方法的流程图；

图2是本发明方法的解密流程图；

图3是本发明方法实施例采用的明文图像“Lena”；

图4是本发明方法实施例采用的明文图像“Baboon”；

图5是本发明方法基于双耦合Logistic映射对放大图像执行混沌置换并分解后获得的一个新分量；

图6是本发明方法基于双耦合Logistic映射对放大图像执行混沌置换并分解后获得的另一个新分量；

图7是明文图像经本发明双图像加密方法处理得到的密文图像；

图8是明文图像经本发明双图像加密方法处理得到的公共相位；

图9是密文图像经解密后恢复得到的一个解密图像“Lena”；

图10是密文图像经解密后恢复得到的另一个解密图像“Baboon”。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法(以下简称双图像加密方法)，首先，将两个明文图像按顺序连接成一个放大图像。然后，利用基于双耦合Logistic映射的混沌置换过程对该放大图像进行加扰，并将其分解为两个新的分量，通过该两个新的分量彻底破坏明文图像的统计信息。其次，基于Logistic映射生成混沌随机相位掩模，其中两个分量中的一个被转换为调制相位掩模，借助调制相位掩模将另一个分量编码为临时图像。最后，在临时图像上执行DMPFAT以获得密文和公共相位函数。

参照图1，本发明的双图像加密方法，按照以下步骤具体实施：

步骤1，如图3、图4，将两个大小为N×N的明文图像f₁和f₂在水平方向上连接，将两个明文图像组合成一个大小为N×2N个像素的放大图像f_e；然后基于双耦合Logistic映射对该放大图像f_e执行混沌置换过程，Logistic映射是一维非线性混沌函数，表达式为：

f(x)＝px(1-x) (1)

其中，p是系统参数，并且0≤p≤4，Logistic映射的迭代表达式为：

x_n+1＝px_n(1-x_n) (2)

其中，x_n∈(0，1)是迭代值，x₀是初始值，双耦合Logistic映射的迭代表达式为：

x_n+1＝px_n(1-x_n)+ε(y_n-x_n) (3)

y_n+1＝py_n(1-y_n)+ε(x_n-y_n) (4)

其中，ε是耦合常数，并且-2＜ε＜2；

设置初始参数x₀,y₀,ε₀,p₀和一个整数K值，分别通过式(1)、式(2)生成长度为N+K和2N+K的两个随机序列；丢弃前K值，得到两个序列X和Y，即X＝{c(m)|m＝1，2，…，N}和Y＝{r(n)|n＝1，2，…，2N}；对序列X和Y按升序或降序排序，得到两个新序列X′和Y′，即X′＝{c[w(m)]|m＝1，2，…，N}和Y′＝{r[w(n)]|n＝1，2，…，2N}，符号w表示地址码；

对于变换后的序列，元素的值不会改变，但是位置是变化的，换句话说，新序列X′中的第m个元素对应于序列X中的第w(m)个元素；那么，假设f′_e是使用新序列X′和Y′的加扰放大图像，如果f′_e中的像素的坐标是(m,n)，则其强度等于f_e中(w(m),w(n))位置处的像素的值；

通过上述步骤，完成混沌加扰过程并获得加扰图像f′_e；然后，将加扰图像f′_e分解为由f′_i(i＝1，2)表示的两个新分量，

上述过程中，ε₀、p₀和K被用作控制参数，而初始值x₀和y₀被用作私钥。

图5和图6显示了当混沌函数初始值x₀、y₀和x₁分别设置为0.21、0.83和0.14，控制参数p₀、p₁和K分别固定为3.56995、3.99995和2000，常数ε₀设置为0.471时，通过上述基于双耦合Logistic映射对图3和图4所示的明文图像执行混沌置换并分解过程后获得的两个新分量f′_i(i＝1，2)。

步骤2，利用两个新分量f′_i(i＝1，2)，制作临时图像f_c，

首先，利用Logistic映射生成混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))，分量的大小为N×N个像素，给定初始值x₁和控制参数p₁，通过式(2)生成得到序列X＝{x₁，x₂，…，x_N×N+K}，x_i∈(0，1)，M×N+K是生成的序列长度，再抛弃前K值来增加序列的随机性和扰动，得到一个新的序列X′＝{x′₁，x′₂，…，x′_N×N}，x′_i∈(0，1)并转换为二维矩阵；然后，将矩阵的每个元素乘以2π以形成混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))的相位值；

以上过程中，logistic映射的初始值x1而不是混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))被用作私钥，这能够明显减少存储、通信和管理私钥的开销。

将分量f′₂用最大值1归一化，由归一化后的f′₂和混沌随机相位掩模exp(iΦ₁)计算调制相位掩模，表达式为：

exp(iΦ₂(x))＝exp(i(Φ₁(x)+α(x))) (5)

其中，角度α(x)计算式为：

分量f′₁与混沌相位掩模exp(iΦ₁)及调制相位掩模exp(iΦ₂)相乘得到临时图像f_c，临时图像f_c的表达式为：

f_c＝(f′₁×exp(iΦ₁)×exp(iΦ₂)) (7)

步骤3，对临时图像f_c执行具有周期性对(M_L，M_R)、分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)的二维离散多参数分数阶变换(DMPFAT)，得到密文和公共相位。

本发明在现有的DFAT算法的基础上，本步骤利用分数阶和周期性参数定义的离散分数变换，称为离散多参数分数阶变换(即本发明提出的DMPFAT)，具有N个点的一维DMPFAT的表达式为：

其中，周期性参数M是一个正整数，α表示分数阶，β表示角参数；f(x)就是进行变换的原函数，就是临时图像fc，

向量参数u＝(u₀，u₁，u₂，…u_M-1)∈Z^M是一个随机的M维整数向量；l＝0，1，2，…M-1，

权重系数C_l(α，u)的表达式为：

基础函数A_l(x)的表达式为：

其中的

为DFAT的核矩阵，表达式为：

其中的

和

分别为DFAT的特征向量矩阵和特征值矩阵，上标t表示矩阵转置，DFAT的特征值矩阵表达式为：

其中diag[·]表示对角矩阵，系数T是一个正整数；当N＝2和N＝3时，特征向量矩阵

和

的计算式分别为：

对于其他情况(下标除了2和3的情况)，通过使用依赖于以下等式的递归过程来计算特征向量矩阵：

其中

是通过从向下方向翻转矩阵V_N获得，并且V₀是1×N的零向量。

二维DMPFAT(即2D-DMPFAT)直接被看作是X轴和Y轴上的两个连续的一维DMPFAT，对于具有H×W像素的图像f(x，y)，H和W分别是H×W像素的图像大小值；具有周期性对(M_L，M_R)、分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)的二维DMPFAT的表达式为：

其中，

和

分别表示为：

其中，k和l是从0到M_L-1递增，

最终的密文C_final和公共相位Φ_final通过下面两个表达式得到：

其中，PT和AT分别表示相位截断和振幅截断操作；在以上过程中，分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)用作私钥，至此完成双图像加密。

图7和图8分别显示了当二维DMPFAT的周期对(M_L，M_R)设置为(15,15)，分数阶对(α_L，α_R)设置为(0.25,0.75)，矢量参数u_L和u_R分别在[1,100]和[1,200]范围内随机分布时，临时图像f_c经二维离散多参数分数阶变换后得到的密文图像和公共相位。

参照图2，对于本发明上述的双图像加密的解密过程是，首先在逆DMPFAT模块中通过执行具有周期性对(M_L，M_R)、分数阶对(-α_L，-α_R)和矢量对(u_L，u_R)的逆二维DMPFAT来获得临时图像f_c，表达式为：

然后，将调制相位掩模exp(iΦ₂)恢复为：

exp(iΦ₂)＝AT{f_c}×conj{exp(iΦ₁)} (17)

其中，conj{·}表示共轭操作；

在逆调制相位掩模生成模块中，利用相位掩模exp(-iΦ₁)和exp(iΦ₂)获得加扰分量f′₂：

f′₂＝|conj{exp(iΦ₁)}+exp(iΦ₂)| (18)

然后再获得另一个加扰分量f′₁：

f′₁＝((f_c×conj{exp(iΦ₂)})×conj{exp(iΦ₁)})*255 (19)

在逆组合和分解模块中，两个加扰分量f′₁和f′₂(该两个加扰分量f′₁和f′₂相当于步骤1中的两个新分量f′_i(i＝1，2))被连续组合以形成放大图像f′_e，然后根据加密过程基于随机序列X′和Y′对放大图像f′_e进行加扰。最后，混淆加扰后的放大图像f′_e被分解成两个图像，即最终得到的解密图像。

图9和图10显示了经上述解密过程后得到的解密图像，明文图像与解密图像之间的差异无法区分，相似度非常高。

Claims (4)

1.一种基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，其特征在于，按照以下步骤具体实施：

步骤1，将两个大小为N×N的明文图像f₁和f₂在水平方向上连接，将两个明文图像组合成一个大小为N×2N个像素的放大图像f_e；然后基于双耦合Logistic映射对该放大图像f_e执行混沌置换过程，

Logistic映射是一维非线性混沌函数，表达式为：

f(x)＝px(1-x) (1)

其中，p是系统参数，并且0≤p≤4，Logistic映射的迭代表达式为：

x_n+1＝px_n(1-x_n) (2)

其中，x_n∈(0，1)是迭代值，x₀是初始值，双耦合Logistic映射的迭代表达式为：

x_n+1＝px_n(1-x_n)+ε(y_n-x_n) (3)

y_n+1＝py_n(1-y_n)+ε(x_n-y_n) (4)

其中，ε是耦合常数，并且-2＜ε＜2；

设置初始参数x₀，y₀，ε₀，p₀和一个整数K值，分别通过式(1)、式(2)生成长度为N+K和2N+K的两个随机序列；丢弃前K值，得到两个序列X和Y，即X＝{c(m)|m＝1，2，…，N}和Y＝{r(n)|n＝1，2，…，2N}；对序列X和Y按升序或降序排序，得到两个新序列X′和Y′，即X′＝{c[w(m)]|m＝1，2，…，N}和Y′＝{r[w(n)]|n＝1，2，…，2N}，符号w表示地址码；

假设f′_e是使用新序列X′和Y′的加扰放大图像，如果f′_e中的像素的坐标是(m，n)，则其强度等于f_e中(w(m)，w(n))位置处的像素的值；

通过上述步骤，完成混沌加扰过程并获得加扰图像f′_e；然后，将加扰图像f′_e分解为由f′_i(i＝1，2)表示的两个新分量；

步骤2，利用两个新分量f′_i(i＝1，2)，制作临时图像f_c，

首先，利用Logistic映射生成混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))，分量的大小为N×N个像素，给定初始值x₁和控制参数p₁，通过式(2)生成得到序列X＝{x₁，x₂，…，x_N×N+K}，x_i∈(0，1)，M×N+K是生成的序列长度，再抛弃前K值来增加序列的随机性和扰动，得到一个新的序列X′＝{x′₁，x′₂，…，x′_N×N}，x′_i∈(0，1)并转换为二维矩阵；然后，将矩阵的每个元素乘以2π以形成混沌随机相位掩模exp(iΦ₁(x))的相位值；

将分量f′₂用最大值1归一化，由归一化后的f′₂和混沌随机相位掩模exp(iΦ₁)计算调制相位掩模，表达式为：

exp(iΦ₂(x))＝exp(i(Φ₁(x)+α(x))) (5)

其中，角度α(x)计算式为：

分量f′₁与混沌相位掩模exp(iΦ₁)及调制相位掩模exp(iΦ₂)相乘得到临时图像f_c，临时图像f_c的表达式为：

f_c＝(f′₁×exp(iΦ₁)×exp(iΦ₂)) (7)

步骤3，对临时图像f_c执行具有周期性对(M_L，M_R)、分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)的二维离散多参数分数阶变换，得到密文和公共相位，具体过程是，

具有N个点的一维DMPFAT的表达式为：

其中，周期性参数M是一个正整数，α表示分数阶，β表示角参数；f(x)就是进行变换的原函数，就是临时图像fc，

向量参数u＝(u₀，u₁，u₂，…u_M-1)∈Z^M是一个随机的M维整数向量；l＝0，1，2，…M-1，

权重系数C_l(α，u)的表达式为：

基础函数A_l(x)的表达式为：

其中的

为DFAT的核矩阵，表达式为：

其中的

和

分别为DFAT的特征向量矩阵和特征值矩阵，上标t表示矩阵转置，DFAT的特征值矩阵表达式为：

其中diag[·]表示对角矩阵，系数T是一个正整数；当N＝2和N＝3时，特征向量矩阵

和

的计算式分别为：

对于其他情况，通过使用依赖于以下等式的递归过程来计算特征向量矩阵：

其中

是通过从向下方向翻转矩阵V_N获得，并且V₀是1×N的零向量，二维DMPFAT直接被看作是X轴和Y轴上的两个连续的一维DMPFAT，对于具有H×W像素的图像f(x，y)，H和W分别是H×W像素的图像大小值；具有周期性对(M_L，M_R)、分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)的二维DMPFAT的表达式为：

其中，

和

分别表示为：

其中，k和l是从0到M_L-1递增，

最终的密文C_final和公共相位Φ_final通过下面两个表达式得到：

其中，PT和AT分别表示相位截断和振幅截断操作，至此完成双图像加密。

2.根据权利要求1所述的基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，其特征在于：所述的步骤1中，ε₀、p₀和K被用作控制参数，而初始值x₀和y₀被用作私钥。

3.根据权利要求1所述的基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，其特征在于：所述的步骤2中，logistic映射的初始值x₁被用作私钥。

4.根据权利要求1所述的基于离散分数角变换和混沌理论的双图像加密方法，其特征在于：所述的步骤3中，分数阶对(α_L，α_R)和矢量对(u_L，u_R)被用作私钥。

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