CN108319778A - 一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法 - Google Patents

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陈素芳
姜东�
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Abstract

本发明公开了一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，包括如下步骤：(1)选取待计算的结构参数pn进行微小扰动；(2)编写结构有限元计算程序，将复变函数法植入到有限元程序中，在结构参数添加虚步长后，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)；(3)基于上述目标函数f(pn+ih)，求解目标函数的一阶偏导数即灵敏度；(4)以此类推，当n<m时，n＝n+1，求第n+1个结构参数的灵敏度值；当n＝m时，将第m个结构参数变量设置为复数变量，通过有限元分析程序，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)；最后，通过步骤(3)中的目标函数的一阶偏导数求解第m个参数的灵敏度。本发明能够利用复变函数法分析技术得到精度较高的目标函数对结构参数的灵敏度矩阵。

Description

一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法
技术领域
本发明涉及基于有限元法的优化和设计技术领域，尤其是一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法。
背景技术
结构系统的优化设计，是工程中普遍存在的问题，特别是在航空、航天、热力机械等方面。灵敏度分析是优化设计的重要内容，它反映的是约束函数和目标函数对设计变量的导数信息。在动力学反问题研究中，为了获得结构准确的动力学模型，识别结构准确的动力学参数，首先需要进行结构参数的灵敏度方法研究。
基于有限元法的优化设计技术还存在缺陷的一个重要原因在于设计灵敏度分析技术尚需不断改进。在梯度优化法中，灵敏度的精度直接决定了优化搜索方向的正确性及优化结果的准确程度和效率。由于结构响应和设计变量之间的关系一般没有显式关系，所以求解目标函数或约束函数对设计变量的导数非常困难，因此，优化设计研究的主要精力还是放在关键的灵敏度分析技术上，以便更有效的解决工程问题。
目前存在的完全有限差分法和半解析法等灵敏度分析方法，在计算的时候都存在近似数相减再除以小数值的问题，是数值计算的大忌。灵敏度结果就有可能出现偏差，造成精度过低问题。为此，本发明提出一种复变函数法求解结构参数的灵敏度问题。复变函数法的差分步长为虚步长，计算精度高，且精度不受步长的影响，计算过程中有限元网格实部部分并没有发生变化，在结构灵敏度分析中有很大优势。
发明内容
本发明所要解决的技术问题在于，提供一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，能够利用复变函数法分析技术得到精度较高的目标函数对结构参数的灵敏度矩阵。
为解决上述技术问题，本发明提供一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)选取待计算的结构参数pn进行微小扰动，扰动量为h(h＝10-6)，则ih为虚步长，pn+ih为新的复数变量；
(2)编写结构有限元计算程序，将复变函数法植入到有限元程序中，在结构参数添加虚步长后，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)；
(3)基于上述目标函数f(pn+ih)，将其展开如下：
忽略高阶项，整理实部和虚部，则目标函数的一阶偏导数即灵敏度为
其中，Im表示目标函数f(pn+ih)的虚部，S(n)是第n个结构参数的灵敏度；
(4)以此类推，当n<m时，n＝n+1，求第n+1个结构参数的灵敏度值；当n＝m时，将第m个结构参数变量设置为复数变量，通过有限元分析程序，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)；最后，通过上述式(2)求解第m个参数的灵敏度。
优选的，步骤(2)中，结构有限元计算程序中的结构包括桁架结构或板壳结构。
优选的，步骤(2)中，复数变量法植入到有限元计算程序中，需在有限元计算程序前通过语句Pn＝Pn+ih设置Pn为复数变量；在有限元计算程序后用语句 取出f(Pn+ih)的虚部；在有限元计算程序中对实数空间设置为复数空间求解目标函数即可。
本发明的有益效果为：本发明将结构有限元分析中的结构参数设置为复数变量，通过复数函数的展开式得到一阶导数的近似计算公式；这种分析方法效率高，计算精度高，且不依赖于虚步长大小，应用简单方便，无需对目标函数进行偏导数计算，只需把复变函数法植入到有限元程序中，在复数空间进行有限元计算，便可求出目标函数对结构参数的灵敏度。
附图说明
图1为本发明的方法流程示意图。
图2为本发明的四边简支薄板示意图。
具体实施方式
如图1所示，一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，包括如下步骤：
(1)选取待计算的结构参数pn进行微小扰动，扰动量为h(h＝10-6)，则ih为虚步长，pn+ih为新的复数变量。
(2)编写板壳结构的有限元分析程序，将复变函数法植入到有限元程序中。在结构参数添加虚步长后，在复数空间进行有限元结构响应分析，求解结构的目标函数f(pn+ih)。
(3)基于上述目标函数f(pn+ih)，将其按照泰勒级数展开如下：
忽略高阶项，整理实部和虚部，则目标函数对结构参数的灵敏度为
其中，Im表示目标函数f(pn+ih)的虚部。S(n)是第n个结构参数的灵敏度。
(4)以此类推，当n<m时，n＝n+1,求第n+1个结构参数的灵敏度值。当n＝m时，将第m个结构参数变量设置为复数变量，通过有限元分析程序，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)。最后，取目标函数的虚部，通过式(2)求解第m个参数的灵敏度。
下面基于板壳结构实例和具体实施步骤1～4，求基于复变函数法的结构参数灵敏度。已知：四边简支的矩形薄板，如图2所示，板长1000mm，宽500mm，板厚20mm，结构材料参数E＝2.1×105N/mm2，泊松比v＝0.3，热膨胀系数α＝2×10-6，分析薄板模态对结构材料参数的灵敏度。
当n＝1，第一个结构参数弹性模量E设置为复数变量E+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数E的灵敏度；以此类推，当第3个结构参数热膨胀系数α设置为复数变量α+ih时，复变函数法求得结构热模态对材料参数α的灵敏度。综上，得到前10阶热模态频率对结构参数的灵敏度矩阵S。
表1复变函数法求得前10阶热模态对结构参数的灵敏度
并将本发明所求的结果和完全有限差分法求解的灵敏度作对比，可知本发明提供的方法得到的结果真实、可行。
表2完全有限差分法求得前10阶热模态对结构参数的灵敏度
采用本发明提出的利用复变函数法，求解结构热模态对结构参数的灵敏度分许，可以大大简化热模态有限元灵敏度计算、编程过程。不需要对有限元方程进行求导计算，只需将结构参数设置为复数变量，在复数空间进行有限元计算，并利用复数函数的展开式即可求得灵敏度。

Claims (3)

1.一种基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)选取待计算的结构参数pn进行微小扰动，扰动量为h(h＝10-6)，则ih为虚步长，pn+ih为新的复数变量；
(2)编写结构有限元计算程序，将复变函数法植入到有限元程序中，在结构参数添加虚步长后，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)；
(3)基于上述目标函数f(pn+ih)，将其展开如下：
忽略高阶项，整理实部和虚部，则目标函数的一阶偏导数即灵敏度为
其中，Im表示目标函数f(pn+ih)的虚部，S(n)是第n个结构参数的灵敏度；
(4)以此类推，当n<m时，n＝n+1，求第n+1个结构参数的灵敏度值；当n＝m时，将第m个结构参数变量设置为复数变量，通过有限元分析程序，在复数空间求解结构的目标函数f(pn+ih)；最后，通过上述式(2)求解第m个参数的灵敏度。
2.如权利要求1所述的基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(2)中，结构有限元计算程序中的结构包括桁架结构或板壳结构。
3.如权利要求1所述的基于复变函数法的结构参数灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(2)中，复数变量法植入到有限元计算程序中，在有限元计算程序前通过语句Pn＝Pn+ih设置Pn为复数变量；在有限元计算程序后用语句取出f(Pn+ih)的虚部；在有限元计算程序中对实数空间设置为复数空间求解目标函数。
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