CN107863963B

CN107863963B - 一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法

Info

Publication number: CN107863963B
Application number: CN201711055624.3A
Authority: CN
Inventors: 万毅; 张泉斌
Original assignee: Lanzhou University
Current assignee: Lanzhou University
Priority date: 2017-11-01
Filing date: 2017-11-01
Publication date: 2020-11-03
Anticipated expiration: 2037-11-01
Also published as: CN107863963A

Abstract

一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法，要求连续模拟信号x(t)在[0,1]区间上除了有限个点t_s,0＝0＜t_s,1＜...＜t_s,K‑1＜t_s,K＝1之外连续一阶可导；待采样连续模拟信号x(t)经过一次微分电路后，对输出信号通过模拟电路求得其幅值的最大值，用以计算采样周期T，计算得到的采样周期T能够保证在没相邻两个采样点之间最多包含一个不可导的点，并以该采样周期T对延时后的待采样模拟信号x(t)以及该延时后的待采样连续模拟信号x(t)的一阶导数进行采样，在重构时，利用各个采样值组成一个分段线性函数来近似待采样模拟信号x(t)。本发明是一个纯粹基于时域的方法，能够保证逐点最大重构误差的前提下进行有效的均匀采样。本方法适用于所有连续，并且除了有限个点外连续一阶可导的模拟信号都适用。

Description

一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法

技术领域

本发明涉及信号采样技术领域，特别涉及一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构的时域方法。

背景技术

在这个数字时代，把一个模拟信号先转换成数字信号再进行处理或存储等工作几乎成了一个标准过程。在这一转换过程中信号采样是基本的一个步骤。到目前为止用来确定采样率的基本理论是经典的针对带限信号的香农采样理论(例如文献[1],[2])。该理论的核心内容可以描述如下：对任意一个带宽为W的信号x(t)，如果采样率f_s至少为2W，那么x(t)就可以由其采样点和sinc函数

完美地重构出来。在进行采样器设计时香农理论可以看成一个基于频域的工具，因为其分析基础是基于信号的频谱。在过去几十年中沿着这一思路的跟进工作有许多(例如文献[1],[3]–[6])。针对某些类特殊信号的采样方法也被提出(例如文献[7]–[10])。

香农理论虽然在理论上简洁漂亮，在实际设计采样器的过程中却可能带来不便或困难。首先，所有需要处理的实际模拟信号在时间上都是有限的，那么这些信号就必然是非带限信号[11]。所以任何频谱的截断就必然带来采样后的信号频谱混叠现象，从而产生误差。实际上，通常以下四种误差都需要考虑：频谱混叠误差，幅度误差，截断误差，以及时间抖动误差，如文献[12],[13]。这些误差分析也被用在小波分析上，如文献[14]。傅立叶分析中涉及到的著名的Gibbs现象可能产生较大的瞬时误差，如文献[15]。随着高速DSP的应用越来越广，人们经常希望在保证时域逐点(pointwise)重构误差的前提下采样尽量少的数据点。香农理论在这方面没有提供什么支持。虽然有方法被提出来用于在保证重构误差的前提下尽量减少采样点的个数(例如文献[16])，目前还是缺乏适用于工程应用的简单有效的方法。在一些应用场合，我们并不能提前得到信号的频谱信息，也就不能直接应用香农理论了。并且，重构模拟信号的电路常常使用常数或线性插值，如文献[17]，但是在香农理论中用于插值的sinc函数在实际中是不能完全得到的。虽然香农理论中用到的能量稳定性在推导中方便使用，但是在工程实践中逐点(pointwise)的稳定性是更常期望的，尤其在研究信号瞬态特征的时候，如文献[3]。

虽然之前有基于时域的采样方法被提出，如文献[18]，但此类方法都要求被采样模拟信号连续可导，从而使用范围有限。

发明内容

本发明提出一种模拟信号采样与重构的方法，是一个纯粹基于时域的方法，能够保证逐点最大重构误差的前提下进行有效的均匀采样。本方法不但对连续可导的模拟信号适用，而且对所有连续，并且除了有限个点外连续一阶可导的模拟信号都适用。

本发明所采用的技术方案为：

一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法，要求连续模拟信号x(t)在[0,1]区间上除了有限个点t_s,0＝0＜t_s,1＜...＜t_s,K-1＜t_s,K＝1之外连续一阶可导；待采样连续模拟信号x(t)经过一次微分电路后，对输出信号通过模拟电路求得其幅值的最大值，用以计算采样周期T，计算得到的采样周期T能够保证在每相邻两个采样点之间最多包含一个不可导的点，并以该采样周期T对延时后的待采样模拟信号x(t)以及该延时后的待采样连续模拟信号x(t)的一阶导数进行采样，在重构时，利用各个采样值组成一个分段线性函数来近似待采样模拟信号x(t)。

所述采样周期设置为

式中：x(t)在点t_s,k不可导，k＝0,1,...,K；

ε为最大允许重构误差，单位与待采样连续模拟信号x(t)的单位一致；

η₂为待采样模拟信号x(t)的二阶导数幅值的最大值。

利用所述采样周期T进行采样，信号重构方法：

对任意t∈[nT,(n+1)T]，设置

y₁(t)＝x(nT)+x'(nT)(t-nT)

y₂(t)＝x((n+1)T)+x'((n+1)T)(t-(n+1)T)

得到方程

的解区间[t₃,t₄]。如果[t₃,t₄]＝[nT,(n+1)T]，设置

x_r(t)＝y₁(t)或y₂(t)

否则设置

或t₀'取为[t₃,t₄]区间的任意一点，

以及

与传统的香农采样理论相比，本发明的有益效果：

1)易于分析与实现。本文提出的方法允许采样器的设计完全在时域进行。如果信号最大的变化率x”(t)已知，可以很容易地计算出有效的采样周期。如果不知，如图3所示，可以由模拟电路自动获得。但是在香农采样理论中，信号带宽无法很容易地通过电路估计得到。

2)保证每一个点的重构误差精度。在经典的香农采样理论中，这个通常在实践中所需要的功能几乎是缺失的。但是在本文所提出的方法中，可以设计保证每个点的最大重构误差。如具体实施部分论述所示，本发明重构误差范围很严谨。但是在香农采样理论中时域重构误差范围很难被估计，而且可能随着信号的变化而变化较大。

3)适用于非带限和非连续可导模拟信号。所有的物理信号都是时间有限的，因此它们必然是非带限信号。所以在香农采样理论的实际应用中总是涉及到近似，而且也很难去分析每个点的时域重构误差。相比之下，本发明所提出的方法能够很容易地处理非带限和非连续可导模拟信号，并且重构误差可控。而且它也能够有效地对连续分段线性信号进行完美采样重构。

4)适用于未知特征的采样信号。在经典的香农采样理论中，在采样之前我们需要知道信号的带宽。但本发明提出的方法的实现结构不需要采样信号的任何信息，因为相关参数都可以在采样电路中得到。

附图说明

图1中a、b依次为本发明采用的两种待采样模拟信号x(t)示意图；

图2中a、b依次为两种待采样连续模拟信号x(t)经过香农采样理论进行采样后的重构误差仿真结果示意图；

图3为本发明的电路原理图，其中延时T_d与计算T的时间相当；

图4中a、b依次为本发明实施例1的两种待采样模拟信号x(t)经过采样后的重构误差仿真结果示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明及其效果进一步说明。

我们先简单回顾香农采样理论。给定一个带宽为W的待采样模拟信号x(t)，先定义一个采样冲击序列信号

其中采样周期T在下面确定，从而保证完美重构。

s(t)的频谱可以写成

其中采样率f_s＝1/T。

然后得到的采样序列就是

x_s(t)的频谱然后就可以写成

其中*是卷积运算。

公式(4)告诉我们为了得到完美重构，我们需要以下两个条件：

1)

f_s≥2W (5)

2)将x_s(t)通过一个理想低通滤波器Th(t)

其中

并且

W＜f_c＜f_s-W (7)

满足以上两个条件将使得重构信号x_r(t)与x(t)具有相同的频谱。那么我们就得到在L₂范数下x_r(t)＝x(t)。

滤波器的时域冲击响应h(t)是

h(t)＝2f_csinc(2f_ct) (8)

所以，利用公式(3)和(8)，x_r(t)的解析表达式就是

公式(9)是利用x(t)的采样点进行重构的公式。我们将以上的香农采样与重构方法归纳为算法AF。

在图1中我们列出两个测试信号，并且将算法AF的重构效果列在图2中。图1中的两个信号全部定义在[0,1]区间上，并且依次为如下形式：

x₁(t)＝g(2t)+2g(2t-1) (10)

其中

为了有效地采样(采集尽可能少的数据点)，我们希望在保证期望的重构信号精度的前提下使用尽可能大的采样周期T。第一个困难就是估计信号的带宽W。即使有了信号的表达式，我们通常在艰苦的推导后才得到如下的频谱：

其中

是1_[0,1](t)的频谱，并且我们使用了小-o的记号，意思是

注意这两个信号中没有一个的带宽W是有限的。所以我们就把带宽W定义为频谱从此以后衰减的足够小的频率点，即对于所有f>W，

本文中我们固定ε_f＝10^-3。然后我们就可以得到信号x_k(t)的带宽W_k如下：

为了满足公式(5)和(7)，我们选择f_s＝2.1W以及f_c＝f_s/2。

现在我们可以根据公式(9)进行信号采样与重构。但是在这之前，我们并不能对逐点的重构误差有什么保证，因为香农理论是通过L₂范数建立起来的，或者如文献[3]描述的，香农理论只保证能量稳定性。如何将频域的误差上界转化为时域的误差还是一个尚未解决的问题。事实上，在4G和5G通信中广为研究的峰均功率比(PAPR)问题中这是一个核心难点(例如文献[19])。

在本发明中我们提出一个基于时域的方法来回答如下问题：给定一个有限长度的待采样非连续可导模拟信号x(t)以及一个最大的逐点重构误差上界ε，如何有效地对x(t)进行均匀采样，使得最大的逐点重构误差不超过ε？

为此，本发明采用的方法是：将待采样连续模拟信号x(t)经过两次模拟一阶微分电路后，对输出信号通过模拟电路求得其幅值的最大值，用以与T_s一同计算采样周期T，并以该采样周期T对延时后的待采样模拟信号x(t)以及该延时后的待采样模拟信号x(t)的一阶导数进行采样，在重构时，利用各个采样值组成分段线性函数来近似待采样模拟信号x(t)。

下面通过具体的实施例对上述方法进行验证说明。

一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法，待采样连续模拟信号x(t)经过两次一阶微分电路后，对输出信号通过模拟电路求得其幅值的最大值η₂，用以与T_s一同计算采样周期

并以该采样周期T对延时后的待采样模拟信号x(t)以及该延时后的待采样模拟信号x(t)的一阶导数进行采样，在重构时，利用各个采样值组成一个分段线性函数来近似待采样连续模拟信号x(t)。式中：

x(t)在点t_s,k不可导，k＝0,1,...,K；

η₂为待采样连续模拟信号x(t)的二阶导数幅值或绝对值的最大值。

利用所述采样周期T进行采样，信号重构方法：

对任意t∈[nT,(n+1)T]，设置

y₁(t)＝x(nT)+x'(nT)(t-nT)

y₂(t)＝x((n+1)T)+x'((n+1)T)(t-(n+1)T)

得到方程

的解区间[t₃,t₄]。如果[t₃,t₄]＝[nT,(n+1)T]，设置

x_r(t)＝y₁(t)或y₂(t)

否则设置

或t₀'取为[t₃,t₄]区间的任意一点，

以及

依据香农理论进行信号的采样与重构并不能对逐点的重构误差有什么保证，如附图2所示，两个信号的最大重构误差都在0.01数量级，本发明能够使得最大信号重构误差完全满足设计要求，如附图4所示，本发明的重构方法产生的重构误差均小于设计要求的10^-3，特别地，对于信号x₁(t)这样的分段线性信号，最大重构误差是0，也就是说，达到了完美重构。不但如此，如表I所示，本发明的方法所需的采样周期比香农理论所确定的采样周期高出许多，说明本发明所需的采样点数更少。

表I

两个测试信号由不同算法得到的采样周期T

Alg.	T<sub>1</sub>	T<sub>2</sub>
			香农理论	0.013514	0.000598
本发明	0.125	0.00151976

一，证明如下：

根据假设，采样周期T满足T＜T_s。这将使得任一采样区间至多含有一个不可导的点。对任意采样区间[nT,(n+1)T)，没有不可导的点的情况很容易处理。所以我们处理其他情况，即在[nT，(n+1)T]区间上x(t)在t₀不可导，但在[nT，(n+1)T]区间上除t₀外的其他部分连续可导。

在区间[nT,t₀]上，将x(t)表示为

在区间t∈[t₀,(n+1)T]上，将x(t)表示为

在区间[nT,(n+1)T]上定义函数

y₁(t)＝x(nT)+x'(nT)(t-nT) (48)

y₂(t)＝x((n+1)T)+x'((n+1)T)(t-(n+1)T) (49)

如果t∈[nT,t₀]，我们可以推导得到

如果t∈[t₀,(n+1)T]，我们可以类似得到

在t＝t₀处，由(50)和(51)我们可以得到

事实上，对任意t满足(52)，都有

|y_i(t)-x(t)≤ε，i＝1,2 (53)

因为,例如，如果t∈[nT,t₀]，则(50)式对于y₁(t)成立，并且(53)对于i＝1也成立；式(50)和(52)表明(53)对于i＝2也有效。

因为y₁(t)和y₂(t)都是线性函数，所以(52)式可以被表示为如下形式

其中a和b均为常数。如果a＝0，那么(52)式对所有的t∈[nT,(n+1)T]均有效，(52)式之后的分析表明无论y1(t)或者y2(t)用来表示x_r(t)均能满足|x_r(t)-x(t)≤ε。如果a≠0，在区间nT和(n+1)T上解(54)式，可以得到

t∈[t₃,t₄] (55)

其中

其中sgn(·)是符号函数。

既然t₀∈[t₃,t₄]，所以对于任意t₀'∈[t₃,t₄]

都会满足|x_r(t)-x(t)≤ε。

特别地，为了进一步减少重构误差，可以取

二，具体实现算法

0)输入x(t)，t∈[0,1]，时域最大误差允许值ε和T_s。

1)估计

2)设置

3)获取采样点x(nT)和x'(nT)。

4)对任意t∈[nT,(n+1)T)，设置

y₁(t)＝x(nT)+x'(nT)(t-nT)

y₂(t)＝x((n+1)T)+x'((n+1)T)(t-(n+1)T)

得到方程

的解区间[t₃,t₄]。如果[t₃,t₄]＝[nT,(n+1)T]，设置

x_r(t)＝y₁(t) (59)

否则设置

和

以下为本发明中所涉及的现有文献：

[1]Abdul J.Jerri,―The Shannon sampling theorem—Its variousextensions and applications:A tutorial review,”Proceedings of the IEEE,vol.65,no.11,pp.1565–1596,1977.

[2]John G.Proakis and Dimitris G.Manolakis,Digital Signal Processing:Principles,Algorithms,and Applications,4th Ed.,Prentice-Hall,2006.

[3]P.P.Vaidyanathan,―Generalizations of the sampling theorem:Sevendecades after Nyquist,”IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Fundamental Theory and Applications,vol.48,no.9,pp.1094–1109,2001.

[4]Ahmed I Zayed,Advances in Shannon’s sampling theory,CRC press,1993.

[5]Robert J II Marks,Advanced topics in Shannon sampling andinterpolation theory,Springer Science&Business Media,2012.

[6]Michael Unser,―Sampling—50years after Shannon,”Proceedings ofthe IEEE,vol.88,no.4,pp.569–587,2000.

[7]Rodney G Vaughan,Neil L Scott,and D Rod White,―The theory ofbandpass sampling,”IEEE Transactions on signal processing,vol.39,no.9,pp.1973–1984,1991.

[8]Raymond Boute,―The geometry of bandpass sampling:A simple andsafe approach[lecture notes],”IEEE Signal Processing Magazine,vol.29,no.4,pp.90–96,2012.

[9]Jason D McEwen,Gilles Puy,Jean-Philippe Thiran,PierreVandergheynst,Dimitri Van De Ville,and Yves Wiaux,―Sparse signalreconstruction on the sphere:implications of a new sampling theorem,”IEEETransactions on image processing,vol.22,no.6,pp.2275–2285,2013.

[10]Hiromi Ueda and Toshinori Tsuboi,―A sampling theorem forperiodic functions with no minus frequency component and its application,”inCommunications(APCC),2013 19th Asia-Pacific Conference on.IEEE,2013,pp.225–230.

[11]Stephane Mallat,A wavelet tour of signal processing,2nd Ed.,Academic press,1999.

[12]George C Stey,―Upper bounds on time jitter and sampling rateerrors,”in IEE Proceedings G-Electronic Circuits and Systems.IET,1983,vol.130(5),pp.210–212.

[13]Jingfan Long,Peixin Ye,and Xiuhua Yuan,―Truncation error andaliasing error for Whittaker-Shannon sampling expansion,”in ControlConference(CCC),2011 30th Chinese.IEEE,2011,pp.2983–2985.

[14]Wenchang Sun and Xingwei Zhou,―Sampling theorem for waveletsubspaces:error estimate and irregular sampling,”IEEE Transactions on SignalProcessing,vol.48,no.1,pp.223–226,2000.

[15]Holger Boche and Ullrich J Moenich,―Reconstruction Behavior ofShannon Sampling Series with Oversampling-Fundamental Limits,”in Source andChannel Coding(SCC),2008 7th International ITG Conference on.VDE,2008,pp.1–6.

[16]Zhanjie Song,Bei Liu,Yanwei Pang,Chunping Hou,and Xuelong Li,―Animproved Nyquist–Shannon irregular sampling theorem from local averages,”IEEETransactions on Information Theory,vol.58,no.9,pp.6093–6100,2012.

[17]Chung-hsun Huang and Chao-yang Chang,―An area and powerefficient adder-based stepwise linear interpolation for digital signalprocessing,”IEEE Transactions on Consumer Electronics,vol.62,no.1,pp.69–75,2016.

[18]Philip E Luft and Timo I Laakso,―Adaptive control of samplingrateusing a local time-domain sampling theorem,”in Circuits and Systems,1994.ISCAS’94.,1994IEEE International Symposium on.IEEE,1994.

[19]Tao Jiang and Yiyan Wu,“An overview:Peak-to-average power ratioreduction techniques for OFDM signals,”IEEE Transactions on broadcasting,vol.54,no.2,pp.257–268,2008.

Claims

1.一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法，其特征在于：要求连续模拟信号x(t)在[0,1]区间上除了有限个点t_s,0＝0＜t_s,1＜...＜t_s,K-1＜t_s,K＝1之外连续一阶可导；待采样连续模拟信号x(t)经过一次微分电路后，对输出信号通过模拟电路求得其幅值的最大值，用以计算采样周期T，计算得到的采样周期T能够保证在没相邻两个采样点之间最多包含一个不可导的点，并以该采样周期T对延时后的待采样模拟信号x(t)以及该延时后的待采样连续模拟信号x(t)的一阶导数进行采样，在重构时，利用各个采样值组成一个分段线性函数来近似待采样模拟信号x(t)；

采样周期设置为

式中：x(t)在点t_s,k不可导，k＝0,1,...,K；

η₂为待采样模拟信号x(t)的二阶导数幅值的最大值。

2.根据权利要求1所述的一种适用于非连续可导模拟信号的采样与重构方法，其特征在于：利用所述采样周期T进行采样，信号重构方法：

对任意t∈[nT,(n+1)T]，设置

y₁(t)＝x(nT)+x'(nT)(t-nT)

y₂(t)＝x((n+1)T)+x'((n+1)T)(t-(n+1)T)

得到方程

的解区间[t₃,t₄]。如果[t₃,t₄]＝[nT,(n+1)T]，设置

x_r(t)＝y₁(t)或y₂(t)

否则设置

或t₀'取为[t₃,t₄]区间的任意一点，

以及