CN108875183A - 利用膜加湿器实现燃料电池进气加湿的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种利用膜加湿器实现燃料电池进气加湿的建模方法，建立了一维平板式膜加湿器的瞬态仿真模型，模型的控制方程包括：膜中含水量、流道中水蒸气、湿润侧流道中液态水以及能量等四个守恒方程。利用燃料电池堆高热高湿尾气对入口处低温干燥反应气体进行加湿，充分考虑了加湿器内部的水热耦合传输过程，水蒸气、液态水以及膜态水之间的相变过程以及水气联合加湿作用。模型基于显示格式更新算法，控制方程在各层中心处求解，计算效率高且能够保证足够的模型精度。膜加湿器模型能够实现与电堆的耦合，通过边界条件的设定，构建完善的加湿系统，作为系统的传热传质分析、结构优化以及选型的数值仿真工具，对于实际产品开发具有很强的指导意义。

Description

利用膜加湿器实现燃料电池进气加湿的建模方法

技术领域

本发明应用于质子膜燃料电池领域，具体涉及一维瞬态平板式膜加湿器的模型建立方法。

技术背景

质子交换膜燃料电池(PEMFC)作为一种高效率、低污染的能量转化装置，在能源危机与环境污染问题日益突出之际，引起了国内外学者的广泛关注。质子交换膜燃料电池工作时，由于阳极反应产生的H⁺在透过质子交换膜到达阴极的过程中，每个H⁺会拖拽1～5个水分子，导致阳极侧膜中水分流失，虽然阴极侧生成的水在浓度梯度的作用下会向阳极发生一定程度的扩散，但是阳极侧膜可能仍处于干燥状态，这对燃料电池的输出性能、结构和寿命都会产生重要影响。

为了解决这一问题，广泛采用的方法是对反应气体进行加湿。目前车载燃料电池系统产品中，对空气的加湿主要基于膜加湿技术，即高温高湿气体中的热量和水分通过膜传递到干燥气体一侧来增加其温度与湿度，其增湿效率主要取决于膜的渗水特性。目前膜增湿器中增湿膜一般使用Dupont公司生产的Nafion系列质子交换膜，研究人员也一直在探索Nafion膜的替代材料以降低制造成本。尽管已有模型对膜加湿器中的传热传质过程进行了一定的探究，但是将膜加湿器与燃料电池堆耦合起来，利用电堆高湿尾气对入口端低温干燥气体进行加湿，在系统层面研究其瞬态响应、加湿效率及其对电堆的影响也非常困难。而这对于实际产品设计中膜加湿器的选型起着决定性的作用，不合理的选型不仅会降低电堆性能，而且可能对电堆寿命产生严重的破坏。此外，已有的膜加湿器模型通常只考虑水气加湿或者气气加湿中的一种，而电堆阴极出口的尾气中可能还有液态水，需要综合考虑两种加湿情况，否则其真实准确性会大幅度降低。本发明提出的模型可以同时考虑多种加湿作用，给出系统中膜加湿器的规格选择以及运行工况建议，同时能够极大的减小实验成本以及研发周期。

发明内容

本发明的目的在于，提出一维瞬态膜加湿器的建模方法，充分考虑传热过程与水传输的相互耦合作用、流道中的水蒸气与膜中水含量的相变过程等，能够精确模拟膜加湿器的加湿作用。

利用膜加湿器实现燃料电池进气加湿的建模方法，主要是建立一维平板式膜加湿器的瞬态仿真模型，模型包括四个守恒方程，所建立的每个控制方程具体步骤如下：

(1)膜中含水量守恒方程

式中分别表示t时刻湿润侧膜与干燥侧膜的含水量，分别表示t-Δt时刻湿润侧膜与干燥侧膜含水量，δ_MEM表示质子交换膜厚度，EW表示膜的当量质量，ρ_MEM表示质子交换膜密度，Δt表示时间步长大小，表示干湿两侧膜中水的有效扩散系数。D_m表示扩散系数，计算表达式如下：

式中与分别表示干燥侧与湿润侧水的扩散系数，计算出对应的扩散系数后，可以求解出平均有效扩散系数S_MH,mw表示膜态水的源项，计算表达式如下：

式中S_m-v表示膜态水与水蒸气之间的相变源项，S_MH,per表示由于水力渗透作用从湿润侧传输到干燥侧的源项，S_m-v的数值根据膜中水含量λ及当量水含量λ_eq来计算：

式中ξ_m-v表示膜态水与水蒸气的相变速率，a表示水活性，c_vp表示流道中水蒸气浓度，c_sat表示流道内对应温度下的饱和水蒸气浓度，p_sat表示饱和蒸气压，R表示理想气体常数，T为流道中气体温度。

水力渗透源项S_MH,per的计算表达式如下：

式中ρ_lq表示液态水密度，K_per表示水力渗透系数，p_l,wet，p_l,dry分别表示湿润侧、干燥侧的液压大小，干燥侧不考虑液态水的存在，μ_lq表示液态水动力粘度，其计算表达式如下：

(2)流道中水蒸气守恒方程

流道中涉及到的水蒸气浓度分为入口浓度、流道中浓度、出口浓度，流道中浓度的计算如下：

式中和分别表示t时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，和分别表示t-Δt时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，S_MH,vp表示流道中水蒸气的源项，包括膜态水与水蒸气的相变源项S_m-v、液态水与水蒸气的相变源项S_v-l以及流道进出口的水蒸气含量的增量S_vp,flow：

式中相变源项S_v-l的计算表达式如下：

式中ξ_v-l、ξ_l-v表示液态水与水蒸气之间的相变速率，s_lq表示液态水的体积分数，

流道中水蒸气的增量计算如下：

式中A_MH,in表示流道入口截面积大小，A_MH表示膜加湿器面积，r_CH表示膜加湿器流道宽度与总宽度的比值，c_vp,in和c_vp,out分别表示流道内水蒸气的进出口浓度，u_in与u_out分别表示流道内气体进出口流速；

(3)湿润侧流道中液态水守恒方程

模型中湿润侧流道中液态水计算采取简化的方法，干燥侧流道中仅仅考虑水蒸气的存在，

式中表示t时刻湿润侧流道中液态水体积分数，S_MH,lq表示液态水的源项，其计算表达式如下：

液态水的源项包括水蒸气的相变源项以及流道进出口的对流项，u_ratio表示气液流速比；

(4)能量守恒方程

膜加湿器中温度的计算方式采用显式格式，具体如下：

式中分别表示t时刻湿润侧流道、交换膜与干燥侧流道的温度， 分别对应t-Δt时刻的温度值，表示湿润侧流道与膜的有效导热系数，表示干燥侧流道与膜的有效导热系数，h_surr表示膜加湿器与环境的换热系数，T_surr表示环境温度，ρc_p表示密度比热容。S_T表示热源项，据下式计算：

由于膜态水向水蒸气相变过程中存在相变换热，所以计算中予以考虑，式中h_cond表示蒸发潜热，Q_gas表示气体通过膜加湿器时所引入或带走的热量，每种气体组分都需要涉及到。以下仅列举流道中水蒸气的计算：

通过上述方程的求解，即可建立完整的一维瞬态膜加湿器模型，根据膜加湿器定义的初始参数以及系统向膜加湿器输入的参数，就可以求解出膜加湿器出口水蒸气浓度、温度、膜态水含量、以及相对湿度参数，然后将输出参数反馈给系统，实现加湿系统与燃料电池堆的耦合。

本发明的有益之处在于

(1)采用简化方法，构建了一维瞬态膜加湿器仿真模型，充分考虑了加湿器内部的水热耦合过程，水蒸气、液态水以及膜态水之间的相变过程以及水气联合加湿过程，从而建立了更加真实可靠的数值仿真工具。

(2)建立的膜加湿器模型能够实现与燃料电池堆的耦合，通过边界条件的设定，构建完善的加湿系统。燃料电池堆工作时，可以直观的观察到膜加湿器对电堆性能的影响，同时也可以实时监控各工况下膜加湿器的性能，为膜加湿器的分析、优化以及选型提供参考建议。

(3)模型采用显示格式更新算法，控制方程在膜加湿器各层中心处求解，层内不再细分网格，模型的计算效率高且能够保证足够的模型精度。

附图说明

图1是平板式膜加湿器物理结构示意图。

图2是平板式膜加湿器水热传输示意图。

图3是不同温度下的水回收率验证。

图4是不同干燥侧气体出口压力下的水回收率验证。

图5是不同时刻干湿侧流道内水蒸气浓度。

图6是不同时刻干湿侧膜态水含量的变化。

图3至图6均为本发明实施效果，其中图3和图4是仿真结果与实验数据曲线对比。

具体实施方式

以下通过具体实施例对本发明的建模过程作进一步的说明，需要说明的是本计算实施例是叙述性的，而不是限定性的，不以此限定本发明的保护范围。

平板式膜加湿器物理结构如图1所示，主要结构包括干湿侧流道和质子交换膜。加湿过程如图2所示，大致可分为以下几个阶段：首先是湿润侧流道中的水蒸气被膜吸收，然后是水分子在干湿侧浓度差的作用下扩散到达干燥侧，最后是干燥侧膜中水与流道中水蒸气建立平衡状态，进而浸润空气，上述水传输的过程伴随着热量的传递。

本模型所建立的每个控制方程具体步骤如下：

(1)膜中含水量守恒方程

式中分别表示t时刻湿润侧膜与干燥侧膜的含水量，分别表示t-Δt时刻湿润侧膜与干燥侧膜含水量，δ_MEM(m)表示质子交换膜厚度，EW(kg kmol^-1)表示膜的当量质量，ρ_MEM(kg m^-3)表示质子交换膜密度，Δt(s)表示时间步长大小，表示干湿两侧膜中水的有效扩散系数。D_m表示扩散系数，计算表达式如下：

式中与分别表示干燥侧与湿润侧水的扩散系数，计算出对应的扩散系数后，可以求解出平均有效扩散系数S_MH,mw(kmol m^-3s^-1)表示膜态水的源项，计算表达式如下：

式中S_m-v(mol m^-3s^-1)表示膜态水与水蒸气之间的相变源项，S_MH,per表示由于水力渗透作用从湿润侧传输到干燥侧的源项。S_m-v的数值根据膜中水含量λ及当量水含量λ_eq来计算：

式中ξ_m-v(s^-1)表示膜态水与水蒸气的相变速率，a表示水活性，c_vp(mol m^-3)表示流道中水蒸气浓度，c_sat(mol m^-3)表示流道内对应温度下的饱和水蒸气浓度，p_sat(Pa)表示饱和蒸气压，R(J mol^-1K^-1)表示理想气体常数，T(K)为流道中气体温度。

水力渗透源项S_MH,per的计算表达式如下：

式中ρ_lq(kg m^-3)表示液态水密度，K_per(m²)表示水力渗透系数，p_l,wet，p_l,dry(Pa)分别表示湿润侧、干燥侧的液压大小，干燥侧不考虑液态水的存在。μ_lq(kg m^-1s^-1)表示液态水动力粘度，其计算表达式如下：

(2)流道中水蒸气守恒方程

由于流道中的气液两相流动问题过于复杂，CFD的三维模型中都难以处理，本模型提供了一种简化的方法来求解水蒸气的浓度。流道中涉及到的水蒸气浓度分为入口浓度、流道中浓度、出口浓度。流道中浓度的计算如下：

式中和分别表示t时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，和分别表示t-Δt时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，S_MH,vp(mol m^-3s^-1)表示流道中水蒸气的源项，包括膜态水与水蒸气的相变源项S_m-v、液态水与水蒸气的相变源项S_v-l以及流道进出口的水蒸气含量的增量S_vp,flow：

式中相变源项S_v-l(mol m^-3s^-1)的计算表达式如下：

式中ξ_v-l(s^-1)、表示液态水与水蒸气之间的相变速率，s_lq表示液态水的体积分数。

流道中水蒸气的增量计算如下：

式中A_MH,in(m²)表示流道入口截面积大小，A_MH表示膜加湿器面积，r_CH表示膜加湿器流道宽度与总宽度(流道宽度与肋宽之和)的比值，c_vp,in和c_vp,out(mol m^-3)分别表示流道内水蒸气的进出口浓度，u_in与u_out(m s^-1)分别表示流道内气体进出口流速。

(3)湿润侧流道中液态水守恒方程

大电流密度时电堆阴极尾气中含有液态水，这部分液态水在气体的吹动下沿着管道流动，和水蒸气一起进入膜加湿器中，当把膜加湿器放置在燃料电池系统中，则有必要同时考虑进入湿润侧流道的水蒸气和液态水。

模型中湿润侧流道中液态水计算采取简化的方法，干燥侧流道中仅仅考虑水蒸气的存在。

式中表示t时刻湿润侧流道中液态水体积分数，S_MH,lq(kg m^-3s^-1)表示液态水的源项，其计算表达式如下：

液态水的源项包括水蒸气的相变源项以及流道进出口的对流项，u_ratio表示气液流速比。

(4)能量守恒方程

膜加湿器中温度的计算方式采用显式格式，具体如下：

式中分别表示t时刻湿润侧流道、交换膜与干燥侧流道的温度，分别对应t-Δt时刻的温度值，表示湿润侧流道与膜的有效导热系数，表示干燥侧流道与膜的有效导热系数，h_surr(W m^-2K^-1)表示膜加湿器与环境的换热系数，T_surr(K)表示环境温度，ρc_p(J m^-3K^-1)表示密度比热容，S_T(J m^-3s^-1)表示热源项。

由于膜态水向水蒸气相变过程中存在相变换热，所以计算中予以考虑，式中h_cond(J kg^-1)表示蒸发潜热，Q_gas表示气体通过膜加湿器时所引入或带走的热量，每种气体组分都需要涉及到，以下仅列举流道中水蒸气的计算：

通过上述方程的求解，即可建立完整的一维瞬态膜加湿器模型，根据膜加湿器定义的初始参数以及系统向膜加湿器输入的参数，就可以求解出膜加湿器出口水蒸气浓度、温度、膜态水含量、以及相对湿度参数，然后将输出参数反馈给系统，实现加湿系统与燃料电池堆的耦合。

下面结合具体计算实例说明其设计方案和应用，计算实例涉及到的参数如下：

膜加湿器的结构尺寸：干、湿两侧气体流道宽度和高度均为1mm，流道长度为0.1m。

质子交换膜的结构参数：面积为0.01m²，厚度为0.0254mm，入口截面积为5×10^{- 5}m²，水力渗透系数为3.5×10^-19m²，密度为1980kg m^-3，当量质量为1100kg kmol^-1。

干燥侧入口水蒸气浓度为0mol m^-3，液态水体积分数为0。

湿润侧入口水蒸气浓度为2.0mol m^-3，液态水体积分数为5×10^-6。

液态水与水蒸气间的相变速率为1000.0s^-1，膜态水与水蒸气间的相变速率为2.0s^-1。

液态水的密度为990kg m^-3。

膜中初始水含量为6。

气液流速比为1。

周围环境温度为25℃，膜加湿器的初始温度为25℃。

以下选取1.9s到2.0s的显示格式更新算法作为算例。

(1)膜中含水量计算

式中与则分别对应1.9s时刻的含水量，干燥侧膜含水量为5.8782，湿润侧膜含水量为6.1460，与分别表示2.0s时刻湿润侧膜与干燥侧膜的含水量，δ_MEM表示交换膜厚度为0.0254mm，EW表示膜的当量质量为1100kg kmol^-1，ρ_MEM表示膜的密度为1980kgm^-3，Δt(s)表示时间步长大小为2×10^-6s，S_MH,mw(kmol m^-3s^-1)表示膜态水的相变源项，(m²s^-1)表示干湿侧膜中水的有效扩散系数。

首先计算干燥侧与湿润侧膜中水的有效扩散系数

根据干湿侧水含量可以计算出相应的扩散系数和数值分别为1.2294×10^-10m²s^-1和1.2093×10^-10m²s^-1，然后求解的平均有效扩散系数为1.2193×10^-10m²s^-1。

计算干、湿两侧流道内水蒸气的水活性a：

p_sat＝101325×10^exp

exp＝-2.1794+0.02953×(T-273.15)-9.1837×10^-5×(T-273.15)²+1.4454×10^-7×(T-273.15)³

式中c_vp表示水蒸气浓度，1.9s时刻干燥侧为0.9414mol m^-3，湿润侧为0.9922molm^-3，R表示理想气体常数为8.3145J mol^-1K^-1，p_sat表示干湿两侧的饱和水蒸气压力，干燥侧为3234.2492Pa，湿润侧为3234.2499Pa，c_sat表示干湿两侧对应温度下的饱和水蒸气浓度，干燥侧为1.30461mol m^-3，湿润侧为1.30462mol m^-3，最终计算得干燥侧水活性为0.7216，湿侧水活性为0.7605。

S_MH,mw表示膜态水的相变源项：

S_m-v膜表示膜态水与水蒸气之间的相变源项：

ξ_m-v表示膜态水与水蒸气的相变速率为2.0s^-1，λ_eq表示质子交换膜的当量水含量：

计算得1.9s时刻干燥侧当量水含量为5.6677，湿润侧当量水含量为6.3713，得到干燥侧膜态水与水蒸气的相变源项为0.3789mol m^-3s^-1，湿润侧膜态水与水蒸气的相变源项为-0.4057mol m^-3s^-1。

S_MH，per表示水力渗透作用源项：

式中K_per表示水力渗透系数为3.5×10^-19m²，则表示水的摩尔质量为18g mol^-1，p_1,wet、p_1,dry分别湿润侧、干燥侧的液压大小，计算得干燥侧与湿润侧液压差值为0.1046Pa，μ_lq表示液态水动力粘度，其计算表达式如下：

计算得μ_lq＝8.9014×10^-4kg m^-1s^-1，膜态水的相变源S_MH,per＝7.0154×10^-6kmol m^-3s^-1。

综合以上计算过程可得到2.0s时刻的干湿两侧膜的水含量，干燥侧膜的水含量为5.8774，湿润侧膜的水含量为6.1483。

(2)流道中水蒸气浓度计算

式中和分别表示1.9s时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，和 分别表示2.0s时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，S_MH,vp(mol m^-3s^-1)表示流道中水蒸气的源项，源项S_MH,vp包括膜态水与水蒸气的相变源项S_m-v、液态水与水蒸气的相变源项S_v-l以及流道进出口的水蒸气含量的增量S_vp,flow：

流道中水蒸气的增量S_vp,flow计算如下：

式中流道入口截面积A_MH,in为5×10^-5m²，膜加湿器面积A_MH为0.01m²，r_CH为0.5，干燥与湿润侧入口水蒸气浓度c_vp,in为0mol m^-3、2mol m^-3，干燥与湿润侧入口气体流速u_in均为1.0m s^-1，干燥与湿润侧入出口水蒸气浓度c_vp,out为0.9414mol m^-3、0.9922mol m^-3，干燥与湿润侧出口气体流速u_out为1.0224m s^-1、0.9771m s^-1。计算得干燥侧流道中的水蒸气增量为-9.6248mol m^-3s^-1，湿润侧流道中水蒸气增量为10.3056mol m^-3s^-1。

湿润侧流道中水蒸气与液态水之间的相变源项S_v-l为：

式中c_sat表示水蒸气的饱和蒸汽浓度为1.3046mol m^-3，流道中水蒸气浓度为0.9922mol m^-3，s_lq表示湿润侧液态水的体积分数为5.1202×10^-6，求得水蒸气与液态水之间的相变源项为2.8797×10^-5mol m^-3s^-1。

综合以上源项计算过程，可以得到干燥侧与湿润侧流道中水蒸气的相变源项S_MH,vp，干燥侧的水蒸气的相变源项为-2.7524×10^-11mol m^-3s^-1，湿润侧的水蒸气的相变源项为2.7695×10^-11mol m^-3s^-1，从而计算出2.0s时刻干燥侧与湿润侧水蒸气浓度分别为0.9413mol m^-3、0.9924mol m^-3。

(3)湿润侧流道中液态水计算

式中表示1.9s时刻湿润侧流道中液态水体积分数为5.1202×10^-6，S_MH,lq(kgm^-3s^-1)表示液态水的源项，其计算表达式如下：

式中u_in表示湿润侧混合气的进口速度为1.0m s^-1，u_out表示湿润侧混合气的出口速度为0.9771m s^-1，s_lq,in表示湿润侧流道入口液态水的体积分数为5.0×10^-6，s_lq,out表示湿润侧流道出口液态水的体积分数为5.1202×10^-6，u_ratio表示气液流速比，本算例取值为1，δ_CH(m)表示流道宽度为1mm，计算得液态水的源项S_MH,lq为-2.5953×10^-7mol m^-3s^-1。

结合上述求解结果，计算出2.0s时刻流道中液态水的体积分数为5.1201×10^-6。

(4)能量守恒方程计算

式中表示湿润侧流道与膜的有效导热系数为8.0916W m^-1K^-1，表示湿器膜与干燥侧的有效导热系数为8.0916W m^-1K^-1，h_surr表示膜加湿器与环境的换热系数为20W m^-2K^-1，T_surr(K)表示环境温度25℃，ρc_p(J m^-3K^-1)表示密度与比热容的乘积。S_T(J m^{- 3}s^-1)表示热源项，其表达式为：

由于膜态水向水蒸气相变过程类似于水蒸发的过程，因而涉及到相变潜热，式中h_cond表示蒸发潜热为2.308MJ kg^-1，Q_gas表示气体通过膜加湿器时所引入或带走的热量，每种气体组分都需要涉及到，以下仅列举流道中水蒸气的计算：

算得干燥侧混合气的总热量增量为0.0095kJ m^-3s^-1，湿润侧混合气的总热量增量为0.0096kJ m^-3s^-1。

1.9s时干燥侧混合气的温度为298.1637K，2.0s时温度为298.1646K，

1.9s时质子交换膜的温度为298.1646K，2.0s时温度为298.1654K，

1.9s时湿润侧混合气的气温度为298.1638K，2.0s时温度为298.1646K。

通过对上述模型进行的验证，仿真结果与实验数据的对照如图3和图4所示，仿真结果与实验数据吻合较好，所建立模型的有效性得到验证。

图5、图6是模型计算输出结果。图5是加湿器干湿两侧流道内的水蒸气浓度变化曲线，提示出：干燥侧流道内水蒸气浓度先缓慢减小随后趋于稳定，而湿润侧流道内水蒸气浓度先缓慢增大随后趋于稳定。图6给出了不同时刻干湿侧膜态水含量的变化。

Claims (1)

1.利用膜加湿器实现燃料电池进气加湿的建模方法，其特征在于：建立一维平板式膜加湿器的瞬态仿真模型，模型的控制方程包括膜中含水量守恒方程、流道中水蒸气守恒方程、湿润侧流道中液态水守恒方程以及能量守恒方程，所建立的每个控制方程具体步骤如下：

(1)膜中含水量守恒方程

式中分别表示t时刻湿润侧膜与干燥侧膜的含水量，分别表示t-Δt时刻湿润侧膜与干燥侧膜含水量，δ_MEM表示质子交换膜厚度，EW表示膜的当量质量，ρ_MEM表示质子交换膜密度，Δt表示时间步长大小，表示干湿两侧膜中水的有效扩散系数，D_m表示扩散系数，计算表达式如下：

式中与分别表示干燥侧与湿润侧水的扩散系数，计算出对应的扩散系数后，可以求解出平均有效扩散系数S_MH,mw表示膜态水的源项，计算表达式如下：

式中S_m-v表示膜态水与水蒸气之间的相变源项，S_MH,per表示由于水力渗透作用从湿润侧传输到干燥侧的源项，S_m-v的数值根据膜中水含量λ及当量水含量λ_eq来计算：

式中ξ_m-v表示膜态水与水蒸气的相变速率，a表示水活性，c_vp表示流道中水蒸气浓度，c_sat表示流道内对应温度下的饱和水蒸气浓度，p_sat表示饱和蒸气压，R表示理想气体常数，T为流道中气体温度，

水力渗透源项S_MH,per的计算表达式如下：

式中ρ_lq表示液态水密度，K_per表示水力渗透系数，p_l,wet，p_l,dry分别表示湿润侧、干燥侧的液压大小，干燥侧不考虑液态水的存在，μ_lq表示液态水动力粘度，其计算表达式如下：

(2)流道中水蒸气守恒方程

流道中涉及到的水蒸气浓度分为入口浓度、流道中浓度、出口浓度，流道中浓度的计算如下：

式中和分别表示t时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，和分别表示t-Δt时刻湿润侧与干燥侧流道中的水蒸气浓度，S_MH,vp表示流道中水蒸气的源项，包括膜态水与水蒸气的相变源项S_m-v、液态水与水蒸气的相变源项S_v-l以及流道进出口的水蒸气含量的增量S_vp,flow：

式中相变源项S_v-l的计算表达式如下：

式中ξ_v-l、ξ_l-v表示液态水与水蒸气之间的相变速率，s_lq表示液态水的体积分数，

流道中水蒸气的增量计算如下：

式中A_MH,in表示流道入口截面积大小，A_MH表示膜加湿器面积，r_CH表示膜加湿器流道宽度与总宽度的比值，c_vp,in和c_vp,out分别表示流道内水蒸气的进出口浓度，u_in与u_out分别表示流道内气体进出口流速；

(3)湿润侧流道中液态水守恒方程

模型中湿润侧流道中液态水计算采取简化的方法，干燥侧流道中仅仅考虑水蒸气的存在，

式中表示t时刻湿润侧流道中液态水体积分数，S_MH,lq表示液态水的源项，其计算表达式如下：

液态水的源项包括水蒸气的相变源项以及流道进出口的对流项，u_ratio表示气液流速比；

(4)能量守恒方程

膜加湿器中温度的计算方式采用显式格式，具体如下：

式中分别表示t时刻湿润侧流道、交换膜与干燥侧流道的温度， 分别对应t-Δt时刻的温度值，表示湿润侧流道与膜的有效导热系数，表示干燥侧流道与膜的有效导热系数，h_surr表示膜加湿器与环境的换热系数，T_surr表示环境温度，ρc_p表示密度比热容，S_T表示热源项：

由于膜态水向水蒸气相变过程中存在相变换热，所以计算中予以考虑，式中h_cond表示蒸发潜热，Q_gas表示气体通过膜加湿器时所引入或带走的热量，每种气体组分都需要涉及到，以下仅列举流道中水蒸气的计算：

通过上述方程的求解，即可建立完整的一维瞬态膜加湿器模型，根据膜加湿器定义的初始参数以及系统向膜加湿器输入的参数，就可以求解出膜加湿器出口水蒸气浓度、温度、膜态水含量、以及相对湿度参数，然后将输出参数反馈给系统，实现加湿系统与燃料电池堆的耦合。