CN108304621B - 一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门及优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门及优化方法，防爆车门包括外板、内板和吸能内芯；吸能内芯由基于功能梯度的负泊松比结构材料制成，用于车辆在遭受爆炸威胁时进行爆炸能量的吸收以及缓冲爆炸冲击波；防爆车门的外板和内板相互配合组成一个中间带有空隙的壳体，并将吸能内芯安装于此带有空隙的壳体之中；本发明还公开了一种该防爆车门的优化方法，利用自适应混合多目标粒子群算法，在充分考虑防爆车门质量、冲击加速度、内芯吸能量、内板侵入量等性能要求的前提下，对防爆车门的外板的厚度、内板厚度、负泊松比结构的厚度梯度进行优化设计，使防爆车门的各项性能得到了有效提升，进一步增强了乘员的安全性能。

Description

一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门及优化方法

技术领域

本发明涉及军用车辆爆炸防护领域，具体涉及一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门及优化方法。

背景技术

军用车辆在执行任务时，经常要面对地雷、简易爆炸装置等的威胁，车身的防护性能直接关乎乘员的生命安全。普通的车门主要由车门外板、内板以及车窗组成，其在侧面爆炸冲击过程中往往存在变形不稳定和吸能效果较差的问题，导致车门内板往驾驶室的侵入量过大，从而对乘员造成严重伤害。针对这存在问题，目前常见的解决方法是对车门的结构进行优化设计或者在车门的内外板之间填充一些吸能材料，比如泡沫铝、蜂窝铝等材料，虽然通过这些方式可以使车门在相同条件下的能量吸收性得到改善，但是为了进一步提高车门的防爆性能以及在车辆受到侧面爆炸冲击载荷作用时对乘员的保护，运用这些传统的方式很难再对车门的吸能效果作出较大的改进。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对背景技术中所涉及到的缺陷，提供一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门及优化方法。

本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：

一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门，包括车门外板、车门内板、和吸能内芯；

所述防爆车门的外板和内板相互配合形成将所述吸能内芯包含在内的壳体；

所述吸能内芯包含第一至第三负泊松比结构材料，用于车辆在遭受爆炸威胁时对爆炸能量进行吸收以缓冲爆炸冲击波；

所述第一至第三负泊松比结构均由车门外板至车门内板方向依次排列，均由负泊松比单胞阵列而成；

所述负泊松比单胞呈内凹六边形结构，包含两条平行的底边和四条内凹的斜边；

第一、第二、第三负泊松比结构的负泊松比单胞的壁厚依次增大。

作为本发明一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门进一步的优化方案，所述车门外板朝远离车门内板的方向凸起，以对爆炸能量进行置偏。

作为本发明一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门进一步的优化方案，所述负泊松比单胞底边的长度a＝16mm、两底边的垂直距离h＝13mm、底边与相邻斜边的夹角d＝65°、四条斜边的长度均为c＝7.172mm、四条斜边和两条底边的宽度均为b＝3mm。

作为本发明一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门进一步的优化方案，所述车门外板的厚度t＝2mm，第一层负泊松比结构的壁厚t₁＝1.2mm，第二层负泊松比结构的壁厚t₂＝1mm，第三层负泊松比结构的壁厚t₃＝0.8mm，车门内板的厚度t₄＝2mm。

本发明还公开了一种该基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，包括以下步骤：

步骤1)，在优化软件ISIGHT中，采用最优拉丁超立方试验设计方法，对每个预设的设计变量、在其预设的阈值范围内均匀选取N组设计样本点，N为大于0的自然数；

所述预设的设计变量分别为车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂，第三负泊松比结构的壁厚t₃和内板厚度t₄，其预设的阈值范围分别为：t∈[1,3]、t₁∈[0.5,1.5]、t₂∈[0.5,1.5]、t₃∈[0.5,1.5]、t₄∈[1,3]，单位均为mm；

步骤2)，根据选取的设计样本点，在CATIA软件中建立N组基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的CAD模型；

步骤3)，将N组CAD模型导入HYPERMESH软件中，对其进行几何清理和网格划分后对炸药类型、炸距、炸药当量进行设置，形成N组CAE有限元模型；

步骤4)，将N组CAE有限元模型导入LS-DYNA软件中进行求解，根据其输出的结果，计算N组CAE有限元模型对应的车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S和防爆车门的质量m；

步骤5)，以N组CAD模型的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、内板厚度t₄作为输入，N组CAE有限元模型对应的车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S、防爆车门的质量m作为输出，分别构建出防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型，所述四个评价指标为车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S、防爆车门的质量m；

步骤6)，分别计算出防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型拟合的相关系数R²和均方根误差RMSE，若四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²均大于等于0.93、均方根误差RMSE均小于等于0.07，则执行步骤7)；否则重新执行步骤1)至步骤5)，直至四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²均大于等于0.93、均方根误差RMSE均小于等于0.07；

步骤7)，在MATLAB软件中，以防爆车门的四个评价指标作为优化目标，防爆车门的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、内板厚度t₄作为设计变量，建立基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门优化的数学模型；

步骤8)，根据建立的优化数学模型，采用自适应多目标粒子群优化算法对防爆车门的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、内板厚度t₄进行优化，得到Pareto解集；

步骤9)，采用标准边界交叉法对优化得到的pareto解集进行寻优，找出最优解。

作为本发明基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法进一步的优化方案，所述步骤1)中N的值为150。

作为本发明基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法进一步的优化方案，步骤5)中所述防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型的一般形式为：

其中，m为设计变量的个数，x_i和x_j为输入，y为原始响应，a₀、a_i、a_ii和a_ij均为待定系数，二阶多项式响应面模型的展开项数为k，

作为本发明基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法进一步的优化方案，步骤5)中所述的防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型分别如下：

1)防爆车门内板的加速度a的响应面模型为：

2)吸能内芯的吸能量E的响应面模型为：

3)车门内板的侵入量S的响应面模型为：

4)防爆车门的质量m的响应面模型为：

作为本发明基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法进一步的优化方案，步骤6)中所述四个评价指标的二阶多项式响应面模型拟合的相关系数R²和均方根误差RMSE的计算公式分别为：

其中f_i是第i样本点的有限元分析结果，f_i′第i样本点的响应面模型计算值，为所有样本点的有限元分析均值，N为样本点数，i为大于0小于等于N的自然数，P为二阶多项式响应面模型多项式的项数。

作为本发明基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法进一步的优化方案，步骤7)中所述的防爆车门优化的数学模型为：

作为本发明基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法进一步的优化方案，步骤9)中所述的标准边界交叉法的计算公式为：

式中，N_i为标准化之后的第i个目标函数值，u_a、u_b分别是坐标轴边界的上、下限值；O_i是优化得到Pareto解中第i个目标函数值，O_{i_min}是Pareto解集中第i个目标函数的最小值，O_{i_max}是Pareto解集中第i个目标函数的最大值，R_p为搜索半径。

本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：

1.本发明公开了一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门，该防爆车门融合了负泊松比结构材料以及功能梯度材料的优势，解决了在侧面爆炸冲击过程中车门存在变形不稳定和吸能效果较差，导致车门内板往驾驶室的侵入量过大，从而对乘员造成严重伤害的问题，有效地提升了车门的各项防爆性能；

2.本发明的优化方法结合最优拉丁超立方试验设计方法、参数化建模、二阶多项式响应面模型、相关系数以及均方根误差检验法、自适应混合多目标粒子群优化算法对防爆车门进行优化设计，并采用标准边界交叉法对优化后的pareto解集进行寻优，最终获得了最优的防爆车门外板厚度t、第一层负泊松比结构厚度t₁、第二层负泊松比结构厚度t₂，第三层负泊松比结构厚度t₃、内板厚度t₄，进一步提升了车门的防爆性能，增强了乘员的安全性。

附图

图1是本发明实施例提供的一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门示意图；

图2是本发明实施例提供的吸能内芯示意图；

图3是本发明实施例提供的负泊松比结构尺寸示意图；

图4是本发明实施例提供的一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门整体优化方法流程图；

图5是本发明实施例提供的自适应混合多目标粒子群优化算法流程图；

图中，1-外板，2-内板，3-车窗，4-吸能内芯。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：

本发明可以以许多不同的形式实现，而不应当认为限于这里所述的实施例。相反，提供这些实施例以便使本公开透彻且完整，并且将向本领域技术人员充分表达本发明的范围。在附图中，为了清楚起见放大了组件。

如图1所示，本发明公开了一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门，包括车门外板、车门内板、和吸能内芯；防爆车门的外板和内板相互配合形成将吸能内芯包含在内的壳体；吸能内芯包含第一至第三负泊松比结构材料，用于车辆在遭受爆炸威胁时对爆炸能量进行吸收以缓冲爆炸冲击波；第一至第三负泊松比结构均由车门外板至车门内板方向依次排列，均由负泊松比单胞阵列而成；负泊松比单胞呈内凹六边形结构，包含两条平行的底边和四条内凹的斜边；第一、第二、第三负泊松比结构的负泊松比单胞的壁厚依次增大。

车门外板整体呈外凸形，起对爆炸能量进行置偏作用；车门外板的厚度为t＝2mm，车门内板厚度为t₄＝2mm。

如图2所示，吸能内芯由第一至第三负泊松比结构组成，并且第一至第三负泊松比结构的壁厚均不相同；三从车门外板往内板的方向，第一负泊松比结构的壁厚为t₁＝1.2mm，第二负泊松比结构的壁厚为t₂＝1mm，第三负泊松比结构的壁厚为t₃＝0.8mm。

如图3所示，负泊松比单胞的特征参数分别为：底边长度为a＝16mm，两底边的垂直距离为h＝13mm，底边与相邻斜边的夹角为d＝65°，四条斜边的长度均为c＝7.172mm，四条斜边和底板的宽度均为b＝3mm。

如图4所示，本发明还公开了一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，具体步骤如下：

步骤1)，步骤1)，在优化软件ISIGHT中，采用最优拉丁超立方试验设计方法，对每个预设的设计变量、在其预设的阈值范围内均匀选取N组设计样本点，N为大于0的自然数；

所述预设的设计变量分别为车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂，第三负泊松比结构的壁厚t₃和内板厚度t₄，其预设的阈值范围分别为：t∈[1,3]、t₁∈[0.5,1.5]、t₂∈[0.5,1.5]、t₃∈[0.5,1.5]、t₄∈[1,3]，单位均为mm。

步骤2)，根据选取的设计样本点，在CATIA软件中建立N组基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的CAD模型。

步骤3)，将步骤3)，将N组CAD模型导入HYPERMESH软件中，对其进行几何清理和网格划分后对炸药类型、炸距、炸药当量进行设置，形成N组CAE有限元模型。

步骤4)，将N组CAE有限元模型导入LS-DYNA软件中进行求解，根据其输出的结果，计算N组CAE有限元模型对应的车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S和防爆车门的质量m。

步骤5)，以N组CAD模型的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、内板厚度t₄作为输入，N组CAE有限元模型对应的车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S、防爆车门的质量m作为输出，分别构建出防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型，所述四个评价指标为车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S、防爆车门的质量m。

所述防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型的一般形式为：

其中，m为设计变量的个数，x_i和x_j为输入，y为原始响应，a₀、a_i、a_ii和a_ij均为待定系数，二阶多项式响应面模型的展开项数为k，

防爆车门的四个评价指标的二阶多项式响应面模型分别如下：

1)防爆车门内板的加速度a的响应面模型为：

2)吸能内芯的吸能量E的响应面模型为：

3)车门内板的侵入量S的响应面模型为：

4)防爆车门的质量m的响应面模型为：

步骤6)，分别计算出防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型拟合的相关系数R²和均方根误差RMSE，若四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²均大于等于0.93、均方根误差RMSE均小于等于0.07，则执行步骤7)；否则重新执行步骤1)至步骤5)，直至四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²均大于等于0.93、均方根误差RMSE均小于等于0.07。

四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²和均方根误差RMSE的计算公式分别为：

其中f_i是第i样本点的有限元分析结果，f_i′第i样本点的响应面模型计算值，为所有样本点的有限元分析均值，N为样本点数，i为大于0小于等于N的自然数，P为二阶多项式响应面模型多项式的项数。

步骤7)，在MATLAB软件中，以防爆车门的四个评价指标作为优化目标，防爆车门的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、内板厚度t₄作为设计变量，建立基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门优化的数学模型。

防爆车门优化的数学模型为：

步骤8)，根据建立的优化数学模型，采用自适应多目标粒子群优化算法对防爆车门的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、内板厚度t₄进行优化，得到Pareto解集。

其中自适应混合多目标粒子群优化算法的具体步骤如图5所示：

Step1，利用sobol系列初始化群体规模为N的所有粒子，即在定义域内随机设置各粒子的初始位置和初始速度；

Step2，计算各粒子的适应度函数值，根据支配关系形成非支配解集；

Step3，更新外部档案集，将pareto解存到外部档案集中；

Step4，对外部档案集各粒子间的拥挤距离进行降序排列，按照设定规模数进行检查是否超出，若超出则删除规模以外的非支配解，其中拥挤距离为：且

Step5，对外部档案集中的部分pareto解进行局部混沌搜索；

Step6，更新个体最优位置以及全局粒子的最优位置/>若是第一代则直接将每个粒子初始位置设为最优位置/>若不是第一代则根据Pareto支配关系选择是否替换更新；

Step7，更新种群的变异概率：

Step8，更新粒子的速度：其中：ω为惯性权重；c₁、c₂为加速度因子；r₁、r₂为区间[0,1]上均匀分布的随机数；/>分别为t时刻的粒子的自身最好位置和全局最好位置；/>为t时刻粒子的位置。

Step9，更新各粒子新一代的位置：式中/>分别为粒子在t+1时刻的位置与速度；

Step10，检查是否达到最大迭代次数，如果达到，则终止程序，如果未达到，则继续从第二步开始循环。

步骤9)，采用标准边界交叉法对优化得到的pareto解集进行寻优，找出最优解。

标准边界交叉法的计算公式为：

式中:N_i为标准化之后的第i个目标函数值，u_a、u_b分别是坐标轴边界的上、下限值；O_i是优化得到Pareto解中第i个目标函数值，O_{i_min}是Pareto解集中第i个目标函数的最小值，O_{i_max}是Pareto解集中第i个目标函数的最大值，R_p为搜索半径。

本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。

以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，所述基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门包括车门外板、车门内板、和吸能内芯；

所述防爆车门的外板和内板相互配合形成将所述吸能内芯包含在内的壳体；

所述吸能内芯包含第一至第三负泊松比结构材料，用于车辆在遭受爆炸威胁时对爆炸能量进行吸收以缓冲爆炸冲击波；

所述第一至第三负泊松比结构均由车门外板至车门内板方向依次排列，均由负泊松比单胞阵列而成；

所述负泊松比单胞呈内凹六边形结构，包含两条平行的底边和四条内凹的斜边；

第一、第二、第三负泊松比结构的负泊松比单胞的壁厚依次增大；

其特征在于，所述基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法包括以下步骤：

步骤1)，在优化软件ISIGHT中，采用最优拉丁超立方试验设计方法，对每个预设的设计变量、在其预设的阈值范围内均匀选取N组设计样本点，N为大于0的自然数；

所述预设的设计变量分别为车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂，第三负泊松比结构的壁厚t₃和车门内板厚度t₄，其预设的阈值范围分别为：t∈[1,3]、t₁∈[0.5,1.5]、t₂∈[0.5,1.5]、t₃∈[0.5,1.5]、t₄∈[1,3]，单位均为mm；

步骤2)，根据选取的设计样本点，在CATIA软件中建立N组基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的CAD模型；

步骤3)，将N组CAD模型导入HYPERMESH软件中，对其进行几何清理和网格划分后对炸药类型、炸距、炸药当量进行设置，形成N组CAE有限元模型；

步骤4)，将N组CAE有限元模型导入LS-DYNA软件中进行求解，根据其输出的结果，计算N组CAE有限元模型对应的车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S和防爆车门的质量m；

步骤5)，以N组CAD模型的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、车门内板厚度t₄作为输入，N组CAE有限元模型对应的车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S、防爆车门的质量m作为输出，分别构建出防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型，所述四个评价指标为车门内板的加速度a、吸能内芯的吸能量E、车门内板的侵入量S、防爆车门的质量m；

步骤6)，分别计算出防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型拟合的相关系数R²和均方根误差RMSE，若四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²均大于等于0.93、均方根误差RMSE均小于等于0.07，则执行步骤7)；否则重新执行步骤1)至步骤5)，直至四个评价指标的二阶多项式响应面模型的相关系数R²均大于等于0.93、均方根误差RMSE均小于等于0.07；

步骤7)，在MATLAB软件中，以防爆车门的四个评价指标作为优化目标，防爆车门的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、车门内板厚度t₄作为设计变量，建立基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门优化的数学模型；

步骤8)，根据建立的优化数学模型，采用自适应多目标粒子群优化算法对防爆车门的车门外板厚度t、第一负泊松比结构的壁厚t₁、第二负泊松比结构的壁厚t₂、第三负泊松比结构的壁厚t₃、车门内板厚度t₄进行优化，得到Pareto解集；

步骤9)，采用标准边界交叉法对优化得到的pareto解集进行寻优，找出最优解。

2.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，所述车门外板朝远离车门内板的方向凸起。

3.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，所述负泊松比单胞底边的长度a＝16mm、两底边的垂直距离h＝13mm、底边与相邻斜边的夹角d＝65°、四条斜边的长度均为c＝7.172mm、四条斜边和两条底边的宽度均为b＝3mm。

4.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，所述车门外板的厚度t＝2mm，第一负泊松比结构的壁厚t₁＝1.2mm，第二负泊松比结构的壁厚t₂＝1mm，第三负泊松比结构的壁厚t₃＝0.8mm，车门内板的厚度t₄＝2mm。

5.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，步骤5)中所述防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型的一般形式为：

其中，m为设计变量的个数，x_i和x_j为输入，y为原始响应，a₀、a_i、a_ii和a_ij均为待定系数，二阶多项式响应面模型的展开项数为k，

6.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，步骤5)中所述的防爆车门四个评价指标的二阶多项式响应面模型分别如下：

1)防爆车门内板的加速度a的响应面模型为：

2)吸能内芯的吸能量E的响应面模型为：

3)车门内板的侵入量S的响应面模型为：

4)防爆车门的质量m的响应面模型为：

7.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，步骤6)中所述四个评价指标的二阶多项式响应面模型拟合的相关系数R²和均方根误差RMSE的计算公式分别为：

其中f_i是第i样本点的有限元分析结果，f_i′第i样本点的响应面模型计算值，为所有样本点的有限元分析均值，N为样本点数，i为大于0小于等于N的自然数，P为二阶多项式响应面模型多项式的项数。

8.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，步骤7)中所述的防爆车门优化的数学模型为：

9.根据权利要求1所述的基于功能梯度的负泊松比结构防爆车门的优化方法，其特征在于，步骤9)中所述的标准边界交叉法的计算公式为：

式中，N_i为标准化之后的第i个目标函数值，u_a、u_b分别是坐标轴边界的上、下限值；O_i是优化得到Pareto解中第i个目标函数值，O_{i_min}是Pareto解集中第i个目标函数的最小值，O_{i_max}是Pareto解集中第i个目标函数的最大值，R_p为搜索半径。