CN108667651A - 一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法，结合矩阵与特征值和特征向量的关系给出了应用压缩感知理论进行网络重构时测量值和测量矩阵的选取方法。通过对稀疏信号重构原理分析，基于贪婪算法稀疏信号重构原理实现一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法。本发明与现有的重构方法其重构耗时大大较低，算法性能有所提高。所以能较快的重构出随机机会网络拓扑结构，优化了随机机会网络的性能。

Description

一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法

技术领域

本发明属于移动通信技术领域，涉及一种随机机会网络拓扑重构方法，具体涉及一种应用压缩感知理论实现随机机会网络拓扑邻接矩阵的重构，实现了基于压缩感知理论的网络重构方法。

背景技术

随机机会网络，也被称为稀疏Ad hoc网络，它是一种移动自组织网络。其具有通信延迟与可容忍结构分裂的特点，这是和传统网络的不同之处。随机机会网络是由一系列不同的节点，这些所有的节点具有一定的通信范围，并且有着一定的运动规律，当然不同节点的移动规律和通信范围大小可能是不同的。其通信系统是由不断移动的节点构成，节点移动过程中保持通信，构成动态变化的通信链路。随机机会网络的节点能够进行报文转发，当两个节点不在其相互通信半径范围内时，那么这两节点的通信可以通过节点消息的转发实现。无中心节点、移动节点之间自组织、网络拓扑动态变化和移动节点的能源受限是随机机会网络最鲜明的特性。由于网络中任意一个节点都是在一直运动的，所以整个随机机会网络拓扑结构也是在不断地改变，所以对于那些拥有记录节点路径信息功能的路由来说，就必须不断更新路由表。随机机会网络节点间相互独立、采用分布式的控制方案，其具有移动终端功能，可以实现报文转发。所以其在军事战场和救灾现场等无通信基础设施的情境下有着重大的应用意义。

在随机机会网络中，节点的移动性造成了网络拓扑动态变化，这使得在随机机会网络中通过路由协议获取网络拓扑结构变得异常困难。随着对随机机会网络拓扑获取算法的不断研究，已经取得了许多成果。目前对于随机机会网络拓扑获取的算法主要分为分布式估算算法和集中式估算算法。分布式的方法主要式利用拓扑控制算法通过网络节点的某时刻位置信息或者是其移动方向信息来计算网络拓扑结构，但由于其实现会占用很多信道资源，而造成网络拥堵、高延迟等现象。而在网络拓扑集中式估算中，许多学者将复杂网络中的研究方法应用到随机机会网络拓扑的研究中，也有学者应用信号滤波的方法研究网络拓扑的重构，并取得了许多成果，实现了随机机会网络拓扑的本地集中式估算。在以往的研究中估算得到某时刻随机机会网络邻接矩阵的特征值和特征向量之后，是通过(1-1)重构出某一时刻的网络邻接矩阵。

假设矩阵A(G)∈R^N×N随机机会网络稳态后某一时刻网络拓扑的邻接矩阵，那么之前的研究中A(G)是通过下式求得：

其中λ_i为相关算法估算得到的特征值，x_i为其对应的特征向量，x^T _i表示向量x_i的转置，其计算时间复杂度为O(n³)。

但是式(1-1)这种网络重构方式在网络节点数目较大时，由于重构算法时间复杂度，网络重构算法运行时间较长，就会造成随机机会网络的性能下降。

发明内容

为了解决原网络重构算法在节点数目较大时，计算耗时较长的问题，本发明提供了一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法。

本发明所采用的技术方案是：一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：已知随机机会网络某时刻网络拓扑邻接矩阵A∈R^N×N的所有特征值λ＝(λ₁,λ₂,...λ_N)和其对应的特征向量p＝(p₁,p₂,...,p_N)，选取部分特征值和特征向量，获得压缩感知网络重构所需的测量值和测量矩阵；其中，N为随机机会网络中节点的个数，矩阵A元素总个数为N²个；

步骤2：输入测量矩阵Φ∈R^M×N和测量值y∈R^M×N；其中测量矩阵为选定M个特征值对应特征向量的转置并于每一列测量值一一对应，测量值矩阵y的1,2,...N列分别是网络邻接矩阵的第1,2,...N行的测量值；其中，M为网络邻接矩阵每一行重构所使用的测量值数目；

步骤3：初始化邻接矩阵A∈R^N×N，且矩阵中任意一个元素a_ij＝0；

步骤4：在每一行重构开始时初始化残差；

对于第j行，初始化残差其中y_i表示矩阵y中的第j列，Φ_l代表Φ中多列的累加和，即其中φ_l代表测量矩阵中的第l列，且l的取值仅为使a_jl＝1的列号，且l＜j；

步骤5：在第K次迭代中残差使用r^K-1表示，求最相关列那么将最相关列对应矩阵中元素a_jz和其对称位置元素a_zj置为1，将最相关列置为零，更新残差

步骤6：判断；

若||r^K||₂＞||r^K-1||₂，则迭代终止，矩阵A第j行重构完成，则回转执行步骤4，继续进行第j+1行的重构；

否则，回转执行步骤5，继续第K+1次迭代。

使用现有重构算法完成网络重构的时间复杂度为O(n³)；而对于基于贪婪算法的随机机会网络重构算法而言，其计算复杂性主要集中在第四步的计算最相关列的过程中，其完成任意一行重构时间复杂度为O(nlogn)。因为网络重构是n行分别完成重构，从而网络重构的时间复杂度为O(n²logn)。其时间复杂度低于现有的网络重构算法。但由于其运行时间受迭代次数的影响，所以当网络稀疏比增大时算法运行耗时会有所提升。

本发明与现有的重构方法其重构耗时大大较低，算法性能有所提高。所以能较快的重构出随机机会网络拓扑结构，优化了随机机会网络的性能。

附图说明

图1为本发明实施例的流程图；

图2为本发明实施例的压缩感知核心采样过程图；

图3为本发明实施例的网络稀疏比与r₀的关系图；

图4为本发明实施例的不同度大小对应节点个数的分布区间；

图5为本发明实施例的平均度与所有节点中度最大节点的度的关系；

图6为本发明实施例的不同平均度下度的概率分布图；

图7为本发明实施例的压缩感知网络重构算法与现有网络重构算法对比图。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明作进一步的详细描述，应当理解，此处所描述的实施示例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。

请见图1，为本实施例的流程图，具体过程如下：

压缩感知(Compressive Sensing，CS)，有时也叫成Compressive Sampling。相对于传统的奈奎斯特采样定理——要求采样频率必须是信号最高频率的两倍或两倍以上(这就要求信号是带限信号，通常在采样前使用低通滤波器使信号带限)，压缩感知则利用数据的冗余特性，只采集少量的样本便可还原原始数据。其核心的压缩采样过程如图2所示：

首先，需要知道信号x∈R^N在变换域Ψ是稀疏的，即存在在变换矩阵Ψ使得x＝Ψα，然后，设计一个与变换矩阵Ψ无关的M×N的观测矩阵Φ∈R^M×N，用于对原始的信号x进行观测继而得到观测向量y∈R^M，即y＝Φx。再结合存在x＝Ψα就可以得到：

y＝Φx＝ΦΨα＝Θα (1-2)

在此压缩采样过程其一核心工作便是原始信号的采样压缩处理，另一方面在原始信号恢复的过程，我们所已知的便是观测值y和观测矩阵Φ、变换矩阵Ψ，然后通过重构算法进行原始信号的重构。

信号的稀疏性是应用压缩感知理论进行信号处理的前提条件，信号稀疏比代表信号非零位与信号长度的比值，其大小影响压缩感知理论的应用效果。本实施例使用网络稀疏比作为网络整体稀疏性的一个衡量标准，其指的是网络拓扑邻接矩阵中非零位的数目与所有矩阵元素个数N²的比值。那么网络整体的稀疏性和网络邻接矩阵中每一行的稀疏性将是应用压缩感知理论进行信号重构必不可少的条件。

假设使用μ代表网络稀疏比，μ的含义可以理解为网络拓扑邻接矩阵中所有非零位的数目M与所有矩阵元素个数N²的比值。网络平均度作为一个重要的随机机会网络全局状态参数，代表网络中每一个节点的平均联通信息。随机机会网络稀疏比与网络相关参数的关系为：

其中n代表节点总数目，r₀代表节点通信半径与节点活动范围半径的比值，p是节点的运动速度。

所以从上式可以看出当随机机会网络的相关状态参数确定后，其网络稀疏比μ在理论上为定值。

下面通过实验来探究不同网络状态参数下网络稀疏比的大小。

实验选取RWP移动模型设置半径为20m的圆形区域为节点活动范围，节点数目N分别设置500节点，运动速度设置为[3,6](m/s)，静止时间设置为[5,10](s)，并通过改变通信半径大小的方式改变r₀。式(1-3)中取节点运动速度p＝4.5，通过式(1-3)计算得到得知成为理论值，实验得到的稀疏比称为实际值。那么稀疏比实际大小与理论值大小分布如图3所示：

从上述实验结果，可以看出网络稀疏比的理论值稍大于实际值。这是因为实验中节点速度为3m/s到6m/s的随机值，但当RWP移动模型进入稳态后，平均速度会变小，即实际平均速度小于4.5m/s；这就造成了通过式(1-3)求得的稀疏比理论值比实际值偏大。并且网络稀疏比伴随着通信半径与移动区域半径比值r₀的增大而增大。为保证随机机会网络移动模型的稀疏性，使仿真情形更接近现实情况，一般保证网络拓扑邻接矩阵中非零元素数目远小于所有元素数目时，但其比值并没有一个明确界定，而在工程学领域一般认为当a比b小一个数量级乃至以上时，称a远小于b；并且网络整体稀疏性也是保证任意节点链路稀疏性的前提条件。

网络中某一节点的链路稀疏性指的是：和某一节点联通的节点数目远小于总结点数目。由于应用压缩感知理论进行网络重构的过程实际上是每次完成网络拓扑邻接矩阵一行的重构，经过N次重构就完成了整个邻接矩阵的重构。所以网络拓扑邻接矩阵任意一行的稀疏性也是进行网络重构的前提条件。

在平面区域A中(A为半径为a的圆形区域)那么RWP节点移动模型下网络的平均度可以表示为：

其中，n表示节点数目，P₀(l)表示两个节点之间的连接概率，f_L(l)表示节点在平面区域A中的概率密度函数。P₀(l)表示为：

其中，x,y,x',y'分别代表两个节点在方阵区域的横纵坐标，r₀代表节点通信半径与节点活动范围半径的比值。

那么由二项分布可求得节点度K等于k的概率为：

而当P₀(l)很小，节点数目n很大时，二项分布可以近似为泊松分布，所以有：

那么可以导出基于RWP节点移动模型的网络节点度分布表示为：

其中μ代表网络平均度。

由式(1-8)便可以计算RWP移动模型下节点度分别为1,2,...,n的概率，进而估算网络中节点度为1,2,...,n的个数。即：

D_i＝(N-1)P{k＝i},k∈(1,2,...n) (1-9)

实验中对于RWP模型设置除通信半径外，其余参数设置如上。取通信半径和节点移动区域的比值r₀为0.1、0.15、0.2、0.25，所有节点个数的分布区间的按度的大小排列，其结果如图4所示。

分析上述实验结果可知，RWP移动模型下节点度大小分布在一定区间内，不会出现某一节点与所有节点都联通的极端情况，这与节点的移动特性和分布规律使相符合的，并且节点度的大小基本上不大于二倍的网络平均度。继续进行实验探究网络平均度和网络拓扑中节点度最大节点的度(链路最多得节点得链路数目)之间的关系，取不同参数下的实验结果，其对应关系如图5所示。

从实验结果可得，网络中节点得最大度使明显小于二倍的网络平均度，这说明我们上述得实验结论是正确的。那么理论上，可以根据节点度分布的概率密度来进行进一步的验证。在已知RWP移动模型下节点度概率公式基础上，讨论当网络平均度分别为20，40，60和80时节点度大小的概率分布，即由式(1-8)得到结果如图6所示。

节点度的概率分布图，可以看出理论上当节点度大于网络平均度(D)时，随着节点度的增大其出现的概率不断变小，将邻接矩阵的任意一行作为稀疏信号处理，就需要节点度大小远小于节点数目从以上结果可以看出当节点度大于2D时其出现概率无线接近于零，那么可以认为在保证RWP移动模型正确的前提下，不会出现度大于二倍平均度的节点，即在网络整体稀疏比小于某一定值的前提下，能够保证任意节点链路的稀疏性。随机机会网络网络拓扑邻接矩阵满足压缩感知理论应用的前提条件。

研究信号的重构方法能不能应用到网络的逐行重构过程之中，主要应该探究信号重构的本质所在。而从数学模型理解，K稀疏信号重构的信号重构过程在根本上来讲是一个欠定程组的求解问题，其数学模型可以做出如下描述：

y＝Φx (1-10)

其中Φ是系数矩阵，在压缩感知理论中通常称之为测量矩阵，且Φ∈R^M×N，x为待求解的未知量，y为已知解。由于未知数的个数为N但已知方程个数为M，因为M是小于N的所以这是未知数个数大于方程个数的病态方程，一般来看，这个方程组似乎是无法解出的，因为其解x有无穷多的可能。但由于已知先验条件x是稀疏的，即x中非零量的个数远小于零的个数，于是未知数的个数就大大减少。于是使得这个看似无法解决的问题有了求解的可能。而目前的研究已经表明，在信号稀疏的先验条件之下，可以准确地重构出唯一最优解。

为了求得唯一最优解，在最初的研究中，将此问题转换为求解最小l₂范数的优化问题，但此方法得到的解大对数情况下都是不稀疏的。经过研究，又将此问题转换成求解非零元素最少的优化问题也就是最小l₀范数优化问题，可以得到尽可能稀疏的解。l₀范数的优化模型如下所示：

min||x||₀s.t.y＝Φx (1-11)

但上述l₀范数最优化问题是个NP难问题，无法在多项式时间内求解。后来学者Chen和Donoho通过研究的出，式(1-11)中的求解过程在Φ满足RIP条件的情形下等价于求最小l₁范数优化问题，于是对原始解x为稀疏的情形有：

min||x||₁s.t.y＝Φx (1-12)

对于随机机会网络拓扑邻接矩阵的重构，在已知求得随机机会网络某时刻网络拓扑邻接矩阵A∈R^N×N的所有特征值λ＝(λ₁,λ₂,...λ_N)和其对应的特征向量p＝(p₁,p₂,...,p_N)则有以下公式成立。

Ap_i＝λ_ip_i (1-13)

那么设矩阵A中使用a_ij表示第i行第j列位置的元素，那么第i行A_i中的所有元素为a_ij＝(a_i1,a_i2,...,a_iN)；设p_m为特征值λ_i对应的特征向量，则p_m为一个N维列向量，N等于矩阵A的阶数，且将p_m展开表示有p_m＝(p_m1,p_m2,...p_mN)^T。那么对于矩阵A中第i行A_i、矩阵A所有的特征值λ＝(λ₁,λ₂,...λ_N)，以及其特征值对应的特征向量p＝(p₁,p₂,...,p_N)带入式(1-6)中展开可以的到：

很显然式(1-14)和式(1-10)是相同的。即网络邻接矩阵的逐行重构与K稀疏信号重构在数学本质上是相同的。所以在选取的测量矩阵满足RIP条件的前提下，使用部分特征值和其对应的特征向量对邻接矩阵每一行重构都可以转化为式(1-12)的最小l₁范数优化问题。

式(1-14)，在已经求得所有特征值和特征向量的条件下，当然可以直接重构出矩阵A的第i行继而重构出整个邻接矩阵，但其计算复杂性特别高，当N较大时，会使矩阵A的重构时间急剧增大，从而造成网络延时变大，丢包率升高，随机机会网络的性能会急剧下降。

压缩感知信号重构过程实际上等价于欠定方程组的求解问题。那么在已知矩阵A的每一行都是稀疏的，其非零元素的个数远小于N，即a_ij＝(a_i1,a_i2,...,a_iN)，有N个未知数，如果没有任何特殊性，那么必然需要N个不相关方程才能唯一确定解，但其中绝大多数都为零，那么可以应用压缩感知重构算法进行网络的重构。为了加快网络邻接矩阵的求解速度，本实施例将式(1-14)转换成欠定方程组的形式依然能够精确重构出矩阵A的每一行，继而得到原始矩阵A。即随机的选取M个特征值和其对应的特征向量，便可得到欠定方程组的形式如下所示。

于是，矩阵A某一行的重构过程和一个K稀疏信号的重构过程其本质都是一个欠定方程组的求解问题。如果将矩阵A中第i行A_i看作是一个稀疏信号，那么有p＝(p₁,p₂,...p_M)^T对应于压缩感知信号重构算法中的测量矩阵Ψ∈R^M×N，而测量值y则对应于每一个特征值乘以其对应特征向量中的第i位，即y＝(λ₁p_1i,λ₂p_2i,...,λ_Mp_Mi)^T。所以随机机会网络邻接矩阵的重构就转换成了N个稀疏信号的压缩感知重构过程。

基于上述分析可知，应用压缩感知理论进行随机机会网络拓扑重构的可行性以及重构所需测量值和测量矩阵与特征值和特征向量的关系。那么，应用压缩感知理论信号重构算法中贪婪算法原理实现随机机会网络拓扑重构主要包括一下步骤。

步骤1：已知随机机会网络某时刻网络拓扑邻接矩阵A∈R^N×N的所有特征值λ＝(λ₁,λ₂,...λ_N)和其对应的特征向量p＝(p₁,p₂,...,p_N)，选取部分特征值和特征向量，获得压缩感知网络重构所需的测量值和测量矩阵；其中，N为随机机会网络中节点的个数，矩阵A元素总个数为N²个；

步骤1.1：对通过相关集中式估算算法求得的矩阵A的所有特征值按绝对值大小进行排序；

步骤1.2：选取绝对值较大的0.4N个特征值，即步骤2中的M等于0.4N，这些特征值对应的特征向量组成测量矩阵；

步骤1.3：网络拓扑邻接矩阵的每一行分别对应不同的测量值，测量值等于特征值乘以其对应特征向量的某一位；假设共选取了M个特征值，则网络拓扑邻接矩阵第i行对应的测量值y对应于每一个特征值乘以其对应特征向量中的第i位，即y＝(λ₁p_1i,λ₂p_2i,...,λ_Mp_Mi)^T，并且有测量矩阵Φ＝p＝(p₁,p₂,...p_M)^T；

步骤2：输入测量矩阵Φ∈R^M×N和测量值y∈R^M×N；其中测量矩阵为选定M个特征值对应特征向量的转置并于每一列测量值一一对应，测量值矩阵y的1,2,...N列分别是网络邻接矩阵的第1,2,...N行的测量值；其中，M为网络邻接矩阵每一行重构所使用的测量值数目；

步骤3：初始化邻接矩阵A∈R^N×N，且矩阵中任意一个元素a_ij＝0；

步骤4：在每一行重构开始时初始化残差；

对于第j行，初始化残差其中y_i表示矩阵y中的第j列，Φ_l代表Φ中多列的累加和，即其中φ_l代表测量矩阵中的第l列，且l的取值仅为使a_jl＝1的列号，且l＜j；

步骤5：在第K次迭代中残差使用r^K-1表示，求最相关列那么将最相关列对应矩阵中元素a_jz和其对称位置元素a_zj置为1，将最相关列置为零，更新残差

步骤6：判断；

若||r^K||₂＞||r^K-1||₂，则迭代终止，矩阵A第j行重构完成，则回转执行步骤4，继续进行第j+1行的重构；

否则，回转执行步骤5，继续第K+1次迭代。

本发明的目的是降低网络重构在节点数目较多时计算所需的时间，所以实验中节点数目设置较大。实验选取RWP移动模型设置半径为20m的圆形区域为节点活动范围，节点数目N分别设置为400、450、500、550、600、650、700、750、800、850和900，节点通信半径分别设置为1.5m，2m，2.5m和3m。节点运动速度设置为[3,6](m/s)，节点静止时间为[5,10](s)。当设置节点通信半径不变，节点数目不断增大时，分别使用现有重构算法、AOMP网络重构算法进行随机机会网络拓扑重构。其算法运行耗时与现有重构算法运行耗时对比分别如图7所示。

通过以上实验，其实验结果与理论基本相符合。图7是在通信半径相同并且节点活动范围半径不变的前提下，即网络整体稀疏比不变，随着网络规模的不断增大，两种重构算法在保证准确重构的情形下运行时间的对比，可以看出原重构算法运行时间随着节点数目的增加，所需时间急剧增加，而AOMP算法算法运行时间随着节点数目的增加相对较少。并且本发明网络重构耗时远远少于现有的网络重构算法。本发明应用压缩感知理论实现了随机机会网络拓扑重构方法，在网络稀疏比较小时大大减少了网络重构算法的运行时间，改善了随机机会网络的性能。

应当理解的是，本说明书未详细阐述的部分均属于现有技术。

应当理解的是，上述针对较佳实施例的描述较为详细，并不能因此而认为是对本发明专利保护范围的限制，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明权利要求所保护的范围情况下，还可以做出替换或变形，均落入本发明的保护范围之内，本发明的请求保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (2)

1.一种低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：已知随机机会网络某时刻网络拓扑邻接矩阵A∈R^N×N的所有特征值λ＝(λ₁,λ₂,...λ_N)和其对应的特征向量p＝(p₁,p₂,...,p_N)，选取部分特征值和特征向量，获得压缩感知网络重构所需的测量值和测量矩阵；其中，N为随机机会网络中节点的个数，矩阵A元素总个数为N²个；

步骤2：输入测量矩阵Φ∈R^M×N和测量值y∈R^M×N；其中测量矩阵为选定M个特征值对应特征向量的转置并于每一列测量值一一对应，测量值矩阵y的1,2,...N列分别是网络邻接矩阵的第1,2,...N行的测量值；其中，M为网络邻接矩阵每一行重构所使用的测量值数目；

步骤3：初始化邻接矩阵A∈R^N×N，且矩阵中任意一个元素a_ij＝0；

步骤4：在每一行重构开始时初始化残差；

对于第j行，初始化残差其中y_i表示矩阵y中的第j列，Φ_l代表Φ中多列的累加和，即其中φ_l代表测量矩阵中的第l列，且l的取值仅为使a_jl＝1的列号，且l＜j；

步骤5：在第K次迭代中残差使用r^K-1表示，求最相关列那么将最相关列对应矩阵中元素a_jz和其对称位置元素a_zj置为1，将最相关列置为零，更新残差

步骤6：判断；

若||r^K||₂＞||r^K-1||₂，则迭代终止，矩阵A第j行重构完成，则回转执行步骤4，继续进行第j+1行的重构；

否则，回转执行步骤5，继续第K+1次迭代。

2.根据权利要求1所述的低时间复杂度的随机机会网络拓扑重构方法，其特征在于，步骤1的具体实现包括以下子步骤：

步骤1.1：对通过相关集中式估算算法求得的矩阵A的所有特征值按绝对值大小进行排序；

步骤1.2：选取绝对值较大的0.4N个特征值，即步骤2中的M等于0.4N，这些特征值对应的特征向量组成测量矩阵；

步骤1.3：网络拓扑邻接矩阵的每一行分别对应不同的测量值，测量值等于特征值乘以其对应特征向量的某一位；假设共选取了M个特征值，则网络拓扑邻接矩阵第i行对应的测量值y对应于每一个特征值乘以其对应特征向量中的第i位，即y＝(λ₁p_1i,λ₂p_2i,...,λ_Mp_Mi)^T，并且有测量矩阵Φ＝p＝(p₁,p₂,...p_M)^T。