CN108166545A - 一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法 - Google Patents

Abstract

一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法，包括：（1）将固结方程进行Laplace变换，并对初始边值条件以及多层地基之间的层间连续条件进行Laplace变换；（2）根据第一步变换后得到的公式，推导特定层的应力解系数矩阵；（3）对任意荷载的波形函数进行Laplace变换，并作为变换域中的边界条件；（4）根据应力解系数矩阵及边界条件，采用矩阵传递法，求得各层在Laplace变换域中的应力及变形解答；（5）采用Laplace逆变换方法，即可得到任意点的应力及总沉降。本发明实现了对任意荷载作用下成层地基沉降规律的定量计算和预测分析，对工程中处于变荷载作用下地基的设计、施工提供科学与有效的依据。

Description

一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法

技术领域

本发明涉及一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法，属于岩土工程技术领域。

背景技术

公路路堤、机场跑道、储藏设施(储油罐、堆场)以及工业厂房等建构筑物的地基所承受的荷载，往往是长时间往复施加的变荷载。这类地基在固结过程中受上述往复荷载作用，相比于静载作用下，会产生更大的附加变形及沉降。因此研究任意变化往复荷载作用下地基沉降，对于保护上方建构筑物及附属设施，具有重要的指导价值和应用意义。

Terzaghi之后，有许多学者对固结问题进行了卓有成效的研究。然而，目前针对变荷载下土体一维固结的计算方法，往往局限于特定荷载形式，如Wilson、Baligh等对矩形荷载下固结问题进行了研究，胡亚元分别对梯形与三角形荷载下的固结问题进行了研究，但这些研究不能针对工程中复杂的任意变化荷载形式进行计算。吴世明等推导了以积分形式表达的任意荷载的一维固结方程的通解，然而这是针对单层弹性地基进行的研究，工程中天然地基大多是由性状不一的层状土组成。

综上所述，目前还没有针对层状弹性地基在任意荷载作用下固结沉降的研究成果。

发明内容

本发明针对国内相关方面的理论研究空白，提出一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法。

针对受任意荷载作用的多层地基模型，假定地基表面荷载随时间任意变化，其余假定同Terzaghi假定，如图2所示。

本发明提供一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法，包括以下步骤：

步骤1：将固结方程进行Laplace变换，并对初始边值条件以及多层地基之间的层间连续条件进行Laplace变换；

对于第i层地基，固结方程为：

式中：

z为计算点深度，单位符号为m；

t为计算时刻，单位符号为s；

σ'_i(z,t)为z深度土体在t时刻的有效应力，单位符号为Pa；

k_i为第i层的土体渗透系数，单位为m/s；

E_i为第i层的弹性模量，单位为Pa；

γ_w为水的重度，单位符号为N/m³；

c_vi为第i层的固结系数，单位符号为m²/s。

固结方程进行Laplace变换后可以得到：

s为Laplace变换参数。

对于双面透水地基，对问题的初值边界条件，及各层之间的层间应力连续、流量连续条件，进行Laplace变换，可以得到：

h_i为第i层土层厚度，单位符号为m；

r_i定义为

A₁₁，A₁₂，A_n1，A_n2等为计算参数；

步骤2：由Laplace变换域中的固结方程，根据Laplace变换后的边界条件，可以求解得：

由Laplace变换域中的应力连续、流量连续条件，可以得到第i层应力解系数矩阵与第i+1层应力解系数矩阵之间的关系：

[D_i+1]＝[M_i][D_i]；

其中D_i为第i层应力解系数矩阵：

其中，M_i为两层系数矩阵之间的关系矩阵；α_i表示为：α_i＝r_ik_i/r_i+1k_i+1；

步骤3：对外荷载进行Laplace变换，常见的荷载波形示意图如图3所示。

图3(a)的矩形波形荷载可以表示为：

p(t+2T)＝p(t)

在Laplace变换域中的表达式为：

图3(b)的三角形波形荷载可以表示为：

p(t+2T)＝p(t)

在Laplace变换域中的表达式为：

图3(c)的正弦波形荷载可以表示为：

在Laplace变换域中的表达式为：

图3(d)的梯形波形荷载可以表示为：

在Laplace变换域中的表达式为：

以上为常见的随时间变化的循环荷载，而对于任意荷载的波形函数，可以进行傅里叶级数展开成正余弦函数，随后再进行Laplace变换，得到Laplace变换域中荷载的表达式并作为变换域中的边界条件；

步骤4：根据第i层应力解系数矩阵，以及第i层与第i+1层应力解系数矩阵之间的关系，采用矩阵传递法，得到第i层与第1层土体应力解系数矩阵之间的关系：

随后根据作用于第一层土体上任意荷载，可以得到：

随后可以解得第1层土体的应力解系数矩阵：

其中，m₁₁、m₁₂、m₂₁、m₂₂分别表示相应系数；

至此已求得各层在Laplace变换域中的应力及变形解答：

步骤5：采用Laplace变换域中的应力及变形结果，采用Durbin方法进行Laplace逆变换，即可得到任意点的应力及总沉降。逆变换公式如下：

a，T，NUSM为逆变换参数。

附图说明

图1为本发明任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法步骤流程图；

图2是本发明任意荷载作用下多层地基模型；

图3是常见的荷载波形示意图；

图3(a)为矩形波形载荷；图3(b)为三角形波形载荷；图3(c)为正弦波形载荷；图3(d)为梯形波形载荷；

图4是本发明应用于某三层地基的沉降-时间曲线图；

图5是某堆场上所作用的任意变化荷载示意图；

图6是本发明应用于某堆场的沉降-时间曲线图。

具体实施方式

下面结合附图，针对两个具体实例，对本发明的具体实施方法进行说明。

本发明的具体实施方式如图1所示。任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法步骤流程如下：

(1)将固结方程进行Laplace变换；

(2)根据Laplace变换后的边界条件，推导特定层的应力解系数矩阵；

(3)对任意荷载的波形函数进行Laplace变换；

(4)求各层在Laplace变换域中的应力及变形解答；

(5)得到任意点的应力及总沉降。

实施例1：

本发明实施例以某三层地基作为案例，进行算例分析。

在该三层地基分别上作用矩形、三角形、正弦波形、梯形波载及瞬加荷载，考虑荷载周期T＝30天，荷载幅值P₀＝1.5*10⁵Pa。三层地基厚度分别为1m、1.5m、1m，弹性模量分别为1*10⁷Pa、2*10⁷Pa、1*10⁷Pa，渗透系数分别为3*10^-10m/s、2*10^-10m/s、3*10^-10m/s。

计算得到在多种不同循环荷载作用下，该三层地基的沉降随时间变化曲线，如图4所示，可以看出，随着时间的增长，瞬加荷载作用下沉降随时间增长并趋于稳定，而循环荷载作用下的成层地基沉降变形增长模式与瞬加荷载作用下沉降变形增长模式有本质区别，循环荷载下沉降增长与荷载形式有较大关系。将循环荷载等效为瞬加荷载，将会导致计算沉降有较大的误差。

实施例2：

本发明实施例以某进出口堆场作为计算案例，进行计算。该堆场修建于软土地基上，软土地基经过地基处理后可视为双层地基，第一层为处理层，厚度16.5m，地基处理后刚度为6.85*10⁶Pa，渗透系数为3*10^-9m/s。第二层为未经地基处理的软土层，厚度19m，刚度为2.95*10⁶Pa，渗透系数为1.1*10^-7m/s。

在堆场投入正式使用之前，有一个预载期，预载期堆载与时间曲线如图5所示。预载期堆载大小P₀＝75kPa，T＝100天，t₁＝70天。该荷载不同于循环变化的规则荷载，为任意荷载，首先进行傅里叶级数展开成正余弦函数，随后再进行Laplace变换，该任意变化荷载在Laplace变换域中的表达式为：

其中，

图6为计算得到的预载期沉降，以及相应的实测沉降值，计算结果表明经过地基处理的处理层沉降相对较小，沉降主要由下卧层沉降组成。本发明计算得到的总沉降与实测总沉降吻合良好，证明了本发明的适用性。

Claims (1)

1.一种任意荷载作用下多层地基的沉降计算方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤1：将固结方程进行Laplace变换，并对初始边值条件以及多层地基之间的层间连续条件进行Laplace变换；

假定地基表面荷载随时间任意变化，其余假定同Terzaghi假定，可以得到第i层土体的固结公式：

式中：z为计算点深度，单位符号为m；t为计算时刻，单位符号为s；σ_i'(z,t)为z深度土体在t时刻的有效应力，单位符号为Pa；k_i为第i层的土体渗透系数，单位为m/s；E_i为第i层的弹性模量，单位为Pa；γ_w为水的重度，单位符号为N/m³；c_vi为第i层的固结系数，单位符号为m²/s；

固结方程进行Laplace变换后可以得到：

s为Laplace变换参数；

对于双面透水地基，对问题的初值边界条件，及各层之间的层间应力连续、流量连续条件，进行Laplace变换，可以得到：

h_i为第i层土层厚度，单位符号为m；

r_i定义为r_i ²＝s/c_vi；

A₁₁，A₁₂，A_n1，A_n2等为计算参数；

步骤2：由Laplace变换域中的固结方程，根据Laplace变换后的边界条件，可以求解得：

由Laplace变换域中的应力连续、流量连续条件，可以得到第i层应力解系数矩阵与第i+1层应力解系数矩阵之间的关系：

[D_i+1]＝[M_i][D_i]；

其中D_i为第i层应力解系数矩阵：

其中，M_i为两层系数矩阵之间的关系矩阵；α_i为α_i＝r_ik_i/r_i+1k_i+1；

步骤3：对任意荷载的波形函数，可以进行傅里叶级数展开成正余弦函数，随后再进行Laplace变换，得到Laplace变换域中荷载的表达式并作为变换域中的边界条件；

步骤4：根据第i层应力解系数矩阵，以及第i层与第i+1层应力解系数矩阵之间的关系，采用矩阵传递法，得到第i层与第1层土体应力解系数矩阵之间的关系：

随后根据作用于第一层土体上任意荷载，可以得到：

其中，

随后可以解得第1层土体的应力解系数矩阵：

其中，m₁₁、m₁₂、m₂₁、m₂₂分别表示相应系数；

至此已求得各层在Laplace变换域中的应力及变形解答：

步骤5：采用Laplace变换域中的应力及变形结果，采用Durbin方法进行Laplace逆变换，即可得到任意点的应力及总沉降；逆变换公式如下：

a，T，NUSM为逆变换参数。