CN108197072A - 一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法 - Google Patents

一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，采用非结构网格对计算区域进行剖分，控制方程采用Euler方程，建立以基函数、测试函数、Gauss积分点为代表的DG高精度框架。同时在方程中以单元交界面上守恒变量的阶跃为基础构造新的人工粘性项，方程的对流项采用HLL格式离散求解，在有效捕捉激波的情况下，保证鲁棒性和计算精度；相比于以往的方法，本方法只需要一个经验参数，实际计算得到简化，采用守恒变量的阶跃量进行计算，相比以往的方法，在光滑区能保证相容性，激波捕捉的位置相比以往的方法更准确。

Description

一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性 激波捕捉方法
技术领域
本文涉及计算流体力学技术流域，具体涉及一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法。
背景技术
由于高精度计算方法在数值耗散和色散方面的优良特性，比较适合解决湍流、气动噪声等多尺度流动问题，因此，高精度计算方法受到越来越多CFD学者的高度重视并得到了蓬勃的发展。在数量众多的高精度计算方法中，由于高阶间断Galerkin有限元(DG)方法具有较强的网格适应性、直观方便的高阶拓展性以及较好的并行算法可操作性等特点，因此高阶DG方法成为众多高精度计算方法中最受关注的方法之一。根据Godunov原理，高精度DG方法在激波间断附近会产生Gibbs现象，引起非物理解的产生，导致计算中断。目前，激波捕捉已经成为阻碍DG方法发展的瓶颈之一。
人工粘性激波捕捉方法作为一种非常有潜力的激波捕捉方法得到了非常大的关注，常用的人工粘性方法主要有Laplacian人工粘性(LAV，Laplacian ArtificialViscosity)。它的核心思想是在方程中添加一个经验性较强的Laplican人工粘性项。以往的人工粘性方法需要较多经验参数，而且经验参数的选取会随着计算问题的变化而变化，这就在人为上提高了计算的难度。同时，以往的人工粘性激波捕捉方法在人工粘性的计算中只用到了无粘通量的散度当求解定常的Euler方程时，光滑区满足无粘通量的散度为零，人工粘性项的添加能保证与光滑区域的控制方程相容。但是在求解带粘性的方程时，光滑区不满足无粘通量的散度为零，人工粘性项的添加无法保证与原方程在光滑区域的相容性。相容性是求解准确的基础，在相容性无法保证的情况下，计算结果无法保证可靠性，激波捕捉的效果会出现偏差。
发明内容
本发明的目的是提出了一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，用于解决DG方法中的激波捕捉问题，该方法只需要一个经验参数，实际计算得到简化。同时，激波捕捉主要采用阶跃量进行计算，在光滑区能保证相容性，激波捕捉的位置相比以往的方法更准确。
为了实现上述目的，采用如下技术方案：
一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，包括以下步骤：
步骤一：采用Euler方程作为控制方程，建立以基函数、测试函数、Gauss积分点为代表的DG高精度框架；
步骤二：以单元交界面上加权守恒变量的阶跃为基础构造新的人工粘性项；
步骤三：采用归一化的方式将交界面处的人工粘性分配到相邻的单元内，并带入到控制方程中；
步骤四：通过迭代计算求解控制方程，得到仿真的气动结果和流场。
本发明采用非结构网格对计算区域进行剖分，控制方程采用Euler方程，建立以基函数、测试函数、Gauss积分点为代表的DG高精度框架。同时在方程中以单元交界面上守恒变量的阶跃为基础构造新的人工粘性项，方程的对流项采用HLL格式离散求解。在有效捕捉激波的情况下，保证鲁棒性和计算精度。
与现有的手段比较，本发明的特点在于：
1、相比于以往的方法，本方法只需要一个经验参数，实际计算得到简化。
2、采用守恒变量的阶跃量进行计算，相比以往的方法，在光滑区能保证相容性，激波捕捉的位置相比以往的方法更准确。
附图说明
本文将通过例子并参照附图的方式说明，其中：
图1为本发明方法的流程图；
图2为本方法计算RAE2822得到的压力曲线与其他方法的对比。
具体实施方式
本说明书中公开的所有特征，或公开的所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以以任何方式组合。
本发明的一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，如图1所示，主要包括四个部分。
第一部分：采用Euler方程作为控制方程，建立以基函数、测试函数、Gauss积分点为代表的DG高精度框架。包括以下步骤：
步骤101、采用非结构网格对计算区域进行网格剖分，对于二维计算域，剖分的网格类型包括三角形和四边形，对于三维计算域，网格类型包含四面体、六面体、三棱柱和金字塔外形。
步骤102、构建微分形式下的Euler方程
其中U代表流场中的守恒量，U是一个矢量，U＝(ρ,ρu,ρv,ρw,ρE)T，代表守恒量相对于时间t的偏导数，Fc代表守恒通量，代表守恒通量的散度。
步骤103、选择Taylor基作为基函数和测试函数，流场中的守恒量采用基函数的线性组合表示并计算得到不同网格单元内的Gauss积分点。
步骤104、将守恒量的线性组合带入(1)，并对方程进行积分然后乘以基函数φi，利用格林高斯公式，得到DG框架下的求解方程。
其中，M＝∫Ωφiφj代表质量矩阵,u代表守恒变量用基函数线性组合时采用的系数又称为自由度,为单元边界面，为单元边界面的外法线方向，代表基函数的梯度，代表自由度对时间的导数。
第二部分：以单元交界面上加权守恒变量的阶跃为基础构造新的人工粘性项，包括以下步骤：
步骤201、选择拉普拉斯人工粘性模型，带入公式(1)并重复步骤103和104得到如下形式
其中，ε为人工粘性系数，决定单元内人工粘性的数值，代表自由度的梯度。
步骤202、对单元交界面处的守恒变量的阶跃进行线性组合，并分别对5个守恒变量的权重进行定义。
其中，α1＝α5＝0.1，α2＝α3＝α4＝1，代表交界面守恒变量的阶跃，代表交界面守恒变量的平均。由此得到交界面处的加权守恒变量阶跃Ujump。
步骤203、利用加权守恒变量阶跃Ujump，构造界面处的人工粘性系数εjump。
εjump＝CεUjump|V| (5)
其中，V代表单元内的速度。Cε为经验参数，取0.2。
第三部分：采用归一化的方式将交界面处的人工粘性分配到相邻的单元内，并带入到控制方程中。具体步骤如下
步骤301、步骤203中得到的人工粘性系数在单元面上进行积分，然后除以单元的面积S，然后与单元的特征尺度结合，构造出单元内的人工粘性系数ε。具体公式如下
步骤302、将步骤301中得到的单元内的人工粘性系数ε带入到方程(3)中。
第四部分：通过迭代计算求解控制方程，得到仿真的气动结果和流场。
如图2所示，为本方法计算RAE2822跨声速问题，从得到的压力曲线与其他方法的对比可以看出，在光滑区域，压力变化平缓的区域，本方法得到的压力分布曲线与其他方法以及真实曲线都非常接近，但是在激波位置即压力变化剧烈，曲线拐折严重的位置，新方法得到的压力分布曲线更接近真实曲线，结果比其他方法更准确。
本发明并不局限于前述的具体实施方式。本发明扩展到任何在本说明书中披露的新特征或任何新的组合，以及披露的任一新的方法或过程的步骤或任何新的组合。

Claims (5)

1.一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一：采用Euler方程作为控制方程，建立以基函数、测试函数、Gauss积分点为代表的DG高精度框架；
步骤二：以单元交界面上加权守恒变量的阶跃为基础构造新的人工粘性项；
步骤三：采用归一化的方式将交界面处的人工粘性分配到相邻的单元内，并带入到控制方程中；
步骤四：通过迭代计算求解控制方程，得到仿真的气动结果和流场。
2.根据权利要求1所示的一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，其特征在于所述高精度框架的建立包括以下步骤：
步骤一：采用非结构网格对计算区域进行网格剖分；
步骤二：构建微分形式下的Euler方程；
步骤三：选择Taylor基作为基函数和测试函数，流场中的守恒量采用基函数的线性组合表示，并计算得到不同网格单元内的Gauss积分点；
步骤四：将守恒量的线性组合带入微分形式下的Euler方程，并对方程进行积分然后乘以基函数，利用格林高斯公式，得到DG框架下的求解方程。
3.根据权利要求2所述的一种基于流场通量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，其特征在于所述步骤一中，对于二维计算域，剖分的网格类型包括三角形和四边形，对于三维计算域，剖分的网格类型包含四面体、六面体、三棱柱和金字塔外形。
4.根据权利要求2所示的一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，其特征在于构造新的人工粘性项包括以下步骤：
步骤一：选择拉普拉斯人工粘性模型，带入微分形式下Euler方程并重复高精度框架建立的步骤三和步骤四得到包含人工粘性项的DG求解方程
其中，ε为人工粘性系数，决定单元内人工粘性的数值,代表自由度的梯度,M＝∫Ωφiφj代表质量矩阵,u代表守恒变量用基函数线性组合时采用的系数,为单元边界面，为单元边界面的外法线方向，代表基函数的梯度，代表自由度对时间的导数；
步骤二：对单元交界面处的守恒变量的阶跃进行线性组合，并分别对五个守恒变量的权重进行定义：
其中，α1＝α5＝0.1，α2＝α3＝α4＝1，[Ui]代表交界面守恒变量的阶跃，代表交界面守恒变量的平均，由此得到交界面处的加权守恒变量阶跃；
步骤三：利用加权守恒变量阶跃，构造界面处的人工粘性系数。
5.根据权利要求4所示的一种基于加权守恒变量阶跃的高精度间断Galerkin人工粘性激波捕捉方法，其特征在于采用的归一化方式包括以下步骤：
将所述步骤三中得到的人工粘性系数在单元面上进行积分，然后除以单元的面积，然后与单元的特征尺度结合，构造出单元内的人工粘性系数；
将得到的单元内的人工粘性系数带入到DG求解方程中。
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