CN113742967A - 一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法 - Google Patents

一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法 Download PDF

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CN113742967A CN202110991577.3A CN202110991577A CN113742967A CN 113742967 A CN113742967 A CN 113742967A CN 202110991577 A CN202110991577 A CN 202110991577A CN 113742967 A CN113742967 A CN 113742967A
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Abstract

本发明公开了一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，包括S1：读取流场数据，对流体力学控制方程两边乘以测试函数，使用分部积分得到离散弱形式方程；S2：得到间断有限元半离散形式的控制方程，将与时间无关的积分项之和记为残差项；S3：对存在间断或者强激波的仿真场景，向离散半线性形式方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项；S4：将加入人工粘性项的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。通过本发明的技术方案，能够适用于隐式和显式时间离散，能让高阶数值格式更稳定，提高了间断有限元的收敛性和鲁棒性，并且有更容易获取人工粘性的优点。

Description

一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法
技术领域
本发明属于计算流体力学、工业仿真领域的数值处理方法技术领域，尤其涉及一种涉及跨音速、超音速及复杂外形下对激波和数值间断的处理方法。
背景技术
近二十年来，以加权本质非振荡(WENO)、间断有限元(DG)为代表的高精度流场算法获得了极大的关注。其中基于变分原理推导的间断有限元方法具有能处理复杂边界和悬点、紧致、天然适合并行、容易做hp自适应等优点，是高精度算法中的热门，并被成功应用到多个领域。
间断有限元法求解亚音速或者粗网格上求解含有弱激波的问题时，可以不用采取任何稳定手段而直接计算。然而，当求解含有强激波的问题或者网格太密时，就需要借助必要的手段来抑制数值振荡。
抑制数值振荡有两种最常见的方法：使用限制器，或者添加人工粘性。F.Bassy等人论文指出，在隐式方法中限制器会影响迭代法的收敛。由于限制解不满足稳态的方程，因此它几乎不可能使残差降到机器精度。实际上间断有限元空间离散随着时间推进，迭代过程会收敛到非限制的解，而非限制的解有数值振荡，正需要限制器起作用。因此对于稳态方程，添加人工粘性来处理和处理激波，是稳定数值格式的一种有效手段。
对于跨音速、超音速或复杂外形时产生激波或数值间断的问题，目前主要使用限制器或添加人工粘性来抑制数值间断。然而传统的限制器技术无法让稳态解收敛到机器误差，且主要应用于显式时间离散，很难在隐式时间离散时取得好的限制效果。现有的基于残差的Hartmann型人工粘性，当网格过密、或超声速等条件下很难找到合适的人工粘性系数，并且不够鲁棒。
发明内容
为了解决上述已有技术存在的不足，本发明提出一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，能够适用于隐式和显式时间离散，让高阶数值格式更稳定，提高了间断有限元的收敛性和鲁棒性，并且有更容易获取人工粘性的优点。本发明的具体技术方案如下：
一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，包括以下步骤：
S1：读取流场数据，对流体力学控制方程两边乘以有限元解空间的任意一个测试函数，通过分部积分得到积分弱形式方程；
S2：用有限元解空间的基函数替换测试函数，用基函数的线性组合替换解析解，用数值通量替换法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程，将与时间无关的积分项之和记为残差项；
S3：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项；
S4：将加入人工粘性项的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
进一步地，所述基于强残差的人工粘性项为：
Figure BDA0003232528880000021
其中，
Figure BDA0003232528880000022
Ce和β都是大于零的常数，he是网格单元尺度，R(Uh)是控制方程的残差项，Uh为守恒量的数值解向量，
Figure BDA0003232528880000023
为Uh的梯度，φh为有限元解空间的基底函数，
Figure BDA0003232528880000024
为φh的梯度，Ωe为网格单元。
进一步地，所述流体力学控制方程为Euler方程或Navier-Stokes方程。
进一步地，所述流体力学控制方程为Euler方程，方法的具体步骤为：
A1：Euler方程的微分守恒形式为：
Figure BDA0003232528880000025
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，U为守恒量向量，t为时间，
Figure BDA0003232528880000026
为梯度算子，F(U)为扩散项向量函数，x为空间坐标向量，B为边界算子，Ω为计算区域，Γ为计算区域Ω的边界；
A2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，在Euler方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
A3：用有限元解空间的基底函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure BDA0003232528880000027
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure BDA0003232528880000031
其中，
Figure BDA0003232528880000032
为网格边界的右状态，
Figure BDA0003232528880000033
为网格边界的左状态，ne为法向向量，Γe为网格单元边界；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure BDA0003232528880000034
A4：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项
Figure BDA0003232528880000035
其中，
Figure BDA0003232528880000036
A5：将加入人工粘性项的的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
进一步地，所述流体力学控制方程为Navier-Stokes方程，方法的具体步骤为：
B1：Navier-Stokes方程的微分守恒形式为：
Figure BDA0003232528880000037
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，
Figure BDA0003232528880000038
为粘性项向量函数；
B2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，在Navier-Stokes方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
B3：用有限元解空间的基函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure BDA0003232528880000039
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure BDA00032325288800000312
其中，
Figure BDA00032325288800000310
为网格边界的右状态，
Figure BDA00032325288800000311
为网格边界的左状态，ne为法向向量；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure BDA0003232528880000041
B4：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项
Figure BDA0003232528880000042
其中，
Figure BDA0003232528880000043
B5：将加入人工粘性项的的残差项代入控制方程，通过迭代计算，得到仿真的气动结果和流场。
进一步地，所述Euler或Navier-Stokes方程能够用在一维、二维、三维时情形。
进一步地，所述步骤S4中的气动结果包括密度、压力、速度、马赫数、温度、总能、压力系数和本地音速。
本发明的有益效果在于：
1.本发明提出的处理方法让数值格式更稳定，提高了间断有限元的收敛性和鲁棒性；
2.本发明提出的处理方法更容易获取人工粘性参数。人工粘性一贯以参数难调著称，参数太大和太小可能会让程序崩溃。本专利提出的基于强残差的人工粘性避免了这个缺点，人工粘性系数取大值时基本上都能得到收敛解。
3.本发明提出的基于强残差的间断有限元人工粘性方法在三维复杂外形或者高阶格式时优势更为明显。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，通过参考附图会更加清楚的理解本发明的特征和优点，附图是示意性的而不应理解为对本发明进行任何限制，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。其中：
图1是本发明的流程图；
图2是本发明实施例1的二维圆柱计算网格；
图3是本发明实施例1收敛后的马赫数等值线图，其中，(a)为DG(P1)的结果，(b)为DG(P2)的结果。
具体实施方式
为了能够更清楚地理解本发明的上述目的、特征和优点，下面结合附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。需要说明的是，在不冲突的情况下，本发明的实施例及实施例中的特征可以相互组合。
在下面的描述中阐述了很多具体细节以便于充分理解本发明，但是，本发明还可以采用其他不同于在此描述的其他方式来实施，因此，本发明的保护范围并不受下面公开的具体实施例的限制。
一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，包括以下步骤：
S1：读取流场数据，对流体力学控制方程两边乘以有限元解空间的任意一个测试函数，通过分部积分得到积分弱形式方程；
S2：用有限元解空间的基函数替换测试函数，用基函数的线性组合替换解析解，用数值通量替换法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程，将与时间无关的积分项之和记为残差项；
S3：对存在间断或者强激波的仿真场景，例如飞行器或物品在跨音速或超音速流场中，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项；
S4：将加入人工粘性项的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
在一些实施方式中，基于强残差的人工粘性项为：
Figure BDA0003232528880000051
其中，
Figure BDA0003232528880000052
Ce和β都是大于零的常数，he是网格单元尺度，R(Uh)是控制方程的残差项，Uh为守恒量的数值解向量，
Figure BDA0003232528880000053
为Uh的梯度，φh为有限元解空间的基底函数，
Figure BDA0003232528880000054
为φh的梯度，Ωe为网格单元。
在一些实施方式中，流体力学控制方程为Euler方程或Navier-Stokes方程。
在一些实施方式中，流体力学控制方程为Euler方程，方法的具体步骤为：
A1：Euler方程的微分守恒形式为：
Figure BDA0003232528880000061
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，U为守恒量向量，t为时间，
Figure BDA0003232528880000062
为梯度算子，F(U)为扩散项向量函数，x为空间坐标向量，B为边界算子，Ω为计算区域，Γ为计算区域Ω的边界；
A2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，在Euler方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
A3：用有限元解空间的基底函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure BDA0003232528880000063
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure BDA0003232528880000064
其中，
Figure BDA0003232528880000065
为网格边界的右状态，
Figure BDA0003232528880000066
为网格边界的左状态，ne为法向向量，Γe为网格单元边界；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure BDA0003232528880000067
A4：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项
Figure BDA0003232528880000068
其中，
Figure BDA0003232528880000069
A5：将加入人工粘性项的的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
在一些实施方式中，流体力学控制方程为Navier-Stokes方程，方法的具体步骤为：
B1：Navier-Stokes方程的微分守恒形式为：
Figure BDA00032325288800000610
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，
Figure BDA00032325288800000611
为粘性项向量函数；
B2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，在Navier-Stokes方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
B3：用有限元解空间的基函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure BDA0003232528880000071
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure BDA0003232528880000072
其中，
Figure BDA0003232528880000073
为网格边界的右状态，
Figure BDA0003232528880000074
为网格边界的左状态，ne为法向向量；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure BDA0003232528880000075
B4：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项
Figure BDA0003232528880000076
其中，
Figure BDA0003232528880000077
B5：将加入人工粘性项的的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
在一些实施方式中，Euler或Navier-Stokes方程能够用在一维、二维、三维的情形。
在一些实施方式中，所述步骤S4中的气动结果包括密度、压力、速度、马赫数、温度、总能、压力系数和本地音速，在此不做限定。
为了方便理解本发明的上述技术方案，以下通过具体实施例对本发明的上述技术方案进行详细说明。
实施例1
二维圆柱超音速粘性扰流达到稳态时，圆柱前方有强激波，是计算流体力学中需要处理激波、处理间断的经典算例。本实施例的远场来流马赫数M a＝3.0，雷诺数Re＝500，攻角α＝0°，采用的网格见图2，计算区域内共有4258个四面体网格；
本实施例采用的流体力学控制方程为Navier-Stokes方程，本发明方法的具体步骤为：
S1：Navier-Stokes方程的微分守恒形式为：
Figure BDA0003232528880000081
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，
Figure BDA0003232528880000082
为粘性项向量函数；
S2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，分别为一次或二次多项式空间，用P1或P2表示，在Navier-Stokes方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
S3：用有限元解空间的基函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure BDA0003232528880000083
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure BDA0003232528880000084
其中，
Figure BDA0003232528880000085
为网格边界的右状态，
Figure BDA0003232528880000086
为网格边界的左状态，ne为法向向量；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure BDA0003232528880000087
在本实施例中，粘性通量使用直接间断有限元方法(DDG)处理。
S4：由于圆柱在超音速流场中，会存在激波和强间断，因此向残差项添加基于强残差的人工粘性项：
Figure BDA0003232528880000088
其中，
Figure BDA0003232528880000089
Ce和β都是大于零的常数，he是网格单元尺度，
Figure BDA00032325288800000810
对解空间是P1的情形，人工粘性系数Ce和β的取值分别为0.003、0.01；解空间是P2的情形，人工粘性系数Ce和β的取值分别为0.005、0.01。
S5：将加入人工粘性的离散方程在时间方向上使用一阶向后欧拉隐式方法离散，直到两个时间步的二范数残差小于10的-8次方。
收敛后的马赫数等值线图见图3，其中，(a)为DG(P1)的结果，(b)为DG(P2)的结果：
从图3可以看出，圆柱前面形成的强激波被很好的处理并被处理。
对于本实施例的DG(P2)情形，常规的Hartmann类型人工粘性很难(无法)找到合适人工粘性参数；即使是二阶精度的DG(P1)情形，也需要很小心的选取人工粘性参数才能保证计算过程中不崩溃，而使用本发明的基于强残差的人工粘性处理方法，很容易就能找到合适的参数让数值结果收敛。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：读取流场数据，对流体力学控制方程两边乘以有限元解空间的任意一个测试函数，通过分部积分得到积分弱形式方程；
S2：用有限元解空间的基函数替换测试函数，用基函数的线性组合替换解析解，用数值通量替换法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程，将与时间无关的积分项之和记为残差项；
S3：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项；
S4：将加入人工粘性项的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
2.根据权利要求1所述的一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，所述基于强残差的人工粘性项为：
Figure FDA0003232528870000011
其中，
Figure FDA0003232528870000012
Ce和β都是大于零的常数，he是网格单元尺度，R(Uh)是控制方程的残差项，Uh为守恒量的数值解向量，
Figure FDA0003232528870000013
为Uh的梯度，φh为有限元解空间的基底函数，
Figure FDA0003232528870000014
为φh的梯度，Ωe为网格单元。
3.根据权利要求1或2所述的一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，所述流体力学控制方程为Euler方程或Navier-Stokes方程。
4.根据权利要求1或2所述的一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，所述流体力学控制方程为Euler方程，方法的具体步骤为：
A1：Euler方程的微分守恒形式为：
Figure FDA0003232528870000015
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，U为守恒量向量，t为时间，
Figure FDA0003232528870000016
为梯度算子，F(U)为扩散项向量函数，x为空间坐标向量，B为边界算子，Ω为计算区域，Γ为计算区域Ω的边界；
A2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，在Euler方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
A3：用有限元解空间的基底函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure FDA0003232528870000021
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure FDA0003232528870000022
其中，
Figure FDA0003232528870000023
为网格边界的右状态，
Figure FDA0003232528870000024
为网格边界的左状态，ne为法向向量，Γe为网格单元边界；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure FDA0003232528870000025
A4：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项
Figure FDA0003232528870000026
其中，
Figure FDA0003232528870000027
Figure FDA0003232528870000028
A5：将加入人工粘性项的的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
5.根据权利要求1或2所述的一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，所述流体力学控制方程为Navier-Stokes方程，方法的具体步骤为：
B1：Navier-Stokes方程的微分守恒形式为：
Figure FDA0003232528870000029
U|t＝0＝U0(x) inΩ
BU＝0 inΓ×[0,∞)
其中，
Figure FDA00032325288700000210
为粘性项向量函数；
B2：取分片光滑多项式空间作为有限元解空间，在Navier-Stokes方程两侧乘以有限元解空间中的任意测试函数并在网格单元上积分，使用分部积分得到积分弱形式方程；
B3：用有限元解空间的基函数φh替换测试函数，用Uh替换解析解，用数值通量
Figure FDA00032325288700000211
代替法向通量，得到间断有限元半离散形式的控制方程：
Figure FDA00032325288700000212
其中，
Figure FDA00032325288700000213
为网格边界的右状态，
Figure FDA00032325288700000214
为网格边界的左状态，ne为法向向量；
定义半离散形式控制方程的残差项R(Uh,φh)为：
Figure FDA0003232528870000031
B4：对存在间断或者强激波的仿真场景，向间断有限元半离散形式的控制方程的残差项添加基于强残差的人工粘性项
Figure FDA0003232528870000032
其中，
Figure FDA0003232528870000033
Figure FDA0003232528870000034
B5：将加入人工粘性项的的残差项代入控制方程，迭代计算，得到仿真结果。
6.根据权利要求4所述的一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，所述Euler或Navier-Stokes方程能够用在一维、二维、三维的情形。
7.根据权利要求1-6之一所述的一种基于强残差的间断有限元人工粘性激波处理方法，其特征在于，所述步骤S4中的仿真结果包括密度、压力、速度、马赫数、温度、总能、压力系数和本地音速。
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