CN107808170A - 高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法 - Google Patents

高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法。首先通过建立高光谱遥感图像的噪声模型对混合在一起的加性噪声和乘性噪声同时进行建模和参数估计，然后对高光谱遥感图像进行分类，最后统计分析高光谱遥感图像的噪声参数。与现有技术相比，该方法能够解决现有技术通常只针对高光谱遥感图像单一的加性噪声或乘性噪声进行参数估计，以及地物分布统计特征的提取不准确的技术问题。

Description

高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法
技术领域
本发明属于图像处理技术领域，涉及高光谱遥感图像噪声参数估计方法，特指一种基于分类的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法。
背景技术
随着高光谱遥感技术的发展，高光谱图像同时具有高空间分辨率和谱间分辨率，这种“图谱合一”的特征使得高光谱遥感图像被广泛应用于农业、林业、地质调查、环境检测、军事侦察等多个领域。高光谱遥感图像在采集和传输的过程中不可避免的引入噪声。噪声对高光谱遥感图像的分类、目标检测等后续应用会产生很多负面的影响。因此定量分析高光谱遥感图像噪声，估计噪声参数对数据的后续处理具有重要的研究意义。
高光谱遥感图像的噪声可以大致分为两类：系统噪声和随机噪声。系统噪声主要体现为条带噪声，可以通过合适的算法进行有效的去除。高光谱遥感图像的随机噪声由电噪声和光噪声组成。电噪声由电路的电流产生，是独立于信号的加性噪声；光噪声由光的基本性质产生，是非独立于信号的乘性噪声。由于产生随机噪声的因素复杂，在统计上具有随机性，很难被精确估计出来。
传统观念认为高光谱遥感图像的噪声主要是独立于信号的加性电噪声，非独立于信号的乘性光噪声可以忽略不计。因此很多方法对高光谱遥感图像建立的模型都是在各个波段内独立于信号的加性高斯白噪声。在这种模型下的噪声方差会随波长变化，但在固定波长的波段内，噪声方差是恒定。基于这个模型假设设计的噪声参数估计方法只需要估计加性噪声，不需要估计乘性噪声。随着现代电子元件的改进，越来越多的研究表明，高光谱成像技术的发展使得加性电噪声得到了较好的抑制。因为加性噪声的降低，以前常常忽略不计的乘性光噪声对图像质量的影响逐渐显现出来。目前有专门估计加性噪声参数的方法，也有专门针对乘性噪声参数的估计方法，但是由于现代高光谱遥感图像的加性噪声和乘性噪声混合在一起，需要对混合在一起的加性噪声和乘性噪声同时进行建模和参数估计。因此现有高光谱遥感图像的噪声参数估计方法还不够成熟和完善，在估计精度上有待改进。
发明内容
针对现有技术通常只针对高光谱遥感图像单一的加性噪声或乘性噪声进行参数估计的技术问题；本发明提出了一种高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法。
本发明的技术方案是：
高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，包括以下步骤：
S1，建立高光谱遥感图像的噪声模型；
高光谱遥感图像的噪声由加性噪声和乘性噪声混合而成，建立的噪声模型如下：
其中是观测到的有噪声的信号，s是不含噪声的原始信号；u是独立于s的平稳随机信号，均值为零，方差为则v＝sγu是乘性噪声项，系数|γ|≤1；w是均值为零，方差为的高斯白噪声信号，独立于s；因此高光谱遥感图像的噪声包括独立于信号的加性噪声项w和非独立于信号的乘性噪声项v＝sγu，加性噪声的方差和乘性噪声的方差是待估计的参数；
优选的，γ＝0.5；
本发明通过对混合在一起的加性噪声和乘性噪声同时进行建模和参数估计，克服了传统高光谱遥感图像噪声参数估计方法无法同时估计加性和乘性混合的噪声，现有混合噪声估计方法精度不够高的技术问题；
S2，对高光谱遥感图像进行分类；
估计噪声的一个重要环节是在地物均匀分布的图像块中进行统计特征的提取，即将图像均匀分割成N×N的块，N为任意整数。从统计的角度讲，在地物均匀分布的图像块中，N越大，样本点越多，参数估计值越接近真实的均值和方差。但在实际处理中，N的取值越大，图像块里面包含的地物种类就越多，违背了统计特征值的提取需要地物均匀分布的基本前提假设。因此通常选取N＝7。
但这种均匀分割图像的方法比较简单没有考虑地物分布情况，若同一分块中混合多种地物，一个图像块里将包含大量非均匀区域，会导致统计特征的提取不准确。
由于分类算法对噪声敏感，为了提高分类精度，消除噪声对分类的不利影响，本发明对高光谱遥感图像进行去噪预处理；所述对高光谱遥感图像进行去噪预处理的具体方法为：
S201输入含噪声的高光谱遥感图像Y，利用多元线性回归得到预测图像X和残差图像R；
S202将预测图像X变换到微分域δX，再将其变换到小波域，得到小波系数WδX；
S203将残差图像R变换到小波域，得到小波系数WR；
S204利用小波双变量收缩函数，分别将小波系数WδX和WR收缩得到和
S205小波系数通过小波逆变换得到微分域的预测图像利用光谱积分和积分修正得到处理后的预测图像
S206小波系数进行小波逆变换，得到处理后的残差图像
S207将处理后的预测图像和处理后的残差图像相加，得到去噪后的高光谱遥感图像
本发明通过在对图像分类前先对高光谱遥感图像进行去噪预处理，能够有效消除噪声对分类的不利影响，提高了图像分类精度，并最终提高噪声参数估计的精度；
随后对去噪后的高光谱遥感图像进行分类，提取同质地物，划分地物均匀分布区域；
进一步的，本发明采用K-mean算法对高光谱遥感图像进行分类；
K-mean是一种经典的非监督分类方法，其基本思想是：通过迭代，按照最小距离原则将各像元分配到某一类，通过不断的计算聚类中心和调整各像元的类别，最终使各聚类域中的所有像元到其判属类别中心的距离平方和最小；
设去噪后的高光谱遥感图像的像元向量为把一幅图像分割成K个区域，即把数据集分为K个互不相交的子集Λk(k＝1,2,...,K)，Nk表示第k聚类Λk中的像元个数，聚类中心mk表示聚类Λk中像元的平均值，即
设用K个聚类中心(m1,m2,...,mK)代表的K个像元子集(Λ1,Λ2,...,ΛK)时所产生的误差平方和为指标J，
K-mean算法的目的是使通过迭代，逐次移动各类的中心，直到指标J的值达到最小；K-mean算法的具体计算过程如下：
1)从去噪后的高光谱遥感图像中任意选出K个像元作为初始化的聚类中心，m1,m2,...,mK；
2)根据下列关系，把每个像元yi赋给K个聚类Λk(k＝1,2,...,K)中的一个
yi∈Λk，||yi-mk||2＜||yi-ml||2 (4)
其中，l＝1,2,...,K，且l≠k，即把像元赋给最接近聚类中心的那一类；
3)根据公式(2)修改聚类中心；
4)根据公式(3)计算指标J；如果它相对上次迭代中的指标值的改变量小于预先指定的阈值，则算法停止，否则返回步骤2)；
本发明通过采用K-mean算法对去噪后的高光谱遥感图像进行分类并在同一类中进行样本数字特征统计的方法，有效地克服了传统简单分块处理不考虑地物分布情况，统计特征提取不准确的技术问题。
S3，统计分析高光谱遥感图像的噪声参数；
基于分类的结果，统计噪声图像在地物均匀分布的区域内样本的数字特征，建立关于待估参数加性噪声的方差和乘性噪声的方差的超定方程组，采用最小二乘法，求解和的估计值；
进一步的，步骤S3具体包括以下步骤：
S301，去除谱间相关性；采用多元线性回归，根据每个波段及其两个相邻波段计算出预测图像和残差图像，去除谱间相关性，将残差图像看作是随机噪声的估计；
通过步骤S3，高光谱图像数据块被划分成K个不相重合的类Λ1,Λ2,...,ΛK，每个类视为由同一均匀地物区域内的像元组成的集合；设高光谱图像数据块有L个波段，每个波段含有M×N(行×列)个像元；在实际观测到的含噪声数据中，用表示第k(1≤k≤K)个类中位置为i(1≤i≤M×N)的第l(1≤l≤L)波段的像素值；是相应位置不含噪声的纯净信号；和是独立于的零均值高斯白噪声，其方差分别为和 和是待估计的参数；这样，噪声模型可以写为：
设为像素的预测值，计算方法如下：
其中，系数al,bl和cl用多元线性回归计算，残差计算如下：
S302，估计噪声参数；计算残差图像中同一均匀地物区域内的局部统计数字特征，建立线性方程组，求解噪声的参数估计值；
在第k个分类的均匀地物区域，随机变量的方差是零，即
其中，表示的方差；设表示的期望，为了表示方便，将记为即
由于 是一个独立于i的常数，即
随机变量与常数1分别相互独立，由公式(5)至(9)以及方差的性质，可以计算得到，对1≤l≤L，有
其中，和是未知的；
设分块矩阵A记为
其中，
设其中和是未知的待估参数；设
其中，
因此，由(12)和(13)式知，线性方程组(11)可以写成矩阵形式
Ax＝d (14)
其中，A是KL×2L矩阵,x是2L×1向量，d是KL×1向量；
在实际计算中，理论上的期望由第k类均匀区域中的所有像素的平均值近似代替，由第k类均匀区域中的所有像素的样本方差近似代替；
这样，噪声参数估计的问题被转化成求解线性方程组(14)，注意到A是一个矩形矩阵，在最小二乘的意义下，该线性方程组的解为：
由此实现了对高光谱遥感图像噪声参数的估计。
本发明的有益效果是：
1)本发明能够估计出加性与乘性噪声混合的高光谱遥感图像噪声参数，克服了现有技术通常是针对单一的加性噪声或乘性噪声进行参数估计的技术问题；
2)本发明提出对高光谱遥感图像进行分类，在同一类中进行样本数字特征统计，相比于传统的简单分块方法，有效提高了数字特征提取的精度；
3)本发明提出在对图像分类前先对高光谱遥感图像进行去噪预处理，能有效消除噪声对分类的不利影响，提高了分类精度，并最终提高噪声参数估计的精度。
附图说明
图1为实施例中AVIRIS数据Cuprite第70波段的原始图像
图2为实施例中AVIRIS数据Cuprite第70波段的加噪图像
图3为实施例中AVIRIS数据Cuprite第70波段的去噪图像
图4为实施例中第61至第80波段加性噪声的标准差
图5为实施例中第61至第80波段乘性噪声的标准差
具体实施方式
下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。
实施例1
采用来自美国NASA，JPL提供的AVIRIS数据Cuprite，为避开水汽吸收波段，截取来自第61至第80波段的图像，图像大小为256×256×20(M行×N列×L波段)。信噪比的公式为
SNR＝10log10(PX/PN) (15)
其中PX是纯净信号的能量，PN是含有噪声的信号中的噪声能量，即
相对误差定义为：
其中是估计的标准差，σ是仿真实验所加的实际标准差。下面采用本发明的方法对上述高光谱遥感图像数据进行噪声估计。
S1，建立高光谱遥感图像的噪声模型；
高光谱遥感图像的噪声由加性噪声和乘性噪声混合而成，建立的噪声模型如下：
其中是观测到的有噪声的信号，s是不含噪声的原始信号；u是独立于s的平稳随机信号，均值为零，方差为则v＝sγu是乘性噪声项，对于高光谱遥感图像，取γ＝0.5；w是均值为零，方差为的高斯白噪声信号，独立于s；因此高光谱遥感图像的噪声包括独立于信号的加性噪声项w和非独立于信号的乘性噪声项v＝sγu，加性噪声的方差和乘性噪声的方差是待估计的参数；
本实施例中给图像加上信噪比为30dB的加性和乘性混合噪声，加性噪声和乘性噪声的能量之比为1:1，这意味这两种噪声所占比例相当，在噪声参数估计中都必须考虑，不能忽略不计。
S2，对高光谱遥感图像进行分类；
首先对高光谱遥感图像进行去噪预处理，具体步骤为：
S201输入含噪声的高光谱遥感图像Y，利用多元线性回归得到预测图像X和残差图像R；
S202将预测图像X变换到微分域δX，再将其变换到小波域，得到小波系数WδX；
S203将残差图像R变换到小波域，得到小波系数WR；
S204利用小波双变量收缩函数，分别将小波系数WδX和WR收缩得到和
S205小波系数通过小波逆变换得到微分域的预测图像利用光谱积分和积分修正得到处理后的预测图像
S206小波系数进行小波逆变换，得到处理后的残差图像
S207将处理后的预测图像和处理后的残差图像相加，得到去噪后的高光谱遥感图像
对高光谱遥感图像进行去噪预处理的详细步骤可以参考文献“徐冬,孙蕾,罗建书,基于多元线性回归的高光谱遥感图像小波去噪，遥感信息,2013,28(6):78-81”。
实验结果表明采用了步骤S2中的去噪方法，可以将信噪比为30dB的图像质量提高至40.4768dB。图1-3分别给出了第70波段Cuprite的原始图像，加噪图像和去噪图像。
采用K-mean算法对高光谱遥感图像进行分类处理，K-mean算法的具体计算过程如下：
1)从去噪后的高光谱遥感图像中任意选出K个像元作为初始化的聚类中心，m1,m2,...,mK；
2)根据下列关系，把每个像元yi赋给K个聚类Λk(k＝1,2,...,K)中的一个
yi∈Λk，||yi-mk||2＜||yi-ml||2 (4)
其中，l＝1,2,...,K，且l≠k，即把像元赋给最接近聚类中心的那一类；
3)根据公式(2)修改聚类中心；
4)根据公式(3)计算指标J；如果它相对上次迭代中的指标值的改变量小于预先指定的阈值，则算法停止，否则返回步骤2)；
本实施例中，根据经验选取分类数为250，类间阈值设置为5，最大迭代次数为100，通常迭代次数都在20次以内。
S3，统计分析高光谱遥感图像的噪声参数；
S301，去除谱间相关性；采用多元线性回归，根据每个波段及其两个相邻波段计算出预测图像和残差图像，去除谱间相关性，将残差图像看作是随机噪声的估计；
通过步骤S2，高光谱图像数据块被划分成K个不相重合的类Λ1,Λ2,...,ΛK，每个类视为由同一均匀地物区域内的像元组成的集合；设高光谱图像数据块有L个波段，每个波段含有M×N(行×列)个像元；在实际观测到的含噪声数据中，用表示第k(1≤k≤K)个类中位置为i(1≤i≤M×N)的第l(1≤l≤L)波段的像素值；是相应位置不含噪声的纯净信号；和是独立于的零均值高斯白噪声，其方差分别为和 和是待估计的参数；这样，噪声模型可以写为：
设为像素的预测值，计算方法如下：
其中，系数al,bl和cl用多元线性回归计算，残差计算如下：
S302，估计噪声参数；计算残差图像中同一均匀地物区域内的局部统计数字特征，建立线性方程组，求解噪声的参数估计值；
在第k个分类的均匀地物区域，随机变量的方差是零，即
其中，表示的方差；设表示的期望，为了表示方便，将记为即
由于是一个独立于i的常数，即
随机变量与常数1分别相互独立，由公式(5)至(9)以及方差的性质，可以计算得到，对1≤l≤L，有
其中，和是未知的；
设分块矩阵A记为
其中，
设其中和是未知的待估参数；设
其中，
因此，由(12)和(13)式知，线性方程组(11)可以写成矩阵形式
Ax＝d (14)
其中，A是KL×2L矩阵,x是2L×1向量，d是KL×1向量；
在实际计算中，理论上的期望由第k类均匀区域中的所有像素的平均值近似代替，由第k类均匀区域中的所有像素的样本方差近似代替；
这样，噪声参数估计的问题被转化成求解线性方程组(14)。注意到A是一个矩形矩阵，在最小二乘的意义下，该线性方程组的解为：
至此，运用本发明的方法实现了对高光谱遥感图像的噪声估计。
实施例2
采用和实施例1相同的样本数据，以及相同的步骤方法，区别在于在步骤S2中，将图像直接划分成7×7不重叠的方块。实施例2的步骤S1和步骤S3的具体流程请参照实施例1。划分成7×7不重叠的方块后方块足够小，将每个方块描述的对象视为同一地物，统计每块图像的均值、方差来估计各个波段的噪声参数。具体噪声参数估计结果如表1所示。
为了更好体现出本发明的有益效果，本实施例中还列出了三个对比实施例。
针对与实施例1和实施例2相同的噪声参数估计样本。运用另外三种高光谱遥感图像噪声估计方法所得到的噪声估计数据。这三种高光谱遥感图像噪声估计方法的基本步骤同本发明的步骤相同，区别在于在步骤S2中对高光谱遥感图像进行分类采用了不同的方法，分别为：
对比实施例1：将图像划分成7×7的方块，统计每块图像的均值、方差，将每小块图像方差排序，并认为其中方差最大的5％的方块描述的地物不是同一属性，像素值不均匀，将其剔除后估计各个波段的噪声参数。
对比实施例2：对不含噪声的原始图像进行分类。将K-mean算法得到的每个类描述对象视为同一地物，统计每个类的均值、方差来估计各个波段的噪声参数。
对比实施例3：对噪声图像进行分类，将K-mean算法得到的每个类描述对象视为同一地物，统计每个类的均值、方差来估计各个波段的噪声参数。
三个对比实施例步骤S1和步骤S3的具体流程请参考实施例1。
图4和图5分别给出了仿真实验AVIRIS数据Cuprite图像第61至第80波段采用不同方法得到的加性噪声和乘性噪声标准差的估计值与真实标准差的比较。从图4和图5可以看出，大多数情况下，对比实施例2、3和实施例1要比实施例2和对比实施例1得到的估计值误差更小。
为了更进一步比较分析各种方法的优劣性，表1给出了两个实施例和三个对比实施例的20个波段噪声标准差估计的平均相对误差。
实施例2将图像的分成7×7的方块，区域划分方法计算简单快捷，但是噪声估计的相对误差较大。对比实施例1将图像的分成7×7的方块，剔除了5％方差异常的方块，加性、乘性噪声标准差估计的相对误差比实施例2分别小了0.2083％、0.0866％，估计精度改进不太显著。对比实施例2使用的是原始图像进行分类，将每一类图像描述的对象视为同一地物，该组实验加性、乘性噪声标准差估计的相对误差都最小。因为采用的是没有噪声污染的原始图像进行分类，该组实验获得的分类精度最高。但是由于在实际中，需要进行噪声参数估计的图像都是被噪声污染的，因此该组实验取得的结果只是理想值，可以用于仿真实验做参考，但是实际操作中无法实现。对比实施例3采用有噪声的图像进行分类，尽管分类的初衷是希望每类描述的对象是同一地物，但是由于高光谱图像的分类精度会受噪声的影响，因此在对比实施例3中，噪声估计的相对误差较大。
运用本发明方法的实施例1，由于对高光谱遥感图像进行降噪预处理，分类的精度较对比实施例3有所提高，加性、乘性噪声标准差估计的相对误差比对比实施例3分别小了1.1524％、0.6198％。可以看出本发明通过对高光谱遥感图像进行去噪预处理，能够有效消除噪声对分类的不利影响，提高了分类精度以及噪声参数估计的精度。
运用本发明方法的实施例1与对比实施例1相比，加性噪声标准差估计的相对误差比对比实施例1略高0.1351％，乘性噪声标准差估计的相对误差比对比实施例1减少了1.5152％，非常接近对比实施例2理想状态下得到估计结果。由此可见，本发明通过提出对去噪后的高光谱遥感图像进行分类并在同一类中进行样本数字特征统计的方法，有效地克服了简单分块处理不考虑地物分布情况，统计特征提取不准确的技术问题。
表1噪声标准差估计的平均相对误差
实施例1 实施例2 对比实施例1 对比实施例2 对比实施例3
加性噪声 4.2311％ 4.3043％ 4.0960％ 3.4627％ 5.3835％
乘性噪声 3.4866％ 5.0884％ 5.0018％ 3.3788％ 4.1064％

Claims (10)

1.高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1，建立高光谱遥感图像的噪声模型；
高光谱遥感图像的噪声由加性噪声和乘性噪声混合而成，建立的噪声模型如下：
<mrow> <mover> <mi>s</mi> <mo>~</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>s</mi> <mi>&amp;gamma;</mi> </msup> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中是观测到的有噪声的信号，s是不含噪声的原始信号；u是独立于s的平稳随机信号，均值为零，方差为则v＝sγu是乘性噪声项，系数|γ|≤1；w是均值为零，方差为的高斯白噪声信号，独立于s；因此高光谱遥感图像的噪声包括独立于信号的加性噪声项w和非独立于信号的乘性噪声项v＝sγu，加性噪声的方差和乘性噪声的方差是待估计的参数；
S2，对高光谱遥感图像进行分类；
S3，统计分析高光谱遥感图像的噪声参数。
2.根据权利要求1所述的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S1中，γ＝0.5。
3.根据权利要求1所述的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S2中，对高光谱遥感图像进行分类，在地物均匀分布的图像块中进行统计特征的提取，将图像均匀分割成N×N的块，N为任意整数。
4.根据权利要求3所述高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，N＝7。
5.根据权利要求1～4所述的任意一种高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S2中，对高光谱遥感图像进行去噪预处理，具体方法为：
S201输入含噪声的高光谱遥感图像Y，利用多元线性回归得到预测图像X和残差图像R；
S202将预测图像X变换到微分域δX，再将其变换到小波域，得到小波系数WδX；
S203将残差图像R变换到小波域，得到小波系数WR；
S204利用小波双变量收缩函数，分别将小波系数WδX和WR收缩得到和
S205小波系数通过小波逆变换得到微分域的预测图像利用光谱积分和积分修正得到处理后的预测图像
S206小波系数进行小波逆变换，得到处理后的残差图像
S207将处理后的预测图像和处理后的残差图像相加，得到去噪后的高光谱遥感图像
6.根据权利要求5所述的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S2中，采用K-mean算法对去噪后的高光谱遥感图像进行分类，具体方法为：
设去噪后的高光谱遥感图像的像元向量为把一幅图像分割成K个区域，即把数据集分为K个互不相交的子集Λk(k＝1,2,...,K)，Nk表示第k聚类Λk中的像元个数，聚类中心mk表示聚类Λk中像元的平均值，即
<mrow> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msub> </mfrac> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </munder> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设用K个聚类中心(m1,m2,...,mK)代表的K个像元子集(Λ1,Λ2,...,ΛK)时所产生的误差平方和为指标J，
<mrow> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <munder> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>&amp;Element;</mo> <msub> <mi>&amp;Lambda;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>|</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
K-mean算法的具体计算过程如下：
1)从去噪后的高光谱遥感图像中任意选出K个像元作为初始化的聚类中心，m1,m2,...,mK；
2)根据下列关系，把每个像元yi赋给K个聚类Λk(k＝1,2,...,K)中的一个
yi∈Λk，||yi-mk||2<||yi-ml||2 (4)
其中，l＝1,2,...,K，且l≠k，即把像元赋给最接近聚类中心的那一类；
3)根据公式(2)修改聚类中心；
4)根据公式(3)计算指标J；如果它相对上次迭代中的指标值的改变量小于预先指定的阈值，则算法停止，否则返回步骤2)。
7.根据权利要求1～4所述的任意一种高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S3中，基于分类的结果，统计噪声图像在地物均匀分布的区域内样本的数字特征，建立关于待估参数加性噪声的方差和乘性噪声的方差的超定方程组，采用最小二乘法，求解和的估计值。
8.根据权利要求5所述的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S3具体包括以下步骤：
S301，去除谱间相关性；采用多元线性回归，根据每个波段及其两个相邻波段计算出预测图像和残差图像，去除谱间相关性，将残差图像看作是随机噪声的估计；
通过步骤S3，高光谱图像数据块被划分成K个不相重合的类Λ1,Λ2,...,ΛK，每个类视为由同一均匀地物区域内的像元组成的集合；设高光谱图像数据块有L个波段，每个波段含有M×N(行×列)个像元；在实际观测到的含噪声数据中，用表示第k(1≤k≤K)个类中位置为i(1≤i≤M×N)的第l(1≤l≤L)波段的像素值；是相应位置不含噪声的纯净信号；和是独立于的零均值高斯白噪声，其方差分别为和 和是待估计的参数；这样，噪声模型写为：
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设为像素的预测值，计算方法如下：
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其中，系数al,bl和cl用多元线性回归计算，残差计算如下：
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S302，估计噪声参数；计算残差图像中同一均匀地物区域内的局部统计数字特征，建立线性方程组，求解噪声的参数估计值；
在第k个分类的均匀地物区域，随机变量的方差是零，即
<mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，表示的方差；设表示的期望，为了表示方便，将记为即
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由于 是一个独立于i的常数，即
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随机变量与常数1分别相互独立，由公式(5)至(10)以及方差的性质，可以计算得到，对1≤l≤L，有
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其中，和是未知的；
设分块矩阵A记为
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其中，
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设其中和是未知的待估参数；设
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其中，
因此，由(12)和(13)式知，线性方程组(11)可以写成矩阵形式
Ax＝d (14)
其中，A是KL×2L矩阵,x是2L×1向量，d是KL×1向量；
在实际计算中，理论上的期望由第k类均匀区域中的所有像素的平均值近似代替，由第k类均匀区域中的所有像素的样本方差近似代替；
这样，噪声参数估计的问题被转化成求解线性方程组(14)，A是一个矩形矩阵，在最小二乘的意义下，该线性方程组的解为：
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>d</mi> </mrow>
由此实现了对高光谱遥感图像噪声参数的估计。
9.根据权利要求6所述的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S3具体包括以下步骤：
S301，去除谱间相关性；采用多元线性回归，根据每个波段及其两个相邻波段计算出预测图像和残差图像，去除谱间相关性，将残差图像看作是随机噪声的估计；
通过步骤S3，高光谱图像数据块被划分成K个不相重合的类Λ1,Λ2,...,ΛK，每个类视为由同一均匀地物区域内的像元组成的集合；设高光谱图像数据块有L个波段，每个波段含有M×N(行×列)个像元；在实际观测到的含噪声数据中，用表示第k(1≤k≤K)个类中位置为i(1≤i≤M×N)的第l(1≤l≤L)波段的像素值；是相应位置不含噪声的纯净信号；和是独立于的零均值高斯白噪声，其方差分别为和和是待估计的参数；这样，噪声模型写为：
<mrow> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msqrt> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </msqrt> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
设为像素的预测值，计算方法如下：
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其中，系数al,bl和cl用多元线性回归计算，残差计算如下：
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S302，估计噪声参数；计算残差图像中同一均匀地物区域内的局部统计数字特征，建立线性方程组，求解噪声的参数估计值；
在第k个分类的均匀地物区域，随机变量的方差是零，即
<mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，表示的方差；设表示的期望，为了表示方便，将记为即
<mrow> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于 是一个独立于i的常数，即
<mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
随机变量与常数1分别相互独立，由公式(5)至(10)以及方差的性质，可以计算得到，对1≤l≤L，有
<mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&lt;</mo> <mi>l</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>L</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>L</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，和是未知的；
设分块矩阵A记为
<mrow> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mi>K</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
其中，
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设其中和是未知的待估参数；设
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其中，
因此，由(12)和(13)式知，线性方程组(11)可以写成矩阵形式
Ax＝d (14)
其中，A是KL×2L矩阵,x是2L×1向量，d是KL×1向量；
在实际计算中，理论上的期望由第k类均匀区域中的所有像素的平均值近似代替，由第k类均匀区域中的所有像素的样本方差近似代替；
这样，噪声参数估计的问题被转化成求解线性方程组(14)，A是一个矩形矩阵，在最小二乘的意义下，该线性方程组的解为：
<mrow> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>d</mi> </mrow>
由此实现了对高光谱遥感图像噪声参数的估计。
10.根据权利要求7所述的高光谱遥感图像加性乘性混合噪声参数估计方法，其特征在于，所述步骤S3具体包括以下步骤：
S301，去除谱间相关性；采用多元线性回归，根据每个波段及其两个相邻波段计算出预测图像和残差图像，去除谱间相关性，将残差图像看作是随机噪声的估计；
通过步骤S3，高光谱图像数据块被划分成K个不相重合的类Λ1,Λ2,...,ΛK，每个类视为由同一均匀地物区域内的像元组成的集合；设高光谱图像数据块有L个波段，每个波段含有M×N(行×列)个像元；在实际观测到的含噪声数据中，用表示第k(1≤k≤K)个类中位置为i(1≤i≤M×N)的第l(1≤l≤L)波段的像素值；是相应位置不含噪声的纯净信号；和是独立于的零均值高斯白噪声，其方差分别为和 和是待估计的参数；这样，噪声模型写为：
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设为像素的预测值，计算方法如下：
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其中，系数al,bl和cl用多元线性回归计算，残差计算如下：
<mrow> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>g</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
S302，估计噪声参数；计算残差图像中同一均匀地物区域内的局部统计数字特征，建立线性方程组，求解噪声的参数估计值；
在第k个分类的均匀地物区域，随机变量的方差是零，即
<mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，表示的方差；设表示的期望，为了表示方便，将记为即
<mrow> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> </mover> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
由于 是一个独立于i的常数，即
<mrow> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
随机变量与常数1分别相互独立，由公式(5)至(10)以及方差的性质，可以计算得到，对1≤l≤L，有
<mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>r</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>l</mi> </mrow> <mi>k</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mn>1</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>2</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mn>2</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mn>3</mn> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>l</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>&lt;</mo> <mi>l</mi> <mo>&lt;</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>b</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mrow> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mover> <mi>f</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>u</mi> <mi>L</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>&amp;sigma;</mi> <msub> <mi>w</mi> <mi>L</mi> </msub> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mi>L</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，和是未知的；
设分块矩阵A记为
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其中，
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设其中和是未知的待估参数；设
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其中，
因此，由(12)和(13)式知，线性方程组(11)可以写成矩阵形式
Ax＝d (14)
其中，A是KL×2L矩阵,x是2L×1向量，d是KL×1向量；
在实际计算中，理论上的期望由第k类均匀区域中的所有像素的平均值近似代替，由第k类均匀区域中的所有像素的样本方差近似代替；
这样，噪声参数估计的问题被转化成求解线性方程组(14)，A是一个矩形矩阵，在最小二乘的意义下，该线性方程组的解为：
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由此实现了对高光谱遥感图像噪声参数的估计。
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