CN108489696B - 一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，该方法通过弹簧悬挂来模拟待测结构的自由‑自由边界条件进行模态试验，利用测量得到的频响函数矩阵，消除弹簧附加刚度对频响函数的影响。本发明为消除频响函数中弹簧附加刚度提供了有效的方法，并且对于多个弹簧附加刚度可以实现一次性消除，其消除效率高，解决了模态试验中由于弹簧附加刚度造成的频响函数精度低的问题，具有实际工程意义。

Description

一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法

技术领域

本发明属于模态测试方法，具体涉及一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法。

背景技术

测量系统频响函数是模态试验的中心环节，高质量频响函数是获取高精度模态参数的前提和保证。然而，模态试验过程中通常会有各种因素影响频响函数的测量精度，其中弹簧附加刚度就是常见的一类。在理想的模态试验中，待测结构处于完全自由状态，不受任何附加边界约束影响，称为结构的自由-自由边界条件。然而，这种条件在实际的地面模态试验中很难实现。因此，为了获取结构的自由模态，通常采用弹性悬挂或支撑来模拟结构所需的自由-自由边界条件。当待测结构的刚度远远大于弹簧附加刚度时，可以忽略弹簧附加刚度对频响函数的影响。但是，对于柔性结构，弹簧附加刚度对模态测试结果精度影响较大，尤其体现在低频阶段。特别是当采用多点弹性支撑进行模拟结构自由-自由边界条件时，测量得到的频响函数中包含的误差较大，因此在对频响函数进行参数识别前需要对其进行修正。

发明内容

发明目的：针对上述技术中存在的问题，本发明提供一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，该方法可以一次性消除频响函数中所有的弹簧附加刚度及其影响。

技术方案：本发明公开了一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，包括以下步骤：

(1)进行模态试验：在待测结构上布置1、2…n个悬挂点，通过悬挂点处的弹簧将待测结构悬挂吊起，模拟模态试验所需的自由-自由边界条件，对待测结构进行模态试验，弹簧的刚度分别记为k₁、k₂…k_n。

(2)测量实测频响函数矩阵A中相应的频响函数，已知A_ij＝A_ji，只需测量实测频响函数矩阵A中上三角元素，所述实测频响函数矩阵A对应矩阵如下：

(3)将弹簧附加刚度通过成矩阵的形式表示，其表达式如下：

ΔK＝diag[-k₁ -k₂ … -k_n]，

所述ΔK计算公式如下：

其中

(4)根据步骤(3)消除弹簧附加刚度的影响，可得修正频响函数矩阵A^*，所述修正频响函数矩阵A^*的表达式如下：

A^*＝A-A[U₁,U₂,...,U_n]N^-1[V₁,V₂,...V_n]^TA

其中，

进一步的，步骤(1)中在待测结构上布置的悬挂点为n个，n的取值大于等于1；

进一步的，步骤(2)中所述实测频响函数矩阵A中有n²个频响函数，由频响函数的互易性A_ij＝A_ji，只需获得实测频响函数矩阵A上三角元素，所述实测频响函数共计n(1+n)/2个；

更进一步的，实测频响函数矩阵A及修正频响函数矩阵A*中包括的列向量U₁、U₂…U_n中元素1的位置与k₁、k₂…k_n在ΔK中的行位置相同，行向量V₁、V₂…V_n中刚度k₁、k₂…k_n的位置与k₁、k₂…k_n在ΔK中的列位置相同。

有益效果：本发明与现有技术相比其显著的效果在于，本发明通过布置弹簧悬挂测量频响函数，但是不需要测量所有的频响函数，并且能够实现多个附加刚度一次性消除，效率高，实施方便，可靠性高。

附图说明

图1为本发明以6自由度的弹簧质量系统测量结构示意图；

图2为本发明消除附加弹簧k₂和k₁₁后的弹簧质量系统参数值对比示意图；

图3为本发明频响函数A₃₃的实测值、准确值与修正值对比图；

图4为本发明频响函数A₃₆的实测值、准确值与修正值对比图。

具体实施方式

为了详细说明本发明公开的技术方案，下面结合说明书附图和具体实施例做进一步的阐述。

本发明提供的一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法所采用的弹簧附加刚度消除原理如下。

弹簧悬挂下待测结构的动刚度矩阵Z为：

Z＝K-ω²M+jωC (1)

由于采用弹簧悬挂，导致结构在悬挂点处引入附加刚度，因此需要从结构刚度中消除附加刚度，修正后结构的动刚度矩阵Z^*为

Z^*＝(K-Δk)-ω²M+jωC＝Z-Δk (2)

令ΔK＝-Δk，由频响函数与动刚度之间的关系A＝Z^-1，可得修正后的频响函数A^*

A^*＝Z^*-1＝(Z+ΔK)^-1 (3)

ΔK采用公式(4)表示

其中，表示第i行元素为1的列向量，表示第i行元素为-k_i的列向量；则修正后结构的修正频响函数A^*可用公式(5)计算得到

其中，

具体的，一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，包括以下步骤：

1、进行模态试验，待测结构上布置了1、2…n个悬挂点，通过悬挂点处的弹簧将待测结构悬挂吊起，模拟模态试验所需的自由-自由边界条件，弹簧的刚度分别记为k₁、k₂…k_n；

2、测量实测频响函数矩阵A中相应的频响函数，已知A_ij＝A_ji，只需测量实测频响函数矩阵A中上三角元素，所述实测频响函数矩阵A表示如下：

3、将弹簧附加刚度通过成矩阵的形式表示，ΔK＝diag[-k₁ -k₂ … -k_n]，所述ΔK表示方式如下：

其中

4、根据步骤(3)消除弹簧附加刚度的影响，可得修正频响函数A^*，所述的A^*的表达式如下：

A^*＝A-A[U₁,U₂,...,U_n]N^-1[V₁,V₂,...V_n]^TA

其中，

以下采用弹簧质量系统验证该消除方法的可靠性。

如图1所示，该系统为6自由度的弹簧质量初始系统。初始系统的动力学方程为

其中，M为初始系统的质量矩阵，K为初始系统的刚度矩阵。初始系统参数：m₁＝m₃＝m₄＝m₆＝5kg，m₂＝m₅＝10kg，k₁＝k₃＝k₄＝k₅＝k₆＝k₇＝k₈＝k₉＝k₁₀＝k₁₁＝100KN，k₂＝200KN。

以x_i(i＝1，2，…，6)为广义坐标，初始系统的动能和势能为

由得初始系统的质量矩阵和刚度矩阵

初始系统的动刚度矩阵为Z＝K-ω²M，由频响函数与动刚度之间的关系得到系统的实测频响函数A＝(K-ω²M)^-1，即

图2为消除弹簧附加刚度k₂和k₁₁后的修正弹簧质量系统。修正系统的动力学方程为

其中，M′为修正系统的质量矩阵，K′为修正系统的刚度矩阵。修正系统参数：m₁＝m₃＝m₄＝m₆＝5kg，m₂＝m₅＝10kg，k₁＝k₃＝k₄＝k₅＝k₆＝k₇＝k₈＝k₉＝k₁₀＝100KN。

修正系统的动能和势能为

由得修正系统的质量矩阵和刚度矩阵

修正系统的动刚度矩阵为Z′＝K′-ω²M′，由频响函数与动刚度之间的关系得到系统的准确频响函数A′＝(K′-ω²M′)^-1，即

至此，得到了初始系统的实测频响A和修正系统的准确频响A′。之后，对实测频响进行弹簧刚度k₂、k₁₁消除，得到修正频响A^*，通过对比修正频响A^*和准确频响A′验证该方法的可靠性。

已知，k₂位于初始系统刚度矩阵K中第三行第三列，k₁₁位于刚度矩阵K中的第六行第六列，故

根据k₂和k₁₁在刚度矩阵K中的位置，可得

则ΔK可表示为：ΔK＝U₁V₁+U₂V₂；

利用公式A^*＝A-A[U₁,U₂,...,U_n]N^-1[V₁,V₂,...V_n]^TA消除实测频响函数A中弹簧附加刚度的影响，获得修正频响函数A^*。

其中，

至此，得到了所需要的实测频响函数A、准确频响函数A′修正频响函数A^*。为了验证消除结果的有效性和可靠性，需要作出频响曲线进行对比分析。

图3对比了实测频响A₃₃、准确频响A′₃₃和修正频响A^* ₃₃的频响曲线。从A₃₃和A′₃₃对比可以看出，弹簧刚度k₂和k₁₁使得实测频响的前四阶峰值均大于准确频响相对应的峰值；弹簧刚度k₂和k₁₁对各阶峰值的影响是不同的，对第一阶峰值影响较大，而对其他高阶频率影响较小。从A′₃₃和A^* ₃₃对比可以看出，两个频响曲线吻合较好，各阶峰值均能对应起来，验证该消除方法的有效性。

图4对比了实测频响A₃₆、准确频响A′₃₆和修正频响A^* ₃₆的频响曲线。从A₃₆和A′₃₆对比可以看出，弹簧刚度k₂和k₁₁同样使得实测频响的前四阶峰值均大于准确频响相对应的峰值，且对第一阶峰值影响最大，对其他高阶频率影响较小。从A′₃₆和A^* ₃₆对比可以看出，两个频响曲线吻合较好，侧面验证该消除方法的可靠性。

采用弹簧悬挂抵消结构重力进而开展地面模态试验，弹簧附加刚度降低了模态辨识结果的准确性和可靠性。对柔性结构，弹簧的数量越多、刚度越大，弹簧附加刚度对频响函数的影响越明显。本发明涉及一种消除频响函数中附加弹簧刚度的方法。研究表明：(1)采用弹簧悬挂模拟结构自由-自由边界条件进行模态试验时，为了消除附加弹簧的影响，需要获得弹簧悬挂点处的频响函数；(2)该方法可以实现多个附加弹簧一次性消除，效率高，可靠性好。

Claims (4)

1.一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，其特征在于：包括以下步骤：

(1)进行模态试验：首先在待测结构上布置悬挂点，然后通过悬挂点处的弹簧将待测结构悬挂吊起，得到模态试验所需的自由-自由边界条件，对待测结构进行模态试验，在待测结构上布置的悬挂点为n个，n的取值大于等于1,且将弹簧刚度分别记为k₁、k₂…k_n；

(2)测量实测频响函数矩阵A中相应的频响函数，所述实测频响函数矩阵A对应矩阵表达式如下：

(3)将弹簧附加刚度表示成矩阵形式，其表达式如下：

ΔK＝diag[-k₁ -k₂ … -k_n]；

(4)根据步骤(3)消除弹簧附加刚度的影响，得到修正频响函数矩阵A^*，所述修正频响函数矩阵A^*表达式如下：

A^*＝A-A[U₁,U₂,...,U_n]N^-1[V₁,V₂,...V_n]^TA

其中，

2.根据权利要求1所述的一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，其特征在于：步骤(2)中所述实测频响函数矩阵A中有n²个频响函数，根据频响函数的互易性A_ij＝A_ji，获取实测频响函数矩阵A上三角元素，所述实测频响函数数量为n(1+n)/2个。

3.根据权利要求1所述的一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，其特征在于：步骤(3)所述ΔK计算公式如下：

其中

4.根据权利要求1所述的一种消除频响函数中弹簧附加刚度的方法，其特征在于：所述实测频响函数矩阵A及修正频响函数矩阵A^*中包括的列向量U₁、U₂…U_n中元素1的位置与k₁、k₂…k_n在ΔK中的行位置相同，行向量V₁、V₂…V_n中刚度k₁、k₂…k_n的位置与k₁、k₂…k_n在ΔK中的列位置相同。