CN108563895B - 一种用于齿轮装配体的考虑相关性的区间模型修正方法 - Google Patents

一种用于齿轮装配体的考虑相关性的区间模型修正方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种考虑相关性的区间模型修正方法。首先，利用椭球凸模型对具有相关性的测量响应进行建模；其次，通过区间优化方法进行反求，获取模型参数的修正区间；再次，设定模型参数的初始相关性矩阵，并结合已获取的模型参数区间，利用椭球的特征矩阵传播公式获取计算响应的椭球特征矩阵；最后，将测量响应的椭球特征矩阵与计算响应的椭球特征矩阵作最小二乘优化，实现模型参数相关性的修正。本发明不仅能准确地修正模型参数的不确定性区间，而且能修正模型参数之间的相关性，从而提高了模型的精度及可信度水平。

Description

一种用于齿轮装配体的考虑相关性的区间模型修正方法
技术领域
本发明涉及模型修正技术领域，尤其涉及一种用于齿轮装配体有限元模型的考虑相关性的区间模型修正方法。
背景技术
随着有限元法的广泛运用，基于实测或试验结果的有限元模型修正技术也得到了很大程度的发展。传统的模型修正方法都假设参数是确定性的，然而，工程实际中却普遍存在着不确定性，这些不确定性常常存在于材料的本构模型参数、结构几何参数、边界条件、初始条件、测量信息、认知判断等方面。若仍然采用确定性的方法和理论对有限元模型进行修正，必然导致修正结果的不可靠，与实际情况有较大出入。因此，考虑参数不确定性的随机模型修正方法越来越得到研究者们的关注。
结构不确定性的量化及传播分析方法有很多种，但应用较多的主要是其中的三种，分别是概率方法、模糊方法和区间分析方法。其中，概率方法是最为普遍使用的方法，即把结构参数视为随机变量来对问题进行建模和分析。但是，应用概率手段处理实际问题必须满足事件明确定义、大量样本存在、样本具有可重复性和不受人为因素影响等四个前提条件，在没有足量信息的情形下勉为其难地应用随机不确定理论及相应的可靠性分析方法，不确定参数概率分布的较小误差可能导致很大的分析偏差。而采用模糊方法来描述不确定性时，需要参数的隶属度函数。但在很多情况下，确定隶属度函数甚至比概率分布函数更为困难，即研究人员往往不得不带有很大的主观性来选取相应的隶属函数，使得分析结果的可靠性也值得怀疑。因此，为了反映客观实际、减少主观因素的干扰，在结构测试信息不够充分的情况下，将工程问题中的不确定性参数视为有界的区间变量，采用区间分析方法来修正有限元模型是十分必要的。
目前，基于区间分析的模型修正方法有很多。其中《Mechanical Systems andSignal Processing》2011年第25卷第4期中，公开了“Interval model up dating withirreducible uncertainty using the Kriging predictor”，基于全局优化理论，运用Kriging模型替代有限元模型，采用确定性的模型修正技术，优化得到与每组实验数据相对应的结构参数，进而得到结构参数的区间。上述过程实际是多次的确定性模型修正过程，具有一定的局限性。《振动工程学报》2015年第28卷第1期中，公开了“不确定性参数识别的区间响应面模型修正方法”，该方法先将响应面表达式转化为完全平方项，再引入区间变量，以避免区间运算过程中的区间扩张问题。利用区间响应的上下界建立优化目标函数，并构建区间优化反问题，然后直接基于区间响应面模型实现修正过程。该方法避免了复杂的区间参数灵敏度计算，使得区间模型修正问题得到简化，并大幅提高修正效率。但是，该方法只能获取模型参数的区间，并不能求解模型参数之间的相关性矩阵。
由此可见，现有的模态更新方法大多数都是利用某些算法更新模态参数区间，在计算效率方面进行研究，而没有考虑过模型响应之间相关性对模型参数之间相关性的影响与传播规律。因此，亟需一种考虑相关性的区间模型修正方法，不仅能准确地修正模型参数的区间，而且能修正模型参数之间的相关性矩阵，从而提高模型的精度及可信度水平。
发明内容
本发明的目的是提供一种用于齿轮装配体有限元模型的考虑相关性的区间模型修正方法，既能准确地修正模型参数的区间，还能准确地描述响应之间相关性对模型参数之间相关性的影响与传播规律，提高模型的精度及可信度水平。
本发明的技术方案是提供一种用于齿轮装配体有限元模型的考虑相关性的区间模型修正方法，包括如下步骤：
步骤1：根据齿轮装配体建立有限元模型作为；其中齿轮装配体中大小齿轮的弹性模量E和泊松比μ未知，且E和μ为的区间变量；
步骤2：多次测量结构或系统的多个响应，对响应信息的不确定性及相关性进行统计分析并建立椭球凸模型；
步骤3：建立区间模型修正的目标函数，并通过区间优化方法获取模型参数的修正区间；
步骤4：设定模型参数的初始相关性矩阵并利用椭球特征矩阵传播公式获取计算响应的椭球特征矩阵；
步骤5：将测量响应的椭球特征矩阵与计算响应的椭球特征矩阵作最小二乘优化，从而实现模型参数相关性的修正；
进一步地，所述步骤2还包括：
测量响应
Figure GDA0002573312290000031
的椭球凸模型用数学公式可描述为：
Figure GDA0002573312290000032
式中，
Figure GDA0002573312290000033
表示测量响应的椭球域，
Figure GDA0002573312290000034
表示测量响应矩阵，
Figure GDA0002573312290000035
表示测量响应的区间中点矩阵，上标T和-1分别表示矩阵的转置和矩阵的逆，
Figure GDA0002573312290000036
表示测量响应的椭球特征矩阵，该矩阵是一个对称正定矩阵，决定了椭球的大小和方向，N表示模型参数的维数，RN表示N维实数域，
Figure GDA0002573312290000037
是第i维和第j维测量响应
Figure GDA0002573312290000038
之间的协方差，其计算公式如下：
Figure GDA0002573312290000041
式中，λi i＝1,2,…,N、λj j＝1,2,…,N是N维椭球的第i维和第j维的半主轴长，θ称为椭圆的姿态角，并满足-45°≤θ≤45°，
Figure GDA0002573312290000042
和
Figure GDA0002573312290000043
分别表示第i维和第j维测量响应的方差，
Figure GDA0002573312290000044
为第i维和第j维测量响应
Figure GDA0002573312290000045
和
Figure GDA0002573312290000046
之间的相关系数且
Figure GDA00025733122900000411
进一步地，所述步骤3还包括：
建立区间模型修正的目标函数如下：
Figure GDA0002573312290000048
st:Y＝g(X1,X2,…,XN)
式中，
Figure GDA0002573312290000049
表示第i维测量响应的区间上、下界，Yi u、Yi b表示第i维计算响应的区间上、下界，Y表示计算响应向量，g(·)表示系统向量，(X1,X2,…,XN)表示模型参数向量。
区间优化方法即采用单目标优化方式，通过建立线性约束来设置参数变化的界限，并利用二次规划算法求得目标函数的最优解。
进一步地，所述步骤4还包括：
椭球特征矩阵的传播公式如下：
Figure GDA00025733122900000410
式中，ΩY表示计算响应的椭球特征矩阵，fi表示第i个系统gi(·)对模型参数X＝(X1,X2,…,XN)的一阶导系数列矩阵，CovX表示模型参数的N维协方差方阵，Cij表示矩阵的迹，其计算公式如下：
Figure GDA0002573312290000051
式中，tr表示求迹运算符，Fi和Fj分别表示第i个系统gi(·)和第j个系统gj(·)对模型参数X＝(X1,X2,…,XN)的二阶导系数方阵。
进一步地，所述步骤5还包括：
将测量响应的椭球特征矩阵与计算响应的椭球特征矩阵作最小二乘优化，其过程如下：
Figure GDA0002573312290000052
本发明创新性地提出一种考虑相关性的区间模型修正方法。该方法不仅能准确地修正模型参数的不确定性区间，而且能修正模型参数之间的相关性。
根据上述技术方案，本发明的有益效果包括：
(1)本发明提出一种考虑相关性的区间模型修正方法，该方法能够准确高效地修正模型参数的区间。
(2)本发明考虑了测量响应之间的相关性矩阵，通过椭球特征矩阵传播公式能准确地修正模型参数之间的相关性矩阵。
(3)本发明通过结合模型参数的区间与相关性矩阵，运用椭球凸模型的建模方法，提高了模型的精度及可信度水平。
附图说明
附图仅用于示出具体实施例的目的，而并不认为是对本发明的限制，在整个附图中，相同的参考符号表示相同的部件。
图1是考虑相关性的模型修正流程图；
图2是齿轮装配体的有限元模型；
图3是修正模型参数的椭球凸模型；
图4是第一阶和第二阶模态频率的椭球凸模型。
具体实施方式
下面结合附图来具体描述本发明的优选实施例，其中，附图构成本申请一部分，并与本发明的实施例一起用于阐释本发明的原理。
如图2所示，本实施例提供了一种考虑相关性的区间模型修正方法，具体包括以下步骤：
步骤1：根据齿轮装配体建立有限元模型作为结构或系统的仿真模型；
仿真模型包括有限元模型、响应面模型、Kriging模型、神经网络模型。
该实施例中，根据齿轮装配体建立如图2所示的有限元模型，其中齿轮装配体中大小齿轮的弹性模量E和泊松比μ未知，且E和μ为的区间变量。由于本算例为仿真算例，故假定E、μ的真实区间分别为[2.0350,2.0901]×1011Pa、[0.2507,0.3392]，相关系数ρ＝0.3671，并在对应真实区间内抽取100个样本。
步骤2：多次测量结构或系统的多个响应，对响应信息的不确定性及相关性进行统计分析并建立椭球凸模型；
该步骤中，测量响应
Figure GDA0002573312290000061
的椭球凸模型用数学公式可描述为：
Figure GDA0002573312290000062
式中，
Figure GDA0002573312290000063
表示测量响应的椭球域，
Figure GDA0002573312290000064
表示测量响应矩阵，
Figure GDA0002573312290000065
表示测量响应的区间中点矩阵，上标T和-1分别表示矩阵的转置和矩阵的逆，
Figure GDA0002573312290000066
表示测量响应的椭球特征矩阵，该矩阵是一个对称正定矩阵，决定了椭球的大小和方向，N表示模型参数的维数，RN表示N维实数域，
Figure GDA0002573312290000067
是第i维和第j维测量响应
Figure GDA0002573312290000068
之间的协方差，其计算公式如下：
Figure GDA0002573312290000071
式中，λi i＝1,2,…,N、λj j＝1,2,…,N是N维椭球的第i维和第j维的半主轴长，θ称为椭圆的姿态角，并满足-45°≤θ≤45°，
Figure GDA0002573312290000072
和
Figure GDA0002573312290000073
分别表示第i维和第j维测量响应的方差，
Figure GDA0002573312290000074
为第i维和第j维测量响应
Figure GDA0002573312290000075
和
Figure GDA0002573312290000076
之间的相关系数且
Figure GDA00025733122900000711
将步骤1抽取的100个待修正模型参数E、μ样本通过有限元模型计算得到100个第一、二阶自由模态频率，选取其作为实验测量响应，并对响应信息的不确定性及相关性进行统计分析，根据椭球凸模型公式，建立齿轮装配体的第一、二阶自由模态频率的椭球凸模型；
Figure GDA0002573312290000078
步骤3：建立区间模型修正的目标函数，并通过区间优化方法获取模型参数的修正区间；
该步骤中，建立如下区间模型修正的目标函数，并设定待修正模型参数E和μ的初始搜索区间分别为[1.8000,2.3000]×1011Pa、[0.2000,0.4000]：
Figure GDA0002573312290000079
st:Y＝g(X1,X2,…,XN)
式中，
Figure GDA00025733122900000710
表示第i维测量响应的区间上、下界，Yi u、Yi b表示第i维计算响应的区间上、下界，Y表示计算响应向量，g(·)表示系统向量，(X1,X2,…,XN)表示模型参数向量。
区间优化方法即采用单目标优化方式，通过建立线性约束来设置参数变化的界限，并利用二次规划算法求得目标函数的最优解，所求模型参数的修正区间如表1所示。
步骤4：设定模型参数的初始相关性矩阵并利用椭球的特征矩阵传播公式获取计算响应的椭球特征矩阵；
设定待模型参数E、μ的相关性矩阵为
Figure GDA0002573312290000081
再结合步骤3获取的模型参数的修正区间，利用公式(2)求解模型参数的协方差矩阵，然后根据椭球的特征矩阵传播公式获取计算响应的椭球特征矩阵ΩY：
Figure GDA0002573312290000082
式中，ΩY表示计算响应的椭球特征矩阵，fi表示第i个系统gi(·)对模型参数X＝(X1,X2,…,XN)的一阶导系数列矩阵，CovX表示模型参数的N维协方差方阵，Cij表示矩阵的迹，其计算公式如下：
Figure GDA0002573312290000083
式中，tr表示求迹运算符，Fi和Fj分别表示第i个系统gi(·)和第j个系统gj(·)对模型参数X＝(X1,X2,…,XN)的二阶导系数方阵。
步骤5：将测量响应的相关性矩阵与计算响应的相关性矩阵作最小二乘优化，从而实现模型参数相关性的修正；
将测量响应的椭球特征矩阵与计算响应的椭球特征矩阵作最小二乘优化，其过程如下：
Figure GDA0002573312290000084
直到模型参数的相关信息满足精度，输出的结果如表1所示。
表1齿轮装配体系统参数区间估计值
Figure GDA0002573312290000091
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，未公开的内容均是本领域的公知常识或惯用技术手段，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种用于齿轮装配体有限元模型的考虑相关性的区间模型修正方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：根据齿轮装配体建立有限元模型作为结构或系统的仿真模型；
其中齿轮装配体中大小齿轮的弹性模量E和泊松比μ未知，E和μ为区间变量；
步骤2：多次测量结构或系统的多个响应，对响应信息的不确定性及相关性进行统计分析并建立椭球凸模型；其中：
测量响应
Figure FDA0002575465240000011
的椭球凸模型用数学公式可描述为：
Figure FDA0002575465240000012
式中，
Figure FDA0002575465240000013
表示测量响应的椭球域，
Figure FDA0002575465240000014
表示测量响应矩阵，
Figure FDA0002575465240000015
表示测量响应的区间中点矩阵，上标T和-1分别表示矩阵的转置和矩阵的逆，
Figure FDA0002575465240000016
表示测量响应的椭球特征矩阵，椭球特征矩阵是一个对称正定矩阵，决定了椭球的大小和方向，N表示模型参数的维数，RN表示N维实数域，
Figure FDA0002575465240000017
是第i维和第j维测量响应
Figure FDA0002575465240000018
之间的协方差，其计算公式如下：
Figure FDA0002575465240000019
式中，λi是N维椭球的第i维的半主轴长，λj是N维椭球的第j维的半主轴长，其中，i＝1,2,…,N，j＝1,2,…,N，θ称为椭圆的姿态角，并满足-45°≤θ≤45°，
Figure FDA00025754652400000110
和
Figure FDA00025754652400000111
分别表示第i维和第j维测量响应的方差，
Figure FDA00025754652400000112
为第i维和第j维测量响应
Figure FDA00025754652400000113
和
Figure FDA00025754652400000114
之间的相关系数，且
Figure FDA0002575465240000021
步骤3：建立区间模型修正的目标函数，并通过区间优化方法获取模型参数的修正区间；其中：
建立区间模型修正的目标函数如下：
Figure FDA0002575465240000022
式中，
Figure FDA0002575465240000023
表示第i维测量响应的区间上界、
Figure FDA0002575465240000024
表示第i维测量响应的区间下界，Yi u表示第i维计算响应的区间上界、Yi b表示第i维计算响应的区间下界，Y表示计算响应向量，g(·)表示系统向量，(X1,X2,…,XN)表示模型参数向量；
区间优化方法即采用单目标优化方式，通过建立线性约束来设置参数变化的界限，并利用二次规划算法求得目标函数的最优解；
步骤4：设定模型参数的初始相关性矩阵，并利用椭球的特征矩阵传播公式获取计算响应的椭球特征矩阵；其中：
椭球特征矩阵的传播公式如下：
Figure FDA0002575465240000025
式中，ΩY表示计算响应的椭球特征矩阵，fi表示第i个系统gi(·)对模型参数X＝(X1,X2,…,XN)的一阶导系数列矩阵，Covx表示模型参数的N维协方差方阵，Cij表示矩阵的迹，其计算公式如下：
Figure FDA0002575465240000026
式中，tr表示求迹运算符，Fi和Fj分别表示第i个系统gi(·)和第j个系统gj(·)对模型参数X＝(X1,X2,…,XN)的二阶导系数方阵；
步骤5：将测量响应的椭球特征矩阵与计算响应的椭球特征矩阵作最小二乘优化，从而实现模型参数相关性的修正。
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