CN107993267A - 利用空间直线对抛物折反射摄像机进行标定的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及一种利用空间直线对抛物折反射摄像机进行标定的方法。使用空间中三条直线作为靶标对摄像机进行标定。首先，在单位视球模型中对空间中三条互不平行的直线进行投影，将它们投影到像平面上形成三条两两相交的二次曲线，因为两条二次曲线相交于两个实交点，这两个实交点构成一条直线。但由于噪声的存在，这三条直线不会相交于一点，而是形成一个三角形，这个三角形的重心可认为是像平面上的近似主点。其次，分别求出主点关于三条二次曲线的极线，由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像，从而求解摄像机内参数。

Description

利用空间直线对抛物折反射摄像机进行标定的方法
技术领域
本发明属于计算机视觉领域，涉及了一种利用空间中三条直线求解抛物折反射摄像机内参数的方法。
背景技术
计算机视觉的研究目的是让计算机从二维图像认知三维现实环境,计算机不仅能感知三维物体的结构和运动信息,包括它的形状,位置,姿态,运动等,而且能对它们进行识别与理解。事实上,80年代形成的Marr的计算理论框架和其他计算理论框架中，绝大部分内容都涉及利用几何方法计算环境中的三维物体的形状，位置，姿态和运动。现有的摄像机标定方法可以分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定的方法。传统的标定方法主要是利用一个精度高的物体作为标定物，从而可以求解摄像机内参数的标定方法。摄像机自标定的方法是指使用摄像机在运动中的环境及图像之间的对应关系来求解摄像机内参数的方法。在使用自标定方法时消失线点，圆环点被广泛应用于摄像机标定。文献“A new easycamera calibration technique based on circular points”，(Meng X.,Hu Z.,PatternRecognition,vol.36,no.5pp.1151-1164,2002)提出的标定方法采用了一种新型的标定模板，即一个圆和通过圆心的若干直线，该方法仅要求摄像机在三个(或三个以上)不同方位摄取一个含有若干条直径的圆的图像,即可线性求解全部摄像机内参数。采用这种模板的标定方法不存在匹配问题,也不需要知道任何模板上的物理度量,不需要人工干预,使得整个标定过程非常简单,能够全自动进行。文献“一种新的基于消失点的摄像机标定方法”(胡培成，黎宁，赵亮亮，第十三届图像图形学学术会议,pp.1-5,2006)提出了一种利用正方形模板求取摄像机内参数的方法。该方法不仅利用了正方形两组边垂直的性质还充分利用了正方形对角线相互垂直的性质，根据一幅图像可以得到两组正交的消失点连线，所以最少只要拍三幅图像就可以线性求解全部内参数，这种方法降低了标定的复杂度。文献“由矩形确定摄像机内参数与位置的线性方法”(吴福朝，，王光辉,胡占义.软件学报，vol.14,no.3,pp.703-712,2003.)提出了一种求解摄像机内参数及确定摄像机位置的线性方法。首先通过空间平面上两个非平行矩阵的图像来计算圆环点的图像，进而由圆环点对摄像机内参数的约束方程标定摄像机内参数，并给出了此约束方程具有唯一解的充要条件。在相差一个比例因子的情况下，由拉盖尔定理恢复矩阵欧式度量信息的线性方法。
传统摄像机的拍照范围很有限，得到的有效信息不能满足人们的需要，于是有了全景摄像机的诞生，其中全景摄像机又可分为中心的和非中心的。文献“A theory ofsingle-viewpoint catadioptric image formation”,(Baker S.,Nayar S.K.,International Journal of Computer Vision,vol.35,no.2pp.175-196,1999)中作者根据折反射摄像机是否有固定的单视点将折反射摄像机分为中心折反射摄像机和非中心折反射摄像机两类，并且中心折反射摄像机的反射镜面有4种不同的类型：抛物面镜、双曲面镜、椭球面镜和平面镜。中心折反射系统在几何上和代数上都有许多应用模型。文献“Epipolar for central catadioptric cameras”,(Svoboda T.,Pajdla T.,International Journal of Computer Vision,vol.49,no.1,pp.23-37,2002)针对不同的镜面提出了不同的模型，在射影平面上存在一条特殊的二次曲线，称之为绝对二次曲线的像(IAC)，IAC仅与摄像机的内参数有关。中心折反射系统主要有两种模型：双曲镜面与透视摄像机组成的双曲折反射系统和抛物镜面与正交摄像机组成的抛物折反射系统，抛物折反射系统的成像视野较大，是全景视觉领域研究的热点之一。文献“An unifying theory forcentral panoramic systems and practical implications”,(Geyer C.,DaniilidisK.,European Conference on Computer Vision,pp.445-461,2000)提出了一个统一单位球摄像机模型。该模型可以适用于任何的中心折反射系统,在这种模型下中心折反射投影与下面两个投影过程是等价的：第一步：空间点经过单位视球的中心透视摄影到单位视球上；第二步：以虚拟摄像机光心为投影中心将球上的这一点投影到像平面上形成了空间点的像点。文献“Issues on the geometry of central catadioptric image formation”,(Barreto J.P.,Araujo H.,IEEE Conference on Computer Vision and PatternRecognition,pp.422-427,2001)对这个球面模型进行了推广。文献“Catadioptric camerausing geometric invariants”，(Ying X.H.,Hu Z.Y.,IEEE Transactions on PatteenAnalysis and Machine Intelligence,vol.26,no.10,pp.1260-1271,2004.)分析了摄像机内参数与球的成像轮廓之间的关系，利用直线和球的投影进行标定，直线提供了三个不变量，球提供了两个不变量。文献“Simultaneously calibrating catadioptric cameraand detecting line features using Hough transform”，(Ying X.H.,Zha H.,IEEEInternational Conference on Intelligent Robots and Systems,pp.412-417,2005.)阐述了所有直线的折反射图像都属于一个二次曲线族，通常这个二次曲线族称为直线图像族，这个族只与某些内参数有关，使用Hough变换检测直线图像，保证所有检测到的曲线都属于此直线图像族。文献“Easy calibration for para-catadioptric-like camera”，(WuY.,Li Y.,and Hu Z.,IEEE International Conference on Intelligent Robots andSystems,pp.5719-5724,2006.)建立了关于内参数的线性约束，将中心折反射模型转化为针孔模型，不需要进行曲线拟合就可以标定类似抛物折反射摄像机。文献“A new linearalgorithm for calibrating central catadioptric cameras”，(Wu F.,Duan F.,Hu Z.,Pattern Recognition,pp.3166-3172,2008.)介绍了对拓点与对拓像点，并且导出空间中的一个点在视球上的投影和它的折反射图像点之间的关系，使用这个关系建立了中心折反射摄像机内参数的线性约束，通过此线性约束可以获得中心折反射摄像机内参数。
发明内容
本发明提供了一种操作相对简单，适用比较广泛，稳定性好的求解抛物折反射摄像机内参数的方法，使用空间中三条直线作为靶标对摄像机进行标定。首先，在单位视球模型中对空间中三条互不平行的直线进行投影，将它们投影到像平面上形成三条两两相交的二次曲线，因为两条二次曲线相交于两个实交点，这两个实交点构成一条直线，所以像平面上的三条两两相交的二次曲线形成了相交于一点的三条直线。但由于噪声的存在，这三条直线不会相交于一点，而是形成一个三角形，这个三角形的重心可认为是像平面上的近似主点，所以求出这个三角形的重心就可以得到像平面上的主点。其次，分别求出主点关于三条二次曲线的极线，由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像，从而三条二次曲线与其对应的三条消影线可以求出六个圆环点的像，且这六个圆环点的像都在绝对二次曲线的像上，所以对这六个点用最小二乘法拟合得到绝对二次曲线的像(ICA)，从而求解摄像机内参数。
本发明采用如下技术方案：
用抛物折反射摄像机拍摄一幅含有三条直线的图像。本发明利用空间中三条互不平行的直线作为靶标求解抛物折反射摄像机内参数，其特征在于仅利用直线元素。首先，三条互不平行的空间直线在抛物折反射摄像机下的成像可分为两步，第一步：空间中三条互不平行的直线经过单位视球的中心透视投影到单位视球上形成三个大圆；第二步：以单位视球球面上的虚拟摄像机光心为投影中心将单位视球上的三个大圆投影到像平面上形成三条两两相交的二次曲线，因为两条二次曲线相交于两个实交点，这两个实交点构成一条直线，所以像平面上两两相交的三条二次曲线会形成相交于一点的三条直线，但由于噪声的存在，这三条直线可能不相交于一点，而是形成一个三角形，这个三角形的重心可认为是像平面上的近似主点。其次，分别求出主点关于三条二次曲线的极线，由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像，从而三条二次曲线与其对应的三条消影线可以求出六个圆环点的像，且这六个圆环点的像都在绝对二次曲线的像上，所以对这六个点用最小二乘法拟合得到绝对二次曲线的像(ICA)。最后，对绝对二次曲线的像进行Cholesky分解再求逆就可以求解摄像机的五个内参数。
1.求空间直线的像
根据单位球成像模型，一条空间直线LW的投影包括两步，第一步：空间直线LW经过单位视球的中心透视投影到单位视球上形成大圆L；第二步：大圆L以单位视球球面上的虚拟摄像机光心为投影中心投影到像平面上形成一条二次曲线CL。因为二次曲线的系数矩阵可以用一个3×3的对称矩阵来表示，所以直线LW的像CL的系数矩阵可以等价为一个六维向量矩阵ω＝[a′ b′ c′ d′ e′ f′]T来表示。其中a'、b'、c'、d'、e'、f'表示6维向量ω的各个分量。
2.求像平面上的主点
设空间中三条互不平行的直线为LWi(i＝1,2,3)，它们的像为CLi(i＝1,2,3)，CL1与CL2相交于两个实交点F12和B12，这两个实交点构成直线L1；CL1与CL3相交于两个实交点F13和B13，这两个实交点构成直线L2；CL2与CL3相交于两个实交点F23和B23，这两个实交点构成直线L3，则直线L1，L2，L3的交点即为像平面上的主点，并且它的齐次坐标矩阵为Op＝[u0 v0 1]T。因为噪声的存在，直线L1，L2，L3有可能不交于一点，这时就只需要求出这三条直线所组成的三角形的重心，该重心可认为是像平面上的近似主点。
3.求绝对二次曲线的像(IAC)
由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像。所以求出主点后，首先分别求出主点关于三条二次曲线的极线(消影线)，其次求出三条极线(消影线)与其对应的二次曲线的交点(圆环点的像)，总共可以得到六个圆环点的像，且这六个圆环点的像都在绝对二次曲线的像上，最后对这六个点用最小二乘法拟合就可以得到绝对二次曲线的像(ICA)。
4.求解摄像机内参数
绝对二次曲线的像ωC的系数矩阵可以表示为ωC＝K-TK-1，其中K为摄像机内参数矩阵，得到绝对二次曲线的像ωC的系数矩阵ωC对它进行Cholesky分解后再求逆就可以求解摄像机的5个内参数。
本发明优点：
(1)图像的获取简单，即只需获取含三条直线的1幅图像。
(2)对图像平面的物理尺度没有要求。
附图说明
图1是一条空间直线在中心折反射摄像机下的成像模型。
图2是主点坐标。
图3是直线的像与绝对二次曲线像的关系。
具体实施方式
本发明提供了一种利用空间直线求解抛物折反射摄像机内参数的方法。根据单位球成像模型，它的投影包括两步，第一步：空间中三条互不平行的直线经过单位视球的中心透视投影到单位视球上形成三个大圆；第二步：以单位视球球面上的虚拟摄像机光心为投影中心将单位视球上的三个大圆投影到像平面上形成三条两两相交的二次曲线。因为两条二次曲线相交于两个实交点，这两个实交点构成一条直线，所以像平面上的三条二次曲线形成了相交于一点的三条直线，因为噪声的存在，这三条直线有可能不相交于一点，而是形成一个三角形，这个三角形的重心可认为是像平面上的近似主点，所以求出这个三角形的重心就可以得到像平面上的主点。其次，分别求出主点关于三条二次曲线的极线，由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像，从而三条二次曲线与其对应的三条消影线可以求出六个圆环点的像，且这六个圆环点的像都在绝对二次曲线的像上，所以对这六个点用最小二乘法拟合得到绝对二次曲线的像(ICA)。最后，对绝对二次曲线的像进行Cholesky分解再求逆就可以求解摄像机的五个内参数。具体步骤如下：
1.求空间直线的像
如图1，根据单位球成像模型，一条空间直线LW的投影包括两步，第一步：一条空间直线LW经过单位视球的中心O透视投影到单位视球上形成大圆L,其中坐标系为O-XwYwZw；第二步：大圆L以单位视球球面上的虚拟摄像机光心Oc为投影中心投影到与OOc垂直的像平面上形成一条二次曲线CL，其中坐标系为Oc-XcYcZc，OOc与像平面交于主点Op。因为二次曲线的系数矩阵可以用一个3×3的对称矩阵来表示，所以直线LW的像CL的系数矩阵可以等价为一个六维向量矩阵ω＝[a′ b′ c′ d′ e′ f′]T来表示。其中a'、b'、c'、d'、e'、f'表示6维向量ω的各个分量。所以空间中三条直线的像CLi(i＝1,2,3)的系数矩阵可以等价为(1)式中的六维向量矩阵来表示：
ωi＝[ai′ bi′ ci′ di′ ei′ fi′]T，i＝1，2，3. (1)
现将六维向量ωi写成6×6的矩阵形式，即：
如果要拟合得到一条二次曲线，至少需要五个点。所以可以用以下方法来求三条空间直线所对应的像的方程：首先，在每一条空间直线LWi(i＝1,2,3)上选取五个点；其次，求出选取点对应的像点；最后，分别对每一条直线上所选的五个点的像点进行拟合就可以得到这三条空间直线对应的像CLi(i＝1,2,3)。假如点mij的齐次坐标矩阵为 并且它位于二次曲线CLi(i＝1,2,3)上，由二次曲线的定义可以得到(2)式：
把(2)式写成如下矩阵形式：
令：如果把矩阵I1,I2,I3合并成一个矩阵I，并且把矩阵合并成一个矩阵Λ，即： 其中表示空间直线LWi(i＝1,2,3)的像CLi(i＝1,2,3)的系数矩阵(6×6)。则有：
IΛ＝0。 (4)
公式(4)是理想状态下的约束条件，但在实际的操作中有噪声的存在，所以，现在构造一个关于矩阵Λ的函数目的是由函数求出矩阵Λ。令已知的约束条件为(5)式：
ΛTΛ＝E。 (5)
其中E表示单位矩阵。在(5)式的约束下，求出(4)式中ITI的最小特征值所对应的标准特征向量，此标准特征向量即是所求的六维向量ωi(i＝1,2,3)。
2.求像平面上的主点
空间中三条互不平行的直线为LWi(i＝1,2,3)，如图2所示，它们的像分别为CLi(i＝1,2,3)，CL1与CL2相交于两个实交点F12和B12，这两个实交点构成直线L1；CL1与CL3相交于两个实交点F13和B13；这两个实交点构成直线L2，CL2与CL3相交于两个实交点F23和B23，这两个实交点构成直线L3。即：
L1＝F12×Β12， (6)
L2＝F13×Β13， (7)
L3＝F23×Β23。 (8)
直线L1，L2，L3的交点即为像平面上的主点，并且它的齐次坐标矩阵为Op＝[u0 v01]T。因为噪声的存在，直线L1，L2，L3有可能不交于一点，而是形成一个三角形(ΔO1O2O3)，并且顶点O1是直线L1和直线L2的交点，顶点O2是直线L1和直线L3的交点，顶点O3是直线L2和直线L3的交点。即：
O1＝L1×L2， (9)
O2＝L1×L3， (10)
O3＝L2×L3， (11)
其中×表示两个矩阵叉乘。所以ΔO1O2O3的重心可认为是像平面上的近似主点，求出这个三角形的重心就可以得到像平面上的主点Op。
3.求绝对二次曲线的像(IAC)
由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，如图3所示，每条极线(消影线)lD与其对应的二次曲线CL交于两个圆环点的像Im,Jm，并且这两个圆环点的像在绝对二次曲线的像ωC上。设主点Op关于二次曲线CL的极线为lD，则极线lD的方程:
其中[u0 v0 1]T是主点Op的齐次坐标矩阵，是二次曲线CL的系数矩阵。由上叙述可知：已知一条极线(消影线)lD和一条二次曲线CL的方程，可以求出它们的两个交点(圆环点的像)Im,Jm。所以用三条空间直线对抛物折反射摄像机进行标定，则可以得到绝对二次曲线的像ωC上的六个点(圆环点的像)即：Im1，Jm1，Im2，Jm2，Im3，Jm3。这六个点(圆环点的像)分别为极线lDi(i＝1,2,3)与空间直线的像CLi(i＝1,2,3)相交形成的，又因为拟合一条二次曲线至少需要五个点，所以由这六个点(圆环点的像)可以拟合得到绝对二次曲线的像ωC的方程。
4.求解摄像机内参数
绝对二次曲线的像ωC的系数矩阵为ωC＝K-TK-1，其中K为摄像机内参数矩阵，即下式因为Im1，Jm1，Im2，Jm2，Im3，Jm3在绝对二次曲线的像ωC上，则[Im1,Im2,Im3]ωC[Im1,Im2,Im3]T＝0。因为ωC是一个对称矩阵，所以可以定义一个6维向量ωC＝[C11 C12 C13 C22 C23 C33]T，并且写为线性方程的形式：AωC＝0，其中A＝[Im1Im1,Im1Im2+Im2Im1,Im2Im2,Im3Im1+Im1Im3,Im3Im2+Im2Im3,Im3Im3]，由于A是一个复向量，则线性方程可以等价为下面的式子
其中Re，Im分别表示取实部和虚部。得到绝对二次曲线的像ωC的系数矩阵ωC对它进行Cholesky分解后再求逆就能求解摄像机的5个内参数。
实施例
本发明提出了一种利用空间中的三条直线作为靶标线性求解抛物折反射摄像机内参数的方法。本发明采用的实验模板结构示意图如图1所示。下面以一实例对本发明的实施方案做出更为详细的描述。
标定抛物折反射摄像机采用的模板是空间中的一个单位视球模型及空间中三条互不平行的直线，如图1所示。利用本发明中的方法对用于实验的抛物折反射摄像机进行标定，具体步骤如下：
1.拟合图像中三条直线的像的方程
本发明采用的图像大小为600×800。用抛物折反射摄像机拍一幅含有三条互不平行的直线的实验图像，读入图像，在抛物折反射摄像机下分别对空间中三条互不平行的直线上的五个点进行投影，并用最小二乘法拟合获得三条直线的像的方程。每条空间直线上五点的像点组成的矩阵为Yi(i＝1,2,3)，每一列向量为一个像点的齐次坐标向量。结果如下：
分别将(14)，(15)，(16)带入(2)式并且把(2)式写成矩阵形式即(3)式，从(3)式可以看出只要求出(1)式中的ωi＝[ai′ bi′ ci′ di′ ei′ fi′]T,i＝1,2,3.就可以知道三条空间直线的像的系数矩阵。由(4)式和(5)式可知求出(3)式中ITI的最小特征值所对应的标准特征向量即为所求的六维向量ωi，求出六维向量ωi然后将六维向量ωi写成3×3的矩阵ωi形式，矩阵ωi即为图2中三条二次曲线的方程的系数矩阵，其结果如下：
2.求像平面上的主点
将(14)，(17)带入(2)式得到二次曲线CL1的方程，将(15)，(18)带入(2)式得到二次曲线CL2的方程，将(16)，(19)带入(2)式得到二次曲线CL3的方程。联立CL1与CL2的方程系数矩阵可求出它们的两个实交点F12和B12的齐次坐标矩阵；联立CL1与CL3的方程系数矩阵可求出它们的两个实交点F13和B13的齐次坐标矩阵；联立CL2与CL3的方程系数矩阵可求出它们的两个实交点F23和B23的齐次坐标矩阵。结果如下：
将(20)和(21)带入(6)求得直线L1的齐次线坐标矩阵L1；将(22)和(23)带入(7)求得直线L2的齐次线坐标矩阵L2；将(24)和(25)带入(8)求得直线L3的齐次线坐标矩阵L3。
结果如下：
直线L1,L2,L3的交点即为像平面上的主点，并且它的齐次坐标矩阵为Op＝[u0 v01]T。因为噪声的存在，直线L1,L2,L3有可能不交于一点，而是形成一个三角形(ΔO1O2O3)，并且顶点O1是直线L1和直线L2的交点，顶点O2是直线L1和直线L3的交点，顶点O3是直线L2和直线L3的交点。
将(26)和(27)带入(9)式得点O1的齐次坐标矩阵O1：
将(26)和(28)带入(10)式得点O2的齐次坐标矩阵O2：
将(27)和(28)带入(11)式得点O3的齐次坐标矩阵O3：
由(29)，(30)，(31)可求出ΔO1O2O3的重心即像平面上的主点Op，结果如下：
3.求绝对二次曲线的像(IAC)
将(17)和(32)带入(12)式可得极线(消影线)lD1的齐次线坐标矩阵为：
从而消影线lD1与二次曲线CL1的交点就是圆环点的像，齐次坐标矩阵如下：
Im1＝[314.0501+479.1194i 677.2372+28.4522i 1]T， (34)
Jm1＝[314.0501-479.1194i 677.2372-28.4522i 1]T。 (35)
将(18)和(32)带入(12)式可得极线lD2的齐次线坐标矩阵为：
同理消影线lD2与二次曲线CL2的交点就是圆环点的像，齐次坐标矩阵如下：Im2＝[175.5675+302.7089i 530.2232+378.8890i 1]T， (37)
Jm2＝[175.5675-302.7089i 530.2232-378.8890i 1]T。 (38)
将(19)和(32)带入(12)式可得极线lD3的齐次线坐标矩阵为：
同理消影线lD3与二次曲线CL3的交点就是圆环点的像，齐次坐标矩阵如下：
Im3＝[352.2455+285.8028i 312.3146+418.4206i 1]T， (40)
Jm3＝[352.2455-285.8028i 312.3146-418.4206i 1]T。 (41)
4.求解抛物折反射摄像机内参数
将(34)、(37)和(40)带入(13)式得到绝对二次曲线的像的系数矩阵ωC，结果如下：
对(42)进行Cholesky分解后再求逆就可以求解摄像机的5个内参数。结果如下：
其中纵横比rc＝K(1,1)/K(2,2)(K(1,1)表示矩阵K的第1行第1列的元素，K(2,2)表示矩阵K的第2行第2列的元素)，故抛物折反射摄像机的5个内参数分别为：rc＝0.80006804，fc＝500.0331，s＝-0.0147，u0＝299.9384，v0＝399.9594。

Claims (1)

1.利用空间直线对抛物折反射摄像机进行标定的方法，其特征在于使用空间中三条直线作为靶标；所述方法的具体步骤包括：首先，三条互不平行的空间直线在抛物折反射摄像机下的成像分为两步，第一步：空间中三条互不平行的直线经过单位视球的中心透视投影到单位视球上形成三个大圆；第二步：以单位视球球面上的虚拟摄像机光心为投影中心将单位视球上的三个大圆投影到像平面上形成三条两两相交的二次曲线，因为两条二次曲线相交于两个实交点，这两个实交点构成一条直线，所以像平面上两两相交的三条二次曲线会形成相交于一点的三条直线，但由于噪声的存在，这三条直线不相交于一点，而是形成一个三角形，这个三角形的重心认为是像平面上的近似主点；其次，分别求出主点关于三条二次曲线的极线，由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像，从而三条二次曲线与其对应的三条消影线以求出六个圆环点的像，且这六个圆环点的像都在绝对二次曲线的像上，所以对这六个点用最小二乘法拟合得到绝对二次曲线的像；最后，对绝对二次曲线的像进行Cholesky分解再求逆就求解出摄像机的内参数；
(1)求空间直线的像
根据单位球成像模型，一条空间直线LW的投影包括两步，第一步：空间直线LW经过单位视球的中心透视投影到单位视球上形成大圆L；第二步：大圆L以单位视球球面上的虚拟摄像机光心为投影中心投影到像平面上形成一条二次曲线CL；因为二次曲线的系数矩阵用一个3×3的对称矩阵来表示，所以直线LW的像CL的系数矩阵等价为一个六维向量矩阵ω＝[a′b′ c′ d′ e′ f′]T来表示，其中a'、b'、c'、d'、e'、f'表示6维向量ω的各个分量；
(2)求像平面上的主点
设空间中三条互不平行的直线为LWi，其中i＝1,2,3，对应的像为CLi，其中i＝1,2,3，CL1与CL2相交于两个实交点F12和B12，这两个实交点构成直线L1；CL1与CL3相交于两个实交点F13和B13，这两个实交点构成直线L2；CL2与CL3相交于两个实交点F23和B23，这两个实交点构成直线L3，则直线L1，L2，L3的交点即为像平面上的主点，并且它的齐次坐标矩阵为Op＝[u0 v0 1]T；因为噪声的存在，直线L1，L2，L3有不交于一点，这时就只需要求出这三条直线所组成的三角形的重心，该重心认为是像平面上的近似主点；
(3)求绝对二次曲线的像
由极点极线的关系知，主点关于二次曲线的极线为消影线，并且每条消影线与其对应的二次曲线交于两个圆环点的像；所以求出主点后，首先分别求出主点关于三条二次曲线的极线，其次求出三条极线与其对应的二次曲线的交点，即圆环点的像，总共得到六个圆环点的像，且这六个圆环点的像都在绝对二次曲线的像上，最后对这六个点用最小二乘法拟合就得到绝对二次曲线的像。
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