CN108520117A - 一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于铣削系统稳定性预测领域，并公开了一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法。该方法包括下列步骤：(a)获取状态转移矩阵最大特征值绝对值关系式；(b)建立主轴转速与切削深度的坐标系，并将坐标系栅格化；(c)利用二分法查找初始边界点；(d)将前一个边界点平移一个栅格获得新的点，根据该点的最大特征值绝对值的大小确定搜索方向和搜索区域，直至找到边界点；(e)重复步骤(d)直至获得所有区域的边界点，沿横坐标方向依次连接形成叶瓣曲线。通过本发明，使绘制叶瓣图时只涉及对叶瓣线附近少数点的稳定性计算，类似于只跟随着稳定性的边界进行计算，从而在转速和切削深度构成的二维坐标系中，快速的绘制出稳定性叶瓣图。

Description

一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法

技术领域

本发明属于铣削系统稳定性预测领域，更具体地，涉及一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法。

背景技术

随着工业自动化与智能化的飞速发展，铣削加工技术被越来越多的应用在船用螺旋桨、航空发动机叶片以及火箭壁筒等大型复杂曲面零部件的制造过程当中，是获取高精度加工质量的重要基础技术之一。

实际生产当中，存在加工参数选择不合理的可能性，使得铣削过程中机铣削系统会发生颤振现象，它属于一种自激振动的剧烈振动现象，这不仅会降低加工效率、影响加工表面质量，而且还将显著加剧刀具磨损，缩短铣削装备使用寿命，而这严重阻碍的铣削加工技术的应用。因此，今年来，有许多人对铣削加工系统进行动力学建模与分析，通过在离线状态下预测铣削加工系统的稳定性，来优化铣削加工参数，以避免在生产当中发生颤振现象，提高加工质量和效率。

目前预测铣削系统的稳定性预测研究主要分为频域法和时域法。在稳定性研究的频域模型中，较为经典的是文献“Altintas Y,Budak E.Analytical prediction ofstability lobes in milling[J].CIRP.Annals-Manufacturing Technology,1995,44(1):357–362.”中介绍的零阶频域法(ZOA)，该种方法计算速度较快，但是其在具有刀具跳动等情况下时，无法进行准确的稳定性边界预测，预测精度有限；更为准确的预测方法为时域法，如文献“Ding Y,Zhu L M,Zhang X J,Ding H.A full-discretization method forprediction of milling stability[J].International Journal of Machine Tools andManufacture,2010,50:502-509.”介绍的全离散法(FDM)，其具有较高的预测精度，但一般情况下，对于铣削系统的动力学分析通常涉及大量的加工参数空间，相对频域法来说，若采用时域法预测其稳定性，将消耗大量的仿真时间。

发明内容

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，通过将横纵坐标等分离散化获得多个离散点，将所需绘制的叶瓣线离散为多个直线，同时根据叶瓣曲线的特性确定搜索方向减小搜索范围，由此解决稳定性叶瓣图的绘制精度低以及耗时长的技术问题。

为实现上述目的，按照本发明，提供了一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)针对待处理的铣削系统，建立该系统对应的动力学方程，利用该切削系统的主轴转速和切削深度求解所述动力学方程，获得该动力学方程对应的状态转移矩阵最大特征值绝对值与所述主轴转速和切削深度的关系式；

(b)建立以所述主轴转速和切削深度为横纵坐标轴的坐标系，同时将横纵坐标分别等分离散，使得所述坐标系栅格化，根据主轴转速和切削深度的取值范围[s₁,s_m]和[d₁,d_n]在栅格中标注，其中，m和n均为任意正整数；

(c)利用步骤(a)的关系式计算点(s₁,d₁)点和(s₁,d_n)对应的最大特征值绝对值，查找并获得当x＝s₁时，[d₁,d_n]之间最大特征值绝对值等于1的点，该点为叶瓣曲线的初始边界点；

(d)当x＝s_i时，通过利用步骤(a)的关系式计算(s_i,d_j)最大特征值绝对值的大小确定搜索方向，当其最大特征值绝对值＞1时，向下搜索[d₁,d_j]之间的点，当其最大特征值绝对值＜1时，向上搜索[d_j,d_n]之间的点，直至获得最大特征值绝对值等于1的点，该点即为当x＝s_i时对应的边界点，其中，d_j是x＝s_i-1时对应的边界点的纵坐标，i∈(2,3,...,m)，j∈(1,2,...,n)；

(e)重复步骤(d)直至获得x＝s_m时对应的边界点，沿横坐标方向依次连接[s₁,s_m]之间所有的边界点以此形成叶瓣曲线，从而完成叶瓣图的绘制。

进一步优选地，在步骤(a)中，所述动力学方程是通过对铣削系统进行模态测试实验和切削力系数标定实验后获得。

进一步优选地，在步骤(a)中，所述动力学方程优选按照下列表达式进行：

其中，M是切削系统的质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，A是切削力系数矩阵，x(t),y(t)是分别是当前时刻t振动系统沿x,y方向的动态位移，x(t-T),y(t-T)分别是前一刀齿周t-T振动系统沿x,y方向的动态位移，t是当前时刻，T是单个刀齿时滞周期。

进一步优选地，在步骤(a)中，所述状态矩阵最大特征值的绝对值Φ优选采用下列表达式：

Φ＝max(|D_k-1D_k-2…D_P…D₁D₀|)

其中，D_P是计算状态转移矩阵所构建的单个刀齿时滞周期下离散的矩阵序列，k是单个刀齿时滞周期T的等距离散量，p∈[0,k-1]之间的任意整数。

进一步优选地，在步骤(c)中，查找x＝s₁时，[d₁,d_n]之间最大特征值绝对值等于1的点时优选采用二分法。

进一步优选地，在步骤(d)中，向下搜索栅格中[d₁,d_j]之间的点或向上搜索栅格中[d_j,d_n]之间的点时，优选按照下列表达式，

(d1)按照搜索方向在搜索范围内选取一任意点，计算该任意点对应的最大特征值绝对值；

(d2)判断该任意点最大特征值绝对值与1的关系，

当该任意点最大特征值绝对值与1的关系与上一个搜索点对应的最大特征值绝对值与1的关系相同时，保持搜索方向不变，搜索范围的起点更新为该任意点，返回步骤(d1)；

否则，沿搜索方向反方向搜索，搜索范围更新为该任意点与上一个搜索点之间，返回步骤(d1),直到获得最大特征值绝对值等于1的边界点。

进一步优选地，在步骤(c)或(d)中，当边界点在相邻的两个格栅之间时，采用下列表达式获得所述边界点的坐标：

在步骤(c)或(d)中，当边界点在相邻的两个格栅之间时，采用下列表达式获得所述边界点的坐标：

其中，S_i表示搜索第i个边界点时相应的主轴转速，S_chatter(i)表示第i个边界点的主轴转速度，d_chatter(i)表示第i个边界点的切削深度值，[d_a,d_b]表示边界点所在的区间，其中d_a和d_b是相邻的两个切削深度值，Φ(S_i,d_a)表示点(S_i,d_a)的状态转移矩阵的最大特征绝对值，Φ(S_i,d_b)表示点(S_i,d_b)的状态转移矩阵的最大特征绝对值。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，能够取得下列有益效果：

1、本发明基于时域全离散法计算系统的状态转移矩阵，因此，其稳定性预测精度与全离散法相同，由此保证了最终预测结果良好的预测精度；

2、本发明基于当前转速和切深下的状态转移矩阵的最大特征绝对值，设定一系列的判定条件，使稳定性叶瓣图的计算只涉及稳定性边界线上以及周围的点，从而避免像传统方法那样，计算稳定性叶瓣图上所有的离散点。

附图说明

图1是按照本发明的优选实施例所构建的绘制叶瓣图的流程图；

图2是按照本发明的优选实施例所构建的铣削加工振动系统的结构示意图；

图3是按照本发明的优选实施例所构建的铣削系统模态测试实验示意图；

图4是按照本发明的优选实施例所构建的加工稳定性叶瓣图；

图5是按照本发明的优选实施例所构建的获取叶瓣图中初始边界点的算法流程图；

图6是按照本发明的优选实施例所构建的获取初始边界点之后的边界点的算法流程图点；

图7是按照本发明的优选实施例所构建的离散法叶瓣曲线绘制的示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

图1是按照本发明的优选实施例所构建的绘制叶瓣图的流程图，如图1所示，一种基于全离散法的边界跟随式稳定性叶瓣图快速计算方法，其特征在于，具体包括如下步骤：

(a)对铣削系统进行模态测试实验，获得刀尖点不同方向的频响函数，从而辨识出系统动力学模态参数M、C、K，进行切削力系数标定实验，辨识出各向切削力系数，建立对应铣削加工系统完整的动力学方程；

(b)利用全离散法，得到确定加工参数下动力学系统的状态转移矩阵计算公式，通过计算状态转移矩阵的最大特征值，对系统的稳定性状态进行判定，当其最大特征值的绝对值小于1时为稳定，反之，判定为颤振；

(c)对需要计算稳定性叶瓣图的加工参数空间进行离散，一般是对转速和切深的参数区间进行等分离散，依次计算每个离散转速值下对应的稳定性极限切深；

(d)通过二分法查找计算初始条件(即第一个转速值对应下的.切深离散区间)下不同加工参数的状态转移矩阵最大特征值的绝对值Φ，确定叶瓣线上的初始边界点；

(e)从上一个参数区间下的获得的稳定性点出发，保持纵坐标不变，横坐标增加一个栅格的距离，判断该点的最大特征值绝对值Φ，若大于1则向下搜索，若小于1，则向下搜索，直到获得最大特征值绝对值等于1的点，该点即为所需的边界点；

(f)依次计算出全部加工参数空间下的稳定性边界点，绘制稳定性叶瓣图。

进一步地，步骤(a)中，铣削系统加工动力学方程建模过程采用的是现有技术，在此不详细展开阐述，其基本包括以下步骤：

(1)图2是按照本发明的优选实施例所构建的铣削加工振动系统的结构示意图，如图2所示，将铣削加工系统简化为质块、阻尼、弹簧振动系统，并由此建立铣削系统的动力学方程。

(2)图3是按照本发明的优选实施例所构建的铣削系统模态测试实验示意图，如图3所示，在刀具端进行模态测试实验，获得刀尖点x,y方向的频响函数Hxx，Hyy，通过PolyMAX方法对频响函数Hxx，Hyy进行拟合得到铣削系统的有阻尼固有频率Wdx,Wdy，阻尼比ξx,ξy以及留数Arx,Ary，再利用求得的这三种参数分别计算出铣削系统的质量矩阵M，阻尼矩阵C，刚度矩阵K。

(3)对铣系统的切削力进行采集，利用每齿周期的平均切削力进行切线性回归，标定出切削力系数Kt,Kr，从而得到切削力系数矩阵A，公式中的其余参数可从切削力建模过程中确定。

(4)根据(1)，(2)，(3)中确定的M,C,K以及切削力系数矩阵，可建立完整的铣削系统动力学方程：

进一步地，在步骤(b)中，利用已有的全离散法，求解得到确定加工参数下动力学系统的状态转移矩阵最大特征值的绝对值Φ计算公式，如下：

Φ＝max(|D_k-1D_k-2…D_P…D₁D₀|)

其中，D_P是计算状态转移矩阵所构建的单个刀齿时滞周期下离散的矩阵序列，k是单个刀齿时滞周期T的等距离散量，p∈[0,k-1]之间的任意整数。

通过计算状态转移矩阵最大特征值的绝对值Φ，对系统的稳定性状态进行判定，当其最大特征值的绝对值小于1时为稳定，反之，判定为颤振。图4是按照本发明的优选实施例所构建的加工稳定性叶瓣图，如图4所示，是典型的稳定性叶瓣图，图中叶瓣线以上的部分对应的点的最大特征值绝对值均大于1，叶瓣线以下的部分对应的点的最大特征值绝对值均小于1，叶瓣线上对应的点的最大特征值绝对值等于1。

进一步地，在步骤(c)中，将需要预测的加工参数空间进行等距的离散，令转速区间等分为m份，令切深区间等分为n份。

进一步地，步骤(d)中，叶瓣线上初始边界点的确定采用二分法查找获取，图5是按照本发明的优选实施例所构建的获取叶瓣图中初始边界点的算法流程图，如图5所示，具体的的计算方法包括以下步骤：

将需要预测的加工参数空间进行等距的离散，令转速区间等分为m份：

令切深区间等分为n份：

之后，沿转速逐渐增大的方向，即S_i,i＝1→m，依次确定出每个离散转速值下，对应的极限切削深度d_chatter。

首先确定初始边界点，具体如下：

(1)标记出当前转速值下，需要计算铣削系统稳定性状态的切深值的脚标r所属的区间：

[a,b],a＜b and a,b∈{1,2,...,n}

并给定初始条件：a＝1,b＝n,j＝[(a+b)/2]，其中，[]表示取不大于方括号中数值的最大整数，并选择第一个离散转速值S1对应的切深区间作为初始参数区间，开始稳定性计算。

(2)进行判断：j≠a，如果满足条件，执行步骤(3)；如果不满足条件，利用一阶线性插值法，确定出状态转移矩阵最大特征值的绝对值Φ为1时的加工参数，如下：

此参数即为当前转速值下对应的稳定性边界点，同时，记录当前切深值的标记区间[a,b]，作为初始计算点，然后，进入下一个离散转速值对应的加工参数区间的稳定性计算。

(3)根据步骤(b)中得出的铣削动力学系统的状态转移矩阵Φ的计算公式，计算转速为S1和脚标为j的切削深度dj对应的状态转移矩阵Φ的最大特征值的绝对值Φ(S₁,d_j)，并进行判断：Φ(S₁,d_j)≥1，如果满足条件，执行步骤(4)；如果不满足条件，执行步骤(5)。

(4)令b＝j，并执行步骤(6)。

(5)令a＝j，并执行步骤(6)。

(6)令j＝[(a+b)/2]，并返回步骤(2)。

进一步地，在步骤(e)中，图7是按照本发明的优选实施例所构建的获取初始边界点之后的边界点的算法流程图点，如图7所示，初始边界点确定后，按照下列步骤确定后面的边界点：

(1)从上一个切深值的脚标的标记区间[a,b]出发，计算新的离散转速值对应的切深区间上的稳定性，新的初始条件给定为：i＝2,j＝b。

(2)进行判断：1≤i≤m，满足条件，执行步骤(3)；不满足条件，结束。

(3)进行判断：1≤j≤n，满足条件，执行步骤(4)；不满足条件，执行步骤(9)。

(4)根据步骤(b)中得出的铣削动力学系统的状态转移矩阵Φ的计算公式，计算转速和切深为(S₁,d_a),(S₁,d_b)时，Φ的最大特征值的绝对值，并进行判断：

(Φ(S₁,d_a)-1)(Φ(S₁,d_b)-1)≤0

满足条件，执行步骤(5)；不满足条件，执行步骤(9).

(5)计算转速和切深为(S_i,d_j)时，Φ的最大特征值的绝对值，并进行判断：Φ(S_i,d_j)≤1，满足条件执行步骤(6)；不满足条件，执行步骤(7)。

(6)令a＝b,b＝b+1，执行步骤(8)。

(7)令b＝a,a＝a-1，执行步骤(8)。

(8)令j＝b，执行步骤(3)。

(9)利用一阶线性插值法，确定出转速S_i时，当前状态转移矩阵最大特征值的绝对值Φ为1时的加工参数(即极限切削深度)，如下：

执行步骤(10)。

(10)令i＝i+1，并执行步骤(2)。

按照上述方法获得叶瓣线上所有边界点后，沿横坐标方向连接所有边界点，由此获得叶瓣线，图7是按照本发明的优选实施例所构建的离散法叶瓣曲线绘制的示意图，如图7所示，是最终绘制的稳定性叶瓣图。

本发明的目的旨在提供一种铣削系统稳定性叶瓣图的快速计算方法，其通过切削力标定实验和模态测试实验建立完整的系统动力学方程，基于全离散法计算固定加工参数下的系统稳定性，利用二分法获得初始转速值下对应的极限切深，并以此加工参数为起始点，通过判断状态转移矩阵最大特征值的绝对值的方法，使整体过程只涉及对稳定包络线附近少数加工参数的稳定性计算，类似于只跟随着稳定性的边界进行计算，从而在转速和切削深度构成的二维坐标系中，快速的绘制出稳定性叶瓣图。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，该方法包括下列步骤：

(a)针对待处理的铣削系统，建立该系统对应的动力学方程，利用该切削系统的主轴转速和切削深度求解所述动力学方程，获得该动力学方程对应的状态转移矩阵最大特征值绝对值与所述主轴转速和切削深度的关系式；

(b)建立以所述主轴转速和切削深度为横纵坐标轴的坐标系，同时将横纵坐标分别等分离散，使得所述坐标系栅格化，根据主轴转速和切削深度的取值范围[s₁,s_m]和[d₁,d_n]在栅格中标注，其中，m和n均为任意正整数；

(c)利用步骤(a)的关系式计算点(s₁,d₁)点和(s₁,d_n)对应的最大特征值绝对值，查找并获得当x＝s₁时，栅格中[d₁,d_n]之间最大特征值绝对值等于1的点，该点为叶瓣曲线的初始边界点；

(d)当x＝s_i时，将x＝s_i-1时的边界点(s_i-1,d_j)平移获得(s_i,d_j)，通过利用步骤(a)的关系式计算任意点(s_i,d_j)最大特征值绝对值的大小确定搜索方向，当其最大特征值绝对值＞1时，向下搜索栅格中[d₁,d_j]之间的点，当其最大特征值绝对值＜1时，向上搜索栅格中[d_j,d_n]之间的点，直至获得最大特征值绝对值等于1的点，该点即为当x＝s_i时对应的边界点，其中，i∈(2,3,...,m)，j∈(1,2,...,n)；

(e)重复步骤(d)直至获得x＝s_m时对应的边界点，沿横坐标方向依次连接[s₁,s_m]之间所有的边界点以此形成叶瓣曲线，从而完成叶瓣图的绘制。

2.如权利要求1所述的一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，在步骤(a)中，所述动力学方程是通过对铣削系统进行模态测试实验和切削力系数标定实验后获得。

3.如权利要求1或2所述的一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，在步骤(a)中，所述动力学方程优选按照下列表达式进行：

其中，M是切削系统的质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，A是切削力系数矩阵，x(t),y(t)是分别是当前时刻t振动系统沿x,y方向的动态位移，x(t-T),y(t-T)分别是前一刀齿周t-T振动系统沿x,y方向的动态位移，t是当前时刻，T是单个刀齿时滞周期。

4.如权利要求1-3任一项所述的一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，在步骤(a)中，所述状态转移矩阵φ优选采用下列表达式：

Φ＝max(|D_k-1D_k-2…D_P…D₁D₀|)

其中，D_P是计算状态转移矩阵所构建的单个刀齿时滞周期下离散的矩阵序列，k是单个刀齿时滞周期T的等距离散量，p∈[0,k-1]之间的任意整数。

5.如权利要求1-4任一项所述的一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，在步骤(c)中，查找x＝s₁时，[d₁,d_n]之间最大特征值绝对值等于1的点时优选采用二分法。

6.如权利要求1-5任一项所述的一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，在步骤(d)中，向下搜索栅格中[d₁,d_j]之间的点或向上搜索栅格中[d_j,d_n]之间的点时，优选按照下列表达式，

(d1)按照搜索方向在搜索范围内选取一任意点，计算该任意点对应的状态转移矩阵的最大特征值绝对值；

(d2)判断该任意点最大特征值绝对值与1的关系，

当该任意点最大特征值绝对值与1的关系与上一个搜索点对应的最大特征值绝对值与1的关系相同时，保持搜索方向不变，搜索范围的起点更新为该任意点，返回步骤(d1)；

否则，沿搜索方向反方向搜索，搜索范围更新为该任意点与上一个搜索点之间，返回步骤(d1),直到获得最大特征值绝对值等于1的边界点。

7.如权利要求1-6任一项所述的一种利用全离散法获取稳定性叶瓣图的方法，其特征在于，在步骤(c)或(d)中，当边界点在相邻的两个格栅之间时，采用下列表达式获得所述边界点的坐标：

其中，S_i表示搜索第i个边界点时相应的主轴转速，S_chatter(i)表示第i个边界点的主轴转速度，d_chatter(i)表示第i个边界点的切削深度值，[d_a,d_b]表示边界点所在的区间，其中d_a和d_b是相邻的两个切削深度值，Φ(S_i,d_a)表示点(S_i,d_a)的状态转移矩阵的最大特征绝对值，Φ(S_i,d_b)表示点(S_i,d_b)的状态转移矩阵的最大特征绝对值。