CN107967378B - 一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法及系统 - Google Patents

一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法及系统 Download PDF

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Abstract

一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法及系统，在飞行器发射前，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径，建立球冠坐标系；坐标原点不变，将球冠半径映射到半球，建立新的坐标系；在新的坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值；基于所述非整阶数值，利用球冠谐模型计算新坐标系下的扰动引力；将所述扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力。本发明改进了球冠谐分析模型在局部重力场研究中的实际应用效果，在满足同样精度情况下，提高了空间飞行器沿轨扰动引力的赋值速度，所需内存更少，有利于机动快速发射。

Description

一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法及系统
技术领域
本发明给出一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法及系统，可提高空间飞行器沿轨扰动引力的赋值速度，主要在飞行器快速机动发射上使用。
背景技术
飞行器在地球外部空间飞行，受到地球引力作用。若已知地球外部空间任一点的地球引力，包括大小和方向，可以精化飞行器整个运行阶段的受力模型，提高其制导精度。为了简单地描述地球外部的引力，人为选择的一个形状规则的自转质体作为实际地球的近似，该质体的外部的引力尽量与实际地球外部的引力接近。这个质体产生的引力场就叫正常引力场，剩余的引力场部分则称为扰动引力场。正常重力用一个包含偶阶带谐系数的无穷级数表示，一般取至2阶即可。因此需要解决的就是扰动引力的计算。
地球外部扰动引力可以用球谐函数(截断到一定阶次的无穷级数)表示，阶次越高，赋值精度越高。该方法在飞行器轨道运动计算中被广泛采用，但是该方法也存在如下问题：(1)球谐函数更多的反映了地球引力场的低频部分，适宜于全球引力场赋值，而不适宜于局部低空引力场赋值。对于远程飞行器而言，不适用于主动段的计算。(2)由于要进行递推计算，阶次高时计算量大，不能满足快速赋值要求。
局部引力场逼近是以解析方法或离散逼近方法确定高精度、高分辨率的局部引力场及其派生量(比如扰动引力)，它对地区性的大地测量工作、地球物理和工程应用有重要意义。因而局部引力场逼近的理论、方法和技术一直是物理大地测量研究工作的最活跃部分，特别是近40年来随着重力场观测资料的迅速增长和电子计算机的普遍应用，这一领域的研究取得了一系列重大进展，在经典方法不断得到改进的同时又出现了许多新的理论和方法。
球冠谐分析方法是建立局部引力场的一个比较理想的方法。球冠谐分析最早应用于地磁研究，后有学者将其其引入到局部引力场的建模中来，提出了局部引力场的球冠谐分析课题，导出了相应的计算公式，给出了完整的引力场球冠谐分析的数学模型。
球冠谐理论需要按边界条件反求非整阶勒让德函数的阶数，计算量非常繁重，同时由于缔合勒让德函数的特性，当阶次达到一定数值的时候，其函数具备发散性质，所能计算的零根值有限。
发明内容
本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供了一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法及系统，在保持相当精度的前提下，对球冠谐函数作必要的改进，给出非整阶次的近似计算公式，以此简化运算，提高了空间飞行器沿轨扰动引力的赋值速度，有利于机动快速发射。
本发明的技术解决方案是：
一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法，步骤如下：
(1)在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0，进而得到定义域(0，θ0)，即球冠区域的纬度范围；
(2)将定义域(0，θ0)映射到上，即将定义域(0，θ0)对应的原坐标系转换到对应的新坐标系中；
(3)在新坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值lk；
(4)基于所述非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力；
(5)将步骤(4)计算得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力。
所述步骤(2)将定义域(0，θ0)映射到上，
转换关系具体为：
r'＝r
λ'＝λ
θ'＝sθ
其中，r是地心向径，θ是地心余纬，λ是地心经度，转换系数r'、λ'和θ'分别为新坐标系下的对应值。
计算球冠谐表达式的非整阶数值lk：计算公式为
其中，m和k均为整数，m为球冠谐表达式的次数，k是lk的序号。
基于非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力，通过如下方式进行：
(4.1)计算扰动引力位
(4.2)将扰动引力位分别对r'、和λ'求偏导，得到扰动引力的三个分量T'r、T'θ和T'λ。
计算扰动引力位具体为：
其中，GM为地心引力常数，r'、λ'分别为新坐标系下地心向径和地心经度，R为平均地球半径，是地心纬度，θ'为新坐标系下的地心余纬，Ckm，Skm是规格化球冠谐位系数，为非整阶勒让德函数，m为球冠谐表达式的次数，N是球冠谐的最大阶数。
所述步骤(5)将步骤(4)计算得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力；
转化关系为：
式中，Tr，Tθ，Tλ是转换到原坐标系后的扰动引力三分量，即沿轨扰动引力，T'r、T'θ和T'λ为新坐标系下的扰动引力三分量。
一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的系统，包括：
球冠半径及定义域确定模块：用于在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0，进而得到定义域(0，θ0)，即球冠区域的纬度范围；
坐标系转换模块：用于将球冠半径及定义域确定模块得到的定义域(0，θ0)映射到上，即将定义域(0，θ0)对应的原坐标系转换到对应的新坐标系中；
非整阶数值计算模块：用于在坐标系转换模块进行坐标系转换后得到的新坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值lk；
扰动引力确定模块：基于所述非整阶数值计算模块得到的非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力；
沿轨扰动引力确定模块：用于将扰动引力确定模块得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力。
本发明与现有技术相比的有益效果是：
(1)确定空间飞行器沿轨一点扰动引力，特别是低空段的扰动引力，传统采用高阶次球谐位系数法来计算。但该方法要进行递推计算，阶次高时计算量大，不能满足快速赋值要求。本发明提出利用球冠谐模型计算任一点扰动引力，在满足同样精度情况下，计算速度更快，所需内存更少。
(2)本发明提出的非整阶次的计算公式，改进了球冠谐分析模型在局部重力场研究中的实际应用效果，提高了空间飞行器沿轨扰动引力的赋值速度，有利于机动快速发射。
附图说明
图1为本发明方法流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式进行进一步的详细描述。
远程飞行器在飞行过程中时刻受到地球引力场的作用，因此地球引力场精度会对飞行器的控制和命中精度产生影响。地球引力场是反映地球物质分布与运动的基本物理场，也是提供精确的发射方位、建立坐标系统和高程基准的基础条件。要对远程飞行器进行精确制导，必须要知道精细的局部重力场和全球重力场参数。地球重力场模型就是用一个截断到N阶的引力位球谐函数的级数式来表示的地球引力场。其中扰动位表达式如下：
式中GM为地心引力常数，R为平均地球半径，是规格化球谐位系数，是空间点的球坐标，r是地心向径，是地心纬度，λ是地心经度，为完全正常化勒让德函数，n，m分别是球谐函数的阶和次，N是最大阶数。将上式对三个坐标分别求偏导数，就可以得到扰动引力的三个分量：
上述过程就是传统的球谐位系数法，用于计算空间一点扰动引力。球谐系数通常是利用卫星摄动运动的观测数据求得的，因此比较适合高空点的扰动引力计算。
对于低空扰动引力，虽然可以采用较高阶的模型来计算扰动引力，在理论上能获得更高的精度，但是目前阶次有限，且较高阶的位系数置信度并不高，同时系数量的增大会造成计算的复杂。而球冠谐分析方法能够弥补高阶次全球重力场模型不能较好描述局部重力场精细结构的不足，而且可以用较少的位系数反映较高的分辨率，这对于扰动引力的快速精确计算是十分有益的。
局部重力场扰动位的球冠谐表达式为：
这是一个阶和次分别是nk(m)、m的球谐展开式，此时nk(m)是m的一个实函数，k是nk(m)的序号，是非整阶缔合勒让德函数。其他符号意义同上。
传统方法需要按边界条件反求nk(m)，计算量非常繁重，同时由于缔合勒让德函数的特性，当阶次达到一定数值的时候，其函数具备发散性质，所能计算的零根值有限。因此，本发明给出一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法，从而有效提高扰动引力的赋值速度。
本发明提出的一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法，把余纬θ的定义域(0，θ0)映射到上，避开非整阶次的繁琐计算，从而达到简化运算的目的，如图1所示，步骤如下：
(1)在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0；进而得到定义域(0，θ0)，即球冠区域的纬度范围。
(2)将步骤(1)确定的定义域(0，θ0)映射到上，即将定义域(0，θ0)对应的原坐标系转换到对应的新坐标系中；
转换关系具体为：
式中符号意义同前，加“’”号代表在新坐标系下。r是地心向径，θ是地心余纬，λ是地心经度，转换系数r'、λ'和θ'分别为新坐标系下的对应值。对扰动位在水平方向的派生量的大小也要发生变化，但扰动位在径方向的派生量的大小将保持不变。
(3)在新坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值lk，计算公式为
其中，m和k均为整数，m为球冠谐表达式的次数，k是lk的序号。
具体的推导过程如下：
从勒让德方程入手：
式中的P是方程的解，即勒让德函数
如果球冠半角不太大，可以认为sinθ≈θ(这种近似在θ0≤14°时近似程度优于99％，在θ0≤20°时近似程度达到98％)。所以方程(6)可变化为：
即：
上式方程是勒让德方程的近似形式，由(4)可得：
方程(9)代入式(8)，则有：
假设
k(k+1)＝l(l+1)/s2 (11)
则方程(10)同方程(8)完全类似。
由于θ′的取值范围是式(11)中的假设并非总是成立的，但有理由认为阶数和次数分别为k、m的勒让德函数仍然是方程(10)的解。定义k＝0,1,2,…，则l必须取实数，后面将以lk代替它，lk同k相关。由于上式是一个2次方程，其解为非负数，因此可以得出：
由于上式是方程(6)解的近似值，存在一定的偏差，为了使上式和传统方法计算结果更接近，本发明通过多次试验，借助公式(6)，将公式(11)的解修改如下：
(4)基于所述非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力，通过如下方式进行：
(4.1)计算扰动引力位具体为：
其中，GM为地心引力常数，r'、λ'分别为新坐标系下地心向径和地心经度，R为平均地球半径，是地心纬度，θ'为新坐标系下的地心余纬，Ckm，Skm是规格化球冠谐位系数，为非整阶勒让德函数，m为球冠谐表达式的次数，N是球冠谐的最大阶数。
(4.2)将扰动引力位分别对r'、和λ'求偏导，得到扰动引力的三个分量T'r、T'θ和T'λ。
(5)将步骤(4)计算得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力。
转化关系为：
式中，Tr，Tθ，Tλ是转换到原坐标系后的扰动引力三分量，即沿轨扰动引力，T'r、T'θ和T'λ为新坐标系下的扰动引力三分量。
基于上述确定沿轨扰动引力确定方法，本发明还提出了一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的系统，包括：
球冠半径及定义域确定模块：用于在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0，进而得到定义域(0，θ0)，即球冠区域的纬度范围；
坐标系转换模块：用于将球冠半径及定义域确定模块得到的定义域(0，θ0)映射到上，即将定义域(0，θ0)对应的原坐标系转换到对应的新坐标系中；
非整阶数值计算模块：用于在坐标系转换模块进行坐标系转换后得到的新坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值lk；
扰动引力确定模块：基于所述非整阶数值计算模块得到的非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力；
沿轨扰动引力确定模块：用于将扰动引力确定模块得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力。
实施例：
利用传统方法和本发明提出的近似计算公式(11)计算球冠半径为10°和15°时的非整阶数值分别如表1和表2。从表中可以看出，近似计算方法在整体上比较接近传统计算方法，特别是在数值较大时候，相对误差是比较小的。
表1近似方法计算的非整阶数值1
表2近似方法计算的非整阶数值2
为检验本发明提出的改进计算公式(13)的改进效果，试验取球冠半径为20°，利用传统方法减去近似计算公式(12)，其结果偏离值最大接近30，这是一个很大的偏离，达到粗差范围；利用改进公式(13)同传统方法计算比较，修正公式的计算效果有了很大改进，不仅在低阶次上更接近真实值，在高阶次上，其最大偏离值已经由原来的30减少到7。

Claims (2)

1.一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的方法，其特征在于步骤如下：
(1)在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0，进而得到定义域(0，θ0)，即球冠区域的纬度范围；
(2)将定义域(0，θ0)映射到上，即将定义域(0，θ0)对应的原坐标系转换到对应的新坐标系中；
转换关系具体为：
r'＝r
λ'＝λ
θ'＝sθ
其中，r是地心向径，θ是地心余纬，λ是地心经度，转换系数r', λ'和θ'分别为新坐标系下的对应值；
(3)在新坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值lk；
计算公式为
其中，m和k均为整数，m为球冠谐表达式的次数，k是lk的序号；
(4)基于所述非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力；
(5)将步骤(4)计算得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力；
基于非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力，通过如下方式进行：
(4.1)计算扰动引力位
(4.2)将扰动引力位分别对r'、和λ'求偏导，得到扰动引力的三个分量T′r、T′θ和T′λ；
计算扰动引力位具体为：
其中，GM为地心引力常数，r'、λ'分别为新坐标系下地心向径和地心经度，R为平均地球半径，是地心纬度，θ'为新坐标系下的地心余纬，Ckm，Skm是规格化球冠谐位系数，为非整阶勒让德函数，m为球冠谐表达式的次数，N是球冠谐的最大阶数；
所述步骤(5)将步骤(4)计算得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力；
转化关系为：
式中，Tr，Tθ，Tλ是转换到原坐标系后的扰动引力三分量，即沿轨扰动引力，T′r、T′θ和T′λ为新坐标系下的扰动引力三分量。
2.一种利用球冠谐模型确定沿轨扰动引力的系统，其特征在于包括：
球冠半径及定义域确定模块：用于在飞行器发射过程中，以发射首区作为要逼近的球冠区域，确定球冠半径θ0，进而得到定义域(0，θ0)，即球冠区域的纬度范围；
坐标系转换模块：用于将球冠半径及定义域确定模块得到的定义域(0，θ0)映射到上，即将定义域(0，θ0)对应的原坐标系转换到对应的新坐标系中；
非整阶数值计算模块：用于在坐标系转换模块进行坐标系转换后得到的新坐标系下，计算球冠谐表达式的非整阶数值lk；
扰动引力确定模块：基于所述非整阶数值计算模块得到的非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力；
沿轨扰动引力确定模块：用于将扰动引力确定模块得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力；
所述将定义域(0，θ0)映射到上，
转换关系具体为：
r'＝r
λ'＝λ
θ'＝sθ
其中，r是地心向径，θ是地心余纬，λ是地心经度，转换系数r', λ'和θ'分别为新坐标系下的对应值；
计算球冠谐表达式的非整阶数值lk：计算公式为
其中，m和k均为整数，m为球冠谐表达式的次数，k是lk的序号；
基于非整阶数值lk计算新坐标系下的扰动引力，通过如下方式进行：
(a)计算扰动引力位具体为：
其中，GM为地心引力常数，r'、λ'分别为新坐标系下地心向径和地心经度，R为平均地球半径，是地心纬度，θ'为新坐标系下的地心余纬，Ckm，Skm是规格化球冠谐位系数，为非整阶勒让德函数，m为球冠谐表达式的次数，N是球冠谐的最大阶数；
(b)将扰动引力位分别对r'、和λ'求偏导，得到扰动引力的三个分量T′r、T′θ和T′λ；
将扰动引力确定模块得到的扰动引力转化到原坐标系中，得到飞行器沿轨扰动引力；
转化关系为：
式中，Tr，Tθ，Tλ是转换到原坐标系后的扰动引力三分量，即沿轨扰动引力，T′r、T′θ和T′λ为新坐标系下的扰动引力三分量。
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