CN108229054A - 一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法，针对任意对称张拉整体结构，确定其所属对称群后，求出与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的对称子空间，根据这些不可约表示对应的力密度分块子矩阵的秩亏条件及零空间，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。主要步骤为：首先输入结构拓扑信息并判断结构所属对称群，求解与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的对称子空间，通过对称子空间求解力密度矩阵的分块子矩阵，分析力密度分块子矩阵的秩亏条件和零空间，求得杆件力密度之间的解析关系和对称坐标系下的节点坐标，最终求得笛卡尔坐标系下的节点坐标。

Description

一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法
技术领域
本发明属于空间结构、对称张拉整体结构的形态分析、设计与开发领域，涉及一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法。
背景技术
张拉整体结构是一种自平衡的结构，在设计张拉整体结构的过程中，最重要的是确定结构的几何形状和预应力状态，即找形分析。传统的张拉整体结构的找形方法有力密度法、动力松弛法和有限元法。
对于对称型张拉整体结构，充分利用固有对称性可显著简化其找形分析过程。群论作为一种系统分析对称性的重要数学工具，结合对称群的对称操作及不可约表示建立结构的对称坐标系，将笛卡尔坐标系下的稀疏、带状分布的相关矩阵(如刚度矩阵、平衡矩阵、力密度矩阵等)转换成对称坐标系下的分块、对角化矩阵，将显著提高张拉整体结构找形分析的计算效率。
发明内容
技术问题：本发明提供一种针对任意对称张拉整体结构，能准确、迅速地计算其杆件力密度和对应节点坐标的基于群论的对称张拉整体结构找形方法。
技术方案：针对以上问题，本发明针对任意对称张拉整体结构，确定其所属对称群后，求出与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的对称子空间，根据这些不可约表示对应的力密度分块子矩阵的秩亏条件及零空间，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。
本发明的基于群论的对称张拉整体结构找形方法，包括以下步骤：
步骤1基于待求解结构的拓扑信息形成拓扑矩阵C并明确结构所属对称群，根据对称性对结构杆件进行分组；
步骤2求得与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵
其中，μ表示与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示，i表示取不可约表示μ的第i行，结构的力密度矩阵D＝CT*diag(q)*C，CT表示拓扑矩阵C的转置，diag()表示矩阵的对角线元素为括号中的元素，其余元素为0，q为各杆件力密度列向量，V(μ)i为坐标转换矩阵，(V(μ)i)T表示V(μ)i的转置；
步骤3根据与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵和全对称不可约表示A1对应的分块子矩阵的总秩亏不小于d+1的约束条件，分析各力密度分块子矩阵，求出各组杆件力密度之间的解析关系，其中d为待求解结构的维度；
步骤4求得分别与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间，即为对称坐标系下节点在X/Y/Z方向的的坐标最后通过坐标转换矩阵V(μ)i求出笛卡尔坐标系下的节点坐标为：
进一步的，本发明方法中，步骤2中，坐标转换矩阵V(μ)i按照如下方式求得：首先将与X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的特征标和对应对称操作下节点转换的置换矩阵乘积，再将得到的所有乘积求和，得到三个投影算子矩阵，然后根据所述三个投影算子矩阵的列空间分别求出对应于X/Y/Z方向的三个转换矩阵V(μ)i。
进一步的，本发明方法中，步骤3中按照如下方式求出各组杆件力密度之间的解析关系：令与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵行列式等于0，联立三个力密度分块子矩阵对应的组成方程组，解该方程组，即得到各组杆件力密度之间的解析关系。
进一步的，本发明方法中，步骤4中，按照以下方式求出与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间：将符合所述步骤3求得的各组杆件力密度之间的解析关系，并且使拉索受拉为正值、压杆受压为负值的数值分别代入与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵，进行零空间求解，即得到零空间。
本发明在分析和研究现有将群论引入对称张拉整体结构找形分析的基础上，结合与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示，提出了一种新的基于群论的对称张拉整体结构找形方法，大大简化了对称张拉整体结构的找形分析。
有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：
本发明的优点在于充分利用了与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示求解力密度分块子矩阵，直接对维度较小的力密度分块子矩阵进行分析。现有方法将笛卡尔坐标系下的稀疏、带状分布的相关矩阵转换成对称坐标系下的分块、对角化矩阵时需要计算所有不可约表示对应的对称子空间，求出所有投影算子矩阵及其列空间组成整体转换矩阵，将力密度矩阵转换成分块、对角化矩阵时不能区分与X/Y/Z方向相关联或无关分块子矩阵，且进行力密度矩阵秩的分析时矩阵维度较大，计算量较大，因而计算效率较低。本发明所述方法首先明确与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示，求出相应的投影算子矩阵，继而求出与节点坐标相关联的对称子空间的基向量和对应的力密度分块子矩阵，分析分块子矩阵的秩亏条件及零空间，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。区别于传统的找形方法只能得出一组自应力和对应的结构构型，本发明方法通过求解方程组得出各组杆件力密度之间的解析关系，通过这些解析关系可以求解出一系列符合对称条件的张拉整体结构。尤其是对于杆件种类数较多的结构，一些杆件力密度相互独立，得出的杆件力密度解析关系之间存在多个变量，可以通过对多个变量赋予不同的数值得出多种构型的结构。本发明所述方法只需关注与刚体平动相关联的不可约表示，对于任何结构最多只需求出三个坐标转换矩阵和分块力密度矩阵，避免了高对称结构求所有不可约表示对应的坐标转换矩阵和整体力密度矩阵，大大减少了程序的计算量和复杂度，显著提高了张拉整体结构找形分析的计算效率。
附图说明
图1为基于群论的对称张拉整体结构找形方法流程示意
图2为一个D3对称张拉整体结构
图3为D3对称张拉整体结构对称操作示意
图2中，细实线均表示拉索构件，粗实线均表示压杆构件。第一水平拉索1连接第一节点A和第二节点B，第二水平拉索2连接第二节点B和第三节点C，第三水平拉索3连接第一节点A和第三节点C，第四水平拉索4连接第四节点D和第五节点E，第五水平拉索5连接第五节点E和第六节点F，第六水平拉索6连接第四节点D和第六节点F，第一竖向拉索7连接第一节点A和第四节点D，第二竖向拉索8连接第二节点B和第五节点E，第三竖向拉索9连接第三节点C和第六节点F，第一压杆10连接第一节点A和第五节点E，第二压杆11连接第二节点B和第六节点F，第三压杆12连接第三节点C和第四节点D。
图3中，细实线均表示拉索构件，粗实线均表示压杆构件，虚线表示二重旋转轴。第一二重旋转轴a经过结构几何中心点和第一竖向拉索中点，第二二重旋转轴b经过结构几何中心点和第二竖向拉索中点，第三二重旋转轴c经过结构几何中心点和第三竖向拉索中点。
具体实施方式
下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。
基于MATLAB编程平台，对图2结构采用本发明所述方法进行求解。结构有6个节点，12根杆件，属于D3对称结构，根据对称性，将杆件分为三组，水平拉索，竖向拉索和压杆，分别用Th、Tv、Td表示水平拉索，竖向拉索和压杆的力密度。
当引入对称群的相关概念后，计算基于的坐标系自动从笛卡尔坐标系转换为对称坐标系。图2所示结构有六个对称操作：恒等变换(E)，绕z轴旋转120°(C3)或者240°绕与z轴垂直的第一二重轴a、第二二重轴b、第三二重轴c旋转180°在对称操作C3(即绕z轴旋转120°)作用下，第一节点A转换到原先第二节点B的位置，第二节点B转换到原先第三节点C的位置，第三节点C转换到原先第一节点A的位置，对应的置换矩阵可写成：
同理，可写出结构在其他对称操作下的置换矩阵。
D3对称结构不可约表示有3个：A1、A2、E，其节点坐标x，y对应E表示的二维子空间可分解为z对应于对称子空间完整的力密度矩阵由四个小矩阵块对角形成，这里只需求解对称子空间和对应的三个转换矩阵
利用可约表示P和不可约表示A2给出投影算子矩阵O(A2)的列空间V(A2)：
则
同理可求出V(E)1、V(E)2。
利用子空间的向量基求出节点坐标z对应的力密度分块子矩阵
同理，可求出节点坐标x，y对应的力密度分块子矩阵：
结构维度为3，完整的力密度矩阵需满足秩亏至少为d+1＝4的要求，对称子空间A1对应的力密度分块子矩阵必满足秩亏为1，令上述三个力密度分块子矩阵行列式等于0，联立方程组：
得出各个单元力密度之间的解析关系：
Td＝-Tv
根据拉索受拉的原则即可指定单元力密度。
确定单元力密度后，在MATLAB平台中，对单元力密度赋予数值，将符号矩阵转换为数值矩阵求零空间，其中的零空间是对称坐标系下节点的Z方向坐标 的零空间是对称坐标系下节点的X方向坐标 的零空间是对称坐标系下节点的Y方向坐标最后通过坐标转换矩阵V(μ)i求出笛卡尔坐标系下的节点坐标：
因此，本发明方法求出与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的对称子空间，根据这些不可约表示对应的力密度分块子矩阵的秩亏条件及零空间，对维度较小的力密度分块子矩阵进行分析，直接求得结构的可行力密度及节点坐标。
上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
步骤1基于待求解结构的拓扑信息形成拓扑矩阵C并明确结构所属对称群，根据对称性对结构杆件进行分组；
步骤2求得与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵
其中，μ表示与结构X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示，i表示取不可约表示μ的第i行，结构的力密度矩阵D＝CT*diag(q)*C，CT表示拓扑矩阵C的转置，diag()表示矩阵的对角线元素为括号中的元素，其余元素为0，q为各杆件力密度列向量，V(μ)i为坐标转换矩阵，(V(μ)i)T表示V(μ)i的转置；
步骤3根据与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵和全对称不可约表示A1对应的分块子矩阵的总秩亏不小于d+1的约束条件，分析各力密度分块子矩阵，求出各组杆件力密度之间的解析关系，其中d为待求解结构的维度；
步骤4求得分别与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间，即为对称坐标系下节点在X/Y/Z方向的的坐标最后通过坐标转换矩阵V(μ)i求出笛卡尔坐标系下的节点坐标为：
2.根据权利要求1所述的一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法，其特征在于，所述步骤2中，坐标转换矩阵V(μ)i按照如下方式求得：首先将与X/Y/Z方向刚体平动相关联的不可约表示的特征标和对应对称操作下节点转换的置换矩阵乘积，再将得到的所有乘积求和，得到三个投影算子矩阵，然后根据所述三个投影算子矩阵的列空间分别求出对应于X/Y/Z方向的三个转换矩阵V(μ)i。
3.根据权利要求1所述的一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法，其特征在于，所述步骤3中按照如下方式求出各组杆件力密度之间的解析关系：令与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵行列式等于0，联立三个力密度分块子矩阵对应的组成方程组，解该方程组，即得到各组杆件力密度之间的解析关系。
4.根据权利要求1、2或3所述的一种基于群论的对称张拉整体结构找形方法，其特征在于，所述步骤4中，按照以下方式求出与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵的零空间：将符合所述步骤3求得的各组杆件力密度之间的解析关系，并且使拉索受拉为正值、压杆受压为负值的数值分别代入与X/Y/Z方向坐标对应的三个力密度分块子矩阵，进行零空间求解，即得到零空间。
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