CN107910866A - 一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于电网调度领域，具体是一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法，用来求解含新能源的电力系统动态经济调度问题。首先基于价格弹性需求曲线，以社会福利最大为优化目标，同时考虑需求侧响应不确定性和系统的实际运行约束，构建了需求侧间接控制的电力系统优化调度模型；然后，针对模型求解复杂度高的问题，提出了一种适用于不确定性环境的序优化算法对模型进行求解。基于IEEE30节点算例的仿真结果表明，本发明提出的调度方法，由于充分考虑了源荷侧调度资源的不确定性，有效降低了电力系统的运行成本，提升其运行精细化水平。

Description

一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法
技术领域
本发明一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法，涉及电力系统调度领域。
背景技术
风电及光伏是无污染、绿色的可再生能源，其分布广泛、能量密度高，适合大规模开发，因此，风力和光伏发电技术已受到了世界各国的高度重视。新能源的大规模并网虽然能在一定程度上缓解环境压力和能源危机，但由于其大都具有随机性、波动性和出力不可控的特点，因而其大规模接入会对电网的安全稳定运行带来一定的影响。随着智能电网建设的稳步推进，系统内的需求侧响应手段逐步增加，从而为平抑系统内新能源出力波动性提供了一种高效、廉价的调度资源。因此，充分考虑需求侧的调度资源，研究基于源荷互动的电力系统日前调度模式已成为当前学术界的研究热点。
发明内容
针对现有方法的不足，本发明提出了一种考虑需求侧响应不确定性的日前优化调度方法。首先基于价格弹性需求曲线，以社会福利最大为优化目标，同时考虑需求侧响应不确定性和系统的实际运行约束，构建了需求侧间接控制的电力系统优化调度模型；然后，针对模型求解复杂度高的问题，提出了一种适用于不确定性环境的序优化算法对模型进行求解。基于IEEE30节点算例的仿真结果表明，本发明提出的调度方法，由于充分考虑了源荷侧调度资源的不确定性，有效降低了电力系统的运行成本，提升其运行精细化水平。
本发明采取的技术方案为：
一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法，包括以下步骤：
步骤1：源荷侧不确定性建模
步骤1.1：需求侧响应的不确定性建模
本发明针对基于电价的需求侧响应，根据电价与电能需求量之间的变化关系，考虑价格弹性需求曲线不确定性，如图1所示，在此基础上建立需求侧响应模型。
价格弹性需求曲线的数学表达式为：
或者
式中：表示用于描述价格弹性需求曲线的不确定性的偏差。按照近似价格弹性需求的步骤，曲线作为分段函数，对于价格弹性需求曲线中的每个电价相应的电能需求量允许在范围内变化，其中表示基准电价参考值，是的偏差，是的上限。
需求响应曲线的不确定性集可以描述如下：
式中：是的偏差，是的上限。T表示时间段集，B表示总线，K表示引入的近似价格性需求曲线。
步骤1.2：风电出力的不确定性建模
本发明利用基数不确定性集来调整风电出力模型的保守性。引入整数πb作为基数预算，以限制风力输出远离其在总线b处的预测值的时间段的数量。在每个总线b处，当风力输出达到其上限、下限或预测值以及风力输出不处于其预测值的周期的总数时，发生最坏情况的风力输出情形应该不超过预算值πb。
不确定性集合可以描述如下：
式中：代表在时间段t内总线b的风力输出的预测值，Wt b+Wt b-分别代表高于和低于允许的最大偏差值，和是二进制变量。如果风力输出将达到其上限，如果风力输出将达到其下限，如果两者都为0，就会实现预测值。
步骤2：考虑不确定性需求侧响应的日前调度建模
步骤2.1：确定性需求侧响应的日前优化调度建模
本发明首先建立确定性需求侧响应的日前调度模型。由于在日前调度优化模型考虑了电价因素，因此目标函数为社会福利最大化。此外在该模型中，风电出力被假设为确定值，价格弹性需求曲线也是确定的。模拟需求曲线和供给曲线，如图2所示。
目标函数描述如下：
式中：T表示时间段的集合，B表示节点的集合，Gb表示节点b处的发电机组，表示发电机i在节点b的启动成本，为发电机i在节点b的停机成本，为发电机i在节点b处在时间段t内产生的电量，为节点b在时间段t内的实际用电需求，为节点b在时间段t内的价格弹性需求曲线的积分，fi b为发电机i在节点b处的燃料成本函数。
为保证电力系统能够安全可靠地运行，决策变量还需满足以下常规约束条件：
(1)机组技术约束条件
式中:表示发电机i在节点b处的最小正常运行时间，表示发电机i在节点b处的最小停机时间，表示发电机i在节点b的最小发电量，为发电机i在节点b的最大发电量,为二进制变量，用于指示在时间段t中发电机i是否在节点b上，为二进制变量，用于指示发电机i是否在时间段t内在节点b上启动，为二进制变量，用于指示发电机i在时间段t是否在节点b处关闭。
(2)系统约束条件
系统的约束条件包括：系统的功率平衡约束和线路的传输容量约束。其数学表达如下式所示：
式中:Ω为连接两个节点的传输线路，为节点b在时间段t内的实际用电需求，为连接节点i和节点b的传输线的传输容量。
(3)考虑需求响应后新添加的约束条件。
式中:为节点b在时间段t内的非弹性需求部分，为节点b在时间段t内的最大需求。
步骤2.2：线性化机组燃料成本函数
本发明将机组的燃料成本表示为二次函数，使用N段线性函数来近似燃料成本函数：
式中:和是第j段函线的截距和斜率，是辅助变量。
步骤2.3：线性化消费者需求响应模型
本发明将消费者剩余中的弹性用电需求响应模型转化为价格弹性需求曲线模型，如果价格弹性是恒定的，可以将价格弹性需求曲线表示为：
式中：是节点b在时间段t内的电价，是t时间段中节点b处所给定的价格弹性值，并且使可以由给定参考点决定的参数值。
除此之外，本发明所提出的解决方法可以应用到其他弹性需求的建模中，对于一些负荷聚合商或负荷代理商，价格弹性需求曲线本身是一个分段函数，如图3所示，对于一般的价格弹性需求曲线，可以应用分段函数来近似该价格弹性需求曲线，因此可以将近似为：
其中:是分段函数的第k段，是k段处的相应价格，是在k段处处为需求引入的辅助变量，K是所有的段长集合。
由于本发明是将最大化，所以是严格地随着k的增加而减少，因此可以得到：
当存在某个s0使得成立时，可以证明是价格弹性需求曲线的近似积分，即是合理的。
步骤2.4：不确定性需求侧响应的日前调度建模
在步骤2.1中，假设价格弹性需求曲线是确定的。当作出日前调度决策时，必须允许价格弹性需求曲线在一定范围内变化，实际的价格弹性需求曲线是不确定的。为了调整保守性，引入参数以限制偏差的总量，即可以通过改变的值来调整所提出的方法的保守性。值越小，需求响应曲线的不确定性也就越小。
需求响应曲线的不确定性集可以描述如下：
目标函数为：
约束条件如下：
在上述公式中,(23)中的目标函数是使得社会福利最大化(没有常数部分)。约束(24)、(25)分别表示最小的开机时间和最小的停机时间限制。约束条件(26)和(27)计算机组的启动和关闭状态变量。约束(28)强制执行每台发电机组的功率输出上限和下限。约束(29)和(30)实施每台机组的斜率限制。约束(31)确保负载平衡，并要求电源满足需求。约束(32)是传输线容量限制。最后，由于弹性需求的贡献，约束(33)强制实际需求的下限和上限。
步骤3：模型求解
本发明提出了一种序优化的求解思想，基于较高的概率寻求足够好的解集来对模型进行求解。
步骤3.1：按照机会均等原则，从总的决策空间Θ里挑选出N个决策，并构成有限集合ΘN。
步骤3.2：利用某种选择规则，通过快速粗糙评估，从N个决策中确定OPC类型。利用选择规则选出一子决策集S，其元素的个数为s。子决策集S将包含k个足够好的解(以至少α的概率)，相关的数学公式如下所示：
P{|G∩S|>k}≥α (35)
式中：G表示足够好的解的集合，解集中元素的个数为g，表示将各个决策经精确评估后的前g个最好的解；||表示集合元素的个数。
步骤3.3：精确评估子决策集中的每一个元素，从s个元素中选择出一个最好的解。
通过上述步骤，完成考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度。
本发明一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法，技术效果如下：
1)、本发明基于价格弹性需求曲线，以社会福利最大为优化目标，同时考虑需求侧响应的不确定性和系统的实际运行约束，构建计及需求侧间接控制的电力系统优化调度模型，利用一种不确定性的序优化求解算法对模型进行求解，降低了模型求解复杂度。
2)、本发明提出的调度方法，由于充分考虑了源荷侧调度资源的不确定性，可以有效提升系统的运行效益，提升其精细化水平。
附图说明
图1为本发明中价格弹性需求曲线不确定性描述图。
图2为本发明中需求曲线与供给曲线模拟图。
图3为本发明中分段函数近似价格弹性需求曲线图。
具体实施方式
一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法，包括以下步骤：
步骤1：源荷侧不确定性建模
步骤1.1：需求侧响应的不确定性建模
本发明针对基于电价的需求侧响应，根据电价与电能需求量之间的变化关系，考虑价格弹性需求曲线不确定性，如图1所示，在此基础上建立需求侧响应模型。
价格弹性需求曲线的数学表达式为：
或者
式中：表示用于描述价格弹性需求曲线的不确定性的偏差。按照近似价格弹性需求的步骤，曲线作为分段函数，对于价格弹性需求曲线中的每个电价相应的电能需求量允许在范围内变化，其中表示基准电价参考值，是的偏差，是的上限。
需求响应曲线的不确定性集可以描述如下：
式中：是的偏差，是的上限。T表示时间段集，B表示总线，K表示引入的近似价格性需求曲线。
步骤1.2：风电出力的不确定性建模
本发明利用基数不确定性集来调整风电出力模型的保守性。引入整数πb作为基数预算，以限制风力输出远离其在总线b处的预测值的时间段的数量。在每个总线b处，当风力输出达到其上限、下限或预测值以及风力输出不处于其预测值的周期的总数时，发生最坏情况的风力输出情形应该不超过预算值πb。
不确定性集合可以描述如下：
式中：代表在时间段t内总线b的风力输出的预测值，Wt b+Wt b-分别代表高于和低于允许的最大偏差值，和是二进制变量。如果风力输出将达到其上限，如果风力输出将达到其下限，如果两者都为0，就会实现预测值。
步骤2：考虑不确定性需求侧响应的日前调度建模
步骤2.1：确定性需求侧响应的日前优化调度建模
本发明首先建立确定性需求侧响应的日前调度模型。由于在日前调度优化模型考虑了电价因素，因此目标函数为社会福利最大化。此外在该模型中，风电出力被假设为确定值，价格弹性需求曲线也是确定的。模拟需求曲线和供给曲线，如图2所示。
目标函数描述如下：
式中：T表示时间段的集合，B表示节点的集合，Gb表示节点b处的发电机组，表示发电机i在节点b的启动成本，为发电机i在节点b的停机成本，为发电机i在节点b处在时间段t内产生的电量，为节点b在时间段t内的实际用电需求，为节点b在时间段t内的价格弹性需求曲线的积分，fi b为发电机i在节点b处的燃料成本函数。
为保证电力系统能够安全可靠地运行，决策变量还需满足以下常规约束条件：
(1)机组技术约束条件
式中:表示发电机i在节点b处的最小正常运行时间，表示发电机i在节点b处的最小停机时间，表示发电机i在节点b的最小发电量，为发电机i在节点b的最大发电量,为二进制变量，用于指示在时间段t中发电机i是否在节点b上，为二进制变量，用于指示发电机i是否在时间段t内在节点b上启动，为二进制变量，用于指示发电机i在时间段t是否在节点b处关闭。
(2)系统约束条件
系统的约束条件包括：系统的功率平衡约束和线路的传输容量约束。其数学表达如下式所示：
式中:Ω为连接两个节点的传输线路，为节点b在时间段t内的实际用电需求，为连接节点i和节点b的传输线的传输容量。
(3)考虑需求响应后新添加的约束条件。
式中:为节点b在时间段t内的非弹性需求部分，为节点b在时间段t内的最大需求。
步骤2.2：线性化机组燃料成本函数
本发明将机组的燃料成本表示为二次函数，使用N段线性函数来近似燃料成本函数：
式中:和是第j段函线的截距和斜率，是辅助变量。
步骤2.3：线性化消费者需求响应模型
本发明将消费者剩余中的弹性用电需求响应模型转化为价格弹性需求曲线模型，如果价格弹性是恒定的，可以将价格弹性需求曲线表示为：
式中：是节点b在时间段t内的电价，是t时间段中节点b处所给定的价格弹性值，并且使可以由给定参考点决定的参数值。
除此之外，本发明所提出的解决方法可以应用到其他弹性需求的建模中，对于一些负荷聚合商或负荷代理商，价格弹性需求曲线本身是一个分段函数，如图3所示，对于一般的价格弹性需求曲线，可以应用分段函数来近似该价格弹性需求曲线，因此可以将近似为：
其中:是分段函数的第k段，是k段处的相应价格，是在k段处处为需求引入的辅助变量，K是所有的段长集合。
由于本发明是将最大化，所以是严格地随着k的增加而减少，因此可以得到：
当存在某个s0使得成立时，可以证明是价格弹性需求曲线的近似积分，即是合理的。
步骤2.4：不确定性需求侧响应的日前调度建模
在步骤2.1中，假设价格弹性需求曲线是确定的。当作出日前调度决策时，必须允许价格弹性需求曲线在一定范围内变化，实际的价格弹性需求曲线是不确定的。为了调整保守性，引入参数以限制偏差的总量，即可以通过改变的值来调整所提出的方法的保守性。值越小，需求响应曲线的不确定性也就越小。
需求响应曲线的不确定性集可以描述如下：
目标函数为：
约束条件如下：
在上述公式中,(23)中的目标函数是使得社会福利最大化(没有常数部分)。约束(24)、(25)分别表示最小的开机时间和最小的停机时间限制。约束条件(26)和(27)计算机组的启动和关闭状态变量。约束(28)强制执行每台发电机组的功率输出上限和下限。约束(29)和(30)实施每台机组的斜率限制。约束(31)确保负载平衡，并要求电源满足需求。约束(32)是传输线容量限制。最后，由于弹性需求的贡献，约束(33)强制实际需求的下限和上限。
步骤3：模型求解
本发明提出了一种序优化的求解思想，基于较高的概率寻求足够好的解集来对模型进行求解。
步骤3.1：按照机会均等原则，从总的决策空间Θ里挑选出N个决策，并构成有限集合ΘN。
步骤3.2：利用某种选择规则，通过快速粗糙评估，从N个决策中确定OPC类型。利用选择规则选出一子决策集S，其元素的个数为s。子决策集S将包含k个足够好的解(以至少α的概率)，相关的数学公式如下所示：
P{|G∩S|>k}≥α (35)
式中：G表示足够好的解的集合，解集中元素的个数为g，表示将各个决策经精确评估后的前g个最好的解；||表示集合元素的个数。
步骤3.3：精确评估子决策集中的每一个元素，从s个元素中选择出一个最好的解。
步骤4：确立运行模式
为对比分析本发明所建调度模型的有效性与正确性，确立以下两种运行模式：
模式1：不同弹性值下考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度。
模式2：不同偏差值下考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度。
本发明以修改的IEEE-30节点系统来验证所提模型的正确性。该系统包含30个节点、6台发电机，调度周期为24小时，使用四段分段线性函数近似机组燃料成本函数，基准电价参考值定为25$/MWh。所有的实验使用CPLEX 12.1，相关计算均在英特尔酷睿i3-3240处理器3.40GHz，8GB内存的Intel Quad Core 2.40GHz的计算机上实现。
为了比较不同需求响应场景下系统的运行效益，本发明计算了不同弹性值下(α＝0的时候，既为不考虑需求侧响应)，基于本发明中的方法得出运行方案的总社会福利，对比结果如表1所示：
表1不同需求响应方案对比
由表1可知，不同需求响应场景下的总生产成本、单位负荷成本和总的社会福利均有不同。总的生产成本和总的社会福利随着弹性值的增加而上升，同时单位负荷成本随着弹性值的增加呈现下降趋势。
可见，引入需求响应有助于降低系统的单位负荷成本，虽然会使得总的生产成本有所增加，但总的社会福利却是增大的。这是由于，将需求侧响应纳入到调度体系之中，有利于平抑源荷侧的波动性因素，提升其运行效益。
为了对比不同的需求响应方案，本发明假设需求弹性曲线是确定的，并将设置为5，但在实际生活中，由于多种原因，实际的价格弹性需求曲线实质上是不确定的。将弹性值固定为α＝-1，在此情景下本发明测试价格弹性需求曲线的三个不同偏差值，和为了比较不同偏差值下的性能，利用单位负荷成本和社会福利值来进行对比，其结果如下表2所示：
表2需求响应不确定性对比
由表2可知，当有不同偏差值时，且当系统有更多的不确定性需求时，即偏差值增大时，社会福利值和单位负荷成本均减小，其中总生产成本也呈现减少的趋势。分析可知，当需求响应曲线具有更多的不确定时，也就是说偏差值增大时，需求曲线移动以实现较小的需求平衡，这就对应于较小的总生产成本和单位负荷成本。
本发明按照优选实施例进行了说明，但上述实施例不以任何形式限定本发明，凡采用等同替换或等效变换的形式所获得的技术方案，均落在本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种考虑需求侧响应不确定性的电力系统日前优化调度方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：源荷侧不确定性建模
步骤1.1：需求侧响应的不确定性建模
针对基于电价的需求侧响应，根据电价与电能需求量之间的变化关系，考虑价格弹性需求曲线不确定性，在此基础上建立需求侧响应模型，
价格弹性需求曲线的数学表达式为：
<mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> </msup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
或者
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式中：表示用于描述价格弹性需求曲线的不确定性的偏差，按照近似价格弹性需求的步骤，曲线作为分段函数，对于价格弹性需求曲线中的每个电价相应的电能需求量允许在范围内变化，其中表示基准电价参考值，是的偏差，是的上限；
需求响应曲线的不确定性集可以描述如下：
<mrow> <mi>&amp;Pi;</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>:</mo> <mo>-</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：是的偏差，是的上限。T表示时间段集，B表示总线，K表示引入的近似价格性需求曲线；
步骤1.2：风电出力的不确定性建模
利用基数不确定性集来调整风电出力模型的保守性，引入整数πb作为基数预算，以限制风力输出远离其在总线b处的预测值的时间段的数量，在每个总线b处，当风力输出达到其上限、下限或预测值以及风力输出不处于其预测值的周期的总数时，发生最坏情况的风力输出情形应该不超过预算值πb；
不确定性集合可以描述如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>W</mi> <mo>:</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>w</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mo>|</mo> <mi>T</mi> <mo>|</mo> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>*</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>-</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>W</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>-</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>+</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>z</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>-</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>b</mi> </msup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：代表在时间段t内总线b的风力输出的预测值，分别代表高于和低于允许的最大偏差值，和是二进制变量；如果风力输出将达到其上限，如果风力输出将达到其下限，如果两者都为0，就会实现预测值；
步骤2：考虑不确定性需求侧响应的日前调度建模
步骤2.1：确定性需求侧响应的日前优化调度建模
首先建立确定性需求侧响应的日前调度模型，由于在日前调度优化模型考虑了电价因素，因此目标函数为社会福利最大化，此外在该模型中，风电出力被假设为确定值，价格弹性需求曲线也是确定的，模拟需求曲线和供给曲线，
目标函数描述如下：
<mrow> <mi>max</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <munder> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>SU</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>SD</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：T表示时间段的集合，B表示节点的集合，Gb表示节点b处的发电机组，表示发电机i在节点b的启动成本，为发电机i在节点b的停机成本，为发电机i在节点b处在时间段t内产生的电量，为节点b在时间段t内的实际用电需求，为节点b在时间段t内的价格弹性需求曲线的积分，fi b为发电机i在节点b处的燃料成本函数；
步骤2.2：线性化机组燃料成本函数
将机组的燃料成本表示为二次函数，使用N段线性函数来近似燃料成本函数：
<mrow> <msubsup> <mi>&amp;phi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>&amp;GreaterEqual;</mo> <msubsup> <mi>&amp;gamma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中:和是第j段函线的截距和斜率，是辅助变量；
步骤2.3：线性化消费者需求响应模型
将消费者剩余中的弹性用电需求响应模型转化为价格弹性需求曲线模型，如果价格弹性是恒定的，可以将价格弹性需求曲线表示为：
<mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>p</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中：是节点b在时间段t内的电价，是t时间段中节点b处所给定的价格弹性值，并且使可以由给定参考点决定的参数值，
对于一般的价格弹性需求曲线，应用分段函数来近似该价格弹性需求曲线，因此将近似为：
<mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>p</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>=</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>K</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中:是分段函数的第k段，是k段处的相应价格，是在k段处处为需求引入的辅助变量，K是所有的段长集合；
将最大化，是严格地随着k的增加而减少，得到：
<mrow> <msubsup> <mi>h</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>l</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>s</mi> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>l</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mi>f</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>s</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
当存在某个s0使得成立时，可以证明是价格弹性需求曲线的近似积分，即是合理的；
步骤2.4：不确定性需求侧响应的日前调度建模
在步骤2.1中，假设价格弹性需求曲线是确定的，当作出日前调度决策时，必须允许价格弹性需求曲线在一定范围内变化，实际的价格弹性需求曲线是不确定的；为调整保守性，引入参数以限制偏差的总量，即通过改变的值来调整所提出的方法的保守性，值越小，需求响应曲线的不确定性也就越小；
需求响应曲线的不确定性集可以描述如下：
目标函数为：
<mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>r</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>b</mi> </msub> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>SU</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>SD</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
约束条件如下：
<mrow> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>k</mi> <mo>:</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;le;</mo> <msubsup> <mi>MU</mi> <mi>i</mi> <mi>b</mi> </msubsup> <mo>;</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>t</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>T</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>b</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mo>&amp;ForAll;</mo> <mi>i</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>G</mi> <mi>b</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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步骤3：模型求解
步骤3.1：按照机会均等原则，从总的决策空间Θ里挑选出N个决策，并构成有限集合ΘN；
步骤3.2：利用某种选择规则，通过快速粗糙评估，从N个决策中确定OPC类型。利用选择规则选出一子决策集S，其元素的个数为s，子决策集S将包含k个足够好的解(以至少α的概率)，相关的数学公式如下所示：
P{|G∩S|>k}≥α (25)
式中：G表示足够好的解的集合，解集中元素的个数为g，表示将各个决策经精确评估后的前g个最好的解；||表示集合元素的个数；
步骤3.3：精确评估子决策集中的每一个元素，从s个元素中选择出一个最好的解。
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