CN108292205A - 用于根据数学问题自动提炼概念以及根据多个数学概念对数学问题进行动态构建和测试的系统和方法 - Google Patents

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CN108292205A CN201680068462.4A CN201680068462A CN108292205A CN 108292205 A CN108292205 A CN 108292205A CN 201680068462 A CN201680068462 A CN 201680068462A CN 108292205 A CN108292205 A CN 108292205A
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弗雷德里克·C·盖伊
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Abstract

根据数学问题自动地提炼概念和根据多个数学概念动态地构建和测试数学问题的创建的系统和方法，包括：向用户提供用户界面；接收以下作为输入：数学问题；一个或多个数学概念；和/或用户数据包；提取和编译一个或多个CLI的概念云，所述一个或多个CLI分别包括在所述输入中体现的数学概念，对所述一个或多个数学概念的运算进行描述，或与UDP相关；从所述概念云CLI产生一个或多个数学问题建造块；对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎，以建造一个或多个附加数学问题；以及通过所述用户界面向所述用户返回根据对从所述输入提取的概念云进行定义的CLI而建造的所述一个或多个附加数学问题。

Description

用于根据数学问题自动提炼概念以及根据多个数学概念对数 学问题进行动态构建和测试的系统和方法
相关申请的交叉引用
本申请通过引用合并2016年8月10日提交的美国临时申请No.62/373,198和2015年9月23日提交的美国临时申请No.62/222,591，并要求其优先权的权益。
背景技术
本主题一般地涉及根据数学问题(problem)自动提炼概念以及根据多个数学概念对数学问题的创建进行动态构建和测试的系统和方法。另外，本主题提供了使用分支算法来测试和绘制/映射(map)用户的技能的系统和方法。
老师和学生们在数学学习的道路上采用了千差万别的技能集合，并且被要求利用由其学校、学区、州或者可能国家教育部所选择的教科书和补充材料来工作。这些状况会使得任意年级水平的所有学生的任意给定数学课程/学科难以一贯地取得世界一流的成绩。
在数学教育中，老师所引导的许多讨论以及教科书中撰写的说明略过或者掩饰学生从概念a进展到概念n所需的中间概念。结果，许多有天赋的学生会质疑他们在数学上的天赋，只因为缺失的步骤打乱了他们的直觉。这导致了不幸的情况：实际上拥有天赋的学生认为他们自己不适合学数学。
数学教育材料倾向于展现五种类型的信息缺口(information gap)，在本文中描述为减速块/减速带(Speed Bump)、Y交叉、坑洞、缺口、和断层(Chasms)(一般性地统一称为“缺口”)。缺口，该术语的一般含义可以是教科书、课程讲座或讨论中出现的数学概念的连续流的中断，通常表现为可能未被具体地阐述或清楚地说明的一个或多个略过的步骤、概念或见解。按照最不严重到最严重的顺序来说，减速块可以表现为写得很差的描述或说明。Y交叉可以表现为这样的描述或说明：其可能以多于一种的方式进行解释，这些方式中的任一种可能服务于也可能不服务于当前目标，但它们中的一种能够支持数学技能的持续成长。坑洞可以是对数学概念流的中度中断，其表现为信息的缺失或者不清楚的或导致误解的描述。缺口——在该术语的更具体应用中——可以是可能未被表达得明确的或者被说明得很差的一个或多个略过的步骤或概念或见解的事故。断层由于其可能表现为缺少对包括一个或多个论题的概念的补充而可以表示在数学概念的其他方面的连续流中的最严重的断裂。应对数学教育的成功的系统或方法应当适于有效应对这些类型的缺口中的每一个。
尽管最容易被描述为与教育相关的议题，但应对数学知识中的缺口对于纯教育背景之外的人们来说会是重要的。识别并提高人们的数学技能对于个人和职业发展而言同样会是重要的。
因此，如本文所描述和要求保护的那样，需要用于根据数学问题自动提炼概念以及根据多个数学概念对数学问题的创建进行动态地构建和测试的系统和方法。
发明内容
在进入本文所呈现的系统和方法的实质性概述之前，首先提供本文使用的若干词语和词组的定义是有利的。以下定义有助于对本文所提供的详细描述和概括描述提供附加的结构和含义。
定义
算法数学问题和表达式：可利用值、变量和运算符表达的数学问题和表达式(包括语句)，比如(4+2i)+(6+9i)＝10+11i。算法不是指动态撰写的文字公式，而是包括针对数学问题的动态选择的文本指令(例如，“简化……”，“使用该图片，说明……的原因”，“识别较大的……”，“评价……”，“何为……”，“解出x……”，“是否定义了……？”等)。
自动化概念云提取/概念云重构(“CCE/CCR”)模块。两阶段模块：(1)根据数学表达式自动提炼代表性概念云，以及(2)根据概念云中的一个或多个自动生成代表性数学表达式。
CLI数据包(CLI-DP)：存储与每个CLI的性质、属性、变量和相关模板有关的系统指令的数据包。这些数据包描述并管控CLI可如何与系统的总体逻辑交互，系统的总体逻辑进行根据概念云动态产生数学问题。在语言表达的数学概念到机器可读代码(例如，以代码表达的概念行项目、它们的属性、性质、变量、模板、函数、运算符、参量(arguments)、和系统指令)的转换中，这些数据包可以充当文档计量数据的存储库，其除了属性、性质、变量、模板和系统指令之外还可以包括相关关键字、CLI的源头(例如分析员名称、提取的公式、冗余、书目数据)、重要性分数、权重分数、作为概念整合的预估式的CLI、作为对用户的过程灵活性的贡献者的CLI、用户及其共事者中的个体以及人群利用CLI或概念云的性能，等等。
概念云：可被封装在数学对象中的许多数学概念，通常(但非排他地)表达为概念行项目的集合。概念云可以被看作大写的“T”。顶部横条可以代表概念云的最高级概念(通常被称为“顶部条概念”)，通常依照先决条件和依赖关系来安排给最高级概念，其可以在如一些课程表(例如，下文定义的五国课程表)所定义的普通年级水平或数学课程中进行教导。竖条可以代表可支持横条中的概念存在或以其他方式使得横条中的概念存在成为可能的数学概念(通常被称为“下部线条(downline)概念”)。并且，它们也可以依照先决条件和依赖关系来安排。例如，初级代数水平的概念云可以包括18％的顶部条概念和82％的下部线条概念。该百分比在早年的数学意识中变得不断集中于顶部条概念，并随着用户的技能变得更高级而不断集中于下部线条概念。
概念云可以由包括算法、几何和图形法的多种数据类型通过文字公式和通过计算机代码来表示。
概念行项目(“CLI”)：表达为词组的数学概念、表达为简单句的单个数学思想。可以通过从任何类型的数学表达式和公式、从关于数学的书面材料、以及从对于数学的经验进行提取的过程来导出概念行项目。概念行项目可以经撰写以独立于任何上下文(如，提取的习题、任何相邻的行项目、以及数学论题或数学课程)被解释和理解。
CLI可以应对单个概念，或者针对多个高级概念，应对若干概念的合并。例如，读取“自然数既可以是对象在集合的枚举中的顺序(序数)，也可以是该集合的大小(基数性)”的CLI(在最高水平并且不再提取颗粒性概念)将自然数、计数的顺序(序数)、集合、和集合的大小(基数性)进行合并，以明确了这样的思想：数字可以描述对象在集合中的顺序和集合基数性两者。
注意，在一连串数学概念中，任何类型的缺口可能预示构建得很差的概念云。在数学本体论中的一些CLI可能是可操作的或可行的；一些可能仅为描述性的。
可以通过多种数据类型(包括算法、集合和图形法)通过文字公式和通过计算机代码来表示概念行项目。
定制的学习和实践程序(CSPP)：对存储的内容的许多自动编译的超链接，其被组织为包括学习的获知、探索、实践、应用和协作程序。CSPP包括动态产生的(即，通过CCE/CCR模块)和系统定位的材料(例如，在借助于存储的文本映射图(TextMap)的教科书中，或者在借助于研究系统的互联网上，该研究系统是美国专利No.8,727,780的主题，其整体通过引用合并于此)，其被定制为对按照用户班级和用户UDP的教学计划和进度而组织的学习程序进行公式化。任何类型和出于任何目的的用户(非限制性地举例而言，学生、老师、导师和父母)可以引导CSPP激励和支持具体的获知、技能发展或分析性目标。
诊断测试：自动化和自适应的测验。本文描述的系统和方法支持至少三种类型的诊断测试：(1)完形/完全形态测验，其测试用户的数学能力的范围；(2)专用测验，其以具体概念、概念云、或二者中任一个的应用作为目标；以及(3)基于用户在一段时间上与系统的交互所发展的评定。
诊断测试可以支持不同的测试方法。例如，测试可以利用算法被构建为沿着本体的中心轴(spine)的路径，其中，算法基于用户响应进行分支以探索技能的深度或将某些概念与困难隔离。诊断测验还可以随着它们从一个对象进展到另一对象而跟随一系列概念云。
CCE/CCR模块的动态产生数学问题的能力促进了精调的测试方法论以及对数学技能的任何阻碍的根源的探索和对包括用户技能映射图(SkillsMap)的构造在内的用户技能集合的快速评定。也可以是其他测试方法论，包括在整个用户群体上将测验标准化的手段。
在本文所述的系统和方法的优选实施例中，对于测验，输出是可足以对用户或群组的技能集合进行建模以及构建可提炼的和交互式的技能映射图的数据。
五国课程表：通常在美国、印度、新加坡、俄罗斯和日本的PK-12(及其国际等同物)中教导的数学概念的共同范围。
标题(headline)概念：在概念云中对概念云的目的、功能和/或行为进行确定的一个或若干CLI。可以通过单个CLI(单极概念云)或(在一连串解题步骤中)单独或彼此相呼应操作的若干CLI(多极概念云)对概念云加标题。这表明可以通过一个或一些概念行项目来表达(或在CCE/CCR模块的操作中管控)数学对象的主要目的，但是在相同的云中的其他概念行项目可以是以下中的任一个：(1)塑造用于数学对象的(一个或多个)标题概念的功能性或可操作上下文的CLI，(2)所述(一个或多个)标题概念或所述功能性或可操作上下文的决定因素中任一个的根系统的组成部分。
(一个或多个)标题概念通常可以是概念云中的(一个或多个)最高级概念。CLI的加权分数(由所讨论的CLI支持的本体中的节点的数量)或重要性分数(指向CLI的节点的数量加上CLI反过来指向的节点的数量)可以将它识别为概念云中最高级的概念，并且因此可以将它(并且可能将它的极为接近的CLI节点的网络)识别为标题概念。替代地，排列成链表的、在有向图中的先决条件和依赖关系之间的CLI相对位置可以将它识别为标题概念。
相互关系(概念行项目和概念云之间)：两个或更多概念行项目(这两个CLI是否可以是相同概念云的一部分)、两个或更多概念云之间的关系、或者概念行项目与概念云之间的关系。即使这两个概念或概念云可能相同(例如，CLI或概念云与其自身之间的关系)，该定义也适用。相互关系可以是特定角色(例如，先决条件或依赖关系)或者可以缺少关系。概念行项目与改变云之间的相互关系使数学有活力。否则，概念行项目(单独地或许多地)代表数学含义的孤立部分(bits)。然而，数学的概念合在一起阐明得更多。下文是相互关系的可能类型、它们的处置方式和所得的能力的更详细讨论。
概念行项目与它们的本质之间的相互关系可以通过多个系统或图式来描述和确定，比如先决条件和依赖关系、由教科书建模的阶层/分层关系(例如课程、单元、章、节、概念行项目、CLI组成部分、和n元模型(n-gram))、距离、和边线权重等等。图式根本上可以是对通过其来绘制和了解数学规则的镜头(lenses)的选择。它们阐明了数学规则并使之有活力，提供了通过其来生成和分解数学思想及在数学方面表达的思想的架构，并且我们相信，很可能可以将CCE/CCR技术的逻辑基础和CCE/CCR技术的逻辑扩展(例如，从概念云到数学习题的“翻译规则”)公式化。因此，图式可以是对用于CCE/CCR模块的第二组成部分的总体逻辑进行构建的方法的一部分(即，对来自概念云的数学问题的动态生成进行管控的翻译的规则)。因此，相互关系解决了数学的功能性的问题，并且可能部分地解决了如何构建CCE/CCR技术的总体逻辑的问题。
相互关系的网络可以扩展以形成元系统，对图式如何彼此交互进行描述和确定的相互关系。例如，概念云来源于先决条件和依赖关系。我们可以发现，由一个系统(例如先决条件和依赖关系)管控的它们的构成可以由其他系统(例如课程之内或论题之间的层次结构)进行解释，以识别对来自该概念云(很可能通过来源于先决条件和依赖关系、阶层架构、和可能的一些其他系统的链表来确定)的思想的构成进行管控的一个或多个标题概念。可以预见的是，图式之间的交互可以作为可编程对象而被编纂、分类和实行。图式之间的类似交互可以用于实现其他目的。
在组织原则和准则以及属性(其确定那些连接)的基础上编成的概念之间的关系的映射图呈现了对于更有机的、反应迅速和敏捷的探索和获知课程表的机会。因此，CLI之间的相互关系解决了如下问题的一部分：本文提供的系统和方法如何可对任意数量的个体和任意数量及大小的群体定制学习(探索和获知)和实践(应用和协作)程序(上文定义的CSPP)并且指引每一个来发展世界一流的数学技能。
相互关系展现用于高级数据挖掘算法以及用户查询、数据存储、和管理的唯一可能性。绘制的相互关系可以建立用于人工智能能力(例如贝叶斯推断)；确定本体的中心轴的本质、构造和内容；以及驱动框架的功能性和来源于该模型的技能发展的所识别的原型(在这些系统和方法中采用的人工智能的能力)的基础。
本体(具有交替的相互关系)：多个概念行项目。在给定了多个CLI的情况下，本体编辑器系统支持将CLI布置到诸如(例如)先决条件和依赖关系之类的相互关系中(非限制性地举例而言，在有向图中)或者本体架构中(非限制性地举例而言，在有向图或无向图中)。在一些实施例中，可以存在概念云的本体。对于所预期的数学的本体，边线权重图和距离图可以进一步启动功能性。
概念整合的预估式：会成为如下的准确预估式的CLI：即，概念何时在多长时间跨度上在用户头脑中巩固(即，变成自己的和可操作的数学知识)以及巩固得多具体，以使得用户对它的获得和应用被一致地反映在用户的数学技能集合中。这样的系统分析还适于遍及所定义的各种群体的用户群组。
系统使得所有类型的用户能够识别概念整合的预估式(PoCC)。PoCC不是事件，而是一个概念或多个概念。本文所述的系统和方法可以精准找到PoCC并建造协助用户适当地导航至PoCC且通过PoCC的学习材料。
非限制性地举例而言，概念整合的预估式可以是帮助用户掌握分数中两个数字之间的横线的含义、将1:2的含义转换为1/2的CLI。再次非限制性地举例而言，如果用户随后以第85百分位达到与该概念相符的成绩，则系统可以能够预测何时、在何种条件下、哪个(哪些)CLI或概念云、以及具有那些特点的数学技能集合的用户通过什么教学途径(或方法)可以以第90百分位执行分数的加法、分数的乘法、分数的除法和分数到小数的转化。这种概念整合的预估式还可以向用户警示这样的可能性：以第65百分位执行概念a的人很可能以第50百分位到达概念n，除非提供了某种干预。可以按照与其他概念的关系来识别概念整合的预估式。本文所述的系统和方法可以利用制定概念整合的预估式并建造了支持那些能力发展的学习和工作材料的CLI和概念云来精准找到、跟踪、和测量用户的进度。
过程灵活性：使得用户能够从多个方法来公式化、概念化、表示、分析和求解数学问题的并利用各种技能对过程灵活性的标志进行展现的数学技能集合。例如，能够以代数方式求解几何公式或以几何方式求解代数公式的用户展示了过程灵活性。
过程灵活性被看作充分发展的数学技能集合的标志。其反映了利用各种技能从多个角度公式化、概念化、表示、分析和求解数学问题的能力。本文所述的系统和方法可以利用已被识别为过程灵活性的发展者并建造了以那些能力的发展为目标的学习材料的CLI和概念云来精准找到、跟踪、和测量用户的进度。
过程灵活性的发展者可以按照彼此之间的关系被识别，因为基于几何的概念或概念云在孤立情况下是基于几何的概念或概念云。但是，如果该概念或概念云与代数的概念或概念云产生了关系，且仔细绘制它们之间的距离，则几何空间与代数空间之间的所绘制的距离可以称为发展过程灵活性的方法。
技能映射图(SkillsMap)：数据和信息的图形的、可操练的(drillable)和交互式的表示，其描述了用户的数学技能集合的当前的、历史的以及(利用了人工智能、概念整合的预估式、和过程灵活性的发展者的)预测/计划的状态。技能映射图还可以创建为表示任意数量的用户的数学技能，任意数量的用户比如是单人、补习班或高级班、基于任何属性(例如，利用某些概念或概念云工作的困难或专业知识)划分的群体、获知特点(例如ADD)、老师、学院、学校、学区、州或国家。
下文定义的文本映射图、媒体映射图和小部件映射图可以将相似的数据呈现体现为技能映射图。小部件映射图可以是包括在有形对象的数学描述中的数学概念的复合表示。
例如，技能映射图可以是这样的表示：其中概念(CLI)可被视觉地相互区分，并且它们的相对大小基于它们的重要性的加权值、与特定主题的关联性、获得的早晚程度(recency)、难度、先决条件或依赖关系的数量、或其他(一个或多个)特性。其可以是任何形式的图形表示(例如热图)，其可以是表格式的或任何其他数据形式。
本体的中心轴：数学的许多基础概念，其表示通过例如每个年级水平或数学课程的基础概念所确定的所选课程表范围的数学知识的核心。本体的中心轴上的节点可以根据它们在由两个相交闭联体(continua)所描述的四个象限中的一个象限中的位置而被确定，这两个相交闭联体是：基础性(即，数学的原始概念相对于数学的衍生概念)，以及CLI动机(例如，对象识别相对于对象行为)。
用户数据包(UDP)：许多属性、性质和变量，其描述了用户独特的个人数学技能集合。本文所述的系统和方法对每个用户创建他或她自己的数据包，并随着用户与系统交互而不断更新该包。UDP还可以存储用户的UDP的历史版本，从而她、她的共事者、老师、导师和父母可以检阅她的进度并绘制她在数学方面的发展。UDP可以包括对用户的在线实践、发展、以及当前和预测的能力进行描述的扩展的许多捕获的数据。
对数学问题以及定制的学习和实践程序(上文定义的CSPP)动态地进行构建的系统总体逻辑通过用户的UDP所描述的用户能力来了解。例如，如果用户能够执行个位数的竖式乘法，但对于两位、三位和四位数、尤其是混合位数(例如，两位数乘以四位数)的竖式乘法存在困难，则系统可以利用检阅那些转变、支持对那些转变的探索和实践的公式和教学材料(非限制性地举例而言，从系统、互联网、以及用户的教科书和补充材料)来动态地构建并填充其CSPP。可以引入应用来扩展她的技能集合并且针对她的理解力添加历史和科学的背景和内容。系统还可以加强与来自世界各地的用户协作的机会。
文本映射图(TextMap)：类似于技能映射图，由教科书明确覆盖的和在习题背景中由相同教科书隐含覆盖的数学概念的图形的和可操练的表示。本文所述的系统和方法自动地从数学教科书的文本和公式(在一些实施例中，还有图表和几何图)中挖掘它们的概念性内容，定义和绘制该概念性内容，并孤立地甚至在其相继呈现时评定其数学和教学价值，从而提供资源、用户、老师、班级和目标之间的匹配或配合度的评定。
概述
本公开提供了根据数学问题自动地提炼概念并根据许多数学概念对数学问题的创建进行动态地构建和测试的系统和方法。另外，本主题提供了使用分支算法测试和绘制用户技能的系统和方法。本文提供了系统和方法的各种示例。
如本文所述，起到智能数学教育助手作用的任何系统的基础可以将数学概念的细颗粒的和详尽的本体嵌入其核心。随后，可以识别数学概念的闭联体中的缺口，其为用于供给和说明所省略的见解的先决条件。最有效的系统和方法既可以识别必要的概念也可以提供所省略的概念。因此，本文所述的系统和方法从属于数学的根本性的详尽本体。美国专利No.8,727,780描述了这样的系统和方法：其被设计为捕获和管理、组织、整理和审查许多概念行项目，并且描述如何将CLI发展过程标准化；如何将CLI本身标准化；如何识别和填充CLI系列之间的缺口；如何组织和协调地理上分散的提取器的工作；如何控制CLI之间的冗余；以及如何将输出(数学的本体)呈现为用户交互的、可搜索的和功能性的。
为满足这些基础要求，本文所述的系统和方法可以在两部分模块中实施，所述两部分模块自动地(1)将数学表达式和表示解析为它们的组成部分概念，以及(2)根据多个数学概念生成数学表达式和表示。如本文所使用的，用于该两部分模块的术语是概念云提取/概念云重构模块或“CCE/CCR模块”或“模块”。在本文中将每个模块独立地称为CCE模块和CCR模块。
本文提供的模块旨在通过提供将数学表达式自动提炼成它们的组成部分概念并相反地根据许多概念生成算法数学表达式的能力来将该本体呈现为可操作的。在各种版本中，CCE/CCR模块可以成为教导、实践或应用数学的应用和产品所基于的平台。
OES和研究系统的高水平概要
为了更好地理解本主题的目标，提供美国专利No.8,727,780中的主题的概要是有用的。美国专利No.8,727,780中提供的系统和方法形成了许多实际应用的基础。两个所预期的应用是本体编辑器系统(OES)和研究系统。
OES可以被设计为在其工作中支持和协调数学分析者的团队，以根据数学问题提取数学概念，将那些概念组装成细颗粒的数学本体，并将该本体转化为机器可读代码，迈向功能本体的重要的一环。OES可以是端到端吞吐量系统，其开始于许多所选教科书和数学家，并结束于上传到将本体和相关技术(如CCE/CCR模块)嵌入到其功能性核心处的系统或产品的可运算数学本体。下文更详细地讨论OES。
研究系统可以是利用VCI的本体的组成部分的独特/唯一标识符对在互联网上发表的且在电子文档中(例如在专用数据库中)出现的数学、科学和其他内容进行标注的搜索引擎。当数学分析者开发本体时，OES自动对每个CLI指派唯一识别代码。这些代码被描述为数学&科学概念识别代码或MSCIC。OES将MSCIC指派给CLI，还可以将标识符指派给本体的其他组成部分，比如已知的和频繁出现的概念云。通过该基础，研究系统响应于关于数学的用户搜索查询和可以为数学概念而生成的用户搜索查询。研究系统也在下文中更详细地描述。
OES的概要
本体编辑器系统是对数学分析者的团队进行协调的在线设施，数学分析者的团队根据它们对数学问题的分析撰写概念行项目的细颗粒集合，对CLI执行质量检查以识别在概念序列中的缺口，定义CLI之间的相互关系和绘制这些相互关系，并且引导系统自动将这些相互关系排列成矩阵和衍生数据结构。在优选实施例中，数学分析者利用OES开发的输出受到同行评审，并且OES可以协调这些评审。OES还已被设计成容纳大型数据库以管理系统中固有的极大量的数据。
考虑到大多数国家的教科书中的数学知识的主体涵盖于示例和习题中，则可以相信，结合在示例和习题——例如，算法的、语言的(文字公式)、几何的、或图形的(既产生图形又激励解释)公式——中的数学概念的原始识别是建造本体的最有效方法。可以采用提取过程来提供逐步的进程，以系统性地从数学问题导出数学的细颗粒概念，并且从提取导出的数学概念是包括数学本体的数据。
概念提取可以是详细的、严谨的和创造性的过程。从数学问题提供概念开始于许多所选教科书和其他材料(例如补充学习和实践材料，包括教具(manipulatives))。输出可以是成品的数学本体，即，测试驱动开发的产品，其可被转化为机器可读语言并可针对其支持目标功能的能力而被重新测试。“测试驱动的开发”在本上下文中可以指敏捷(Agile/Scrum)软件开发的方法，在该方法中，在首先撰写测试时，开发中的软件系统(或在该情况下为本体)初始失败。当已经开发了该特征(同样，在该情况下为CLI或概念云)时，其随后通过该测试。当本体被转化为机器可读代码时，这尤其是适用的。
通过测试驱动的开发，本体可以被呈现为功能性的。提取过程的顶点完成本体，将数据以及将该数据呈现为功能性的任何技术编译成可执行代码，并且将文件嵌入教导、实践或以其他方式应用数学的产品和系统的核心。
利用提取的试验已经展示出这种工作的手动执行与电子表格和数据库软件程序一样会是耗时的过程。此外，在这些规范中描述的在颗粒性水平上的数学概念的提取(同时有识别和终结五种类型的缺口以及在副本概念行项目之间进行检测和选择的目的)可能要求数学分析者之间的显著协作。与电子通信能力一样，当该过程涉及本体开发过程的许多分析者的协作使得固有冗余被控制时，任务也会是困难的。考虑到这种编排牵涉到数学分析者的各团队(不仅仅是个体)，它们是并行地工作还是相继地工作、会在同个地点还是地理上分散、或者源于相同文化还是相异的文化，都增大了管理协作的难度，本体编辑器系统作为任何提取操作的支柱会是有利的。因此，OES可以是构建研究系统和CCE/CCR模块的先导步骤中的一个。
美国专利No.8,727,780展示了从学前班数学教科书(见美国专利No.8,727,780的图28)选择的数学习题的提取。该问题的提取根据三个完全不同的解题策略和在这三个策略上的若干变型产生了超过3800个书面的概念行项目。分析者从该汇集中筛选了被确定为最清楚和最精炼的表达的568个独特的概念行项目。在该例子中，在最终本体中将会包括书面CLI的大约百分之十五。作为大部分的剩余3300(近似数)个概念行项目是冗余，是提取过程期间撰写的其他CLI的副本。在美国专利No.8,727,780的图26A至图26E中以及本文的图3A-图3E中出现了包括568个所选CLI当中的54个的有向图。
在优选实施例中，可以每年发布一次本体的更新，直到对本体的内容的年度改变不再重要。由于本体还是可升级和可定制的(例如，对其他产品或服务)，数学分析者可以利用OES进行工作以在若干年内构建和容纳多种版本的本体。
可以开发本体的独特的或自定义版本以便将某些能力作为目标、测试或发展某些能力。由于由OES建造的数学本体还可以作为功能性的甚至是核心的组成部分被嵌入其他软件、系统和产品中，因此本体编辑器系统可以是用于大量技术目标的中心启动组件。
研究系统的概要
研究系统提供了挖掘数学本体内容的(除了OES之外的)另一装置。其包括基于互联网的搜索引擎，该引擎基于由数据挖掘算法(利用MSCIC)标注的和配置的(例如，按照先决条件和依赖关系配置成有向图，例如概念云和小部件映射图)本体的CLI内容，以数学概念及数学应用(例如，针对科学)以及数学的物理和技术表现形式(例如，物理对象的数学描述，以及技术规范的数学描述)为目标。贴在网上并且由研究系统的网络爬虫识别为包含数学的概念、应用和表现形式(以及概念、应用和表现形式本身)的内容的地点可以被自动附加到本体的数据库，并随后可用于通过文本的(例如数学概念的描述)或数学的(例如算法描述)准则的用户的搜索。
在来自OES的输出的第一应用中，研究系统可以响应于用户查询并进行本体内容的数据库操纵。其可以使得诸如学生、老师、父母、导师、研究员和他们的共事者之类的用户能够搜索数学的细颗粒概念并且确定关于这种概念的内容在互联网上的哪里、或以其他方式合并、同化或包括这种概念的内容出现在互联网上的哪里。发现的内容无需恰好是教育性的，而可以包括物理对象的数学描述和技术规范的数学描述。
由研究系统的网络爬虫捕获的数学的物理和技术表现形式(被解释为表示)可以是出现在贴在互联网上的任何页面上的物理对象的数学描述和技术规范的数学描述。可以使用附加的软件工具利用来自本体的MSCIC来帮助用户数学地识别、描述和标注物理对象和技术文档、示意图、和代码的属性和变量。一旦用户作出选择，这些数学规范随后就可以被发送到研究系统的服务器，从而包括在相关搜索结果中。可以预期的是，在研究系统的一些版本中，物理和技术表示的搜索可以被自动化。
研究系统的数据库可以存储不仅比其各种版本和结构的本体多得多的数据。考虑到网络爬虫的操作，由研究系统捕获并存储的与数学、数学对科学的应用、以及数学的物理和技术表现形式有关的任何网络内容可以定期地扩展和收缩存储在服务器上的数据。这些规范需要多个矩阵来配置和存储与数学概念的各种属性、变量和性质等及它们的相互关系有关的极大量数据，并且启动对这些数据的查询和其他操作。该系统可以持续维持这种数据集合，包括矩阵的永久性自动扩展，以在必要时添加新数据和对数据进行缩短(例如，去除数据副本或在互联网上不再可用的到网页的链接)。
由于研究系统的网络爬虫识别贴在互联网(或专用数据网络)上的页面和文档中的目标内容，它们可以高速缓存远程服务器上的复件。系统算法随后可以通过其数学内容(即，根据包括本体的CLI)解析文本的、算法的和几何的数据。在节点边线关联矩阵中，系统可以随后在准备响应于用户查询时利用发现的概念的MSCIC来标注高速缓存的互联网页面和文档的复件。
考虑到更多发展，研究系统可以扩展其可达范围，以通过对象、装置、文档、图、图像、声音文件、视频文件或甚至网站(即，概念云和一系列区分度量)的数学标记来识别数据存储区(例如，互联网)中的材料，而无论这些标记如何生成(例如，算法、几何表示、文字公式、或计算机代码)，来替代仅通过文字搜索以识别与文本表达的数学概念的本体的匹配。通过以多种方式(例如数学算法、几何表示、图形表示、甚至文字公式中被公式化的概念的表示、以及被表示为书面计算机代码的上述中的任何项)表达的数学标记进行搜索的能力预期成为本领域中的关键技术。研究系统的一个中间目标是该系统能够解析它们的组成部分概念或概念云的算法、几何、图形或文字公式的表示。
将会理解，研究系统能力与CCE/CCR系统合并，并且可以应用于几何图、几何公式、几何与算法表达式和题解之间的交叉(即过程灵活性)、以及相关文字公式和图形。
本体编辑器系统和研究系统的前述描述示出了这两个系统如何将大数据集合的构建、存储、管理和挖掘呈现为可技术地和可操作地可行的，大数据集合通过数学的细颗粒本体而被组织和驱动。这两个系统一起铺设了基础能力，其能够使得用户(比如，非限制性地举例而言，学生、老师、导师、父母、研究员、和他们各自的共事者)可得到通过数学概念纲要(即，本体)可被标注和被呈现为可搜索的课程数据的重要语料库(包括数学问题的静态语料库)。
CCE/CCR技术的应用
该技术的潜在应用有很多并且是各种各样的。例如，本文提供的系统和方法形成了搜索引擎的基础以识别它们在材料中出现为文本或数学表达式的数学概念、以及可数学地描述的基本上任何数学相关内容(非限制性地举例而言，已通过激光扫描器数学地建模的具体的一对齿轮的轮廓、物理性质和操作)的数学概念(和数学概念的群组)。该基于数学的搜索引擎的一个特征可以是自动绘制任何(电子的)教育材料的数学概念以及识别出现在说明中的概念缺口。
在另一应用中，在颗粒性的精细水平上对个体的数学技能集合的发展和状态进行描述的纵向数据的包能够成为对学校、学院、和工作单位的应用的组成部分(例如，用户的技能映射图)。组织随后可以上传数据包并且立即得到从颗粒性数据导出的比较性分数，该组织配备有软件程序(和支持服务)以构建标准化测验，该标准化测验将已知支持组织的课程表或操作中的成功的数学技能集合的标记作为目标并对其进行强调。该软件的分析特征将会支持灵敏性和假设(what-if)分析。相同的系统和方法将会帮助PK-12学校、学院和大学跟踪它们的学生的发展，并且向认证机构提供在每个学生向教育标准的进步或甚至他们自己的个人目标中所反映出的它们的教导的有效性的可靠证明。可以预期的是，随着本文所述的系统和方法的广泛采纳，不再有人必须参加SAT或ACT测验的数学部分的考试。
例如，本文提供的系统和方法可被学校、学院和大学用来开发它们自己的标准化测试，从系统数据库抽取它们的学生(每个学生由系统指派的识别标签进行标识)的数学技能集合数据，并且自动产生描述性统计以支持验收决定和关于认证的合规性。基于概念整合的已知预估式、学生数学技能集合质量、和其他系统存储数据(例如工作的频率和周期性、以及历史进展的评定)，该系统还可以预测个人和群组的数学技能集合的成长，尤其是当他们将具体目标的性质和属性(非限制性地举例而言，如利用特定的概念云实现过程灵活性)作为目标时。
在本文提供的系统和方法的最精炼的形式下，系统和方法被设计为在线PK学院和专业数学教育、研究和开发系统，其支持各种特征以帮助用户探索数学、以数学自娱、以及获知、实践、应用数学和与数学协作，并且其自动地构建用户数学技能集合的(在数学概念的颗粒性方面的)高分辨率映射图(例如技能映射图)。技能映射图的概念可以应用于绘制教科书的(“文本映射图”)、研究论文的、在线内容的(“媒体映射图”)、以及如前文提及的一对齿轮之类的对象的(“小部件映射图”)数学内容。系统和方法包括高级智能助手，其支持基于概念行项目、概念云(“CC”)、其自身的人工智能的发现、以及数学的其他属性的灵活诊断和研究，作为用于有效教学和进一步的产品开发的基础。这些系统和方法可以帮助老师计划和协调他们的班级和课程作业，使得深入的教育研究称为可能，其中作为例如概念整合的预估式或过程灵活性的发展者的概念使得系统能够自动产生针对系统用户独特的技能集合而定制的教育材料，并且带来针对用户技能集合、教科书、以及对数学和科学教育的方法的比较性属性在整个国际范围上的透明度。衍生的软件产品还可以构建有形对象的数学描述，将它们呈现为交互式的和可搜索的，并且可以向专业市场单独地以及作为组织地提供评定员工数学技能集合的手段，并且策略性地聘用、教育和协调员工以关键(或许技术的)目的为目标。PK-12学校、学院和大学也可以应用相同的能力。
在一个示例中，本文所述的系统和方法提供了在线的、智能的数学教育助手，其对于以下是不可知的：(1)老师得到概念的方法；(2)年级水平或数学课程；(3)老师及其学生学习的教科书；(4)提供给学生的任何补充材料；(5)每个学生达到的水平；和(6)老师作为老师和作为数学家的专业知识水平。这样，所述系统和方法满足了老师、用户和共事者利用他们手头的材料(指派给他们的教科书和补充材料)而所处的水平(考虑到他们各自的技能集合)，并且还使得他们能够可靠地得到与世界上最好的教育系统相称的结果。
在这些示例的每一个中，激励CCE/CCR模块以及本文所述的其他系统和方法的基础思想是概念云。
概念云
对于学习数学和利用数学工作的人的共同挑战是显示出困难的一些个体概念的性质。通常，难度来自于数学演变的方式以及记号、过程、运算和函数的习惯已经采用了两千年。这导致人们在遭遇这样的概念时体会到困难：该概念脱离了数学的详尽的背景而按照其最终的、精炼的和简洁的表达式或证明来教导，包括首先引导至该概念的发展的原始动机和逻辑以及该概念在数学概念的层次结构当中的位置的背景。
该相同挑战的另一方面大部分未经处理，并且其为在数学概念联合成组、彼此交互、表达它们自身或以其他方式在其他概念当中作为以下角色来发挥它们的影响时的数学概念：主要目标(例如，由一个或若干个标题概念表达)、语境概念、转换型概念(用于吻合的概念行项目的模型为：先行词...[转换所引导至的]...结果。例如，“角度[先行词]...为相交于一点的两条线[结果]...的配置[转换所引导至的]”。先行词和结果(角度和相交于一点的两条线)是语境概念。转换型概念为“...为...的构型”)、运算概念(例如函数和运算)、或赋权概念(例如，在其扩展到数学基础时的前述内容的根系统)。
概念云看起来提供了有效解决两个挑战的方式。当狭隘地定义时，概念云可以被设想为被表达为概念行项目或CLI的用于求解特定公式的必需的许多概念。广泛版本则可以理解为可被表达为概念云的任何数学对象：利用或通过本体的中心轴中的节点、概念的根系统、数学对象、表达式、阐述、示例、方程、函数、图形表示、文本表示、几何表示、文字公式、解题步骤、整个题解、对象和事件的数学描述、以及它们的任何组成部分或组合。实际上，对于数学问题的替代题解将会需要来自“教科书题解”的不同概念云，并且将自然地产生不同题解，即使导致相同的答案或基本上相似的答案。至题解的每个步骤也同样表示其自己的概念云。
在颗粒性的精细水平上，每个数学表示是许多数学概念，并且数学表示可以被解析以使得它们的组成部分概念呈现为在相同颗粒度上表达的并被排成网络的许多概念，例如在无向图或有向图中的父子兄弟节点的阶层构造，比如将概念排列成先决条件和依赖关系的有向图、最小值/最大值生成树(spanning tree)、以及具有标题概念、语境概念、运算概念和赋权概念的目标驱动的架构(例如链表)。
为了本文所述主题的目的，最好将数学的每一个表达看作可被表达为概念云的许多概念。本文提供的系统和方法的目标是关注概念云在它们独特性质方面的身份和角色以及它们如何解决数学的理性分离或良好发展的理解能力或者正如过程灵活性一样的强大的发展以及跟踪和绘制概念整合的预估式的问题，包括当概念进入和退出解题过程并且概念云的构成由此从初始公式转移到题解时搜索在相同题解的并行或串行步骤之间的模式。如果执行良好，则该方法解决了代表性群组中概念的理性分离和角色和相互作用。将系统算法基于概念云(表达为书面概念行项目的集合或它们的算法(甚至它们的几何或图形的)等同物)以及它们的组成部分，则开启的发现和可能性是激动人心的。例如，概念云可以通过单个CLI、或者独立地或彼此相呼应地(例如，合作地，如两个概念同时交互时[Ax+By＝C...附加地，变量和线性方程]，以及串行地，如以相继的步骤解题)操作的若干CLI来加上标题。结果，可以发现，一些概念云是多极的，而一些概念云与被设计为展示单个特定概念的数学问题一样是单极的。这表明数学对象的主要目的可以由一个或若干概念行项目来表达，但在相同云中的其他概念行项目要么是(一个或多个)标题概念的根系统的组成部分(作为延伸通过学前班并达到数学基础的根)，要么以其他方式确定数学对象的(一个或多个)标题概念的函数或运算背景(即，语境的、运算的或赋权的概念)，并且可以导致感兴趣的数据挖掘方法论。
当基础数据集合是细颗粒的本体时，对数学进行设计和挖掘的丰富多样的机会成为可能。概念云、它们的构成的自动创建和操纵、以及它们作为在任何题解中出现的映射图的用法是这种多样性的一部分。概念云的观念还使许多其他可能性可行，尤其是按照本文提供的CCE/CCR模块。
概念云类别
概念云的角色和构成表明它们可以安排成分类系统。在一个示例中，使用了若干类别的概念云。第一和最普通的类别是数学对象概念云或MOCC，包括数学对象的身份和构成的许多概念，包括：对象的识别；对象的(一个或多个)元素，意指包括对象的概念(在一定水平的颗粒性上，数学对象和对象的元素可以是相同的、单一的概念)；以及对象的属性、变量和特性。
与MOCC的背景有关的概念包括：与对象与一个或多个具体对象的单个交互有关的见解和细微差别(尤其当在由多于一个数学对象构成的数学表达式的背景中评定数学对象时)；对象角色和行为的描述；背景中的对象之间的运算的处理、函数和方式；以及它们的每一个为何以及如何属于对象背景的各方面。
包括单个CLI的先决条件根系统的许多概念(这里，按照先决条件和依赖关系来安排概念)在本文中被分类为根概念云(RCC)。类似地，在某个有限范围之内或针对某个定义的目标概念或概念云(用于实际目的)包括从单个CLI流动的依赖关系的分支系统的多个概念是分支概念云(BCC)。
如上文所表明的，至题解(例如，具有组成部分步骤的最终题解)的每个方法构成其自己的概念云。例如，针对任何特定习题(仅表示为表达式或阐述本身(ExCC))的多个概念云(或作为至习题的解的单个教科书方法，或作为至习题的题解的替代方法中的一个或许多)可以在一定程度上重叠。区分这些概念云是有用的。因此，至数学问题的题解的任何单个方法是题解概念云(SCC)，其中进一步区分SCC是对习题的教科书题解(SCC-教科书)还是对习题的替代题解(SCC-替代)。在分析者可能手中就有的教科书的背景中进行这些区分。一个教科书的SCC-教科书可以是另一教科书的SCC-替代。
在该闭联体上走得更远的一步将SCC包含到习题中，CLI来源于针对相同习题的错误纠正(无论来自常见错误还是以其他方式)，并且CLI来源于对关于习题的提问的响应(同样，无论那些提问是否为常见的)。这些汇集是主概念云(MCC)。数学的每一个公式、习题、表达式、方程、函数或其他阐述具有一个主概念云。为了本文所述的系统和方法的开发，主概念云的开发被理解为开放的和连续的过程，直到MCC随时间稳定为止。结果，共同公式化数学习题的任何组成部分的概念云(例如MOCC、ExCC，包括错误纠正，以及来源于真实的或预期的提问的CLI)共同制定了针对该习题的MCC。
如由其MCC所表示并且通过常见许多CLI(例如通过它们的组成MOCC、ExCC或SCC之间的显著重叠)、或更具体地通过共享的先决条件或依赖关系(例如，两个习题的根系统的显著部分)所涉及的数学的两个或更多习题或表达式的信息共同包括复合概念云(CCC)。由于重叠定义了CCC，所以CCC需要伴随如下指示：该指示关于他们是(1)借助于概念重叠而发生还是(2)通过共享的先决条件/依赖关系而发生。该区分识别了复合概念云的至少两个子类。在其他实施例中，可能存在更多。为了教育的目的，复合概念云可以随着用户对特定数学论题的学习或利用特定数学论题的工作的深入而发生，或随着其调查概念应用而发生。
为了进行更远的一步，复合概念云可以联合成针对数学学科的特定领域或论题的扇形概念云(SectorCC)。在本文提供的主要示例中，这是概念云的分类的定义所结束的地方。概念云超过这一点的扩展会变得十分复杂，由于该原因，将会失去它们对于教育目的的实用性。然而，可以通过考虑从边线权重图形、距离图形、从被称为次要云的本体结构、从应用、从在数学运算或应用的过程中的渐进变化的闭联体、从最小值和最大值生成树、从标题概念的构成等发生的概念云，来提供附加的概念云扩展。相信这些附加概念云扩展证明对考虑数据挖掘、研究和分析的目的的兴趣。
为了本文提供的系统和方法，观看在概念云方面的许多数学(和许多其他学科)是有用的。相信概念云的思想可以证明为对于(非限制性地举例而言)学生、老师、商业、工业、技术以及在这些领域中工作的人是重要的，并且导致独特的和有用的系统能力。
此外，可以采用感兴趣的数据挖掘算法在先决条件/依赖关系的基础上分析概念云之间的共同点和差异。从这种分析中抽取的信息可能提供了关于如下的见解：一个用户为何会能够解出习题A但却在习题B上失误、这两个问题何时以其他方式在它们各自的概念云之间(例如)共享87％的重叠。这种类型的询问可能在先决条件和依赖关系(习题A和B的两个概念云的根系统)的方面有意义，并且提示我们在它们各自的根系统当中识别共享了什么概念以及没有共享什么概念。如果发现用户的困难在于不是在这两个公式的两个先决条件/依赖关系根系统之间共有的概念(非共享概念)，那么我们可以按照其单独的角色来评定概念，所述单独的角色是：作为本体的中心轴中的节点、作为概念整合的预估式、作为对节点相切的概念(与该节点有某种关系)、作为概念整合的(失败的)预估式的结果、或者可能作为启动用于过程灵活性的概念的关键。然而，如果系统针对共享概念，则可能推测该公式是从一个背景和应用转移到另一背景和应用的公式。此时，可能按照对过程灵活性的发展进行支持并且可能表明考虑由Hans Freudenthal描述的概念性转化和倒转的可能性的概念来重新评定该公式。
相同的逻辑适用于MCC和CCC。先决条件(不是依赖关系)之间的共同点不一定(至少在理论上)推定任何SCC或MCC中的组成概念(被认为偏离其根系统)之间的共同点。两个MCC可能具有共享相似先决条件根系统或甚至相似依赖关系分支系统的不同概念。在该情况下(并且在筛选器(filter)的基础上)，系统的任务是评定重叠的程度是多少、以及重叠重要性的程度是多少，使两个MCC有权公式化CCC(和可能为用户和共事者提供什么教学进步或改进)。
CCE/CCR模块
本文教导的系统和方法的主要目标是开发如下核心能力：(1)自动提炼在数学的任何算法表达式中运算的数学概念(概念云)以及相反地(2)自动产生包括在任何给定概念云或许多概念云中的百分之百的概念的数学问题。两个操作可以如本文所述的那样在自动系统和过程中实施。此外，所述操作可以应用于算法表达式、文字公式、图形解释/图形产生公式、和几何公式。
概念云用作对该过程的输入以自动产生包括在任何给定概念云或许多概念云中的百分之百的概念的数学问题。一个或多个概念云可以是人类编辑的或者是动态产生的。在一些实施例中，所述操作作为第一操作的输出的循环而运行。可以预期的是，从任何概念云产生的数学问题包括该云中100％的概念(不会比这更少)是有利的，从而表达式或公式以及概念云被良好地匹配，从而该系统不负担庞大的可能数学表达式或公式的构造。
从概念云动态地产生数学问题的过程(上文第二个操作)旨在模仿基因表达的某种程度的自然规则，尤其以它们对沿着DNA和RNA信使的链的核苷酸或氨基酸的序列进行管控的方式。通过模拟，并且没有过于接近地模仿自然中的基因表达的过程，核苷酸或氨基酸是自然的CLI，并且DNA和RNA信使的链是自然的概念云。在自然创建了可生存的生命形式的情况下，本文的意图是使得CCE/CCR模块创建切实可行的数学问题。包括CCE/CCR模块的系统和方法可以在数学表现型(不管如何定义，例如，不管通过课程、论题、(一个或多个)标题概念、概念云等定义)的基础上产生、测试、识别、分类和跟踪数学问题。
这些系统和方法(尤其是根据概念云动态地构建数学表达式的CCE/CCR模块的组成部分)定义了对来自许多CLI(即，概念云)的切实可行的数学问题的自动构造进行管控的转录和转换的规则。这是数学的基本遗传密码。此后，挖掘从CCE/CCR模块运算的结果捕获的数据使得用户能够(或许持续地)发现更多与数学、数学的人类应用、数学教学法、和学生在数学上的发展有关的事物。
如上所述，整个操作可以在单个循环中执行：首先从算法数学问题提炼概念云，并随后使用相同概念云来动态地产生与本源类似的并且学生可以实际学习和求解的数学问题。作为进一步的目标，系统和方法可以被实施为根据在用户数据包中存储并持续更新的用户独特的个人数学技能集合来动态地构建算法数学问题。通过与在用户响应的基础上分支的诊断测验过程合并，该系统的CCE/CCR模块应当能够动态地识别用户需要学习或实践的数学的细颗粒概念，并且自动地构建针对用户的教育需求而定制的算法数学问题，可能串行地和逐渐地从来源于单极概念云的公式呈现到来源于更复杂的多极概念云的公式。
以下是其中上述操作作为串行循环的一部分起作用的过程的示例。
步骤1：通过以下方式中的任一种接收关于用户需要何种算法公式的输入：(a)描述性用户输入，比如(i)要包括在数学问题中的概念或特征的清单(见下面的(1)(d))；(ii)正在学习的教科书、单元、章和节的指示；(iii)目标数学论题；或者(iv)一个或若干关键字；(b)关于用户的发展(例如来自用户的UDP)的详细在线数据；(c)来自诊断测验的分级测试提问(是系统产生的还是根据复印件测试手动录入的)；(d)人机构建的概念云(人类利用概念云的计算机辅助完成(例如从上文的(1)(a)(i))进行引导)；或者(e)人类选择的数学问题。
可选步骤2：评定用户数据包(或“UDP”)(如果尚未执行)以确定(一个或多个)对于所要求的公式或公式集合(其可以由概念云来表示)或所要求的输出(其可以是由CCR模块产生的公式或公式集合)的用户需要，使得所述输出针对用户的数学技能(如果尚未从上文的(1)(b)或(1)(a)(iii)得到)而被定制并且彻底地和更有效地开发用户的数学能力。
步骤3：围绕在步骤1和2中定义的需要来编译概念云(或许在上文的(1)(a)(i)或(1)(d)中执行，或者在(1)(e)中由系统自动执行，并且在步骤2)中被定制)；
步骤4：将步骤1至3中产生的概念云作为必要输入应用于构建算法公式，所述算法公式(在被解析成其组成部分CLI时)可以被显示为结合了包括概念云的百分之百的概念；
步骤5：对所构建的公式进行求解，从而它们被准备用于二元/两部分分级(正确/不正确)；
步骤6：测试所述公式(系统的自动化函数)；
步骤7：将所述公式递送给用户(没有答案)。
可以设想到，步骤1和2是用于CCE模块的设立，步骤3是CCE模块的主要功能，步骤4是CCR模块的主要功能，并且步骤5至7是CCR模块的附加功能。
如果如由上文的项目(1)(a)(i)(接收输入|描述性用户输入|要包括在数学问题中的概念或特征的清单)所指示的那样，该输入是要包括在所产生的数学问题中的概念或概念特征的列表，则该清单应当来源于系统的本体，即使用户的搜索在用于目标CLI的计算机辅助搜索(研究系统的应用)中利用关键字开始。用户可以利用从零开始建造的概念列表来开始，同时系统在其搜索能力(例如本体、数据库或可能的先前编译的概念云的语料库的内部搜索)的基础上帮助编译概念云；互联网上的代表性内容的外部搜索；或者一些组织化图式(例如，先决条件&依赖关系、本体的阶层架构、距离、边线权重、或者个体CLI或概念云的分数)的有向图/无向图。由于一些数学问题特别关注于单个概念(单极CC)或仅若干概念的展示，因此用户应当能够选择一个、两个或三个这么少的概念行项目(系统可以填充概念云的剩余部分，即所选概念行项目的根)。根据用户的引导，这些概念行项目会被CCE/CCR模块的概念云重构部分当作预期的概念云的标题概念。所生成的概念云随后实现输入的要求以产生所要求的数学问题的集合。
学习中的教科书、单元、章、节和概念的位置的指示(项目(1)(a)(ii)：接收输入|描述性用户输入|正在学习的教科书、单元、章和节的指示)是相当宽泛的描述。该输入可以具有许多格式：(a)系统用户可以将她正在学习的教科书和她在书本中的位置告诉系统(简单地将教科书的ISBN以及章、节和页码输入系统中)，(b)系统可以帮助用户将概念云匹配到一个或若干教科书中的位置，或者(c)系统可以找到学生在其教科书中的位置。注意，系统可以保持文本映射图而不保持教科书的电子复件。
如本文所定义的，文本映射图是对在教科书或其他教育资源中明确地讨论的数学概念进行识别的数据集合。通过书本的电子复件的分析，系统能够自动构建用于该出版物的文本映射图。因为系统具有读取数学问题并将它们解析成它们的概念云的能力，所以系统能够将教科书中通过文本明确讨论而覆盖的或通过习题或示例隐含覆盖的概念进行归类。
文本映射图的主要目标是识别数学教科书中普遍出现的五种形式的缺失概念。不管系统的自动化能力如何，可由为了关键准则而认真学习每本书的人对文本映射图审查是可能的。随后文本映射图可以被存储在系统语料库中。
项目(1)(a)(ii)的实现表明系统保持文本映射图的语料库。系统的文本映射图语料库包括对在任何教科书、单元、章和节中讨论的概念的范围以及表示教科书的独特概念特点(concept fingerprint)的相关概念云的独特性质进行识别的必要数据。在上文列出的三个选项中，选项(a)是最简单并且系统最易于执行的。第二路径(选项(b))，用于识别教科书和教科书中的位置的过程，随后成为来自用户的数据(或许如由系统所扩增的)与文本映射图之间的最佳配合的估计(考虑到数据可用，该估计很可能是准确的)。系统为学生提供了有根据的推测，并且要求利用选择对准确性进行确认。该特征被认为是对诸如学生、老师、导师和父母之类想要看看其他教科书如何讨论相同概念或在学生的主要教科书中什么补充材料会最好地填充任何缺口的用户尤为有用的。该系统能够在被选作主要学习资源的任何教科书的基础上自动地生成许多材料，并且甚至在替代的教科书选择的基础上建议和比较这些材料的组。该能力帮助老师建造和修改他们的教学计划。
用户可以选择遵从第三路径(上文的项目(c))：她可以请求系统从老师或导师的在线教学计划收集概念信息并且经由文本映射图语料库将概念与教科书和教科书中的位置(或其他教育材料)匹配。来自用户的描述性输入越宽泛——例如，如果用户输入是课程名称、章名甚至仅仅是节名(教科书中的节可能意味着许多概念云)——则系统会越需要约束选择的方法，除非用户想要系统产生大量概念云和相关数学习题。
在类似的操作中，项目(1)(a)(iii)(接收输入|描述性用户输入|目标数学论题)可能需要附加约束来实现针对该用户的颗粒性的适当水平。该输入可以来自用户的个人UDP，而替代目标还可以在没有下文所述的这种约束的情况下实现。如在该处理的普通过程中，利用用户的UDP或用户班级的复合UDP，UDP的内容可以利用这样的信息来引导系统：如(一个或多个)用户需要实践的特定概念行项目或概念云、她的技能映射图建议为了进步而准备好的概念、以及她利用系统已编译的概念云的任何(一个或多个)标题概念(即使在相异的背景中，这取决于概念云的内容)已达到的成绩的水平。考虑到用户选择学习的数学的论题，该系统应当能够应用来自用户的UDP的输入来编译针对适当分等级的属性、性质和变量而控制的适当的(一个或多个)概念云，并且递送一个或一组定制的和动态产生的数学问题以用于学习和实践。结果是这样的一系列数学问题，其反映了定制的实践计划和小的、仔细地分了等级的步骤的进度。
如上文所提及的，在没有来自个体的UDP或群组的复合UDP的情况下，也有用于相似构造的有吸引力的应用。用户(或在该能力在班级范围中应用的情况下为老师)能够引导系统在其构建(一个或多个)概念云和衍生的数学问题时忽视UDP(或班级的复合UDP)。如果用户选择宽泛的描述并配置设置，使得系统不将UDP应用于动态产生的数学问题，则系统可以输出不受用户UDP或班级共同的UDP的特点约束的大量数学习题和相关联的概念云。同样情况还发生在老师(在该能力应用于班级范围中的情况下)将要引导系统忽视班级共同的UDP时。在这两种情况中，该特征会对用户有用，尤其对通过他们的技能映射图的特性已被分组到一起的那些用户(例如，通过在同班同学中普遍具有的对某些概念存在困难而分组的学生)有用。尽管由个体的或群组的UDP的内容限制的概念云/数学问题构造会呈现逐步式方法来解决对于目标概念或目标概念的组合的困难，然而未凌驾于由UDP数据描述的约束之上的构造会拓宽用于目标概念的各种背景(如由概念云和一个或多个可能标题概念的内容以及可根据这些概念云和标题概念产生的数学问题所描述的)，并且可能呈现了对于关于该概念集合的用户能力的试金石。
项目(1)(a)(iv)(接收输入|描述性用户输入|一个或若干关键字)引用系统特征来引导用户通过逐步式过程(其逐渐缩小概念的期望范围或网络)。这可以利用一系列提问、推荐和目标关键字来实现。在预期的实施例中，关键字可能不像会反映精细的颗粒度。相反，任何关键字更像是包含了从粗颗粒性课程(例如微积分)至细颗粒CLI的宽范围的颗粒性。这样，系统与选择遵从用于逐步地公式化适合于用户目的且与CCR模块组件一起工作的概念云的方法的用户一起工作。
除非对系统的输入包括如在项目(1)(a)(iii)中描述的用户UDP或班级复合UDP，关于用户的发展的详细数据——在项目(1)(b)引用的输入(接收输入|关于用户的发展的详细在线数据，例如来自他/她的UDP)——可以来自于用户的UDP以及对他通过他的学习的进步进行描述的技能映射图数据。在本文所述的系统和方法的一个应用中，该方法可以为学生和老师提供感兴趣的班级管理能力。考虑到被老师或导师录入系统中的针对一年的教学计划或由系统算法自动产生的定制的学习和实践程序(CSPP)，系统可以考虑到由学校、老师、父母、导师或学生录入的某些获知目标来确定每个学生需要专注于何处。例如，考虑到老师计划指导她的班级专注于两周内的新论题，并且学生的技能映射图指示对于该论题的根或预估式概念有困难，则系统可以在老师的教学计划中的计划转变之前将学生引导至动态产生的针对这些概念的补习工作。系统还能够向老师警示学生体验到的根本性的困难并进一步针对班级中每个学生编译对这种困难的报告。
项目(1)(c)(接收输入|来自诊断测验的分级测试提问)是指通过本文所述的系统和方法的应用所提供的诊断测验。在在线诊断测试的背景中，当用户不正确地回答了问题并且系统对响应进行评级时，系统构建另一问题或问题系列，其实际上在概念层级上执行详细搜索用户的技能集合以寻找失误问题的原因。该不正确响应是简单的计算错误吗？系统可以迅速将该可能性纳入或排除。用户的困难可能已成为对概念的不正确应用或操纵？可以使用通过例如分支算法而动态地产生为分支子测试的问题来评定该概率。
在这些例子中，二元的正确/不正确分级可以被看作迷你UDP并且伴随有在概念云中的与所回答的问题相关联的那些概念的MSCIC。这可能表明概念云包括可识别的标题概念的链或网络，因为所呈现的概念云(其表示为来自诊断测试的问题)被解析和筛选为逐步更精细和更简单的问题。在一些实施例中，系统随后利用更加简单的数学问题持续地调整概念云并逐步筛选标题概念，直到系统(以高概率)识别用户尚未掌握的(一个或多个)概念。系统于是能够跟踪概念和概念云以及对应的在群组和群体上的用户成绩以进行数据挖掘。这种数据挖掘可以揭示对教学方法的效果的洞察。系统的搜索的对象于是将不会仅是个体的概念，而是通过群体分析所确定的在可能显示为对一些用户一向很难的特定背景和应用中的概念。
如前所述，系统除了确定二元(正确/不正确)分数之外还能够执行分析。概念云的这些过渡分析可以确定和评定至题解的步骤。每个步骤可以以其自己的概念云为特征，并且随着问题被逐渐解决而在一系列概念云的构成中的一步步改变的范围其本身会是有教益的。
此外，群体分析意味着技能映射图代表了用户或群组成绩的水平，其不仅只利用个体的概念、而且利用在特定概念云(尤其是包括使得那些相同概念的独特应用成为可能的见解和细微差别)的背景中的相同概念，或许作为实现特定结果的关键或核心能力。结果，系统可以识别许多共同的概念云，并且指导其教育内容的构造首先关注个体的概念、它们的精通和实践，并随后进展到在一系列概念云(其按照所需的见解和细微差别以及渐进的复杂度排序)的背景中的概念的精通和实践。该过程使得用户能够通过这种方式发展其数学技能、显示老师通过这种方式如何帮助学生、以及分析从该工作流动的数据，这样的过程预期会成为用户、老师、学生和数据分析者等的很大乐趣。
尽管可以开发和实施许多测试，但本文提供的系统和方法的主要示例描述了两种类型的评定测试：完形和专用。完形测试专注于用户直至目前的整体数学教育，持续测试、分支和公式化更多问题直到用户的数学技能集合已被绘制。相反，专用测试是专注于特定论题、概念或甚至概念云的目标评定。在任一情况中，随着用户利用系统和方法来工作，系统持续更新用户的UDP和技能映射图以反映最近的挑战和进展。跟踪和解释学生进度的一个预期方法是动态复杂度模型。
可以相信，概念云是良好的教学工具，并且存在其中有利的是使用户利用他或她自己的概念云构造来启动CCR模块的例子。在上述示例中，项目(1)(d)(接收输入|人类构造的概念云)实际上类似于项目(1)(a)(i)(接收输入|描述性用户输入|要包括在数学问题中的概念或特征的清单)和项目(1)(a)(iv)(接收输入|描述性用户输入|一个或若干关键字)。这些中的每一个可以是使得用户对CCR模块输入概念云或类似的输入的方式。因此，用户和用户支持的网络的成员——父母、老师、导师、同行或学生自己——可以构建他们自己的概念云。这使得系统节省了动态构建数学问题的过程中的一个步骤，其同时还向用户(包括学生和老师等)开放了探索数学的独特和有价值的场所。
项目(1)(e)(接收输入|人类选择的数学问题)要求系统能够读取数学表达式并且自动对其解析其组成部分概念。该能力是CCE模块的目的和功能。当用户输入数学问题时，输出是解析的概念云，并且可选地是使得用户能够学习和实践相同概念云(或许利用逐步转变的标题概念)的一个或多个数学问题(依照用户的指导和在此节中较早描述的循环)。
通过以下选项产生新的可能性：当以闭联体(或许是用于多极云的分支闭联体)从标题概念的最简单表达通过平滑的闭联体到达逐步更复杂的概念云——在每个细微等级处并且针对产生了作为示例和实践的许多数学问题的逐渐变化的概念云的每个配置，引入一个或多个概念——来对概念云排序时，用户随后可以通过他们与原始概念配置的分离程度来对许多公式排序，并且输出表示内容的精细分级的进度，以引导用户通过数学技能的精细粒性的发展和实践。闭联体——利用压轴(bookend)概念——的呈现可以类似于时间线闭联体或光谱。在一个实施例中，在每个变化，系统指定概念变化并且提供示出和实践了新的云配置的对许多数学问题的链接。因此，用户可以容易地选择从一个或若干标题概念至另一集合的进展，并允许系统动态地构建内容和跟踪用户的进展。如果该功能性与任何文档(数学、科学的教科书或行业中的技术文档)的文本映射图相结合，则CCE模块可以自动识别和填充缺口，或者被用于识别在何处可能改进说明或者可能如何改进新产品的开发。
上文所述的可选步骤2(评定用户的用户数据包以确定用户需要什么)意味着用户的设置可以通过相关UDP的状态引导系统约束其产生的数学问题。如上文进一步讨论的，项目(1)(a)(iii)(接收输入|描述性用户输入|目标数学论题)还意指用户可以引导系统在其构建概念云和数学问题时忽视UDP从而其基于概念云而不是基于用户独特的技能映射图的属性来输出数学问题的集合。
在一些例子中，项目(1)(b)(接收输入|关于用户发展的详细在线数据，例如来自UDP)和步骤2包括确定所需问题并针对用户的需要来定制该问题的单个步骤。在这样的例子中，对于项目(1)(a)及其子要点以及项目(1)(c)-(1)(e)，步骤2在系统从UDP接收的与个体的或共同的用户能力有关的输入的类型的基础上定制问题。
步骤3和4表示系统和方法的核心能力：(a)考虑到人类或系统输入，组装适当的概念云(步骤3)以及(b)自动生成算法公式的集合，各算法公式单独地或至少共同地表示或在数学上整体地阐明该概念云(但不多于也不少于其整体)(步骤4)。可以预期的是，所产生的公式集合可以共同表示概念云的整体，或者它们可以各自(单独地)表示概念云的整体。对于从CCR模块产生的庞大的可能公式的有效限制可以在该过程之外(例如，创建许多公式)或更有机地被限制(这样的公式可以将概念的百分之百结合在课程概念云中)。
CCE/CCR模块能够根据单极概念云、多极概念云、概念云的交叉、多个概念云、和串行或并行的概念云来产生数学问题。这些能力为系统研究者提供了与数学的本质和相互关联性有关的见解，以及对新的建造过程灵活性的有效教学的可能性的见解。
最后，支持步骤5、6和7(求解所构造的(一个或多个)公式、测试(一个或多个)公式、和将(一个或多个)公式递送给学生)的概念是不言自明的。
为了概括这七步骤过程，考虑到作为背景的数学问题、课程、或论题以设置从数学的本体抽取的概念的范围(其于是包括概念云)、以及用户的作为一组控制的能力的描述、源于人类或系统的输入(项目(1)(a)及其子要点直到项目(1)(e)，包括用户配置的设置，随后可以实例化和控制该过程以动态产生数学问题。特定输入可以对过程进行缩短，例如在对系统的输入是来自项目(1)(b)、或者用户配置的设置引导系统忽视用户的UDP时消除步骤2；或者在输入为人类构建的概念云时消除步骤3(项目(1)(d)，除非系统在步骤3中执行验证过程来确保概念云的可行性(即，无缺口)；或者如果输入是机器产生的概念云(例如项目(1)(e))。
在一些实施例中，本文所述的系统和方法存储产生的数学问题和概念云，以及利用那些公式和云描述学生成绩的数据。这使得系统的数据存储能够被挖掘以用于关于用户、系统性能甚至关于数学本质的任何见解，并且识别新特征以提高系统支持用户(包括学生和老师)在他们的发展中的能力。
通过经验水平/年级水平的CLI指令
在本文所述的系统和方法的一些预期示例中，CLI指令的每个集合包括性质、属性、变量和具有函数运算符的模板，以及适合于用户当前水平(例如，对于学生用户，学生的年级水平)的参量。例如，其可以是这样的情况：给定的CLI可以与若干CLI指令相关，每个对应于给定年级水平。在每个CLI指令中，指令通过位于本体的适当的附近的学生用户的年级水平(存储在用户UDP中，其捕获用户的数学技能集合和其发展的历史的相关属性)区分运算。
CCE过程
CCE模块的目标是自动提炼以数学表示来表达的数学的概念。如本文所使用的，包括数学表示的许多概念被称为概念云。
被提取来产生概念云的公式在本示例中为6+x＝7。伴随该公式提取的解题方法为“涉及初级代数”。输出包括中心轴的相关联的片段。该公式的标题概念是变量(CLI 570)。在其之下作为副标题概念是加法(CLI 635)和等值关系(CLI 716)。
包括公式和题解的概念云的标题概念是CLI 625(合并同类项)。在其之下是CLI701(减法)、622(逆运算)、719(零的加性恒等性质)、和718(方程对称性质)，随后，之后是570(变量)、635(加法)和716(等值关系)。尽管公式的概念云是单极的，但当相同概念云扩展以包括来自公式的代数题解的概念时，概念云变为多极的，尤其是由于标题概念CLI 625包括若干其他CLI。
CCE算法开始于算法数学表达式(“AME”)及它的题解，并且根据需要理解和求解AME的总体本体产生CLI的子图形。这可以按如下来进行：
1.将AME重写或转换为LaTex或MathML(它们中任一个可以是阶层式描述、AME的解析、或AME与阶层式描述之间的中间步骤)、和/或诸如表达树之类的阶层式描述、或波兰表示法(前缀)的AME或逆波兰表示法的表达式(RPN、后缀)。
2.开始于阶层式描述的最高层级，并且从本体的顶点(排列在先行词和后置词的有向图中)移动通过描述到达本体的底部。
3.在每个阶段，检查所有CLI以发现它们的指令/模式/标签是否匹配所述描述的当前部分。如果匹配，则将它们添加到对于该AME及它的题解所需的CLI的集合中。
在这一点，CCE模块具有其需要用于公式表达和它的题解的每个步骤的开始点。为了完成提取，CCE模块取得在步骤3中建造的集合中的每个CLI，并对其添加支持该集合中的该CLI所需的所有CLI(下部线条)。该过程持续，直到不再需要添加更多CLI。
CLI的该最终集合和本体图形的相关联部分形成了所提取的概念云。
示例CCE算法
为了参考，以下是用于MathML格式的对6+x＝7的公式和题解的文本文件：
<math xmlns＝″http：//www.w3.org/1998/Math/MathML″
display＝″block″>
<mrow><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>＝</mo><mn>7</mn></mrow>
<mrow><mn>6</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>＝</mo><mn>7</mn><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>＝</mo><mo>(</mo><mn>7</mn><mo>-</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>0</mn><mo>+</mo><mi>x</mi><mo>＝</mo><mn>1</mn></mrow>
<mrow><mi>x</mi><mo>＝</mo><mn>1</mn></mrow>
</math>
为进一步参考，以下是用于LaTex格式的对6+x＝7的公式和题解的文本文件：
\begin{equation}
6+x＝7
\end{equation}
\begin{equation}
6+x-6＝7-6
\end{equation}
\begin{equation}
(6-6)+x＝(7-6)
\end{equation}
\begin{equation}
0+x＝1
\end{equation}
\begin{equation}
x＝1
\end{equation}
示例公式及其题解在以下表格中出现，被表达为中缀(Infix)表示法、波兰前缀(Polish(Prefix))表示法、LaTex和MathML
公式
题解
在前缀表示法中，AME和它的题解的每一步骤可以被解析成它们的组成部分。例如，AME 6+x＝1被解析成符号+、x和＝以及数字6和7。CCE模块搜索标注有这些符号的CLI并且返回在适用于该年级水平或者正谈论的数学课程或论题(在该情况下为初级代数)的概念范围之内具有最大重要性分数或最轻加权分数的一个或若干CLI。符号x返回若干CLI，包括CLI 570，其为用于变量的本体的中心轴的原始节点。由于CLI 570是在中心轴上的节点，因此它很可能具有最大重要性分数。因此，CLI 570成为针对AME 6+x＝7的概念云的标题概念。
随后CCE算法将CLI 570放置在本体的有向图(按照先决条件和依赖关系排序)和它的相关联的节点边线关联矩阵，并且跟随从CLI 570下降到本体底部的节点边线连接，将每一个添加到AME概念云所需的CLI的集合。该过程对题解的每个步骤重复，并且所有被识别的CLI被添加到集合，直到题解的每一步骤已通过该方式被解析和提取。
仅用于AME的CLI的所得集合是表达式概念云或ExCC，并且用于题解的概念云是题解概念云，或SCC。ExCC和SCC相结合构成了主概念云或MCC的一部分。包括ExCC和SCC的所有CLI被列出如下。存在从730个CLI的示例本体抽取的415个示例CLI。
变量
·569变量是用于表达未知量、定义功能、表达其他普遍陈述、和在数学讨论中用作通用元素的占位符。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·570变量占据了完成表达式的用于未知量、数字、或数字范围的位置。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·572通过[变量]将“任何”和“一些”的思想引入代数。
Whitehead,A.N.：数学入门。
参见：Henry Holt and Co.,New York(1911)
·573变量只是可被空白(“_”)、诸如x、y、a、b、m、n或T之类的任何字母或符号代表的占位符。
参见：(提取者)，分析者的原始工作
·574通过在方程中为未知量占据位置，变量使得我们按照与利用我们已知的数字(其具有)值工作相同的方式来利用它进行工作，这是使得我们能够推断其(一个或多个)值可能会是什么。当我们解方程时，我们把(一个或多个)未知数当成已知量那样利用它[它们]来运算。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·575与常数相反，变量本身不拥有任何含义，Tarski,A.:逻辑和演绎科学方法论入门。
参见：Oxford University Press,New York(1941)
·577将该传统数学字[变量]与其陈旧含义分离。变量最好不要认为以某种方式随时间变化，并使得其所在的句子随其变化。
参见：Quine,W.V.O.:Methods of Logic,4th edn.Harvard University Press,Cambridge(1982)
·578变量实际上不代表其实体，比如时间、距离、苹果、或梨，而是占据用于替代该实体的数量或度量的位置。因此，其不是变化的t或d，其是可被放在变量的位置上的值——小时数、或英里数。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·579诸如“y＝2x+1”的表达式自身是无意义的；[它们]仅仅是(一个或多个)谓词或开语句，当特定数字和面值(denomination)替代变量的位置时或当它们为[包括]诸如“尽管”和“存在”之类的词语的(一个或多个)较长句子的一部分时，它们具有意义。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·580在具有多个变量的方程或表达式中，我们以其开始或插入表达式或方程中的数字是自变量。
参见：Paraphrased from Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·581在具有多个变量的方程或表达式中，当我们利用插入的变量解方程时我们以其结束的数字是因变量。
参考：Paraphrased from Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariblesInMathEd.pdf
·582占据用于变量的位置的特定字母本身不具有意义。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariblesInMathEd.pdf
·583对如x的变量解方程仅表明找出可以替代[变量]x的位置以使得方程的左手侧等于右手侧的所有数字(如果有的话)。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariblesInMathEd.pdf
·584字母代表我们想要找出的数字。
参见：
http：//www.helpingwithmath.com/by_subject/algebra/alg_solving01.htm
模式辨认
·587当你看到一个公式时，寻找模式。其是否描述了一个或许多个模式？
参见：Analyst's Original Work
·588当你看到一个公式时，问自己该公式真正是在说什么。
参见：Analyst's Original Work
·589当你看到一个公式时，首先确保你理解了每个量和符号。
参见：Analyst's Original Work
·590当你看到一个公式时，问自己你还在什么地方看到过在该公式中出现的任何事物。
参见：Analyst's Original Work
·591计数是贯穿数学以许多形式反复出现的基本模式。
参见：Analyst's Original Work
·151时间和运动模式的示例是手指模式、节奏模式、和音频模式。
参见：
http：//gse.buffalo.edu/fas/clements/files/Subitizing.pdf
接替关系、接替计数(succession counting)和大小
·1比某数字“大一”与该数字的接替者(该数字的后一个数)相同。
参见：Analyst's Original Work
·701比某数字“小一”与该数字的前任(该数字的前一个数)相同。
参见：Analyst's Original Work
·2“大一”在顺次计数中用来找到下一个数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.7
·14有限序列是与有限集合(即，具有极限或边界的集合)具有一一对应关系的序列。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.398
·447“小一”“大一”相反。
参见：Analyst's Original Work
·474四的接替者是五。
参见：Analyst's Original Work
·475三的接替者是四。
参见：Analyst's Original Work
·480五的接替者是六。
参见：Analyst's Original Work
·484一的接替者是二。
参见：Analyst's Original Work
·487六的接替者是七。
参见：Analyst's Original Work
·490前一数字的接替者还是数字。
参见：Ref.：http：//mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
·493二的接替者是三。
参见：Analyst's Original Work
·534具有相等接替者[或者相同接替者]的两个数字相等。
参见：http：//mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
·553当计数时，前一数字比下一数字小一。
参见：Analyst's Original Work
·567零不是任何计数数字的接替者。
参见：http：//mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
·592将一加到一个数字上的结果是该数字的接替者。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·593每个自然数具有接替者。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·594零的接替者是一。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·595一个数字的接替者的前任是该数字本身。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·596除了零之外的每个自然数具有前任。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·597自然数是正整数(或完整数)，包括零。
参见：Paraphrased after the Apple Dictionary
·598如果一个数字是另一数字的接替者，那么第一个数字被说成大于所述另一数字。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·599如果一个数字大于另一数字，并且如果所述另一数字大于第三个数字，那么第一个数字也大于所述第三个数字。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·600如果两个非零自然数被加到一起，那么它们的和大于它们中的任一个。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·602如果一个数字大于另一个，那么所述另一个小于第一个数字。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·604一个数字不能同时大于和小于另一个数字。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·605一个数字不能同时大于和等于另一个数字。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·606对于每一对自然数，以下情况中的一个必定是真实的：第一个数字大于第二个，第一个数字等于第二个，或者第一个数字小于第二个。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·607在整数的背景中，减一还扮演了特殊角色：对于任何整数a，整数(a-1)是比a小的最大整数，同时被认为是a的前任。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·702“大一”的反面是“小一”。
参见：Analyst's Original Work
·703x的接替者是(x+1)。
参见：Analyst's Original Work
·704x的前任是(x-1)。
参见：Analyst's Original Work
计数和数字识别
·3“一，二，三……”是用于计数的顺序的开头。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·5集合的基数是指对象的整个汇集的大小。
参见：Young Children Continue to Reinvent Arithmetic-2nd Grade:Implications of Piaget's Theory,Kamii and Joseph,p.7
·10计数数字可以既是对象在集合的枚举中的顺序(序数性)又是集合的大小(基数性)。
参见：Young Children Continue to Reinvent Arithmetic-2nd Grade:Implications of Piaget's Theory,Kamii and Joseph,p.7
·12计数顺序是其中每个对象可以被容易地一个接一个地计数的汇集的组织。
参见：Analyst's Original Work
·15有限集合是其基数性为某个计数数字的集合。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Finite_set
·23一一对应是两个集合之间在一个集合中的每个元素与在另一集合中的仅一个元素相关联的配对。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.319
·24物理量是物质或能量的可量化和可再现的特性。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.340
·27累积总计是任何附加数字的值被依次添加至的和。
参见：http//en.wikipedia.org/wiki/Running_total
·28序列是与计数数字一一对应的一连串的项。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.398
·39测量的单位是用于通过群组(例如跳跃计数)或通过物质或能量的某个量来测量某个物理量的标准。
参见：
http：//en.wikipedia.org/wiki/Units_of_measurement
·45完整数加数的加法表示将对象集中到较大的汇集。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Addition
·49在数字一之后，附加的手指可以被举起以表示较大的计数。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Finger_counting
·53用于对对象计数的顺序是将一个对象选择为第一，另一对象选择为第二，等等。
参见：Analyst's Original Work
·54序数是指特定对象在汇集中的顺序。
参见：Young Children Continue to Reinvent Arithmetic-2nd Grade:Implications of Piaget's Theory,Kamii and Joseph,p.7
·57将多个分组指派给一个手指会违反一对一原则并导致错误的总数。
参见：Analyst's Original Work
·58将多于一个计数数字关联到一个脚趾(toe)违反了一对一原则。
参见：Analyst's Original Work
·59将多于一个脚趾关联到计数数字违反了一对一原则。
参见：Analyst's Original Work
·67在一些情况下并且对于一些人而言，数字直觉对于执行超过四个对象变得更困难。
参见：Number Sense,p.68/Where Mathematics Comes From,p.15
·69通过最后数字原则，计数的最后项目确定了集合的基数性。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·70通过最后数字原则，汇集的大小是在汇集中计数的最后项目的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·74基数指派是应用最后数字原则的能力。其从计数的序列中转换最后的序数，并指派其作为被计数的群组的大小。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·85概念性数字直觉是作为单元的构成以及作为整体来辨认汇集。
参见：
http：//gse.buffalo.edu/fas/clements/files/Subitizing.pdf
·86概念性数字直觉采取准确枚举技能。
参见：
http：//gse.buffalo.edu/fas/clements/files/Subitizing.pdf
·88为对对象的水平阵列计数，同时计数项目从行的一端进展到另一端。
参见：Analyst's Original Work
·89为对对象的垂直阵列计数，同时计数项目从列的一端进展到另一端。
参见：Analyst's Original Work
·93在汇集已被计数之后再次对其计数，被称为重新计数。
参见：Analyst's Original Work
·94对对象的汇集计数不取决于正被计数的对象的类型。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·95当作出划记时通常使用按5计数。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Tally_marks
·96如果对象按列布置，则垂直地计数很方便。
参见：Analyst's Original Work
·97如果对象按行布置，则水平地计数很方便。
参见：Analyst's Original Work
·98从一开始计数的一个示例是利用相对的手对两个汇集每次计数到五个元素。当开始第二汇集的计数时，从一开始而不是从之前的汇集的计数开始顺次计数。
参见：Analyst's Original Work
·99“从一开始计数”意指该计数在每个被分组的子汇集的开头重置为一。
参见：Analyst's Original Work
·100从一开始计数可以呈现集合的基数性。顺次计数可以呈现各集合的汇集的基数性。
参见：Analyst's Original Work
·101按群组计数是在正在对许多对象进行计数时的有用策略。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.7
·102按群组计数还被称为跳跃计数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.68
·103计数是枚举的过程。
参见：Oxford Dictionary,Clapham and Nicholson,p.101
·104在群组的大小为一时计数与群组计数相同。
参见：Analyst's Original Work
·105由于对划记的数量有要求，利用划记对较大的集合进行计数并不总是可行的。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Tally_marks
·106从被计数和被分组的、或被计数但还未被分组的子汇集开始接下去计数导致重复计数。
参见：Analyst's Original Work
·107一个接一个地对对象计数是遵守一对一原则的良好方式。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·108在到达了当前列的末尾时通过从新的列的开头开始，可以使用顺次计数来对多个列进行计数。
参见：Analyst's Original Work
·109在到达了当前行的末尾时通过从新的行的开头开始，可以使用顺次计数来对多个行进行计数。
参见：Analyst's Original Work
·110如果正被计数的汇集很大，则从每个子汇集的开头开始顺次计数需要大范围的计数数字的知识。
参见：Analyst's Original Work
·111顺次计数是在被附加到计数的新集合的起始数字大于一时的计数过程。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.7
·113在任何子汇集或汇集中没有剩余可计数的对象时，计数停止。
参见：Analyst's Original Work
·114计数到五按照顺序一、二、三、四、五进行。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.8
·706计数到[数字n]按照顺序[1,...n]进行。
参见Analyst's Original Work
·115计数到十按照顺序一、二、三、四、五、六、七、八、九、十进行。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.9
·117口头计数是精通用于描述量的词语的很好方式。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.8
·126重复计数很可能导致对于汇集的大小的错误总数。
参见：
http：//en.wikipedia.org/wiki/Double_counting_(fallacy)
·128当被计数和被分组的子汇集具有共同的对象时，发生重复计数。
参见：Analyst's Original Work
·129当利用手指进行计数时，每个手指必须对应于不超过一个对象。
参见：Analyst's Original Work
·131在十三(thirteen)与十九(nineteen)之间的每个数字词以-teen结尾。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.116
·133每个划记代表计数中的一个对象。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Tally_marks
·142紧急计数是当学生不能对可见项目计数时的阶段。
参见：Early Numeracy,Wright,p.20,22
·143枚举是汇集中的项目的完全、有序的列举。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Enumeration
·152在数位/数字(digit)与它们代表的量之间转换的表示/特色(Facility)被称为数量意义的模拟表示。
参见：Number Sense,p.74
·153在对总数制表时将来自每个被计数和被分组的汇集的总数进行结合失败导致总数过低。
参见：Analyst's Original Work
·157比喻计数是在学生能够对隐藏项目计数但会添加不必要的步骤时的阶段。
参见：Early Numeracy,Wright,p.20,22
·158可以通过展开一只手上所有手指来表示五。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.8
·160在计数时被标记的五个一可以被汇集成五的一个群组。
参见：Analyst's Original Work
·166为了在五与十之间(或者在十一与二十之间，如果对手指和脚趾计数的话)计数，之前举起的手指(或脚趾)保持举起。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Finger_counting
·168对于相等大小的子汇集，通过开始一个子汇集中的对象的数量开始群组中的计数(跳跃计数)。
参见：Analyst's Original Work
·175从一到五，一只手上的每个手指可以与汇集中的对象具有一一对应关系。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.8
·176考虑多个汇集，从之前的总数通过顺次计数对每个进行计数给出了所有汇集的总数。
参见：Analyst's Original Work
·177考虑两个汇集，从第一个的大小开始通过顺次计数对第二个进行计数给出了两个汇集的总计数。
参见：Analyst's Original Work
·178按五个进行分组是自然的，因为我们在每只手上具有五个手指。
参见：Analyst's Original Work
·179按位置分组对于彼此相距很远的对象而言更困难。
参见：Analyst's Original Work
·182散列标记是用于对较小集合计数的数字形式。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Tally_marks
·183层级包含是内心里在较大数字内包括较小数字的能力。
参见：Young Children Continue to Reinvent Arithmetic-2nd Grade:Implications of Piaget's Theory,Kamii and Joseph,p.7
·188如果包围的子汇集大于所期望的，则群组再次但[此时]收集较少的对象。
参见：Analyst's Original Work
·189如果包围的子汇集小于所期望的，则群组再次但[此时]收集较多的对象。
参见：Analyst's Original Work
·190如果遵循有序数字原则已从一至n标注了许多对象，则对象的数量为n。
参见：Analyst's Original Work
·191如果计数不遵循有序数字原则，则得到的总数很可能不正确。
参见：Analyst's Original Work
·193如果任何被计数和被分组的子汇集具有共同的对象，则对汇集重新分组从而它们不共享对象[以避免重复计数]。
参见：Analyst's Original Work
·195如果在每个被计数和被分组的子汇集之后使用从一开始的计数，则当利用顺次计数方法对整个汇集进行计数的情况下所说的最后数字小于最后项目的序数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·196如果使用从一开始的计数进行计数，则所说的最后数字是最后项目的序数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·197如果不同的顺序产生不同的计数，则计数中的至小一个必定是不正确的。
参见：Analyst's Original Work
·198如果不同的顺序产生相同的计数，则非常有可能该计数是正确的。
参见：Analyst's Original Work
·205如果在汇集中的第一对象关联到除一之外的数字，则所计数的对象的总数将是不正确的，并且将需要通过第一计数数字与一之间的距离来调整。
参见：Analyst's Original Work
·206如果群组具有大小n，则按群组计数时的下一数字比前一数字大n。
参见：Analyst's Original Work
·207如果违反了有序数字原则，则与汇集相关联的最大数字不太可能代表汇集的大小。
参见：Analyst's Original Work
·208如果在数字的词形中数位的排序变化，则所表示的数字通常也变化。
参见：Analyst's Original Work
·209如果使用脚趾进行计数，每个脚趾应当关联到一个计数数字。
参见：Analyst's Original Work
·212如果你在汇集已被分组之后从一开始计数，则你可以将来自每个被计数和被分组的汇集的总数相结合以达到所有汇集的最终总数。
参见：Analyst's Original Work
·216一进制是基于1的数制的另一名称，其中自然数N由诸如散列或划记之类表示1并且重复N次的符号来表示。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Unary_numeral_system
·235在较大数字内包括较小数字允许我们区分基数和序数。
参见：Young Children Continue to Reinvent Arithmetic-2nd Grade:Implications of Piaget's Theory,Kamii and Joseph,p.7
·236替代顺次计数，可以每次从一开始对汇集计数
参见：Analyst's Original Work
·239当对来自多个汇集的所有元素进行计数时，维持子汇集总数的和，每当添加了新子汇集时通过将新子汇集中的元素的数量加到前一总数上来对其进行更新。
参见：Analyst's Original Work
·242保持累积总计通常需要比从一列数字的开头持续地相加更少的计算。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Running_total
·707累积总计是一系列数字的总和，在每当新数字添加到该序列中时通过将新数字的值加到之前的总数来对其进行更新。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Running_total
·244对被计数的对象进行标记不提供与用于对该对象计数的顺序有关的信息。存在给你自己和其他人更多信息的方式。
参见：Analyst's Original Work
·245对一个对象标记多于一次可指示可能的重复计数。
参见：
http：//en.wikipedia.org/wiki/Double_counting_(fallacy)
·246利用钢笔或铅笔标记对象是识别前一计数对象的有用方式。
参见：Analyst's Original Work
·247一次标记多个对象违反了一对一原则。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·248可以借助于一对一原则来对集合的成员计数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·265在汇集中的对象具有取决于该汇集本身的总数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·269一旦子汇集已被分组，则通过从前一子汇集的最后数字顺次计数来继续对汇集计数或者将计数重置为一(并随后在完成时将所有计数加到一起)。
参见：Analyst's Original Work
·271一个被计数的[数字]集合排他性地由之前计数的[个位，十位，百位等]组成。
参见：Analyst's Original Work
·284在计数时比前一数字大一的总是下一数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·287从未计数的子汇集中选择对象来进行下一计数。
参见：Analyst's Original Work
·289序数指示序列中的位置。
参见：Oxford Dictionary,Clapham and Nicholson,p.330
·301之前计数的对象如果在计数时被清楚地标记则它们不太可能被再次计数。
参见：Analyst's Original Work
·305利用不同顺序重新计数是检查你的工作的一个方式。
参见：Analyst's Original Work
·306从汇集中去除对象减小了其大小。
参见：Analyst's Original Work
·307在计数中通过其自身的划记表示每个对象意味着划记是一进制的示例。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Unary_numeral_system
·308当对许多群组计数时，在每个子汇集的开头将计数重置为一从而比在每个被计数的子汇集之后顺次计数涉及更小的计数数字。
参见：Analyst's Original Work
·312除非在若干子汇集之间共享的对象被识别并计数一次，它们会被重复计数或甚至被计数若干次。
参见：Analyst's Original Work
·313可以使用一只手的所有手指以及另一只手上的一个手指来表示六。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.9
·708可以使用一只手的x个手指[和另一只手的y个手指]来表示[数字]。
参见：Analyst's Original Work
·320跳跃计数按照[n]以数字[n,2n,3n,4n,等]来计数并且持续到计数完成。
参见：Analyst's Original Work
·322跳跃计数是计数的较快方式，因为不是每个计数数字都被明确地使用了。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.67
·324使用跳跃计数以保持汇集在被计数时的累积总计。
参见：Analyst's Original Work
·328将被计数和未被计数的对象结合在一起会导致错误的总数。
参见：Analyst's Original Work
·329将被计数的对象排序使得容易注意到未被计数的对象。
参见：Analyst's Original Work
·330基于对象是否之前已被计数来对对象排序会是对汇集进行排序的有用方式。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·334取汇集的一半意指将其分成两个大小相等的子汇集。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.89
·335划记还被称为散列标记。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Tally_marks
·347将一个数字词指派给汇集中的一个对象是观察一对一原则的示例。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·355包含n个对象的集合的基数等于n。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.47
·356如果所计数的各单元是在单元中的对象而不是组成单元自身，则由n个对象组成的组成单元的基数性等于n。
参见：Analyst's Original Work
·357集合的基数性取决于集合的元素如何分组——这些群组被称为单元——并且用作计数的基础。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·358集合的基数性还被称为该集合的基数。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.47
·359通过[十位，百位，千位等]的群组的数量和被分组为[百位，十位，个位等]直到剩下九个一或更少为止的剩余对象的数量来确定集合的基数性。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Positional_notation
·360集合的基数性是最后项目的序数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·361排序能力使得我们能够为了计数而对许多对象安排顺序。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·364被计数但尚未被分组的子汇集是你已经计数但尚未分组到某个确定大小的汇集中的一个或多个对象的集合。
参见：Analyst's Original Work
·365被计数和被分组的子汇集是你已经计数并且已分组到某个确定大小的汇集中的对象的集合。
参见：Analyst's Original Work
·366计数数字也被称为自然数。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.233
·367当进行计数以在内心里、物理地、或在纸上或计算机上创建多个分组的子汇集通常是有用的。
参见：Analyst's Original Work
·381在写下计数时使用的数位遵循通过有序数字原则确定的顺序。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·383耗尽检测能力是说出何时已经计数了所有对象的能力。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·384在未被计数的子汇集中的最终对象被称为最后对象。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·388第一个[n]计数数字是一个[...n]。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.3
·393用于计数的固定顺序开始于数字一。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·394在群组中计数时使用的固定顺序取决于群组的大小。
参见：Analyst's Original Work
·395在群组中计数时添加的固定量是由大小相等的子汇集中的一个给出的量。
参见：Analyst's Original Work
·399独立顺序能力是应用未排序对象原则的能力。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·400最后数字原则阐述了与集合的最终元素相关联的数字是该集合的基数性。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·402最后对象也被称为最后项目。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·405自然数也被称为完整数。
参见：http：//mathworld.wolfram.com/WholeNumber.html
·406通过添加某个固定量从前一数字得到在群组中计数时的下一数字。
参见：Analyst's Original Work
·407在计数时的下一数字也被称为前一数字的接替者。
参见：http：//mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
·408尚未被计数的子汇集由你已经标记和计数的对象组成。
参见：Analyst's Original Work
·419在通过[数字，例如百万位，十万位，万位，千位，百位，十位等]尽可能多次地计数和分组之后剩余的对象的数量对应于在集合的基数性的个位处的数位。
参见：Analyst's Original Work
·442一对一原则是一一对应的示例。
参见：Analyst's Original Work
·443在相同对象上写下多于一个计数数字未遵守一对一原则。
参见：Analyst's Original Work
·444如果在多于一个对象上写下相同计数数字，则一对一原则未被遵守。
参见：Analyst's Original Work
·445一对一原则阐述了当对集合计数时，该集合的每个对象必定对应于仅一个计数数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·448利用累积总计对总和的替代是每当新数字被附加到序列时重复地加上序列中的所有数字。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Running_total
·450通过对汇集中每个对象相继地指派的序数来确定在对许多对象计数时遵循的顺序。
参见：Analyst's Original Work
·451有序数字原则适于按群组计数以及按个位来计数。
参见：Analyst's Original Work
·452有序数字原则阐述了用于计数的顺序总是固定的。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·455如果一只手上的所有手指已被使用，则另一只手可以被用来继续计数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.9
·456配对能力使得我们能够利用某个有用的计数机制(比如手指)来对我们想计数的对象顺序地配对。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·467汇集的大小被称为集合的基数性或基数。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.47 468
·468通过颜色已被排序的许多对象的大小等于被联合到一起的单个颜色的所有子汇集。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·473用于计数的标准顺序是每个数字是前一数字的接替者的顺序。
参见：Analyst's Original Work
·501无序对象原则可以被用于复查计数的准确性。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·502无序对象原则阐述了集合的基数性无论用于对对象计数的顺序如何都是相同的。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.5
·507词语“第一”、“第二”和“第三”是序数的示例。
参见：Oxford Dictionary,Clapham and Nicholson,p.330
·516对计数有用的三个子汇集是(1)被计数和被分组的，(2)被计数但尚未被分组的，和(3)尚未被计数的。
参见：Analyst's Original Work
·519成功地计数需要“计数顺序”和“层级包含”。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.56
·537包围的群组之外的未被计数的对象更易于识别为尚未被计数。
参见：Analyst's Original Work
·538使用一只手上的手指从一计数到五。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.8
·539违反一对一原则通常导致错误的总数。
参见：Analyst's Original Work
·547当对汇集计数时，该汇集中的每个对象可以被看作一个单元。
参见：Analyst's Original Work
·548当按群组计数时，计数时的顺序被固定。
参见：Analyst's Original Work
·549当按群组计数时，将一个子汇集的大小与另一子汇集的大小结合形成新的数字。
参见：Analyst's Original Work
·551当从一顺次计数时，[在计数期间的任一点处]所说的最后数字是最后项目的序数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·552在计数时，一个数字词被指派给汇集中的一个对象。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·555当汇集中的对象被计数超过一次时，其被称为重复计数。
参见：
http：//en.wikipedia.org/wiki/Double_counting_(fallacy)
·556相同数字与其自身结合时，该数字被称为已被加倍。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.52
·558在对对象计数的同时，其有助于将它们整理成较小的子汇集。
参见：Analyst's Original Work
·566零是[自然数、计数数字、和完整数]。
参见：http：//mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html
·568零表示量的不存在。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/O_(number)
·608对一组对象计数意指将自然数指派给对象中的每一个，就像其为用于该对象的标签，使得自然数只有在其前任已被指派给另一对象时才能被指派给对象，例外的是零不被指派给任何对象：被指派的最小自然数为一，所指派的最大自然数取决于群组的大小。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·609将被指派给集合或群组的成员的最大自然数被称为“计数(the count)”，其等于在该群组或集合中的对象的数量。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
·610对群组或集合计数的过程如下：(1)令“计数”等于零。“计数”为可变的量，尽管开始于值零，但其将会很快使其值变化若干次。(2)找到该群组中尚未被自然数标注的至少一个对象。如果不能找到这样的对象(如果它们全都已被标注或计数)，则计数结束。否则，选择未被标注的对象中的一个。(3)将计数增加一。即，利用计数的接替者来替代该计数的值。(4)将计数的该新值作为标签指派给在步骤(2)中被选出的未被标注的对象。(5)返回步骤(2)。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
对象类别、分组和集合
·6可以通过那些[区分属性]来整理出使得[区分属性]不同的许多对象。
参见：Analyst's Original Work
·9一列对象是从顶部至底部排列的一串对象。
参见：Analyst's Original Work
·17从左至右的阵列也被称为水平阵列。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Horizontal_plane
·26一行对象是从左至右(或从右至左)排列的一串对象。
参见：Analyst's Original Work
·34顶部至底部或底部至顶部阵列也被称为垂直阵列。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Vertical_direction
·79具有不同属性的对象的汇集将具有相同计数，就像每个汇集中的对象数量是相同的那样。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·80颜色是用于区分汇集中的对象的一个属性。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·123对象的区分特性是该对象与在汇集之内或在汇集之外的其他对象之间的差别。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·149区分特性的示例包括颜色、形状、时间、大小、基数性、动力学、声音、质地、气味、味道、物质、能量、位置、相等性或指派的属性。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·184对象的均质化特性是该对象与汇集之内或汇集之外的其他对象之间的相似性。
参见：Analyst's Original Work
·185相同对象可以通过利用钢笔或铅笔标记对象中的一个来进行区分。
参见：Analyst's Original Work
·259对象类别在区分和/或均质化特性的基础上将对象整理到分离的群组中。
参见：Analyst's Original Work
·260对象可以被整理为被计数的[对象]和未被计数的[对象]。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·261如果汇集中的对象不具有区分特性，则它们是相同的。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·262当汇集中的对象共享均质化特性时，它们是相同的。
参见：Analyst's Original Work
·397分组能力允许我们使用感觉输入来区分用于计数的汇集中的对象。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·7可以通过颜色来整理颜色不同的许多对象。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·270一旦被计数但尚未被分组的子汇集的被计数[元素]达到固定大小，则将它们分组并再次从未被计数的汇集进行计数。
参见：Analyst's Original Work
·709可以通过展开一只手上所有手指来表示五。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.8
·710在计数时被标记的五个一可以被汇集成五的一个群组。
参见：Analyst's Original Work
·16单元的群组自身可以被看作一个单元。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·38由其他单元构成的单元被称为组合单元。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·82组合单元自身可以被分组到一起以形成新的组合单元。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·192如果许多对象被划分成较小的相等大小的子汇集，则通过子汇集的数量来确定对象的数量。
参见：Analyst's Original Work
·273五是由五个较小单元构成的组合单元的示例。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·340五个较小单元进行组合以呈现五的一个集合的组合单元。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·362组合分组能力是使得人类能够将所感知或想象的群组组装成较大群组的认识机制。
参见：Analyst's Original Work
·363组合分组能力可以与认数能力相结合以迅速确定较大集合的大小。
参见：Where Mathematics Comes From,p.52
·469如果测量的单元是对象而不是组合单元自身，则由n个对象构成的组合单元的大小等于n。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·470如果测量的单元是组合单元自身，则由n个对象构成的组合单元的大小等于一。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·517将群组组装到一起并形成较大群组需要组合分组能力。
参见：Where Mathematics Comes From,p.51
·545当生成组合单元时，组合单元之内的个体对象不能从组合单元分离。
参见：http：//ed.ted.com/lessons/one-is-one-or-is-it
·561知觉认数使得学生能够在内心里公式化单元以进行计数，并且将这些单元中的每一个与一个数字词连接。
参见：
Douglas H.Clements，Subitizing：What is it？Why Teach it？，March 1999，p.401，http：//gse.buffalo.edu/fas/clements/files/Subitizing.pdf
·8通过颜色被整理的汇集可以由通过单个颜色的对象组合的较小子汇集构成。
参见：Elementary Math Teacher's Book of Lists,p.51
·30集合是还被称为元素或成员的许多对象。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.399
·32汇集的子汇集是包含原始汇集中的对象中的一些但不一定是全部(不过也可能是全部)的较小汇集。如果该汇集的大小为n，则不会有子汇集大于n。
参见：Analyst's Original Work
·33汇集的子汇集也被称为集合的子集。
参见：Analyst's Original Work
·194如果汇集将被计数，则通过将汇集中的每一个的计数相结合来得到来自所有汇集的总数。
参见：Analyst's Original Work
·263当在汇集中的六个与十个对象之间进行计数时，学生可以按照与来自双手的手指一一对应的关系来计数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.9
·304将单元的构成辨认为完整的整体需要模式辨认能力。
参见：
http：//gse.buffalo.edu/fas/clements/files/Subitizing.pdf
·500普遍原则阐述了对象的任何汇集可以被计数。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.5
·536两个子汇集如果具有相同基数性，则它们大小相等。
参见：Analyst's Original Work
·720对于另一集合，子集是使得其元素中的每一个同样也是所述另一集合的元素的集合。
参见：Analyst's Original Work
·721单元是其中存在一的任何测量。
参见：Analyst's Original Work
维持等值关系(同样，加法、减法和关联性质)
·612维持等值关系反映了生活的基本性质。如果你对集合添加再多一个元素，则该集合中的元素的数量增长。如果你具有一个集合，并取走该集合的一个成员，则该集合具有更少的成员。维持等值关系使得我们能够在动作之前显示出状况，展示该动作，并且展现结果或该动作对原始状况的影响。其反映了事物如何发生了变化。考虑如下替代：如果我们忽略等值关系，我们将例如断言对集合添加一将会维持该集合的原始基数性。相反，如果我们从集合减去一个元素，该集合中的元素的数量将会保持不变。这些情景中没有一个反映了生活中实际会发生什么。
参见：Analyst's Original Work
·613加法中的变化规则#1：当加数中的一个被增加一个量时，和被增加相同的量。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·615加法中的变化规则#2：当加数中的一个减小一个量时，和也同样被减小该量。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·617加法中的变化规则还具有正式名称：结合律。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·618加法中的变化规则展示了为什么你对方程的一侧做了什么就必须对另一侧也做什么。
参见：Analyst's Original Work
·619我们可以去掉紧挨在字母之后的任何事物，只要我们同样对另一侧做了去掉它的任何事。
参见：
http：//www.helpingwithmath.com/by_subject/algebra/alg_solving01.htm
·620如果两个事物相等，并且你恰对两者均做了相同的事，则它们将仍然相等。
参见：
http：//www.helpingwithmath.com/by_subject/algebra/alg_solving01.htm
初级代数
·622逆运算是与另一运算的效果相反的运算。
参见：
http：//www.mathplanet.com/education/pre-algebra/introducing-algebra/equations-with-variables
·623加法和减法互为逆运算。
参见：
http：//www.mathplanet.com/education/pre-agebra/introducing-algebra/equations-with-variables
·625“合并同类项”意指将方程一侧上的所有数字归集到一起，并将该方程另一侧上的所有变量归集到一起，均通过适当地将它们相加或相减。
参见：释义来自
https：//www.wyzant.com/resources/lessons/math/elementary_math/solving_equations/combining_like_terms
·626当我们正在解方程时，我们试图隔离变量以便确定该变量在给定方程中具有什么特定值。我们使用逆运算来进行该操作。有时，我们将其称为“撤销”已对该变量施加的运算。
参见：
http：//www.charleston.k12.il.us/cms/Teachers/math/PreAlgebra/paunit5/L5-1.PDF
·627在我们开始逆运算以解题之前，我们想要使得方程尽可能简单。
参见：
http：//www.charleston.k12.il.us/cms/Teachers/math/PreAlgebra/paunit5/L5-1.PDF
·630在方程的最大常数所处的一侧上将常数汇集到一起。
参见：Analyst’s Original Work
·711当你应对一个方程时，首先在内心里或在纸上将方程的一侧或另一侧上的常数合并，看看结果将成为正数还是负数、自然数还是整数。
参见：Analyst’s Original Work
·631运算例如是加法、乘法、除法和减法。
参见：
http：//www.mathplanet.com/education/pre-algbra/introducing-algebra/equations-with-variables
加法
·632加法的含义是两个群组的[合并或]联合。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·633有两种不同形式的加法：动态的和静态的。在动态加法中，联合意指改变情形。在静态加法中，联合表明类型的分组。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·634合并的运算是加法的数学运算可以具有的若干可能含义之一。加法的其他含义包括：比较(“汤姆有5个苹果。珍妮的苹果比汤姆的多3个。珍妮有多少苹果？”)、联合(“汤姆有5个苹果。珍妮又给了他3个苹果。汤姆现在有多少苹果？”)、测量(“汤姆的桌子有3英尺宽。珍妮的桌子也有3英尺宽，当他们的桌子放到一起时有多宽？”)、以及分离(“汤姆有一些苹果。他给了珍妮3个。现在他有5个。他开始有多少苹果？”)。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·635加法性质：如果x＝y，则x+z＝y+z。
参见：
http：//www.basic-mathematics.com/properties-of-equality.html
·42将对象加到汇集中增大了其大小。
参见：Analyst's Original Work
·43加法是对一对数字的数学运算。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.5
·44加法是二元运算的一个示例。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.5
·712倍增或成双(twin)加法可以被表达如下：x是通过将y倍增而得到的数字。
参见：Analyst's Original Work
·138八是通过将四倍增而得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·139十八是通过将九倍增而得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·165对于任意的一对数字，加法的运算返回第三数字。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.5
·173四是通过将二倍增得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·174十四是通过将七倍增得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·288考虑到来自集合的两个初始数字，返回集合中的第三数字的运算被称为二元运算。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.5
·315六是通过将三倍增得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·316十六是通过将八倍增得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·338十是通过将五倍增得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·386第一个加数有时被称为被加数。
参见：http：//mathworld.wolfram.com/Augend.html
·424通过加法返回的数字被称为和。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.5
·494通过合并两个被称为加数的数字来得到和。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.5
·520十二是将六倍增得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·523八的成双加法结果是十六。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·525四的成双加法结果是八。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·526九的成双加法结果是十八。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·527一的成双加法结果是二。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·528七的成双加法结果是十四。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·529六的成双加法结果是十二。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·530三的成双加法结果是六。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·531二的成双加法结果是四。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
·533二是通过将一倍增而得到的数字。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math Book 1,p.53
共同的面值
·637为执行加法，需要进行共同的面值。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·638为执行减法，需要进行共同的面值。
参见：Analyst's Original Work
·639当将具有诸如千克或磅之类的测量单位的两个数字相减时，它们必须具有相同单位。在大多数情况下，差具有与原始数字相同的单位。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
减法
·640减法的含义是去除。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·642被减数与减数之间的减法的结果被称为差。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·643将被从其减去另一量或数字的量或数字称为被减数。
参见：Paraphrased after the Apple Dictionary
·644将被从另一量或数字中减去的量或数字称为减数。
参见：Paraphrased after the Apple Dictionary
·645两个数量相差的量，即，在一个值从另一个值中减去之后剩下的差数，被称为差。
参见：Paraphrased after the Apple Dictionary
·646在减法中，“取走”、“分离”或“去除”意指情形随着时间变化。其是动态的，表明其涉及运动。(例如，汤姆具有8个苹果。他拿走了3个苹果。汤姆还剩多少个苹果？)
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75；和
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·647减法的“整体-部分”含义是，在有两种类型的对象的情况下，所有对象的总数和一种类型的对象的数量已知，我们被要求找出另一种类型的对象的数量。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·648有两种含义的“整体-部分”减法：“联合”(例如，汤姆有一些苹果。珍妮又给了他3个苹果，因此他现在有8个苹果。他开始有多少苹果？)和“合并”(例如，汤姆有8个苹果。三个苹果是绿色的，其余是红色的。红色的有多少？)，并且这两者的含义是动态的。
参见：释义来自Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownupsabout Children's Mathematics(2007),pp.68-75；和
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·649减法的“比较”含义回答了如下提问：“数量A比数量B大多少？”这可以是动态的(有多快)也可以是静态的(有多多)。(例如，汤姆有8个苹果。珍妮的苹果比汤姆少3个。珍妮有多少苹果？)
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75；和
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·650减法具有至少三种含义：取走(分离或去除)、整体-部分(联合或合并)、以及比较。
参见：Analyst's Original Work,after Aharoni,Ron,Arithmetic forParents,A Book for Grownups about Children's Mathematics(2007),pp.68-75；和
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·651减法中两个变化规则的第一个是，当被减数增加了一个量时，差也增加相同的量。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·652减法中两个变化规则的第二个是，当减数增加了一个量时，差减小了相同的量。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·653减号(“-”)表示减法运算。阐述“x减去y等于z”可以被写为“x-y＝z”。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmeic#Subtraction
·654减法不具有交换性(其为反交换的)，所以该运算中数字的顺序改变结果。
参见：
https：//en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic#Subtraction
·655减法是反交换的，意指如果从左至右将差中各项颠倒，则结果为原始结果的负数。象征性地说，如果a和b是任意两个数字，则a-b＝-(b-a)
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·656减法是表示从汇集中去除对象的操作的数学运算。
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·657中缀表示法是指如减号(“-”)之类的元素被插入方程中。
参见：Analyst's Original Work
·658减法不是结合性的，意指当减去多于两个数字时，执行减法的顺序有影响。
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·662当执行重复的减法时，记住减法为非结合性的是很重要的。
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·663对心算有用的方法是将减法分成小步骤。
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·664减法的相同变化方法使用了如下事实：对被减数和减数增加或减去相同的数字不改变答案。在减数中增加需要得到零的数量。示例：1234-567＝x可以按照如下方式来解：1234-567＝1237-570＝1267-600＝667
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·667代换性质：如果x＝y，则y可以在任何表达式中代换x。
参见：
http：//www.basic-mathematics.com/properties-of-equality.html
与零的相减和相加
·668为了得到零，开始时的一切必须被减去。
参见：释义来自Chris Wright,Dr.Wright's Kitchen Table Math:Book 1,2007,p.32(MQ 913)
·671减法性质：如果x＝y，则x-z＝y-z。
参见：
http：//www.basic-mathematics.com/properties-of-equality.html
·673“无”或“没有”为零。
参见：
http：//www.basic-mathematics.com/properties-of-zero.html
·674任何数量加上零就是开始时的数量。
参见：Analyst's Original Work
·675加法性质是说，数字在其加上零和减去零时不变。
参见：
http：//www.basic-mathematics.com/properties-of-zero.html
·659减去零不改变数字。
参见：https：//en.wikipedia.org/wiki/Subtraction
·678当求解简单方程时，将该方程看作天平，其中等号(＝)为支点或中心。
参见：
cliffsnotes.com{study-guides{basic-math/basic-math-and-pre-algebra{variables-algebraic-expressions-and-simple-equate ions/solving-simple-equations
·681解方程是将你正在寻找的或求解的事物放在等号的一侧并将其余事物放在另一侧的过程。你实际上是在整理信息。
参见：
cliffsnotes.com{study-guides{basic-math/basic-math-and-pre-algebra{variables-algebraic-expressions-and-simple-equate ions/solving-simple-equations
·683对方程进行简化以使得更易于辨认模式和解题步骤。
参见：
mathplanet.com/education/pre-algebra/introducing-algebra/equations-with-variables
括号
·686括号指示执行运算时的顺序的性质：它们的内容首先被计算。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·687括号就像一个盒子：首先计算盒子里的内容，然后将其作为一个单元使用。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·688正如盒子可以容纳附加的盒子，所以括号可以容纳附加的括号。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
其他
·689全称实例化：如果性质对于集合的所有元素为真，则它对于该集合的每个个体元素为真。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·690存在实例化：如果我们知道或者怀疑对象存在，则我们可以赋予其名称，只要我们在我们当前的讨论中没有将该名称用于另一对象即可。
参见：Epp,Susanna S.,DePaul University:
http：//condor.depaul.edu/sepp/VariableslnMathEd.pdf
·691数字和算术运算的含义是它们与现实的联系。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·692数字的含义来源于计数对象。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·695使得含义有趣的事物之一是它包含微妙之处这一事实。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·696含义确定了管控运算的规则。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·697运算的含义命令管控它们的规则。
参见：Aharoni,Ron,Arithmetic for Parents,A Book for Grownups aboutChildren's Mathematics(2007),pp.68-75
·699检查：将你的值代入原始方程中的变量，并看看等值关系是否还保持。
参见：Analyst's Original Work
·700一旦你已到达你的答案，考虑可以检查你对该公式的答案的不同方式。
参见：Analyst's Original Work
数位
·13数位是用于写下数字的符号。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.124
·187正确地识别与计数对应的正确数位的能力被称为数字辨认。
参见：Early Numeracy,Wright,p.24
·342数字0中的0代表零个一。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.18
·713数位[数字，阿拉伯数字形式]意指数字[数字，词形]，或[数字，词形][个位，十位，百位，千位，等]。
参见：Analyst's Original Work
·370数位1意指数字一，或一个一。
参见：Analyst's Original Work
·371数位2意指数字二，或二个一。
参见：Analyst's Original Work
·372数位3意指数字三，或三个一。
参见：Analyst's Original Work
·373数位4意指数字四，或四个一。
参见：Analyst's Original Work
·374数位5意指数字五，或五个一。
参见：Analyst's Original Work
·375数位6意指数字六，或六个一。
参见：Analyst's Original Work
·376数位7意指数字七，或七个一。
参见：Analyst's Original Work
·377数位8意指数字八，或八个一。
参见：Analyst's Original Work
·378数位9意指数字九，或九个一。
参见：Analyst's Original Work
·380数位1、2、3、4、5、6、7、8、9和0组成十进制。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.110
阅读和书写数学
·18数学表达式是具有某种共同理解的含义的有限的符号组合。
参见：
http：//en.wikipedia.org/wiki/Expression_(mathematics)
·41书面地表达数字的方式也被称为记数系统。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Numeral_system
·51方程具有等值的左手侧和右手侧。
参见：Analyst's Original Work
·52方程是两个数学表达式之间的相等性的阐述。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.147
·119数位定义了数制。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.314
·253数字词是用于描述量的词语。
参见：Analyst's Original Work
·254数字词包括“一”、“二”、和“三”。
参见：Analyst's Original Work
·714[量]是符号表达的[阿拉伯数字]，意指[个位，十位，百位，千位等的数字]，被写为[数字词"]，并且看起来像[绘图的或图形的表示]。
参见：Analyst's Original Work
·256数字识别是将正确数字词连到数位序列的能力。
参见：Early Numeracy,Wright,p.17,24
·299使反方向书写数字的错误最小化，实践书写数位。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.14
·300对于学生通常有用的是在具有强触觉反馈的表面上书写数位，比如坚硬表面甚至沙子。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·302不同大小的量具有对应的不同数字词。
参见：Analyst's Original Work
·715利用数位[数字符号]来书写数字[数字词]。
参见：Analyst's Original Work
·410利用数位8来书写数字八。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·414利用数位5来书写数字五。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·415利用数位4来书写数字四。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·417利用数位9来书写数字九。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·423利用数位1来书写数字一。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·425利用数位7来书写数字七。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·427利用数位6来书写数字六。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·431利用数位3来书写数字三。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·434利用数位2来书写数字二。
参见：Dr.Wright's Kitchen Table Math,Book 1,p.12
·541我们利用数位1、2、3、4、5、6、7、8、9和0来书写数字。
参见：Nelson,Penguin Dictionary,p.124
·559与在他们心里的阿拉伯数字的量化含义的相当的表示一样，学生也很容易和普遍将相邻数字的相对值混淆。
参见：Stanislas Dehaene,the Number Sense,p.74
·560如果没有含义，则符号的组合仅表现为一串符号。
参见：http：//en.wikipedia.org/wiki/Well-formed_formula
·562在对计数数字进行计数时将其书写在对象上比在仅对它们计数时对其进行标记提供了更多信息。
参见：Analyst's Original Work
·564在序数被计数时将其书写在对象上允许容易地识别用于对汇集计数的顺序。
参见：Analyst's Original Work
·565在序数被计数时将其书写在对象上提供了遵守一对一原则的非常具体的方式。
参见：Analyst's Original Work
等值关系和等号
·31利用等号来作出相等性的阐述。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.147
·144相等的数字表示相同的值并且具有相同的数字词。
参见：Analyst's Original Work
·145相等的值可以通过方程被联合到一起。
参见：Analyst's Original Work
·274一个[数字]与[数字][个位，十位，百位，千位等]相同。
参见：Number Sense,p.98
·275[数字]的一个群组包含的从不少于[数字][个位，十位，百位，千位等]。
参见：Analyst's Original Work
·276[数字]的一个群组包含的从不多于[数字][个位，十位，百位，千位等]。
参见：Analyst's Original Work
·382等号由符号“＝”表示。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.147
·495符号“＝”指示了方程的存在。
参见：Penguin Dictionary,Nelson,p.147
·535方程的两侧不能具有不同的值。
参见：Analyst's Original Work
数学问题的动态构造
在本文所述的系统和方法的一些版本中，通过在概念云的CLI中搜索指令和模板(或共同形成模板的模板部件)来生成数学问题的算术的集合来管控数学问题的动态构造。可以通过与对返回结果的要求是表示单极概念云还是双极概念云有关的初始确定来指引该搜索。对于任一种方式，可以通过CLI和概念云的相关联度量(例如，重要性分数、权重分数、难度分数、在先决条件和依赖关系的有向图中的其他节点之间的排名，等等)、以及在一些例子中通过诸如链表之类的数据结构来识别对主要目标进行制定的(一个或多个)标题概念。当被采用时，该步骤缩窄了在任何操作和它们可能的角色中起作用的CLI的数量。因此，与CLI配对的编码的指令包可以包括被归类的指令，使得如果在一些概念云的背景中，CLI是被制定为自主行动的标题概念的主要目标(在单极概念云中)或者若干CLI彼此合作地行动(在多极概念云中)，则其行为选项为x、y和z。如果在其背景中，CLI是语境概念(例如转换型方法中的参量(名词)——见美国专利No.8,727,780中的吻合提取方法)，则其可以实现组合数学问题或表达式中的其他角色。如果CLI是运算概念(例如函数和运算)或赋权概念(例如，当它们扩展到数学基础时的前述根系统)，则其行为可以被它们的CLI指令包以其他方式约束和描述。
在替代方法中，在整个本体中对与课程概念云中的那些相匹配的动词(函数和运算符)和名词(对象)进行的垂直搜索被用来执行两部分CCE/CCR模块的任一组成部分(根据数学表达式提炼的概念云或根据概念云生成的数学表达式)。如果要根据数学表达式提炼概念云，则CLI指令包中的LaTex或MathML组成部分可以强调关键运算符。一旦关键运算符被识别，则适当的下部线条(例如先决条件，启动和描述每个关键运算符的CLI的RCC)也可以被容易地识别。如果要根据概念云生成数学表达式或数学问题的集合，则可以从概念云的水平部分识别关键运算符，即，在当前年级水平教导的那些CLI(不包括它们的根系统；回想任何概念云的“T”描述)。因此，搜索可以是双向的：(1)函数(相对于运算符或对象)，其通常在(2)搜索学期中的最高年级水平处(按照所选国家或五国课程的标准)被学习。如果最高级的概念将被包括在结果中(如果不被包括，则返回的可能公式的范围包括适合于当前年级水平以及每一个之前年级水平的庞大的可能习题；实际上，可以预期的是CCE/CCR输出需要被限制)，则这限制了可能的组合。遵照该方法，支持概念的角色不一定需要如在之前方法中描述的那样被仔细精心设计。一旦建立了主要功能，可以将设置背景或实现所返回的数学问题中的其他角色的对象、函数和运算符随机化。这样，本文所述的系统和方法为非确定性的。在某种意义上，它们是遗传性的。它们创建了它们自身独特的输出；甚至在具有相同输入时，系统和方法也产生相异的输出。系统随后在数学问题的最终集合被递送给用户之前测试每个结果的可行性。
CCR模块示例
关于基于变量创建公式数学问题提供CCR模块的实施方式的第一示例。使用加法和等值关系提供第二示例。
在第一示例中，用户的UDP包括+、-、＝和个位数。其也指示用户的知识限于单个变量并且不知道如何利用表达式中单个变量的多于一个实例来工作。(例如，x+3+x＝6，为了应对该单个变量的多个实例，用户需要知道3+x＝x+3以得到x+x+3＝6，随后x+x＝2x，并最终知道如何进行除法来求解x)。
在用于基于变量创建数学问题的CCR模块过程中的第一步骤是选择变量‘x’作为第一“建造块”。变量可以在左边或右边具有运算符(例如+、-、×、÷、＝)，但不需要对变量的右边或左边添加任何事物。考虑到该开始点，CCR模块产生可能的扩展建造块(例如‘-x’、‘x＝’、‘+x＝’、‘+x-’)。由于在‘-x’的右边和‘x＝’的左边没有添加任何事物，因此右边和左边将被分别考虑填充并且不会进一步在那些方向上扩展。
在第一步骤之后，建造块(或每个建造块)具有如下之一：(1)无连接；(2)一侧上的运算符；或(3)两侧上的运算符。运算符可以在两侧上具有表达式。表达式包括数字、变量或数字、变量和运算符的更复杂组合。对于该示例，可以使用0与9之间的数字，因为用户的UDP被限制为个位数。
因为用户知道单个变量并且不知道如何利用在表达式中的单个变量的多于一个实例来工作，所以系统不再对当前建造块添加附加变量。因此，CCR模块将会扩展建造块中的一些以包括数字并且扩展建造块中的一些以包括使用已知运算符(‘+’、‘-’和‘＝’)、0与9之间的数字的更复杂表达式。
该过程持续到存在候选公式的集合为止。CCR模块随后考察/求解候选变量并去除无效的任何公式。例如：如果‘＝’未出现或出现了多于一次(这也可以通过保证在公式产生中‘＝’出现仅一次来把握)。在另一示例中，如果在解题时需要范围0至9之外的数字，则其对于该用户的UDP是无效的。此时，CCR具有可被返回/显示的有效公式的集合。
在第二示例中，对于给定概念群组，存在使其具体的“事物”的例子的集合。例如，对于变量，存在诸如x、y、z、a、b、c、_的变量的可能表示。对于数字，如果用户被限制于个位正整数，则可能性为：1、2、3、4、5、6、7、8、9。最后，对于该示例，存在运算：+、-、＝。这些分别被定义为“变量”、“数字”和“运算”。这些“类型”中的每一个具有可被放在它们左边或右边的特定其他类型。例如，变量‘x’可以具有被添加到任一侧的运算。其还可以什么都没有。对于数字也是一样的。另一方面，运算需要在其左右两侧具有变量或数字。通过这些简单的概念和规则，CCR可以构建可能的公式：(1)因为变量是最高级概念，因此以变量‘x’开始；(2)将‘x’放在当前活动的原型公式的列表中；(3)对于当前列表中的每个原型公式，制作其复件并试图对左边和右边添加某事物，包括如果在左边和/或右边的类型不需要添加某事物时什么都不添加；(4)将在(3)中产生的原型公式添加到列表；(5)认真检查列表并去除重复的和畸形的原型公式(例如，不具有‘＝’、具有多于一个‘＝’、多于一个变量的表达式，在左边或右边仍需要某事物的原型公式，比如在左边或右边具有运算的原型公式)；(6)返回(3)直到形成了适当数量的原型公式；(7)求解原型公式并确定它们是否需要不是用户的UDP的一部分的任何事物(例如，不是个位正整数的数字)，如果是这样，则将它们从列表中去除。此时，CCR算法已产生了切实可行的公式的列表。
在该示例中，考虑到变量、数字和运算的受限制的本质，迅速产生的公式成长以包括大多数简单公式(例如“x＝3”，“6+x＝7”)和可能有点不标准的较大公式(例如，“6-4＝1+x-3”，“2+4+1＝x+3”)。如所示，用于建造和连接变量、数字和运算的规则和限制可以非常简单。这导致非常迅速地产生大量原型公式，但大多数原型公式不是切实可行的，这是为什么需要适当的筛选器的原因。
替代地，可以使得规则和限制更复杂并且可以在原型公式产生时检查它们的切实可行性。例如，具有两个‘＝’使得原型公式不是切实可行的，因为额外的‘＝’不能被去除。另一方面，不具有‘＝’符号可以随着原型公式的成长而被固定。另外，遵循更为遗传性的手段，原型公式随着变量、数字和运算被连接而可以被复制，并且原型公式可以与其他原型公式(如果末端匹配)联合。原型公式还可以通过分裂和与其他分裂原型公式联合而“繁殖”。
分支算法
本文的描述参考分支算法的使用。如本文所预期的，存在分支算法的两个主要应用。第一个是迅速、有效、和准确地绘制用户在本体中表示的许多概念上的数学技能集合。为达到该目标，系统协同用户运行智能过程以使用分支算法和本体的中心轴来绘制用户的数学技能集合，本体的中心轴包括针对利用数学的技能的原则领域中的每一个的本体原始节点。利用数学的技能的领域的示例可以包括集合、单元、接替、零、计数、序数性、基数性、结合性质、共同的面值甚至更多。该过程的输出例如可以为热图。例如，学校可以在暑假期间要求其学生利用本文所述的系统进行诊断测验，从而学校管理者可以利用他们的学生技能集合(他们的“技能映射图”)的详细示图开始下一学年。作为响应，系统和方法随后可以向学校递送个体和群组的技能映射图。技能映射图的每个块可以是可操练的；在块被选择时显示的信息可以是通过用户输入而可用户配置的。用于评定的阈值也可以是可用户配置的(按照技能映射图屏幕的下部中心处的弹出式标度)。
分支算法的第二个主要应用是经常利用系统和方法监测用户的在线工作，并且在用户正确或不正确地响应于由系统提供的公式时，分支算法可以引导系统和方法以最精细水平的颗粒性来交互地和动态地搜索用户对任何公式的困难的来源，并且引导CCR模块创建对用户数学技能进行修复、实践或扩展的公式。每个情况代表了系统的CCE模块、CCR模块和用户的UDP通过分支算法在它们与系统本体的中心轴的交互中所引导的应用。该第二应用的示例如下。
假设系统向用户给出6+x＝7并要求用户找出x。在系统界面中，用户录入每个解题步骤，但没有找出x的正确值。将由分支算法评定的提问是，该错误是否为简单的计算错误；缺乏对诸如变量、相等性、加法或计数(例如模式辨认)之类的标题概念的理解；该理解的缺乏是否可能涉及诸如如何通过应用逆运算将同类项(例如变量或常数)归集到等号的相对两侧之类的代数解题方法；或者该错误是否可能反映了对诸如计数、集合、或符号“+”或“＝”的含义之类的更为基础的概念的误解。
为了评定每个可能性，分支算法例如可以初始引导CCR模块产生与6+x＝7相似的大概五至十个公式的集合——不基于相似公式模板，而基于相同概念云(例如来自CCE模块的输出)——并且要求用户求解这些公式。为产生公式集合，CCR模块可以探索与原始公式(即6+x＝7)的概念云相关联的本体的中心轴的片段。分支算法之前的总体策略可以开始于与原始公式的标题概念有关的中心轴的原始节点以及替代解题策略的步骤，以找出x的值并发展复杂度(例如那些概念作为原发灶，并随后与其他概念结合)，直到用户的通过其UDP描述的与该公式及其题解有关的技能(例如，常数中数位的数量，等号的任一侧的表达式的数量，和所包括的变量的数量和多元性)被探索出。
当用户使用本文所述的系统和方法进行诊断测验时，分支算法可以遵循中心轴片段的进展并且引导CCR模块以追随约束优先的过程(意思是，对于数学的每个领域，以在用户的UDP中描述的最高级的限制开始，并且在检测到错误时，进展朝向越来越简单的表达式直到用户的成绩上升到预设的水平为止)还是本原优先的过程(意思是，同样对于数学的每个领域，以任何数学领域的最基本概念开始，并且逐渐呈现更复杂的公式，直到用户的成绩降低到失败的预设水平或用户的UDP耗尽为止(无论哪个先发生))。当用户正确地响应公式时，分支算法可以确认用户对其他CCR模块产生的许多公式的理解。当用户不正确地响应公式时，分支算法可以引导CCR模块创建顺着本体的中心轴的节点的公式(顶部条和垂直下部线条概念两者)，以逐渐隔离并随后识别用户对于任何概念或概念的组合的困难。如果用户没能给出对于理解了一个或多个顶部条概念的充分的证据，则分支算法可以探索表示垂直条(下部线条CLI)的中心轴片段的概念节点，以识别用户的困难的本质，并且通过引导CCR模块以创建考察那些概念的公式以及要求用户对它们求解，来确定下部线条概念中的哪些是用户困难的源。一旦已经识别出困难，则系统警示用户的支持网络(例如，教授、老师、导师、父母、以及在某些情况下的同行)，并且动态地产生包括许多多媒体内容的定制的学习和实践程序(“CSSP”)，以讨论和说明那些概念。系统和方法更新用户的UDP，这随后被反映在动态复杂度矩阵中。系统递送来自每个测试的结果和分析。
如果用户成功求解了预定百分比的辅助公式，则系统和方法可以确定该用户理解了如何求解那些类型的公式并且在找出x的值的过程中仅做出了很小的错误(或许是笔误或计算错误)。在我们的示例中，如果用户确认她理解了变量、加法和等值关系，但仍无法正确解出这些公式，那么分支算法可以例如测试该用户是否具有关于解题策略的困难或如何应用他们。如果用户不正确地响应于许多辅助公式，则分支算法可以认为该用户没有理解需要解出该公式的一个或多个概念。在这种情况下，将会通过分支算法来考察概念云的顶部条(例如，在公式的表达式和题解中活动的最高级概念)。分支算法将会引导CCR模块基于例如那些概念的排列组合来创建公式，以测试该用户是否继续处理在其他概念的背景中或与其他概念组合的各种概念。然而，方程的表达式的概念云的标题概念通常并不像执行在该公式的求解中所涉及的一些步骤所需的洞察力和技能那样在数学上是高级和复杂的。解题所需的技能往往需要比在任何表达式中出现的概念可能暗示的更为复杂的操纵和洞察力。公式6+x＝7是个很好的示例。标题概念是变量、加法和等值关系。尽管解题的相继步骤或者涉及简单的模式辨认(即，简单计数：6+1＝7)，或者将常数移动到方程一侧而将变量移动到另一侧，但针对方程的一侧所应用的(即，做了什么)相等性的对称性质(如果a＝b，则b＝a；或者也许是相等性的自反性质，a＝a)、减法、加性逆运算、零的加性恒等性质、以及观念可以同样被反映在方程的另一侧上(维持等值关系)。那些概念(尤其是可以应付的那些概念)可以在找出x的值的各个步骤中轮流作为标题概念。它们与公式的初始表达式6+x＝7的标题概念相比需要更高的技能和洞察力。
在该示例中，考虑到用户展示了她理解该公式的标题概念(变量、加法和等值关系)，分支算法可以请求CCR模块产生对该学生的解题方法或另一解题方法(将通过分支算法和CCR模块而被确定)中涉及的标题概念的理解进行测试的公式。分支算法可以开始于在求解中涉及的本体的中心轴片段的最简单的节点，并且(在本原优先过程的示例中)一对一地测试每个概念的最简单表达式。随后分支算法可以进展到更复杂的测试，或者将本原概念与其他概念混合，直到用户相对于该公式及其题解理解的和不理解的概念被识别和绘制。
总之，考虑到针对示例公式的解题策略的集合以及用户如何着手求解该公式的思想，分支算法可以确定需要哪些概念(例如，初级代数、减法、零的加性恒等的某方面)并且通过使用CCR模块测试这些中的每一个以产生要用户求解的公式。用户对于独立的或在某组合中的概念或概念集合可能会具有的任何这种议题随后可以被进一步顺着中心轴往下跟踪，以测试支持概念。最终，分支算法确定用户无法理解的、找出方程6+x＝7中的x所必须的概念。
与概念云中的标题概念相关地使用分支算法的示例
以下是与概念云的标题概念和CCR模块相关地使用以产生对用户对于该公式的困难进行探索的测试公式的分支算法的示例。下文的二十九个CLI是与方程6+x＝7有关的概念云中的标题概念，已经要求用户对该方程求解x。如果致力于该方程6+x＝7的用户出了错误，并且给出了表明该用户没有学会该公式中“大一”的模式辨认的答案，则分支算法浏览标题概念，直到它找到匹配的标题概念。在该示例中，匹配的CLI是CLI 570，“变量”。CCR模块随后利用变量以及CCE产生的CC和标注的内容(其说明了在该CC下的(一个或多个)相关概念)产生针对该学生的认知/技能的(一个或多个)测试公式。在用户提供了对(一个或多个)测试公式的响应之后，分支算法移动到下一相关标题概念，其在本情况下为CLI 622，“逆运算”。该模式持续到系统检测到其已探索出用户对于原始公式的(一个或多个)潜在困难为止。
在另一示例中，被呈现了“6+x＝7”并被要求“求解x”的用户可以提供答案“x＝2”，其为不正确的。在这种情况下，分支算法前进以利用CCR向用户给出相关公式，该公式本身使用了由CCE产生的顶部条和中心轴。
在该示例中，用户得到了使这些附加公式正确的低百分数，展示出缺乏对求解该形式的公式所需的CLI的精通。此时，需要理解(并且开始求解该公式)的基本概念被测试。
这样，产生了测试对变量、加法和相等性的理解的公式。如果用户正确解出了这些公式，则假设用户没有理解该公式专有的中心轴中的某事物。
系统测试CLI 1和CLI 635(“接替(+)”)、CLI 717(“相等性的自反性质”)和CLI701(“减法”)。用户通过正确地解出由CCR产生的公式而展示了对这些的正确理解。
这带来另外一个可能性，CLI 625(“合并同类项”)。当该CLI被测试时，用户未能正确解出测试公式，分支算法将该结果量化，并为用户和用户的支持网络产生报告。CCR随后利用所附的多媒体内容产生公式的集合来修复该公式，从而建造用户的数学技能集合。
表示用于6+x＝7的CC中的标题概念的29个CLI
[CLI 690]为对象和现象命名|存在实例化：如果我们知道或怀疑对象存在，那么我们可以赋予其名称，只要我们在我们当前的讨论中不将该名称用于另一对象即可。
[CLI 30]集合|集合是还被称为元素或成员的对象的汇集。
[CLI 721]子集|对于另一集合，子集是使得其元素也是所述另一集合的元素的集合。
[CLI 689]元素的性质|全称实例化：如果性质对于集合的元素为真，则其对于该集合的每个个体元素为真。
[CLI 720]单元|单元是其中存在一的任何测量。
[CLI 259]元素区别|对象类别在区分和/或均质化特性的基础上将对象整理成分离的群组。
[CLI 1和CLI 635]接替(+)|比某数字“大一”是该数字的接替者：x的接替者是(x+1)。
[CLI 568]零|零表示量的不存在。
[CLI 500]枚举汇集|普遍原则阐述了对象的任何汇集可以被计数。
[CLI 610]计数|对群组或集合计数的过程为如下：(1)令“计数”等于零。“计数”为可变的量，其尽管开始于值零，但将会很快使其值变化若干次。(2)找到该群组中尚未被自然数标注的至少一个对象。如果不能找到这样的对象(如果它们全都已被标注或计数)，则计数结束。否则，选择未被标注的对象中的一个。(3)将计数增加一。即，利用计数的接替者来替代该计数的值。(4)将计数的该新值作为标签指派给在步骤(2)中被选出的未被标注的对象。(5)返回步骤(2)。
[CLI 54]序数性|序数是指特定对象在汇集中的顺序。
[CLI 467]基数性|汇集的大小被称为集合的基数性或基数。
[CLI 714]数位&数字词|[量]是符号表达的[阿拉伯数字]，意指[个位，十位，百位，千位等的数字]，被写为[数字词"]，并且看起来像[绘图的或图形的表示]。
[CLI 380]十进制|数位1、2、3、4、5、6、7、8、9和0组成十进制。
[CLI 18]表达式|数学表达式是具有某种共同理解的含义的有限的符号组合。
[CLI 716]等值关系|相等性是与另一个具有相同的量、值或测量。
[CLIE 717]相等性的自反性质|相等性的对称性质：对于每一个自然数x，x＝x。
[CLI 718]相等性的对称性质|相等性的自反性质：对于自然数x和y，如果x＝y，则y＝x。
[CLI 52]方程|方程是两个数学表达式之间的相等性的阐述。
[CLI 635]加法|加法性质：如果x＝y，则x+z＝y+z。
[CLI 719]零的加性恒等性质|加性恒等性：对于自然数n，0+n＝n＝n+0。
[CLI 617]结合性质|加法中的变化规则还具有正式名称：结合律。
[CLI 637]共同的面值|为了执行许多运算，需要共同的面值。
[CLI 701和CLI 704]接替(-)|比某数字“小一”与该数字的前任相同：x的前任是(x-1)。
[CLI 701]减法|减法性质：如果x＝y，则x-z＝y-z。
[CLI 686]括号|括号指示执行运算时的顺序的性质：它们的内容首先被计算。
[CLI 622]逆运算|逆运算是与另一运算的效果相反的运算。
[CLI 570]变量|代换性质：如果x＝y，则y可以在任何表达式中代换x。
[CLI 625]合并同类项|“合并同类项”意指将方程一侧上的所有数字归集到一起，并归集该方程另一侧上的所有变量，均通过适当地将它们相加或相减。
CCE模块、CCR模块和分支算法的独立性
尽管本文主要从CCE模块的输出馈送到CCR模块的输入中的视角来描述，并且使用分支算法来利用CCR模块绘制用户的技能集合，但这些模块的顺序和交互可以采取许多形式。提供以下示例来展示它们的独立性。
例如，CCE模块可以独立于CCR模块操作，采取极其多样的材料作为输入并且产生我们已将其识别为文本映射图、媒体映射图和小部件映射图的概念云的类别。CCR模块可以采取人机构造的概念云或概念云类别作为输入——即，与由CCE模块在相同循环过程中产生的输出独立的输入；UDP(其意味着技能映射图)；或文本映射图、媒体映射图、或小部件映射图或者已被存储在可在互联网上访问(例如，当某人已取得CCE模块，产生本文映射图、小部件映射图或媒体映射图并且将其贴在互联网上时可访问)的系统语料库或服务器中的这种映射图的任何部分。此外，如前所述，分支算法从所跟踪的与CCR产生的公式集合进行的用户交互取得数据作为输入。
上文提供的主要示例示出了七步过程，其中上文描述的操作用作CCE模块馈送到CCR模块中的串行循环的一部分。在以下示例中，CCR模块馈送到CCE模块中，CCE模块随后馈送到分支算法中，其相反帮助示出三个模块的输出的可互操作性。
非限制性地举例而言，假设航空公司让机翼的高级班作为其竞争战略发展的一部分，该机翼针对小推力提供非常大的升力，因此节省了燃料成本并且减小了交通工具对环境的影响。这是个七年计划，因此管理部门想确保公司的员工基础具有或将具有满足公司的技术目标的必要数学技能。招聘团队利用本文描述的系统和方法——在该场景下首先是CCR模块——工作，以构建对于必要数学技能进行描述的概念云(在以下示例中的步骤1.d.)。该数据集合(即，概念云)被保存为用于该团队的理想候选的样本UDP配置文件，可选地具有要求解的CCR产生的样本公式。接着利用CCE模块工作，系统和方法的用户可以可选地创建小部件映射图(2.c.iii)，或许利用白纸的文本映射图(2.c.iv)，其描述了模拟机翼。用户随后将UDP配置文件与小部件映射图/文本映射图链接。随后可以利用样本公式、小部件映射图和文本映射图将招聘广告贴在网上。
在该示例中，CCE模块针对重叠、先行词/后置词关系、概念重叠、中心轴片段、和其他相关度量(例如重要性分数、标题概念、权重分数等)来分析两个概念云。在当前和候选员工进行了诊断测验时，分支算法随后跟随从CCR模块排序的中心轴片段的进展，以追随约束优先过程(意思是，对于数学的每个领域，以在UDP中描述的最高级的限制开始，并且在检测到错误时，进展朝向越来越简单的表达式直到用户达到预设的成绩水平为止)或本原优先过程(意思是，以任何数学领域的最基本概念开始，并且逐渐呈现更复杂的公式，直到用户达到预设的失败水平为止)。系统递送来自每个测试的结果。在本文所述的系统和方法的功能性的又一示例中，考虑到求职者和相关联UDP的在线数据库，系统可以搜索与必要技能集合的公司配置文件的匹配。系统随后可以建立要联系的候选人的选择。
在上文提供的七步示例中，CCE和CCR模块的功能描述了这样的循环，其中CCE模块自动提取或编译概念云，(考虑到各种用户输入)并且将概念云发送给CCR模块作为输入。CCR模块转而自动构建独特的和切实可行的数学问题的集合，所述数学问题结合、实施或以其他方式基于包括概念云的许多概念行项目。独特地配置为用户的获知和信息需求的这些公式随后可以被递送给用户以用于他/她的检阅和学习。这种公式集合的递送可以伴随存储在系统数据库中和包括互联网的服务器上的多媒体学习内容(用户将会接收到这种在线内容的链接；非限制性地举例而言，这种多媒体材料可以包括：电子教科书；在复印件教科书、白纸以及与数学、科学和适于教育、商业和/或工业事务的任何相关课程有关的其他书本中的绘制的位置；视频；游戏；音频记录；电子和触觉教具；博客；以及诸如齿轮、翼、轮子、引擎和电子器件之类工业组件的真实和电子图像)。这样，与诊断测验过程(其在用户响应的基础上分支)结合的CCE和CCR模块可以动态地识别用户需要学习或实践的细颗粒数学概念，并且根据来源于单极概念云的公式以及来源于更复杂的多极概念云的公式来自动地构建为用户的需求定制的算法数学问题。
下文提供的替代过程流的示例被重新配置以满足替代的用户目标。非限制性地举例而言，下文描述的替代过程反映了将七个步骤重新制定为具有多个子组成部分的三个步骤。在该三步配置中，在步骤1.g中强调的CCR模块、在步骤2.e.中强调的CCE模块、和在步骤3.g.和3.h.中强调的分支算法模块实现替代角色，并且在一些情况中它们各自的输出与本文使用的主要示例相比被重新目的化。
同样非限制性地举例，在替代流中，CCR模块首先利用用户工作以构建被保存为UDP/技能映射图(其成为系统可以用来搜索相似数学技能集合的模型)的概念云。CCE模块随后或许利用白纸的所附文本映射图(其说明了由小部件映射图在数学上涵盖的课题)来构建小部件映射图。最终，分支算法模块以与CCR模块相呼应的方式动态地和响应地运行测试，以考察和绘制人们的团队的数学技能集合并且产生可以启动对候选团队成员的在线和自动化搜索的数据。
CCE、CCR和分支算法模块的组成部分步骤的两个配置的该比较展示了本文所述的系统的各个模块组成部分独立于步骤的任何特定顺序，强调了在这些规范中描述的系统是非确定性的。整个CCE/CCR过程可以在单个循环中执行，并且各个模块可以被重新排序和重新目的化以实现替代目标。
以下是过程流的替代实施例。
步骤1.如果输入为：
a.用户输入，比如：
i.将被包括在数学问题中的概念或特征的清单(见下文的1.d.)；
ii.正被学习的教科书、单元、章、和节的指示；
iii.目标数学论题；以及/或者
iv.一个或若干关键字；
b.如来自用户的UDP的与他/她的发展有关的详细在线数据；
c.来自诊断测验的分级测试提问(是系统产生的还是从复印件测试手动录入的)；
d.人机构建的概念云(在计算机辅助下——例如从上文的1.a.i.——人类引导完成概念云)；或者
e.人类选择的数学问题；
则：
f.从输入提炼概念云(除非在之前步骤中已经执行了)；以及
g.构建与来自用户输入的概念云和概念云的子集完全相符的数学问题；
h.对构建的每个公式进行求解，使得其准备用于二元分级(正确/不正确)；
i.针对系统所需的度量测试该公式以用于稍后的数据挖掘和分析；
j.利用用于概念云的相关联MSCIC将该公式保存到系统语料库；以及
k.将公式或公式集合递送给用户(在无(一个或多个)答案的情况下)。
步骤2.如果输入为：
a.来自已经应用了分支算法的诊断测验的分级测试提问；
b.人类选择的数学问题；或者
c.用户输入，比如：
i.人机编译的概念云；
ii.正被学习的教科书、单元、章、和节的指示；
iii.对象的数学描述；
iv.书本、教科书或其他书面文档的电子复件；
v.将被包括在数学问题中的概念或特征的清单；
vi.目标数学论题；以及/或者
vii.一个或若干关键字；或许具有
d.评定用户数据包(或“UDP”)(如果尚未执行)以确定(一个或多个)用户对于必要的公式或公式集合(其可以由概念云表示并且可以由CCR模块产生)的需要，从而针对用户的数学技能或期望的数学技能来定制输出(在UDP为所需事物的示例(例如模拟UDP)的情况下；在系统在用于输出的(一个或多个)预期用户的系统数据库中不具有用户数据包(UDP)的情况下，系统可以为用户提供模板以在系统产生所要求的输出之前填写)；
则：
e.提炼与用户输入完全相符的概念云；
f.将概念云呈现为列表；
g.将概念云呈现在根和分支(树)配置中；
h.自动分析它并将它存储在语料库中；以及
i.将概念云递送给用户。
步骤3.接收与用户所需的是何种类型的数学问题有关的输入，其由以下中任一项指示：
a.用户输入，比如：
i.将被包括在数学问题中的概念或特征的清单(见下文的1.d.)；
ii.正被学习的教科书、单元、章、和节的指示；
iii.小部件映射图、媒体映射图、或文本映射图；
iv.目标数学论题；或者
v.一个或若干关键字；
b.如来自用户的UDP的与他/她的发展有关的存储数据；
c.来自诊断测验的分级测试提问(是系统产生的还是从复印件测试手动录入的)；
d.人机构建的概念云(在计算机辅助下——例如从上文的3.a.i.——人类引导完成概念云)；
e.人类选择的数学问题；以及可选地，
f.仅与用户的发展有关的或者与来自前述的a.至e.的一个或多个项目相呼应的详细在线数据；
则来自：
g.本体的中心轴的计算机所选片段；
h.引导CCR模块构建必要的数学问题；
i.对构建的每个公式进行求解，使得其准备用于二元分级(正确/不正确)；
j.针对系统所需的度量测试该公式以用于稍后的数据挖掘和分析；
k.利用用于概念云的相关联MSCIC将该公式保存到系统语料库；以及
l.将公式或公式集合递送给用户(在无(一个或多个)答案的情况下)。
上述替代过程流仅为替代流的一个示例。本领域技术人员将会认识到，模块可以在许多附加变型中相互联系。
动态复杂度
本文所述的系统和方法在动态复杂度的基础上跟踪和分析用户进展。动态复杂度(或“DC”)是分析构造，其识别和测量用户进展中的动态性相对于复杂度的相对程度，作为数据属性。动态性具有两个组成部分：变化的类型和变化的速率。类似地，复杂度具有两个组成部分：在任何情形中固有的变量的数量和这些变量之间的相互作用的程度。作为一种工具，动态复杂度可以(作为选项)被系统和方法应用于引导数学问题的动态构建、分析在线用户行为、评定用户和群组成绩、以及管理用户和群组进展。
在一个示例中，存在简化的动态复杂度矩阵的四个象限。简化的动态复杂度矩阵的四个象限概括和表征了用户获知和进展的四个模式。该分析构造是用于识别用户/群组进展的可能本质和动态地调整内容以支持获知、实践和应用的一种方法。
考虑到用户的工作进展的动态复杂度的相对程度，系统和方法动态地改变用户提供的概念云的内容以帮助用户通过任何困难，或者在用户的步调表示对材料的迅速吸收的情况下，扩展用户的实践以及那些概念或论题的应用广度和深度(通过整体概念模型)。如果重要，则系统和方法利用电子邮件以用户的名义发出向他或她的父母、老师或导师寻求帮助的信号。
例如，如果用户的进展落入标注为帆中无风(NO WIND IN THE SAILS)的象限内，则用户在他/她所拥有的特定概念上或也许在他/她所拥有的作为学习的学术课程的数学上具有失败的风险。落入左下象限内并在该处保持了一段时间的针对在线工作的坐标(通过在校年级和在线数据所证实的)还可以伴随在线行为的其他属性。这些属性可以包括不经常访问在线系统和不活跃的数学工作文件。当用户的成绩进入左下象限时，在线系统可以自动向他/她的老师、导师、父母和系统管理者群发电子邮件，以向他们告知该公式并且为他们提供用户成绩的详情和所识别的困难的源。
对于成绩始终失败的用户，自动产生的数学问题的集合可以更短。论题和相关内容可以处于颗粒性的最简单和最精细的可能水平，以帮助用户实现一点进步并发展一点积极性。一旦系统和方法已经操作了一段特定时间，则分析者可以完成对成绩始终停驻在该象限内的用户群体的详细评定。该研究的一个潜在结果可以是开发特别简单的内容以帮助用户通过特定论题或内容。与之相比，通过位于被标注为高强度个体/群组R&D的象限中的属性表征的成绩可以表明致力于用户体验到相对困难的材料的主动获知和显著努力。成绩度量落入该象限内的用户会体验到新概念和技能集合的缓慢进展和谨慎的获得。然而，在线活动会反映对工作进行反映的学习和实践模式以吸收基础概念。
为帮助用户进展通过该象限，系统和方法参考在一个年级水平处的CLI与概念云、以及在之后的年级水平处的CLI与概念云之间的因果联系(即，概念之间的先决条件关系)，并且自动地检查对在之前的年级水平处发展的用户数学技能的质量进行定义的用户数学技能集合的属性(通过之前的在线工作、初始诊断测验或者专用诊断测试来证明，其经运行以详细说明在用户数学技能集合中有可能减缓用户进展通过该象限的弱点的程度和本质)。在没有在用户的当前困难与他/她的数学技能集合的质量之间检测到因果关系的情况下，系统和方法产生被具体地设计为帮助移动用户通过该象限的新的数学问题。这是如本文中进一步描述的整体概念模型的应用。例如，新的或修改的公式集合可以：专注于数学概念的颗粒性概念；仔细地和更慢地建造至期望知识集合的概念云；对概念云的构成以谨慎的进展作出逐渐的改变；提供供应充足的应用的示例；帮助用户抓住每个机会拓展他们关于论题或概念的知识的深度；以及频繁运行测试以检查用户获得和拥有在数学素养或流畅性的水平处的技能集合的进展。
落入标注为穿过绿地的象限之内的在线和在校的动态复杂度坐标可以反映大概多个数学概念整合成一个或多个论题的时段。这是重要的“啊哈(原来如此Ah-Has)”的时段。其成绩度量位于该象限中的用户例如可以专注于数学概念的广泛应用。为这样的用户动态产生的内容集中于加深该概念的材料和适当的应用(整体概念模型的第四同心环)。
最终，如果用户的在线工作和进展的属性坐标——由他/她的在校年级和利用在线系统对在线工作的分析而证实的在给定复杂度水平处的进展的速率——最趋于由标注为夺取金牌的矩阵的象限来表征，则针对用户当前正学习、实践或应用的那些概念或概念云的为该用户(或者，可能是用户群组)创建的大多数在线内容通常包括多变量数学概念(方程中的变量的数量、数学概念的应用中的变量的数量、和对公式和应用进行表征(即经由概念云)的属性的排列组合)，或许数学概念的潜在应用的广泛的阵列、以及导致特别复杂的文字公式的迅速发展。考虑到发展性错误的潜在可能，失败容差水平可以较低，PSTT报告可以更频繁，并且在线工作与在校年级之间的相关性可以被认真监测。在复杂度的水平显示为对于任何用户过大的情况下，在线系统自动地检测和分析困难，将动态产生的数学问题中的复杂度水平缩小，减缓步调，并且自动调整内容以帮助用户恢复他/她的拉动作用并恢复对那些概念和概念云中的整体概念的水平处的完整命令进行实现的进度。
注意，其动态复杂度坐标位于穿过绿地象限中的工作时段显然可以遵从在高强度个体/群组R&D象限中的坐标的扩展时段，并且可以在获知属性转移到右上象限夺取金牌之前发生。可以预期的是，用户可以容易地从一个象限移动到另一个象限，而不是在一个象限中停留延长的时间段。用户更可能的是可以以某个频率从一个象限移动到另一个象限。
扩展的动态复杂度矩阵
简化的动态复杂度矩阵例如可以描绘十六个扇形。通过上述示例的四个中心单元来重复简化的动态复杂度矩阵的象限。在顶行中的标签指示了复杂度的两个元素的各个可能组合(变量的数量和变量相互作用的程度)。最左列列出了动态性的元素之间的可能的对(正向改变的量、或进展，以及发生进展的时段)。每个扇形的标签与在简化的动态复杂度矩阵中描述的四个场景之一相关联，四个场景强调了在校知识获取的典型阶段(穿过绿地(“绿”)、夺取金牌(“金”)、帆中无风(“风”)和高强度个体/群组R&D(“R&D”))。符号“+”表示词语“正向”。注意，扩展的动态复杂度矩阵可以针对每个用户和每个用户群组被应用，以利用每个数学概念和概念云及其先决条件和依赖关系来绘制成绩属性。
扩展的动态复杂度矩阵的应用
扩展的动态复杂度矩阵的每个扇形被上色以对应于矩阵的简化版本中的象限。针对其在任何给定象限(包括四个扇形)中的成绩属性绘图的用户，通过从最佳可能情形到最不期望情形的属性的组合来对扇形排序。例如，在扩展版本中的矩阵中的四个金扇形当中，用户成绩属性最好是指示她/他在短时间段中对于包括许多变量和在这些变量之间的广泛相互作用在内的公式已经作出了很大进展(更多正向改变)。这样的成绩属性将绘制到金1扇形。与之相比，用户成绩属性较不好的是绘制到这样的扇形(金4)：其表明他或她局限于具有许多变量和有限的变量相互作用的公式而在持久的时间段上已作出很多进展。
类似地，其进展已限制在短时间段上并同时他或她学会应付中等难度公式工作(风1)的用户处在较好位置，并且可以比在长时间段上对于非常简单的公式作出了非常小的进展的用户(风4)处于更动态的轨道上。
随着时间过去，系统和方法针对每个数学概念(和其通过概念云的组合)以及针对用户获知行为的每个模型对用户获知、学习和成绩属性进行跟踪和相互关联。这样的获知模型可以与本地的和州的教育系统、教学方法、数学和科学教科书、在周期性OECD PISA研究上的国民素质、和个体的国际同行排名相关联，以检测和编纂对如下方面有贡献的因素：G.A.T.E.用户的发展，执行得很差的用户的成功支持，针对ADD/ADHD用户和针对大多数用户在每个数学概念中的广泛基础的实力的成功程序。
技能映射图
技能映射图是本文所述的系统和方法的主要特征之一。技能映射图是以图形、表格、电子表格或其他格式呈现的可操练报告，其在概念行项目和概念云(任何类型)以及分析的基础上反映了用户与在线系统、用户已完成的数学问题、用户数学技能集合的状态的交互。技能映射图的范围可以通过用户PSTT(父母、学生、老师、导师)动态地调整，以专注于单个用户的数学技能集合或用户的群组的技能集合(无论如何定义)的状态。技能映射图是交互式的。可操练特征链接到存储在在线系统的数据库中的其他内容和在互联网上的内容。这样，其可以成为用于用户PSTT的若干主屏幕之一。
用于文本映射图和小部件映射图的模型
技能映射图也是用于其文本映射图和小部件映射图特征的模型。文本映射图与技能映射图的相似之处在于，它们呈现了概念行项目和概念云的配置，并且它们是可操练的。对它们进行区分的是，文本映射图表示由数学的教科书覆盖的概念并且强调在教科书中哪里没有明确或清楚地讨论或者除此以外没有被教科书的示例或习题覆盖概念、概念云、见解和细微差别——换句话说，y交叉、减速块、坑洞、缺口、和断层。当该数据与系统的数据(其关于概念制定/整合的预估式的身份、已知用于开发过程灵活性的概念、在次要云中的链接、以及具有其他教科书的国际群体的成绩(和他们的文本映射图))一起被挖掘时，老师和学区将会可得的工具会是强大的。在文本映射图数据的基础上，在线系统可以能够自动建议补充材料以填充或替代这五种类型的概念缺口(y交叉、减速块、坑洞、缺口、和断层)，动态地分析和生成概念云以创建提供缺失的信息的习题，将教科书的有效性链接到概念制定/整合的已知预估式和过程灵活性的发展者，并且评定老师的教学计划的有效性。文本映射图数据和相关特征为用户和老师提供了访问完整的和经典系列的数学资源的手段，其涵盖了从学前班到第十二年级(“PK-12”)的数学课程表。
小部件映射图是相似的，尽管它们绘制了由事件和物理对象结合的概念。通过本体编辑器软件开发的小部件映射图展示和激励用户应付特定数学概念的应用。此外，将通过在线系统部署小部件映射图作为学习的活动和方法以及用于用户建造自我的探索。借助于图形用户界面，用户录入数学概念数据，创建他们自身的概念云，并且观察通过图形的如技能映射图之类的界面呈现的内容。
文本映射图、小部件映射图、和本体编辑器软件
当本文的系统和方法构建文本映射图或小部件映射图时，它们利用本体编辑器软件来这么做。本体编辑器软件使得数学分析者能够快速检阅教科书或其他补充材料(无论印刷材料或触觉教具)，识别概念和关键概念云，解析来自算法示例和习题的概念云，从而构建文本映射图。一旦检查了准确性，文本映射图及其数据就被更新到在线系统以由任何PSTT、学校或学区应用。
类似地，本体编辑器软件帮助数学分析者构建小部件映射图。考虑到本体编辑器中的数据库，分析者能够创造性地编译数学概念——在任何年龄、年级、技能或数学课程的水平处——以描述物理对象或事件的物理的或生命的特征。
技能映射图的属性
技能映射图的每个属性具有含义。以下描述是技能映射图的交互式图形表示的一个示例。在该示例中，区域被在线系统动态地确定大小并定位。然而，总的来说，区域按照半圆图案从左上至右下进展。随着用户掌握每个概念，针对该概念的块变得更深，缩小大小，并且逐渐从左边区域移动到右上，向下到中间区域，然后到紧接着的右边，最终到映射图的右下角落中的区域。在技能映射图的右下区域中的概念已被掌握并且准备用于在较高复杂度和高级应用中的重要进展。
在映射图的右下角落处有个图例，用于指示概念块变得越暗，则用户利用该概念提高的技能越多。针对每个用户的教育计划由屏幕截图中间的垂直滑块来设置。如果用户的障碍设置在五个点的渐进等级处，则该设置引导在线系统动态地调整映射图。这些分数是相同水平并且根本上告诉在线系统在用户预期实现(例如)85％的分数的情况下配置技能映射图。如果这是计划，则概念在左边区域、概念在右上区域、和概念在右下区域等的配置可以不同。此外，块大小和块的阴影可以改变。
如果用户选择图例中的任何图案，则整个映射图仅专注于该图案。用户还可以在左上的下拉列表上点击以选择他们想要映射图展示的年级水平。在映射图的左上角落处的“全部”按钮显示了用户对于所有概念(从用户已存储在在线系统上的最早数据起)的成绩的详尽映射图。如果用户选择任何块，则出现弹出窗口，其反映了与该块的概念有关的基本信息，即概念的文本描述、用户正在学习的教科书、教科书中的概念的位置、何时安排涉及该概念的测试、将要学习和何时学习的依赖关系概念、概念的加权分数、概念的重要性分数、概念的固有难度分数、用户对该概念的成绩、他/她与成绩水平集合的接近度、针对测试概念的公式的难度分数的范围(按照用户设置，关于诊断测验和/或之前的测试)、以及适于用户完成的概念的在线系统上的内容的百分数。
如上所述，技能映射图还是可操练的。选择任何块打开了适用于该块的数据的报告。在左下角落处的五个按钮确定了当块被双击时呈现什么数据。示例的集合显现为如下。
最左按钮——数据分数。系统用来设立对其概念块的大小、形状和位置的确定的数据。在大多数情况下，这可以是对于任何诊断测试的分数。
左边按钮——利用用户响应贴出的工作内容、提问和公式的检阅。用户已执行的在线内容，包括对于系统寻求以绘制用户技能映射图的诊断测验和自动化分支的公式。
中间按钮——尚待解决的内容，用户尚未工作的对于用户可得的任何在线内容或离线内容(由PSTT报告)。
右边按钮——相关概念云，其在这时伴随着概念的概念云：其向用户呈现针对每个用户的根系统以及可能来源于根的用户困难的任何原因的强调(即，或许用户未掌握在之前学年中覆盖的先决条件概念)。
最右按钮——对于概念块的所有先决条件和依赖关系的成绩。这不仅包括在主技能映射图屏幕中表示的那些，而且还包括(主管课程的边界之内的)RCC和BCC。
这些按钮是用户可配置的，使得用户可以利用五个按钮中的每个从一组选项确定可以更详细地呈现哪些数据集合。可得的其他选项包括以下。
相关在校分数(如所报告的)。可以显现由父母、用户、老师或导师报告的相关在校分数。
完形关键路径。通向所选概念和从所选概念远离的关键路径。
教科书和标准。用户的主要教科书(由任何PSTT报告)和解决公式的在其他教科书中的地点或在互联网上的地点，以及相对于州和国家的数学教育标准和国际标准的成绩。
整体概念模型的中心环。如下文所讨论的，技能映射图的区域表示重复地穿过整体概念模型的四个层级直到彻底掌握该概念为止。与每个区域的每个WCM层级相关的数据是可操练数据，其可以被呈现为在任何概念上的用户PSTT双击。
动态复杂度的区域。动态复杂度矩阵的十六个区域还表示可操练数据，其可以被呈现给用户PSTT以帮助他们精准找到用户进展的源和效果，无论该进展是块还是慢。
可用于视觉地表示技能映射图的元素的属性的示例的详细安排为如下。
图案：图案#1——考虑到难度设置，图案#1块表示测试课程以期望成绩水平的60％处或以下所执行的那些MSCIC。图案#2——考虑到难度设置，图案#2块表示测试课程以期望成绩水平的70％处或以下所执行的那些MSCIC。图案#3——考虑到难度设置，图案#3块表示测试课程以期望成绩水平的80％处或以下所执行的那些MSCIC。图案#4——考虑到难度设置，图案#4块表示测试课程以期望成绩水平的90％处或以下所执行的那些MSCIC。图案#5——考虑到难度设置，图案#5块表示测试课程以期望成绩水平的100％处或以下所执行的那些MSCIC。
图案的阴影：明亮——图案成绩水平的70％以下至向上移动到下一层级(即图案#1至图案#2)。中等——图案成绩水平的70％到84％至向上移动到下一层级(即图案#1至图案#2)。暗色——图案成绩水平的85％到94％至向上移动到下一层级(即图案#1至图案#2)。黑色——图案成绩水平的95％到100％至向上移动到下一层级(即图案#1至图案#2)。
在图案汇集内的概念块的大小和概念块的位置(相同图案的阴影在一起)：当块较大时，存在立即会针对该概念块的测试，或者存在作为从属于该概念块的即将被学习的概念(如根据老师可得的教学计划而确定的，除此以外块大小可以指示当其他块从属于该块时该块的相对紧急性)。用户能够选择该块以观察与何时安排测试以及将要学习和何时学习什么依赖关系概念有关的详情。块越大，则块越接近颜色汇集的左上角落。当块较小时，不存在立即会针对该概念块的预告的测试，或者即将被学习的概念不从属于针对该块的这个概念块，尽管用户对于该概念的成绩不如其需要成为的那么好。用户能够选择概念块以观察达至该概念/从该概念而来的关键路径包括什么概念。用户能够选择块以观察与何时安排测试以及将要学习和何时学习什么依赖关系概念有关的详情。块越小，则块越接近图案汇集的右下角落。
两个用户可配置选项是可得的，以确定当用户在块上左击或右击时他或她看到的信息。例如，在块上的左击可以强调也在技能映射图中显现的块的先决条件和依赖关系(每个涉及的块可以利用白光来强调并且利用在有向图中的线条来连接)。在块上的右击可以强调导向该块(每个涉及的块利用金光来强调)的关键路径(概念整合的预估式的图案和次要云中的相关链接)。
彼此相关的图案汇集的位置：图案#1——图案#1汇集在屏幕的左边或左上角落。图案#2——图案#2汇集在屏幕的左下角落(如果将被呈现的图案#1块的数量没有占据屏幕的整个左边距)或紧邻图案#1块的右上角落。图案#3——图案#3颜色汇集配合在图案#2与图案#4汇集之间。图案#4——图案#4汇集配合在图案#3与图案#5汇集之间。图案#5——图案#5汇集在屏幕的右边或右下角落。
屏幕上方的标签：技能映射图可以包括对来自相同用户或用户群组所采取的之前诊断测验的技能映射图进行反映的一组标签。技能映射图可以包括对来自之前日期的针对相同用户或用户群组的技能映射图进行反映的一组标签。技能映射图可以包括对通过年龄、学校、学区、州、概念云、年级水平、数学课程、相对成绩和国家划分的一般群的技能映射图进行反映的一组标签。
技能映射图与完形/专用诊断测试、整体概念模型、和动态复杂度的合并
技能映射图和整体概念模型两者的一个应用是引导用户通过概念或概念云的渐进发展(即MOCC)。由特定图案定义的技能映射图的每个区域表示用户的数学技能集合的发展中的时间起点。其为当概念在用户大脑中吸收时、当概念在新的能力方面的含义开始得到更加重视时、和当用户认识到这些能力可以如何被应用时的时间段。在每个时间起点，数学技能的彻底发展意味着用户变得通晓CoreCon，继续进展以掌握概念至某个深度，精通达到更大深度和复杂度，并且最终展开该概念达到有意义的成就。
因此，当用户的技能在图案#1中时，在线系统可以动态地引导他或她——借助于动态构建的数学问题及其概念云——通过概念发展的四个层级。四个层级中的每一个表示(层级1)CoreCon的最简单说明、(层级2)达至精通的概念的最轻扩展、(层级3)复杂度的最低水平、以及(层级4)最容易的应用。随着用户对于在其当前区域中的概念的成绩进展，概念块从由图案#1标记的第一区域转移到由图案#2标记的区域，以此类推，直到概念块到达由图案#5标记的区域(在所述示例中，技能映射图的右下角落)。在每个区域，在线系统使得用户逐步循环通过每个WCM层级处的更复杂材料。
例如，如果用户刚学会乘法，则他或她可以完成在他或她的当前成绩的水平处的用于乘法的所有四个同心环。随着他或她变得更加熟练，他或她随后可以完成在进步的新水平处的四个同心圆(从由图案#1标记的区域进展到由图案#5标记的区域)。该过程可以持续到用户的技能映射图示出图案#5中的该概念块，这将会指示用户良好地掌握了该概念的整个WCM，并且他或她准备好进展到下一课程水平，要知道技能集合是牢固的。该工作可以支持在未来学习中的更大成绩。
成对的技能映射图和整体概念模型的作用对本文所述的系统和方法的完形和专用诊断测试模块具有显著影响。用户PSTT能够调整完形和专用诊断测试模块的设置以专注于整体概念模型的特定层级。如本文所述，用户进展通过整体概念模型应当是通过每个同心圆的分层式进展，并且(可选地)应当被布置为引导用户通过技能映射图的每个区域。完形和专用诊断测试模块两者由本体的中心轴的节点针对每个年级水平和数学课程来引导。分支算法通过使得系统产生、或除此之外选择(从公式和概念云的在线系统的语料库)具有标题概念(其专注于用户技能集合中的疑似不足)的另一算法公式或公式集合，来响应于用户对于每个公式的成绩(考虑到二元数据，即正确或不正确)。如果对概念的精通是PSTT实例化的测试的关注点，则在线系统产生那些类型的公式。如果其期望更大复杂度，则在线系统添加更多变量和这些变量之间的更大相互作用(在动态复杂度的应用的部分中讨论的)。应用来源于在线系统的数据库中的模板，并且被动态地调整以符合由用户的抽象数据类型(ADT)确定的他/她的能力和教育需求。
为了对此提出技术基础，各个层次的熟练度被嵌入在针对每个CLI和MOCC开发的模板中，并且稍后可以被在系统的教学计划中由老师和父母和导师可得的动态复杂度滑块选择。
动态复杂度的教学应用
动态复杂度表示对用户教育进展和需求进行诊断、跟踪和分析的极好工具。本文所述的系统和方法还应用动态复杂度来管理用户在线工作的内容。本文所述的系统和方法提供了一种方法论以逐渐增大任何数学概念或概念云的复杂度，并且加深和拓宽用户的技术和社会科学的应用的知识。该组织化构造还对在线系统提供了持续监测用户的进展以及对用户所学习和实践的公式的复杂度进行精细调节的手段，使得他们对每个概念的获取是彻底的并且他们的进展得到了支持和引导。在概念云基础上发展的这些动态公式产生能力为每个用户提供了不计其数的各种公式，直到他或她已掌握了(一个或多个)关注概念并且进展到在深度上(更大复杂度)和广度上(应用)实现材料的命令。
矩阵可以是用于老师、导师、父母和用户(当用户能够管理他们自己的工作时)的图形用户界面。在矩阵的示例中，标注为“Px”的右列反应了用于每个概念行项目或概念云的假定识别码(用于先决条件概念的R1至Rx、用于与老师所需的资格的关注区域相关联的公式的P1至Px、以及依赖关系概念)，以及从最不复杂至最复杂的概念或概念云的顺序。Px列的左边的括号识别了从最简单的(当核心概念首先被引荐给用户时)到表示预期的资格水平(将由学校和/或PSTT设置的水平)的那些并且再到(一个或多个)关注概念的高级应用而排序的公式的群组。这些区域反映了整体概念模型的同心圆。当用户已掌握在预期资格水平处的概念时，他或她可以通过对动态产生的公式集合(其涉及更多变量、更丰富的变量相互作用、求解公式的更多步骤、和元变量的计算)进行实践和工作来增加他/她的知识深度和(一个或多个)概念的应用。用户还能够利用科学和技术(“科技”)数学应用模块的逐渐更复杂版本来增加他们应用概念的知识的宽度。
在组织化矩阵中标注为“Vx”的列识别了每个数学问题中的变量的数量(该数学问题是文字公式、方程、几何公式、还是涉及图形解释的公式)。“Sx”代表求解方程所需的步骤的数量。步骤的数量是概要度量，以指示每个变量在方程中使用了多少次以及用户是否可以自己从提供的信息导出关键变量(“元变量”)。可以采用针对每个公式和公式模板的详细变量用法和源变量发展度量。“科技”列将用于每个应用模块(在其适当技能水平版本中)的识别码与关联于每个概念行项目(或概念云)的公式和公式集合相匹配以及与用户以特定水平的公式复杂度工作的能力相匹配。
足够成熟以承担他们的自主学习责任的用户能够与创建数学问题的程序交互，以按他们自身的需要来配置系统。到那个时候，用户、他们的父母、老师和导师能够基于在线系统对用户的数学技能集合(即用户的技能映射图)的质量和本质进行的评定来代表用户配置在线系统。
动态复杂度组织化矩阵的应用
在一个示例中，用户PSTT能够确定大小和将括号滑动到Px列的左边以逐概念地向系统指示用户需要的特定水平的资格。作为响应，每个括号概述了整体概念模型的四个层级中的一个。当老师前往在线系统时，他或她能够打开用户的记录，通过图案注意到用户的熟练度的水平，并且通过红色括号注意到用户的资格处于老师的用于他或她的班级的设置计划处之处(在线系统的默认水平可以为100％)。
目的和优点
本系统和方法的目的是准许每个用户通过使用户暴露于颗粒性信息——意指数学的相关概念——来发展功能性的和灵活的数学技能集合，并且支持用户探索和实践那些概念。本文所述的自动化系统和方法适于通过识别、说明、展示、和支持用户对从公式的用户独特角度而言的缺失的概念(并且由于它们的不存在，对用户的理解、成就和进展设立了障碍)进行探索和实践，来解决该问题。这样的概念通常以细颗粒的见解和细微差异来表达。
从老师的角度看，本文所述的系统和方法的另一目的是在学生个体和在班级范围的基础上，识别学生和学习材料缺失的概念，并且将这些概念与被证明为对于具有相异的获知属性的学生而言很成功的教学方法进行配对。
本系统和方法的另一目的是实现PK-12(及以上)的数学教育空间中的关键需求。
本系统和方法的另一目的是为其老师不是厉害的数学家的学生摆平(level)教育领域。
本系统和方法的另一目的是绘制学生、老师、导师、父母、员工、求职者等的数学教育背景。
本系统和方法的另一目的是绘制教科书的内容，并且提供相当的见解和自动化推荐。
本系统和方法的另一目的是在群体特性的基础上开启用于进一步研究、探索和发展的机会。
本系统和方法的另一目的是识别这些群组中的群体括号的属性、性质和变量以及迁移的驱动因素。
本系统和方法的另一目的是强调成功的教学方法以及在它们背后的认知和发展逻辑。
本系统和方法的另一目的是跟踪群体对教学方法的响应。
本系统和方法的另一目的是详细说明从在一学年的开头建立的基线起在贯穿教学年度的期间学生数学技能的发展。
本系统和方法的另一目的是对一个国家的学生的数学发展提供国际透明，从而定义针对每个年级水平的世界一流标准和使得每个学生达到该标准的手段。
本系统和方法的优点是根据数学问题自动地提炼概念和根据许多数学概念动态地对数学问题的创建进行构建和测试的能力。
本系统和方法的另外的优点是使用分支算法来测试和绘制用户的技能。
示例的另外的目的、优点和新颖的特征将部分地在以下描述中阐明，并且部分地将对于察看了以下描述和附图的本领域技术人员变得显而易见，或者可以通过示例的产生或操作来获知。可以借助于在所附权利要求中特别指出的方法论、工具和组合来实现和得到构思的目的和优点。
附图说明
附图仅以示例而非限制的方式描绘了根据本构思的一个或多个实施方式。在附图中，相同附图标记指代相同或相似的元件。
图1是可以由本文所述的系统和方法采用的系统架构的示例的示意性表示。
图2A-图2F是表示采用了概念云提取模块和概念云重构模块的过程的流程图。
图3A-图3E是表示对先决条件和依赖关系的概念行项目关系进行显示的有向图的框图。
图4A-图4B是表示采用了分支算法的过程的流程图。
图5A-图5B是表示采用了概念云提取模块和概念云重构模块的替代过程的流程图。
图6是将CLI翻译为机器可读代码的方法的示例。
具体实施方式
本文公开的系统和方法通过以下示例的方式来描述。在一个示例中，一种用于根据数学问题自动地提炼概念和根据许多数学概念动态地构建和测试数学问题的创建的系统，其包括：一个或多个数据库，其存储了两个或更多概念行项目(CLI)以及在所述两个或更多CLI之间的两个或更多的所定义的相互关系的集合，其中每个CLI是数学概念的表达式，其中所定义的相互关系包括另一CLI的先决条件、另一CLI的依赖关系、和与另一CLI缺乏关系中的一个或多个；以及处理器，其与所述一个或多个数据库通信，所述处理器包括存储了计算机可执行指令的存储器，使得当所述指令由所述处理器执行时它们使得所述处理器执行以下步骤：向用户提供用户界面，用户通过用户界面与所述系统交互；接收以下中的一个或多个作为输入：数学问题；一个或多个数学概念；以及用户数据包(UDP)，其中UDP是对数学技能集合进行描述的属性、性质和变量的汇集；提取和编译一个或多个CLI的概念云，所述一个或多个CLI分别包括在所述输入中体现的数学概念，描述所述一个或多个数学概念的运算，或与UDP相关；从所述概念云CLI产生一个或多个数学问题建造块；对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎，以建造一个或多个附加数学问题；以及通过用户界面向用户返回根据对从所述输入提取的概念云进行定义的CLI而建造的所述一个或多个附加数学问题。
在一些实施例中，在提取和编译概念云的步骤中，处理器将所述输入解析为包括一个或多个组成部分的机器可读表达式，并且基于它们与所解析的组成部分的关系来选择一个或多个CLI，并且编译与所选的一个或多个CLI中的每一个有依赖关系的许多CLI。
在一些实施例中，所述处理器还编译来自所述概念云中的所述一个或多个CLI的许多标题概念。
在一些实施例中，所述一个或多个数据库将所述两个或更多CLI之间的两个或更多的所定义的相互关系的集合存储为有向图。
在一些实施例中，所述输入包括以下两者：(i)数学问题或所述一个或多个数学概念；以及(ii)UDP，进一步地，其中通过所述数学问题或所述一个或多个数学概念以及所述UDP来在主题中对根据定义了从所述输入提取的概念云的CLI而建造的所述一个或多个数学问题进行约束。
在一些实施例中，所述UDP具体地与用户相关。在其他实施例中，所述UDP与用户的群组相关。
在一些实施例中，从所述概念云CLI产生一个或多个数学问题建造块的步骤包括：合并来自预先存在的本体的一个或多个建造块。
在一些实施例中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：选择变量作为第一建造块。
在一些实施例中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：对所述变量的左侧、右侧、两侧或任一侧添加一个或多个运算符。
在一些实施例中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：添加表达式，所述表达式包括以下中的一个或多个：一个或多个数字；一个或多个变量；以及数字、变量和运算符的一个或多个复杂组合。
在一些实施例中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：求解所述一个或多个附加数学问题并且抛弃无效的那些数学问题。
在一些实施例中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：求解所述一个或多个附加数学问题并且抛弃需要未包括在所述UDP中的CLI的那些数学问题。
在一些实施例中，当所述指令由所述处理器执行时，它们使得所述处理器还执行以下步骤：通过所述用户界面接收数学问题题解；响应于接收到不正确题解，通过所述用户界面向所述用户返回根据如下CLI而建造的一个或多个附加数学问题：该CLI定义了所接收的不正确题解所对应的所述数学问题题解的概念云；接收对根据如下CLI而建造的所述一个或多个附加数学问题的题解：该CLI定义了所接收的不正确题解所对应的所述数学问题题解的概念云；以及，响应于任何后续不正确题解，通过所述用户界面向所述用户返回根据如下CLI而建造的一个或多个附加数学问题：该CLI定义了所接收的不正确题解所对应的所述后续数学问题的概念云。
在一些实施例中，当所述指令由所述处理器执行时，它们使得所述处理器还执行如下步骤：发送关于所述不正确题解的警示；动态地产生与所述不正确题解相关的定制的学习和实践程序；以及相对于所述不正确题解更新所述UDP。
系统架构的示例
图1是本文所述的系统和方法可以采用的系统架构100的示例。如图1所述，用户102通过各种用户界面104与系统交互。如图所示，用户102可以是老师、父母、学生、导师、学校管理者、应用管理者、作者、监护人、本体管理者、出版者等。将会理解，本文教导的系统和方法所提供的利益可应用于任何背景下的“学生”和“老师”，无论教育、商业、个人发展等领域中。同样重要的是，要注意整个本公开使用的示例基于数学的本体。然而，这仅仅是所述系统和方法可以被应用的本主题的一个示例。可以从本文所述的系统和方法的应用中获益的主题范围是没有限制的。
例如，系统架构100和在其操作中实施的方法可以被用于根据化学公式自动地提炼概念以及根据许多化学概念动态地构建和测试化学公式的创建，并且进一步使用分支算法来测试和绘制化学领域中的用户技能。在另一示例中，系统架构100和在其操作中实施的方法可以被用于根据普拉提练习自动地提炼概念以及从许多普拉提概念动态地构建和测试普拉提练习例程的创建，并且进一步使用分支算法来测试和绘制普拉提领域中的用户技能。例如，普拉提学生可以努力执行给定的练习以让教练满意。所述系统和方法可以被用来接收给定的普拉提练习作为输入，提炼在练习中体现的运动概念(例如，哪些肌肉被占用、运动的类型等)，动态地构建体现了来自所述练习的运动概念的附加练习，并且测试和绘制用户在一系列练习和运动概念上的技能。如图所示，本文教导的系统和方法可以应用于其中可以在先决条件和依赖关系或类似方向关系的有向图中建立和绘制技能的本体的任何领域。
图1所示的用户界面104是用户102与系统架构100交互并对其操作进行引导以实现本文所述的系统和方法的功能所通过的门户。在系统架构100的主要实施例中，每个用户界面104是通过诸如个人计算机、智能手机、平板计算机或其他移动装置之类的计算装置而提供的图形用户界面(GUI)。
在图1所示的示例中，有许多不同的用户界面104。例如，从该图的左上部分开启顺时针移动，有：一个或多个用户102(例如，应用管理者)与用户管理应用130交互所通过的用户界面104；一个或多个用户102(例如，老师、父母、学生、导师、学校)通过一个或多个服务应用108和一个或多个安全和多租户应用110与处理器106交互所通过的用户界面104；一个或多个用户102(例如，老师、父母、学生、导师、学校)通过一个或多个服务应用108以及一个或多个安全、多租户应用、远程命令入口系统和基于角色的访问控件110与处理器106交互所通过的一个或多个第三方用户界面；一个或多个用户102(例如，作者、监护人、老师、出版者)与内容编辑器126交互所通过的用户界面104；一个或多个用户(例如本体管理者)与管理工具120交互所通过的用户界面104；以及一个或多个用户(例如作者和监护人)与本体编辑器系统(OES)132交互所通过的用户界面104。尽管在图1中示出为多个不同的用户界面104，但可以理解，可以以更多或更少数量的个体用户界面104来实施各种用户界面104。
在所示示例中，系统架构100的中央“大脑”是处理器106。在图1所示的示例中，处理器106被描述为包括实施中央逻辑的查询产生器106a、高速缓冲存储器106b、和查询调度器106c。处理器106的操作和功能是本领域技术人员已知的，并且主要包括加载到处理器中用以执行本文所述的系统和方法的特征和功能的软件程序指令的执行。在主要示例中，在中央网络服务器或许多网络服务器中实施处理器106，并且高速缓冲存储器106b是处理器106在里面存储可执行应用指令并且处理器106从其中执行那些指令以执行本文所述的功能的存储器。
如图1还示出的那样，本体数据库112存储了与本体相关的数据。在本文提供的主要示例中，本体数据包括CLI、CLI之间的先决条件和依赖关系、以及所有相关元数据。处理器106通过查询管理器遍历引擎114与本体数据库112通信。本体数据库112通过OES 132和元数据引擎116(其传递与通过管理工具120接收到的信息相关的元数据)附加地增添数据。
类似地，图1所示的系统架构100包括内容数据库122，其存储了与本文所述的系统和方法相关的附加内容，包括模型的语料库、UDP、之前产生的数学问题、技能映射图、文本映射图、小部件映射图、和本文所述的其他文档。如图所示，处理器106通过内容管理器检索系统124与内容数据库122通信。内容数据库122通过内容编辑器126附加地增添数据。这样的内容可以由用户102(比如作者、监护人、老师和出版者)通过内容编辑器126得到。
图1所示的系统架构还包括学习者历史关系数据库管理系统132和数据访问层134，可以通过数据访问层134为用户界面104中的任意一个或多个提供对数据库的访问。
尽管图1被用作被组装来实现本文所述的系统和方法的目的和优点的系统架构100的主要示例，但将会理解，系统架构100可以采取各种替代形式。例如，尽管示出为单独的数据库，但如本领域技术人员将会理解的那样，可以在数量更多或更少的数据库中实施本体数据库112和内容数据库122。
如上所述，处理器106控制本文所述的系统架构100的各方面。处理器106可以可互换地被称为控制器106。处理器106可以在一个或多个控制器106中实施，所述一个或多个控制器106适于运行各种应用程序、访问和存储数据(包括访问和存储相关联数据库中的数据，相关联数据库可以在一个或多个数据库中实施)、以及启动与本文所述的系统和方法的其他组件的一个或多个交互。
通常，所述一个或多个控制器106在一个或多个可编程数据处理装置中实施。这种装置的硬件元件、操作系统和编程语言本质上是传统的。
例如，所述一个或多个控制器106可以是利用中央处理单元(CPU)、存储器和互连总线的中央控制处理系统的基于PC的实施方式。CPU可以包含单个微处理器，或者其可以包含用于将CPU配置为多处理器系统的多个微处理器。所述存储器包括主存储器(比如动态随机存取存储器(DRAM)和高速缓冲存储器)以及只读存储器(比如PROM、EPROM、FLASH-EPROM等)。所述系统还可以包括任何形式的易失性或非易失性存储器。在操作中，主存储器存储由所述一个或多个控制器106执行的指令的至少一部分以及根据所执行的指令而处理的数据。
所述一个或多个控制器106还可以包括用于与一个或多个处理系统通信的一个或多个输入/输出接口。如图所示，一个或多个这样的接口可以启动经由网络的通信，例如启动电子地发送和接收指令。通信链接可以是有线的或无线的。
所述一个或多个控制器106还可以包括用于与一个或多个输出显示器互连的适当的输入/输出端口以及用作所述控制器106的一个或多个用户界面的一个或多个输入机构。例如，所述一个或多个控制器106可以包括图形子系统以驱动数字显示面板。外围设备至该系统的链接可以是有线的连接或者使用无线通信。
尽管上文概括为PC类型的实施方式，但本领域技术人员认识到所述一个或多个控制器106还涵盖了诸如主机计算机、服务器、工作站、网络终端等系统。实际上，对术语控制器106的使用旨在表示本领域中公知的广泛类别的组件。
本文提供的系统和方法的各方面涵盖了用于控制相关功能的硬件和软件。软件可以采取代码或可执行指令的形式，其在被加载到控制器106上并且由控制器106执行时，使得控制器执行相关步骤，这里，代码或指令被由控制器106可读的介质携带或者除此以外实施在该介质中。用于实现这种操作的指令或代码可以具有以任何形式存储在任何有形可读介质中或由其携带的计算机指令的形式(例如，源代码、目标代码、解释代码等)。
如本文所使用的，诸如计算机或机器“可读介质”之类的术语是指参与将指令提供给处理器以用于执行的任何介质。这样的介质可以采取许多形式。非易失性存储介质包括例如光盘或磁盘，比如在附图中示出的(一个或多个)任何计算机中的任何存储装置。易失性存储介质包括动态存储器，比如这样的计算机平台的主存储器。因此，计算机可读介质的普遍形式包括例如：软盘、柔性盘、硬盘、磁带、任何其他磁性介质、CD-ROM、DVD、任何其他光学介质、穿孔卡、纸带、具有孔图案的任何其他物理介质、RAM、PROM和EPROM、FLASH-EPROM、任何其他存储器芯片或盒式磁带、或计算机可从其读取编程代码和/或数据的任何其他介质。这些形式的计算机可读介质中的很多可以参与将一个或多个指令的一个或多个序列运送给处理器以用于执行。
图1所示的系统结构100的操作启动了关于图2-图6的如下所述的功能性。
CCE/CCR模块过程的示例
图2示出了实施概念云提取模块和概念云重构模块的过程的示例(过程200)。在所示示例中，过程200以CCE模块开始，其体现在步骤202a-230中。在该示例中，CCR模块体现在步骤230-288中。
如图2所示，通过用户界面104接收对CCE模块的输入。输入可以具有如下形式：用户102经由步骤202a录入数学问题；用户102经由步骤202b利用年级水平、关键字、教科书或书本、节、或论题、和/或所谓的小部件录入数学概念；或者经由步骤202c的用户数据包(UDP)。如图所示，这些初始输入步骤中的每一个导致过程200的唯一分支部分，直到它们到达步骤230为止。
首先转向过程200的从步骤202a流动的部分，在步骤204中，可以录入用户的对公式的逐步的题解(分级的或未分级的)。一旦经由步骤202a录入数学问题，并且可选地经由步骤204录入题解，则输入经由步骤206a被翻译为LaTex或者经由步骤206b翻译为MathML。将会理解，可以使用任何适当的数学标记语言或适当的计算机可读格式。
在步骤208中，机器可读公式和题解进入数学解析器。在所示示例中，存在从数学解析器分支的两个路径；第一个路径是步骤210，其中CCE算法在本体数据库中搜索CLI和/或m元模型和/或n元模型(n-gram)标签。
替代的方法在步骤212中示出，其中数学表达式被转换为层次结构描述，例如按照波兰表示法或逆波兰表示法的表达式树。随后，在步骤214中，模块以层次结构描述的最高水平开始，并且从顶部移动到底部，检查所有CLI以确定它们的编码的指令、图案或模板是否与正被检查的层次结构描述匹配。如步骤216中所示，模块确定是否存在匹配，如果否，则循环回到步骤214。如果存在匹配，则模块前进到步骤220。
如图2所示，无论进展通过步骤212或步骤214，模块接收具有标签和分数的CLI的本体，如步骤218中所示。
对于步骤212或214中识别的每个匹配，(一个或多个)匹配的CLI被添加到在步骤220中正被编译的概念云。接下来，在步骤222中，所选CLI通过它们的相关属性、性质和变量而被整理以识别(一个或多个)标题概念。随后，在步骤224中，所选CLI通过它们的标题概念被排序。在步骤226中，模块将标题概念置于通过先行词和后置词排序的本体的有向图上，并且选择在标题概念与本体的基础之间的节点边线连接的(一个或多个)路径上的所有CLI。接下来，在步骤228中，模块按照先行词和后置词的顺序以交互式的表格和图形格式显示所提取的概念云，其中使相关区域和邻近区域被强调，包括本体的中心轴的任何相关片段。在过程200中的下一步骤是步骤230，其中CCR模块接收CCE模块的输出作为输入，如本文进一步描述的。
接下来转向过程200的从步骤202b流动的部分，在步骤202b中用户102利用年级水平、关键字、教科书或书本、节、或论题、和/或所谓的小部件录入数学概念，在步骤232中，用户102识别所录入的概念中哪些被期望成为标题概念。在步骤234中，模块确定是否有任何所录入概念实际上为标题概念。如果否，则用户102修改概念的列表，例如，经由步骤236选择或取消选择所提供的选项和/或输入新标题概念。在步骤238中，模块验证标题概念的列表是否完整或用户102是否需要帮助。如果完整，则模块循环回到步骤234。如果用户102需要帮助，则模块向用户102呈现重启过程200的选项，从相关联UDP抽取标题概念，或者令系统选择标题概念。如果用户102选择重启过程200，则模块循环回到步骤202a、202b或202c。如果用户102选择从UDP抽取标题概念，则模块移动到步骤256，本文将进一步讨论。如果用户102选择令系统选择标题概念，则模块移动到步骤242。在步骤242中，模块将用户利用年级水平、数学课程、数学论题、文本映射图、小部件映射图或聚集的技能映射图而录入的(一个或多个)概念的邻近概念置于本体数据库和有向图中。如图所示，在步骤244中，模块从图1所示的系统架构100接收技能映射图、文本映射图和小部件映射图的语料库以用于步骤242中。
在完成步骤242之后，在步骤246中，模块在本体数据库中搜索权重、分数、CLI和相关标签(包括m元模型和n元模型)以识别在所处的邻近区域中的一个或多个标题概念。模块随后前进到步骤252。
返回步骤234中的分析，如果在步骤232中识别的概念中的一个或多个为标题概念，则模块通过在本体数据库中搜索n元模型、属性、性质和任何变量来验证标题概念，以识别步骤248中的CLI。这样，模块接收具有标签和分数的CLI的本体，如步骤218中所示。如步骤250中所示，如果所有标题概念被验证，则在步骤252中，模块将标题概念置于有向图中，并且提取从标题概念下至本体的最基本元素的节点边线路径中连接的所有节点。随后，在步骤254中，模块按照先行词和后置词的顺序以交互式表格和图形格式来显示所提取的概念云，其中使相关区域和邻近区域被强调。在步骤254中，输出在基于标题概念的输出和由UDP驱动的输出之间区分。输出包括本体的中心轴的任何相关片段。
在过程200中的下一步骤为步骤230，其中CCR模块接收CCE模块的输出作为输入，如本文进一步描述的。
接下来转向过程200的从步骤202c流动的部分，在步骤202c中，UDP为通过用户界面104接收的输入，在步骤256中，用户102设置过程目标，例如来自一个或多个UDP片段的标题概念、概念云论题或课程(无相关技能)、(一个或多个)最近的成就、实践的领域、接下来的步骤、缺口或技能集合等。作为响应，在步骤258中，模块对描述(一个或多个)用户的当前状态的度量、在发展中的接下来的步骤、和用于发展的目标进行归集。随后，在步骤260中，CCE算法在本体数据库中搜索CLI、来自之前工作的所存储的公式和/或概念云，以放置和递送标题概念。这样，模块接收具有标签和分数的CLI的本体，如步骤218中所示。
随后，在步骤262中，基于(一个或多个)用户的UDP，模块推荐用于提高、扩展或延展用户的(一个或多个)数据技能集合的领域。接下来，在步骤264中，模块通过所选CLI的相关属性、性质和变量将所选CLI进行整理以识别(一个或多个)标题概念。在步骤266中，考虑到来自UDP的输入，模块通过标题概念对所选CLI排序。随后，在步骤268中，模块将标题概念置于通过先行词和后置词排序的本体的有向图上，并且选择在标题概念与本体的基础之间的节点边线连接的(一个或多个)路径上的所有CLI。在步骤270中，模块以交互式表格和图形格式来显示被定制为UDP的边界和目标的一个或多个提取的概念云，作为通过先行词和后置词排序的技能映射图(或概念云类别专有的技能映射图)的(一个或多个)子集，其中使相关区域和邻近区域被强调，包括本体的中心轴的任何相关片段。
过程200中的下一步骤为步骤230，其中CCR模块接收CCE模块的输出作为输入，如接下来描述的那样。
在步骤272中，CCR模块检查被附贴到概念云中的每个CLI上的指令，以(一个或多个)标题概念开始并且顺着概念云进展。在步骤274中，模块从基本CLI指令产生建造块。接下来，在步骤276中，模块检查(一个或多个)用户的技能集合的可应用的属性和性质，例如边界、极限和范围。在步骤278中，模块应用数学规则引擎以处理CLI指令、建造块、和UDP属性。模块随后在步骤280中基于CLI指令、产生的建造块、UDP属性和数学规则来建造原型公式。
在步骤282中，模块确定是否存在继续前进的足够公式。如果否，则模块返回步骤272。如果是，则模块前进至步骤284、步骤286，在步骤284中，模块考察和求解每个原型公式，在步骤286中，模块从集合中去除那些无效的原型公式，并且在步骤288中，CCR模块向用户102返回根据由CCE模块提取的概念云建造的有效公式的集合。如图所示，返回的集合可以包括原始公式。
CLI的有向图的示例
分析者根据为学前班撰写的单个公式的提取来提炼549个独特的概念行项目。图3A-图3F示出包括549个CLI的子集的有向图。
分析者根据针对初级代数的单个公式的单个题解的提取来提炼大约730个独特的概念行项目。在利用三角函数公式的实验中，典型的提取产生大约3,000个概念行项目。为了手动地将来自初级代数公式的CLI数据排列到有向图中，并且创建节点边线关联矩阵以存储那些数据关系，使得将被填充数据的单元的数量被平方。从初级代数公式提取的概念行项目的存储要求具有7302＝532,900个单元的节点边线关联矩阵。在学生达到代数1时，估计建议她的数学技能集合的支持可以要求50,000或更多概念行项目；50,0002＝2,500,000,000。即在填充了数据的节点边线关联矩阵中有2.5亿个单元，其存储了概念行项目对之间的关系的属性的某种数字描述。显然，系统架构100必须包括处理器106、庞大的数据库存储，并且其分析能力对于实现本公开的目的很重要。
分支算法的示例
图4A-图4B示出了分支算法过程400的示例。如图4A所示，过程400开始于步骤402，其中，系统监测用户相对于用户与系统架构100的交互的活动。在步骤404中，分支算法模块识别用户102正在线利用系统工作，尤其是关于求解被呈现给用户102的公式。在用户102利用系统工作时，向用户102呈现公式，并且用户102经由步骤406录入他/她针对该公式的题解中的每一步骤。用户可以录入正确响应或不正确响应(其馈送到步骤408中)，其中，分支算法模块将分支算法实例化。
一旦被启动，分支算法过程400的下一步骤410要求系统针对目标标题概念和它们的本原(如果可应用)扫描中心轴片段。不仅从步骤408，而且从其他两个步骤412和414向步骤410馈送信息。步骤412要求主要公式的CCE产生的概念云被传递到分支算法模块，而步骤414要求与该概念云相关的中心轴片段可以一起被传递。根据步骤410，分支算法过程400的下一步骤416是，CCR基于在UDP的最高级限制或本原的任一处的中心轴片段的每个节点产生(第一次传递)或更新(后续(一次或多次)传递)公式集合。
步骤416流动到图4B所示的步骤420。在步骤420中，分支算法模块向用户102呈现公式集合(在步骤416中产生)，用户102随后录入他/她的针对公式集合的题解的每一步骤。在用户102录入题解之后，分支算法模块在步骤422中确定是否已经满足预设的百分比阈值。如果没有满足，则分支算法过程400循环回到步骤408并且分支算法过程400重复，直到用户102满足了该阈值为止。当已经满足了该阈值时，CCR模块随后在步骤424中产生节点的排列组合中的公式以测试语境技能(简单到复杂、复杂到简单)。随后在步骤426中，将公式呈现为公式集合，用户102将他或她的题解中的每一步骤录入。随后在步骤428，分支算法过程400再次确定是否已经满足预设百分比阈值。如果该阈值尚未满足，则分支算法过程400循环回到步骤424并且重复，直到满足了该阈值为止。当该阈值被满足时，步骤430要求数据被写到用户的UDP以用于未来的工作和/或分析，并且在最终步骤432，适当地和/或由用户引导将警示发送给用户的支持网络(例如老师、教授、导师、同行)。
CCE/CCR模块过程的替代示例
图5A-图5B示出表示采用了概念云提取模块和概念云重构模块的替代过程500的流程图。如图5A所示，过程500开始于步骤502，其中从一个或多个用户102接收各种类型的输入。这样的输入还可以包括在步骤504中接收的(一个或多个)用户的(一个或多个)数据包，和/或在步骤505中接收的技能映射图、文本映射图和小部件映射图的语料库。根据这些输入，对过程500存在两个分支：这里讨论的步骤506和下文讨论的步骤524。
步骤506涉及用于基于用户输入构建概念云的人机过程。在步骤506中的构建概念云的步骤可以包括与CCE模块来回交易信息，CCE模块在步骤508中选择与该概念云匹配的本体的中心轴的片段。在步骤506中的构建概念云的步骤还可以包括从步骤524(下文讨论)接收数据。步骤508随后馈送到步骤510，其要求分支算法模块引导CCR模块构建必要的数学问题。步骤510和506均导向步骤512，其中CCR模块构建与人机导出的概念云和该概念云的子集完全相符的数学问题。
一旦构建了公式，过程500随后在步骤514要求系统对构建的每个原型公式求解，以检查可行性并且准备分级。步骤514导向步骤516，其中系统测试对于系统要求的度量切实可行的公式，以用于稍后的数据挖掘和分析。在该步骤之后，系统随后在步骤518中利用用于该概念云的相关联MSCIC将切实可行的公式保存到系统语料库，并且还在步骤520中保存从公式创建过程输出的所有数据以用于稍后的分析。系统随后在步骤522中向用户102递送公式或公式集合(具有或不具有伴随的多媒体学习材料)以用于工作或学习。
如上所述，步骤502还可以导向在图5B中示出的步骤524。在步骤524中，CCE模块提取完全符合用户输入的概念云。在步骤524提取的概念云可以被传递回到步骤506(上文讨论的)和/或继续传递到步骤526，其中该概念云被呈现为列表。该概念云随后在步骤528中被呈现为交互式有向图，其中在步骤530中，系统自动地分析该概念云并且将其存储在语料库中。该概念云随后在步骤532中被递送给用户。
图5A-图5B还被标记为对应于以下过程中概述的步骤。查看按照上文所述的过程500的图5A-图5B以及下文概述的过程流程可以提供对本文所述的系统和方法的更良好的理解。
步骤1.如果输入为：
a.用户输入，比如：
i.将被包括在数学问题中的概念或特征的清单(见下文的1.d.)；
ii.正被学习的教科书、单元、章、和节的指示；
iii.目标数学论题；以及/或者
iv.一个或若干关键字；
b.如来自用户的UDP的与他/她的发展有关的详细在线数据；
c.来自诊断测验的分级测试提问(是系统产生的还是从复印件测试手动录入的)；
d.人机构建的概念云(在计算机辅助下——例如从上文的1.a.i.——人类引导完成概念云)；或者
e.人类选择的数学问题；
则：
f.根据输入提炼概念云(除非在之前步骤中已经执行了)；以及
g.构建与来自用户输入的概念云和概念云的子集完全相符的数学问题；
h.对构建的每个公式进行求解，使得其准备用于二元分级(正确/不正确)；
i.针对系统所需的度量测试该公式以用于稍后的数据挖掘和分析；
j.利用用于概念云的相关联MSCIC将该公式保存到系统语料库；以及
k.将公式或公式集合递送给用户(在无(一个或多个)答案的情况下)。
步骤2.如果输入为：
a.来自已经应用了分支算法的诊断测验的分级测试提问；
b.人类选择的数学问题；或者
c.用户输入，比如：
i.人机编译的概念云；
ii.正被学习的教科书、单元、章、和节的指示；
iii.对象的数学描述；
iv.书本、教科书或其他书面文档的电子复件；
v.将被包括在数学问题中的概念或特征的清单；
vi.目标数学论题；以及/或者
vii.一个或若干关键字；或许具有
d.评定用户数据包(或“UDP”)(如果尚未执行)以确定(一个或多个)用户对于必要的公式或公式集合(其可以由概念云表示并且可以由CCR模块产生)的需要，从而针对用户的数学技能或期望的数学技能来定制输出(在UDP为所需事物的示例(例如模拟UDP)的情况下；在系统在用于输出的(一个或多个)预期用户的系统数据库中不具有用户数据包(UDP)的情况下，系统可以为用户提供模板以在系统产生所要求的输出之前填写)；
则：
e.提炼与用户输入完全相符的概念云；
f.将概念云呈现为列表；
g.将概念云呈现在根和分支(树)配置中；
h.自动分析它并将它存储在语料库中；以及
i.将概念云递送给用户。
步骤3.接收与用户所需的是何种类型的数学问题有关的输入，其由以下中任一项指示：
a.用户输入，比如：
i.将被包括在数学问题中的概念或特征的清单(见下文的1.d.)；
ii.正被学习的教科书、单元、章、和节的指示；
iii.小部件映射图、媒体映射图、或文本映射图；
iv.目标数学论题；或者
v.一个或若干关键字；
b.如来自用户的UDP的与他/她的发展有关的存储数据；
c.来自诊断测验的分级测试提问(是系统产生的还是从复印件测试手动录入的)；
d.人机构建的概念云(在计算机辅助下——例如从上文的3.a.i.——人类引导完成概念云)；
e.人类选择的数学问题；以及可选地，
f.仅与用户的发展有关的或者与来自前述的a.至e.的一个或多个项目相呼应的详细在线数据；
则来自：
g.本体的中心轴的计算机所选片段；
h.引导CCR模块构建必要的数学问题；
i.对构建的每个公式进行求解，使得其准备用于二元分级(正确/不正确)；
j.针对系统所需的度量测试该公式以用于稍后的数据挖掘和分析；
k.利用用于概念云的相关联MSCIC将该公式保存到系统语料库；以及
l.将公式或公式集合递送给用户(在无(一个或多个)答案的情况下)。
合并方法的示例
在包括本体的概念行项目与系统(CCE/CCR)操作之间的关键环节是语言的CLI到机器可读代码的转换以及对数学问题的构建规则进行定义的总体逻辑。由于计算机不能根据文本数据导出含义，因此，直到OES以及利用OES工作的数学分析者和数据工程师准备了对数学函数进行描述的CLI以使得CLI支持和启动本文所述的系统和方法所需的操作，数学本体才是可操作的。
在一个预期实施例中，本体的概念行项目被撰写为使得它们的数学函数和运算符被表达为动词，并且遵照函数和运算符动作的对象被表达为名词。该结构使得数据工程师和系统开发者能够平衡通用架构以解析CLI，以便指派词性标签，利用与每个CLI如何与系统算法交互有关的指令来构建CLI专有的UDP，并且搜索针对函数、运算符和对象的本体。
图6提供了包括整数、实数、虚数和无理数的加法的示例。一个示例展示了两个多项式的部分加法(最左边的单项式的加法)。这些示例示出了将概念行项目翻译为用于计算机代码的函数的方法。假设每个示例由CLI或概念云进行。
基于作为对象的名词和作为函数的动词的函数的基本形式：系统响应＝函数-调用(参量1，参量2，参量3，...参量n)。在该示例中，函数为动词，并且括号里的参量为名词。
在图6所示的示例中引用的基本形式利用类别继承来支持对象：数字的类型(整数、实数、虚数、无理数)、运算符类型(二元、一元、三元)、应用每一个的函数(例如递归PEMDAS)、以及方程定向(垂直或水平)。当一个函数在类别的运算中显著不同时(即，添加整数相对于添加多项式)，系统需要新函数(针对该类别配置的函数，例如用于整数的加法相对于用于多项式的加法)的实施。然而，可以预期的是，当要返回的表达式适当地类似于(例如，2+4，29+42，675+929)另一运算时，系统能够在许多运算中重复使用相同的函数。同样，依照这些示例，可以在各运算中使用所建立的对象类别。例如，相同的实数可以用于加法和实数乘法。存在在OES、以及嵌入和输出OES的系统和方法的发展中实现的规模的经济性。
图6所示的示例还建议了根据算法表达式提炼概念云的至少两种方式。第一种是在CLI指令(CLI指令为对CLI以及CLI如何与系统逻辑交互进行描述的性质、属性、变量和模板)中包括样本代数LaTex或MathML表达式。将算法表达式解析为对该表达式的独特概念云进行公式化的概念行项目的集合是搜索和匹配操作：一旦函数(动词)、运算、和参量(名词)以及课程数学表达式的模板的其他性质、变量和属性已经按照LaTex或MathML被表达，则CCE模块在其数据库中搜索与那些函数、运算符和参量等匹配的、以抽象形式涵盖于与每个CLI相关联的指令中的CLI指令。
第二种方式是退入这样的许多CLI并且随后搜索匹配的CLI：所述CLI通过读取对这样的数学表达式进行生成或将会进行生成(在随后被逆向设计的形式上的数学构造中)的函数(动词)、运算符、和参量(名词)来生成概念。最高级CLI或者具有最高派生度的CLI(例如，由概念构成的概念)，它们通常会是标题概念(或许具有最低权重分数，或者或许具有最高重要性分数)，随后将会指向适当的RCC(根概念云)以填写概念云的剩下部分。
如本文所示，与本体的CLI配对的指令是本体与将本体嵌入于它们的核心处并在其能力基础上起作用的系统之间的关键。在一些实施例中，为了有效地开发用于撰写CLI的指令，在数学家和数据工程师提取OES环境中的概念并撰写用于可操作的CLI的指令时，使用模板(利用临时定制以满足特定概念的需要)对于他们会是有利的。当这样的模板的设计使得它们能够被组装(即，链接到一起)以配置切实可行的数学问题时，它们会是最有效的。
还将理解的是，一些CLI不是可操作的。在系统的一些示例中，CLI可以包括可操作的(例如，半角公式)、描述性的(例如，存储器容量如何跟踪之前计数的对象和之前使用的手指来对对象计数)、或信息性的(例如，词语“身份(identity)”的拉丁词根为“同上(idem)”)那些CLI。另外，一些CLI可以被分类为“高兴知道的”，与“重要知道的”相反。一些高兴知道的概念可以是可操作的，一些重要知道的概念可以是描述性的。在本文所述的系统和方法中，根据CLI是否为可操作的以及它们是否为重要知道的来对CLI分类会是有利的。
应当注意，对本文所述的实施例的各种改变和修改对于本领域技术人员而言是显而易见的。可以在不脱离本发明精神和范围以及不减少其伴随的优点的情况下作出这种改变和修改。例如，可以基于来自本文提供的主题的特征和功能的各种组合来提供方法的各种实施例。

Claims (15)

1.一种用于根据数学问题自动地提炼概念和根据多个数学概念动态地构建和测试数学问题的创建的系统，包括：
一个或多个数据库，其存储两个或更多概念行项目(CLI)以及在所述两个或更多CLI之间的两个或更多的所定义的相互关系的集合，其中每个CLI是数学概念的表达式，其中所定义的相互关系包括另一CLI的先决条件、另一CLI的依赖关系、和与另一CLI缺乏关系中的一个或多个；以及
处理器，其与所述一个或多个数据库通信，所述处理器包括存储计算机可执行指令的存储器，使得当所述指令由所述处理器执行时，它们使得所述处理器执行以下步骤：
向用户提供用户界面，所述用户通过所述用户界面与所述系统交互；
接收以下中的一个或多个作为输入：数学问题；一个或多个数学概念；以及用户数据包(UDP)，其中UDP是对数学技能集合进行描述的属性、性质和变量的汇集；
提取和编译一个或多个CLI的概念云，所述一个或多个CLI分别包括在所述输入中体现的数学概念，对所述一个或多个数学概念的运算进行描述，或与所述UDP相关；
从所述概念云CLI产生一个或多个数学问题建造块；
对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎，以建造一个或多个附加数学问题；以及
通过所述用户界面向所述用户返回根据对从所述输入提取的概念云进行定义的所述CLI而建造的所述一个或多个附加数学问题。
2.根据权利要求1所述的系统，进一步地，其中，在提取和编译所述概念云的步骤中，所述处理器将所述输入解析为包括一个或多个组成部分的机器可读表达式，并且基于它们与所解析的组成部分的关系来选择一个或多个CLI，并且编译与所选的一个或多个CLI中的每一个有依赖关系的多个CLI。
3.根据权利要求2所述的系统，其中，所述处理器还编译来自所述概念云中的所述一个或多个CLI的多个标题概念。
4.根据权利要求1所述的系统，其中，所述一个或多个数据库将所述两个或更多CLI之间的两个或更多的所定义的相互关系的集合存储为有向图。
5.根据权利要求1所述的系统，其中，所述输入包括以下两者：(i)所述数学问题或所述一个或多个数学概念；以及(i i)所述UDP，进一步地，其中通过所述数学问题或所述一个或多个数学概念以及所述UDP在主题中对根据定义从所述输入提取的概念云的所述CLI而建造的所述一个或多个数学问题进行约束。
6.根据权利要求1所述的系统，其中所述UDP具体地与所述用户相关。
7.根据权利要求1所述的系统，其中所述UDP与用户的群组相关。
8.根据权利要求1所述的系统，其中，从所述概念云CLI产生一个或多个数学问题建造块的步骤包括：合并来自预先存在的本体论的一个或多个建造块。
9.根据权利要求1所述的系统，其中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：选择变量作为第一建造块。
10.根据权利要求9所述的系统，其中，对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：对所述变量的左侧、右侧、两侧或任一侧添加一个或多个运算符。
11.根据权利要求10所述的系统，其中对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：添加表达式，所述表达式包括以下中的一个或多个：一个或多个数字；一个或多个变量；以及数字、变量和运算符的一个或多个复杂组合。
12.根据权利要求1所述的系统，其中对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：求解所述一个或多个附加数学问题并且抛弃无效的那些附加数学问题。
13.根据权利要求1所述的系统，其中对所述一个或多个数学问题建造块应用数学规则引擎以建造一个或多个附加数学问题的步骤包括：求解所述一个或多个附加数学问题并且抛弃需要未包括在所述UDP中的CLI的那些附加数学问题。
14.根据权利要求1所述的系统，其中，当所述指令由所述处理器执行时，它们使得所述处理器还执行以下步骤：
通过所述用户界面接收数学问题题解；
响应于接收到不正确题解，通过所述用户界面向所述用户返回根据所述CLI而建造的一个或多个附加数学问题，所述CLI定义所接收的所述不正确题解所对应的所述数学问题题解的概念云；
接收对根据所述CLI而建造的所述一个或多个附加数学问题的题解，所述CLI定义所接收的所述不正确题解所对应的所述数学问题题解的概念云；以及
响应于任何后续不正确题解，通过所述用户界面向所述用户返回根据所述CLI而建造的一个或多个附加数学问题，所述CLI定义所接收的不正确题解所对应的所述后续数学问题的概念云。
15.根据权利要求14所述的系统，其中，当所述指令由所述处理器执行时，它们使得所述处理器还执行如下步骤：
发送关于所述不正确题解的警示；
动态地产生与所述不正确题解相关的定制的学习和实践程序；以及
相对于所述不正确题解更新所述UDP。
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