CN107944625A - 基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，包括：1）获取历史数据信息；2）对得到的历史运行数据进行预处理；3）构建数据驱动的优化模型，其中首先根据航班到时隙的分配定义0‑1型整数决策变量，然后基于历史实际运行数据以最小化偏离航空公司请求时间和航班延误为目标建立最小化目标函数，随后确定约束条件，获得数据驱动的优化模型；4）根据建立的数据驱动的优化模型，利用切平面法求解，得到换季航班时隙的最优分配。本发明提出的基于数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法为航班计划制定管理者提供了量化辅助决策工具，实现了对航班换季时隙科学合理的规划。

Description

基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法
技术领域
本发明属于民航技术领域，具体来说涉及一种基于历史运行数据驱动的航班时隙优化，更具体地说涉及一种基于历史运行数据驱动的单机场航班时隙优化。
背景技术
近年来，中国民航运输业高速发展，矛盾也日益凸显，航班时隙资源短缺，航班正常率得不到保证，航班大面积延误情况时有发生。天气和流量控制等因素是造成航班延误的直接原因，但究其根本是需求和容量之间的矛盾。中国很多枢纽机场处于容量饱和甚至过饱和状态，航班排班量早已超过机场最大保障容量，无法通过自身调节抵御恶劣天气和流量控制带来的影响，只会进一步引发航班的大面积延误。因此，为了从根本上解决航班延误问题，首先解决航班时隙资源的供需矛盾，对航班时隙进行合理编排。特别地，在容量一定的情况下，如何合理编排航班时隙，对减少航班延误具有重要影响。
航班时隙优化可以分为航班换季时隙优化、预战术航班时隙优化和战术航班时隙优化。航班换季时隙优化，属于从战略层面对航班时隙进行优化。预战术航班时隙优化，主要指对未来一天的航班时隙进行优化。战术航班时隙优化，主要指运行当天的航班时隙调整优化。目前，国内外研究者主要集中在预战术和战术航班时隙优化，很少有研究者关注航班换季时隙优化问题。
发明内容
目前国内航班换季计划管理部门在制定计划时，缺乏对航班计划方案在预期实施环境下，定量评估可能发生的延误水平及分布，同时也缺少发现可能导致严重航班延误关键环节的技术手段。为了对航班换季时隙进行科学地、合理地规划，本发明提出一种基于数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，为航班计划制定管理者提供量化辅助决策工具。
具体来说，本发明采用了以下方案：
一种基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：1)获取历史数据信息，其中所述历史数据信息包括航季所有航班的计划信息以及前一年该航季每个月的历史运行数据信息；2)对得到的历史运行数据进行预处理，其中清洗掉取消航班的数据信息，并对清洗之后的航班数据进行数据筛选和历史数据匹配；3)构建数据驱动的优化模型，其中首先根据航班时隙的分配定义0-1型整数决策变量，然后基于历史实际运行数据以最小化偏离航空公司请求时间和航班延误为目标建立最小化目标函数，随后确定约束条件，获得数据驱动的优化模型；4)根据建立的数据驱动的优化模型，利用切平面法求解，得到换季航班时隙的最优分配。
优选地，该航季的所有航班的计划信息包括航班计划中的航班号、机型、起航班场、计划起飞时间、落地机场、计划落地时间，而前一年该航季每个月的历史运行数据信息包括所有航班的运营日、航班号、计划起飞时间、计划落地时间、实际起飞时间、实际落地时间。
另外优选地，对清洗之后的航班数据进行数据筛选和历史数据匹配的步骤包括：对历史父权航班、历史非父权航班和新进入航班进行数据筛选，并对历史父权航班和历史非父权航班的历史运行数据进行匹配。
在以上方法中，定义得到的决策变量为
其中M表示所有航班号的集合，T表示所有时隙的集合，m∈M，t∈T。
进一步，所建立的最小化目标函数为：
其中f1(m,t)和f2(m,t)分别表示航班m分配到时隙t的计划延误代价函数和预期运行延误代价函数，并且其中
f1(m,t)的计算公式为：
f1(m,t)＝cmdm|t-tm| (3)
其中dm表示航班m的实际执行的天数，cm表示航班m延误的单位时间成本，tm为航班m请求的时隙，t为待分配的时隙；
f2(m,t)的计算公式为：
f2(m,t)＝cmdmE(g(m,t))，m∈M,t∈T (4)
其中g(m,t)表示航班m在时隙t可能的延误时间，E(g(m,t))表示航班m在时隙t延误时间的期望值，cm表示计划延误的单位时间成本，dm表示航班m的实际执行的天数。
在以上方法中，约束条件包括如下：
航班时隙唯一性约束：保证每个航班在同一天同一机场只能分配一个时隙
航班时隙调整范围约束：保证航空公司可接受的分配时隙与请求时隙之差低于最大可接受值，即
其中tmax为航班分配时隙与请求时隙的最大可接受值；
容量约束：保证优化后的航班计划需要满足小时容量要求，为避免某些航班时隙过于密集，采用小时滚动容量限制；
进场容量约束：s＝0,5,10,L,1385，其中Ca为公布的最大进场容量，Ma为进场航班集合；
离场容量约束：s＝0,5,10,L,1385，其中Cd为公布的最大离场容量，Md为离场航班集合；
总容量约束：s＝0,5,10,L,1385，其中C为机场运行的最大公布容量；
最小过站时间约束：航空器滑行至停机位开启机门至航空器准备工作就绪关上机门之间的时间大于最小过站时间：
其中为航班m机型对应的最小过站时间，M2为过站航班的航班对集合，ma为过站航班的进场航班，md为过站航班的离场航班；
最大过站时间约束：为了不使航空公司在中转机场停留时间过长，有必要对中转航班的过站时间做如下最大过站时间限制：
其中最大过站时间为航班m机型对应的最大过站时间。
其中进一步，所述最大过站时间的确定是基于历史不同类型航班过站时间数据，利用百分位数法来确定，亦即假设所有过站航班可以分为Q类，记第q类航班的过站时间集合为其中mq表示第q类航班历史过站时间数据总个数，将集合Sq中的过站时间数据从小到大排序，排序后的集合记为
满足其中表示第k个小的过站时间；假设将p百分位值作为最大过站时间，根据百分位值的计算公式，得到第q类航班的最大过站时间为
其中l为满足不等式l mq＜p＜l+1 mq的正整数。
在以上基础上，所述方法中的步骤4)根据建立的数据驱动的优化模型，利用切平面法求解，得到换季航班时隙的最优分配包括：4.1)首先不考虑变量的取整约束来求解原整数规划对应的线性规划获得相应最优解；4.2)根据获得的最优解求切割方程；4.3)将所获得的切割方程添加到整数规划的约束条件中去，返回步骤4.1从而获得最优解。
具体来说，所述步骤4)包括：
4.1)：不考虑变量的取整约束，求解原整数规划对应线性规划：
设最优解为x*；
4.2)：求一个切割方程：
如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不是整数的分量，设其对应的基变量为xi，xj为非基变量，定义包含这个基变量的切割约束方程为：
将bi和aij都分解成整数部分N和非整数f之和，即：
其中N表示不超过b的最大整数，代入(9)式中得：
提出变量为整数的条件：m∈M，t∈T，这时式(11)中左边必须是整数，右边由于0＜fi＜1，不能为正，所以得到切割方程：
4.3)：将上述切割不等式(12)添加到整数规划的约束条件中去，即对上述线性规划问题的可行域进行切割，然后返回步骤4.1。
本发明提出了一种基于数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，该方法为航班计划制定管理者提供了一种量化辅助决策工具，实现了对航班换季时隙科学合理的规划。
举例而言，以杭州萧山机场2015年夏秋航季的历史运行数据为基础，对2016年夏秋季航班时刻进行优化，利用2016年数据对优化结果进行验证。经验证，航班请求延误略有增加，实际平均运行延误较小，总体延误仍是减小趋势。且原航班时刻表中存在6个超出容量约束的时间片，优化后所有时间片均满足容量限制。如下表所示
表1优化前后数据对比
附图说明
图1为基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化的流程示意图；
图2为本发明方法中所用整数规划的割平面法计算的流程示意图。
具体实施方式
下面将结合具体实施例对本发明的方案进行说明。
为了对航班换季时隙进行科学地、合理地规划，本发明提出一种基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，在一个具体实施例中，所述方法是按照以下步骤进行。
步骤1：读入历史数据信息：
步骤1.1：读入航季所有航班的计划信息，从中读取航班计划中的航班号、机型、起航班场、计划起飞时间、落地机场、计划落地时间。
步骤1.2：读入前一年该航季每个月的历史运行数据信息，从中读取原始数据中所有航班的运营日、航班号、计划起飞时间、计划落地时间、实际起飞时间、实际落地时间。
步骤2：对历史数据信息进行预处理，具体方法为：
步骤2.1：通过利用删除法对历史运行数据进行清洗，去除取消航班的数据信息，得到清洗之后的历史运行数据。
步骤2.2：历史父权航班、历史非父权航班和新进入航班数据筛选：通过利用航班计划中的航班号与前一航季的运营数据进行对比，如果历史运行数据中存在该航班号的历史运营信息，且本航季申请的时隙与前一年该航季运行时隙相同，那么该航班为历史父权航班，则从航班计划中筛选出此类航班，并匹配与航班计划相对应的历史运行数据；若航班计划中的某架航班在前一年该航季执行但申请的时隙与前一年该航季不同，则该航班为历史非父权航班，经筛选后得出此类航班并为每个航班匹配同一航班号的历史运行数据；若航班计划中的某架航班为首次申请，则为新进入航班，将其从航班计划中筛选出来。
步骤3：构建数据驱动的优化模型
步骤3.1：定义决策变量
航班时隙优化的目的是给每个航班分配一个时隙，且只能分配一个。设M表示所有航班号的集合，T表示所有时隙的集合，定义决策变量为
其中m∈M，t∈T。
步骤3.2：建立目标函数
从航空公司和管理者两者的角度出发，基于历史实际运行数据，以最小化偏离航空公司请求时间和航班延误为目标，建立如下最小化目标函数：
其中f1(m,t)和f2(m,t)分别表示航班m分配到时隙t的计划延误代价函数和预期运行延误代价函数，
其中f1(m,t)的计算公式为：
f1(m,t)＝cmdmt-tm(3)
其中dm表示航班m的实际执行的天数，cm表示航班m延误的单位时间成本，tm为航班m请求的时隙，t为待分配的时隙；
f2(m,t)的计算公式为：
f2(m,t)＝cmdmE(g(m,t))，m∈M,t∈T(4)
其中g(m,t)表示航班m在时隙t可能的延误时间，E(g(m,t))表示航班m在时隙t延误时间的期望值，cm表示计划延误的单位时间成本，dm表示航班m的实际执行的天数。
步骤3.3：确定约束条件
航班时隙唯一性约束：保证每个航班在同一天同一机场只能分配一个时隙
航班时隙调整范围约束：保证航空公司可接受的分配时隙与请求时隙之差低于最大可接受值，即
其中tmax为航班分配时隙与请求时隙的最大可接受值，将搜索最优航班时隙限定在一个范围之内，不但能够满足航空公司的要求，而且可以提高模型的效率；
容量约束：保证优化后的航班计划需要满足小时容量要求，为避免某些航班时隙过于密集，采用小时滚动容量限制；
进场容量约束：其中Ca为公布的最大进场容量，Ma为进场航班集合；
离场容量约束：s＝0,5,10,L,1385，其中Cd为公布的最大离场容量，Md为离场航班集合；
总容量约束：，其中C为机场运行的最大s＝0,5,10,L,1385
公布容量；
最小过站时间约束：航空器滑行至停机位开启机门至航空器准备工作就绪关上机门之间的时间大于最小过站时间：
其中为航班m机型对应的最小过站时间，M2为过站航班的航班对集合，ma为过站航班的进场航班，md为过站航班的离场航班；
最大过站时间约束：为了不使航空公司在中转机场停留时间过长，有必要对中转航班的过站时间做如下最大过站时间限制：
其中最大过站时间为航班m机型对应的最大过站时间。最大过站时间基于历史不同类型航班过站时间数据，利用百分位数法来确定。假设所有过站航班可以分为Q类，记第q类航班的过站时间集合为其中mq表示第q类航班历史过站时间数据总个数。将集合Sq中的过站时间数据从小到大排序，排序后的集合记为满足其中表示第k个小的过站时间。假设将p百分位值作为最大过站时间，根据百分位值的计算公式，得到第q类航班的最大过站时间
其中l为满足不等式lmq＜p＜l+1 mq的正整数。从式中看出，当取不同的百分位值时，可以得到不同的最大过站时间。从而可以通过取不同值，实现对优化后的航班计划的鲁棒性灵敏度进行评估。
步骤4：根据建立的数据驱动优化模型，利用切平面法求解，得到换季航班时隙的最优分配：
步骤4.1：不考虑变量的取整约束，求解原整数规划对应线性规划：
设最优解为x*。
步骤4.2：求一个切割方程
如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不是整数的分量。设其对应的基变量为xi，xj为非基变量，定义包含这个基变量的切割约束方程为：
将bi和aij都分解成整数部分N和非整数f之和，即：
其中N表示不超过b的最大整数，代入(9)式中得：
提出变量为整数的条件：m∈M，t∈T，这时(11)式中左边必须是整数，右边由于0＜fi＜1，不能为正，所以得到切割方程：
步骤4.3：将上式(12)的切割不等式添加到整数规划的约束条件中去，即对上述线性规划问题的可行域进行“切割”，然后返回步骤4.1。
上面结合具体实施例对本发明的实施方式作了详细的说明，但是本发明不限于上述实施方式，在所属技术领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下做出各种变化。

Claims (9)

1.一种基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：1)获取历史数据信息，其中所述历史数据信息包括航季所有航班的计划信息以及前一年该航季每个月的历史运行数据信息；2)对得到的历史运行数据进行预处理，其中清洗掉取消航班的数据信息，并对清洗之后的航班数据进行数据筛选和历史数据匹配；3)构建数据驱动的优化模型，其中首先根据航班时隙的分配定义0-1型整数决策变量，然后基于历史实际运行数据以最小化偏离航空公司请求时间和航班延误为目标建立最小化目标函数，随后确定约束条件，获得数据驱动的优化模型；4)根据建立的数据驱动的优化模型，利用切平面法求解，得到换季航班时隙的最优分配。
2.如权利要求1所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，该航季的所有航班的计划信息包括航班计划中的航班号、机型、起航班场、计划起飞时间、落地机场、计划落地时间，而前一年该航季每个月的历史运行数据信息包括所有航班的运营日、航班号、计划起飞时间、计划落地时间、实际起飞时间、实际落地时间。
3.如权利要求1所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，对清洗之后的航班数据进行数据筛选和历史数据匹配的步骤包括：对历史父权航班、历史非父权航班和新进入航班进行数据筛选，并对历史父权航班和历史非父权航班的历史运行数据进行匹配。
4.如权利要求1所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，定义得到的决策变量为
其中M表示所有航班号的集合，T表示所有时隙的集合，m∈M，t∈T。
5.如权利要求4所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，所建立的最小化目标函数为：
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其中f1(m,t)和f2(m,t)分别表示航班m分配到时隙t的计划延误代价函数和预期运行延误代价函数，并且其中
f1(m,t)的计算公式为：
f1(m,t)＝cmdm|t-tm| (3)
其中dm表示航班m的实际执行的天数，cm表示航班m延误的单位时间成本，tm为航班m请求的时隙，t为待分配的时隙；
f2(m,t)的计算公式为：
f2(m,t)＝cmdmE(g(m,t))，m∈M,t∈T (4)
其中g(m,t)表示航班m在时隙t可能的延误时间，E(g(m,t))表示航班m在时隙t延误时间的期望值，cm表示计划延误的单位时间成本，dm表示航班m的实际执行的天数。
6.如权利要求5所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，约束条件包括如下：
航班时隙唯一性约束：保证每个航班在同一天同一机场只能分配一个时隙
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> </mrow>
航班时隙调整范围约束：保证航空公司可接受的分配时隙与请求时隙之差低于最大可接受值，即
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其中tmax为航班分配时隙与请求时隙的最大可接受值；
容量约束：保证优化后的航班计划需要满足小时容量要求，为避免某些航班时隙过于密集，采用小时滚动容量限制；
进场容量约束：其中Ca为公布的最大进场容量，Ma为进场航班集合；
离场容量约束：其中Cd为公布的最大离场容量，Md为离场航班集合；
总容量约束：其中C为机场运行的最大公布容量；
最小过站时间约束：航空器滑行至停机位开启机门至航空器准备工作就绪关上机门之间的时间大于最小过站时间：
<mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>tX</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>tX</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <munder> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </munder> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中为航班m机型对应的最小过站时间，M2为过站航班的航班对集合，ma为过站航班的进场航班，md为过站航班的离场航班；
最大过站时间约束：为了不使航空公司在中转机场停留时间过长，有必要对中转航班的过站时间做如下最大过站时间限制：
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其中最大过站时间为航班m机型对应的最大过站时间。
7.如权利要求6所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，所述最大过站时间的确定是基于历史不同类型航班过站时间数据，利用百分位数法来确定，亦即假设所有过站航班可以分为Q类，记第q类航班的过站时间集合为其中mq表示第q类航班历史过站时间数据总个数，将集合Sq中的过站时间数据从小到大排序，排序后的集合记为满足其中表示第k个小的过站时间；假设将p百分位值作为最大过站时间，根据百分位值的计算公式，得到第q类航班的最大过站时间为
<mrow> <mover> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>pm</mi> <mi>q</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>l</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mi>Q</mi> </mrow>
其中l为满足不等式l/mq＜p＜l+1/mq的正整数。
8.如权利要求7所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，步骤4)根据建立的数据驱动的优化模型，利用切平面法求解，得到换季航班时隙的最优分配包括：4.1)首先不考虑变量的取整约束来求解原整数规划对应的线性规划获得相应最优解；4.2)根据获得的最优解求切割方程；4.3)将所获得的切割方程添加到整数规划的约束条件中去，返回步骤4.1从而获得最优解。
9.如权利要求8所述的基于历史运行数据驱动的单机场航班换季时隙优化方法，其特征在于，所述步骤4)包括：
4.1)：不考虑变量的取整约束，求解原整数规划对应线性规划：
<mrow> <mi>min</mi> <mi> </mi> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>|</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mi>m</mi> </msub> <msub> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </msub> <mi>E</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> </mrow>
<mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>max</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mi>max</mi> </msub> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>a</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>55</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mn>1385</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>M</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>55</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>C</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mn>1385</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>M</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <mn>55</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>X</mi> <mi>m</mi> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mi>C</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mn>10</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mn>1385</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>tX</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>tX</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mover> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>tX</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>T</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </msub> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>tX</mi> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <mo>-</mo> <munder> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> </mrow> </msub> <mo>&amp;OverBar;</mo> </munder> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>a</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>d</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>M</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设最优解为x*；
4.2)：求一个切割方程：
如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不是整数的分量，设其对应的基变量为xi，xj为非基变量，定义包含这个基变量的切割约束方程为：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将bi和aij都分解成整数部分N和非整数f之和，即：
<mrow> <mfenced open='' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mi>ij</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>ik</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>ik</mi> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>ik</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中N表示不超过b的最大整数，代入(9)式中得：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <msub> <mi>N</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>N</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
提出变量为整数的条件：这时式(11)中左边必须是整数，右边由于0＜fi＜1，不能为正，所以得到切割方程：
<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>j</mi> </munder> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>;</mo> </mrow>
4.3)：将上述切割不等式(12)添加到整数规划的约束条件中去，即对上述线性规划问题的可行域进行切割，然后返回步骤4.1。
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