CN107742006B - 平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，根据战斗部和防护结构的具体情况，确定平头空心弹体与靶板的几何尺寸和材料参数；确定弹道极限速度附近靶板的变形位移场；根据弹体和靶板的变形破坏特征，计算弹体和靶板的变形能：包括弹体的塑性变形能、剪切冲塞能、靶板的塑性变形能，弹体的塑性变形能包括墩粗变形和空心部分的内凹变形所消耗的能量；基于能量守恒原理确定平头空心弹正侵彻下薄钢板的弹道极限速度。本发明方法对靶板的弹道极限速度进行有效预测，以判断平头空心弹体能否穿透靶板或者靶板是否能够实现对弹体的有效阻拦，也能为弹道冲击实验或数值仿真方法提供有效参考以减少实验次数或仿真计算时间。

Description

平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法

技术领域

本发明涉及毁伤和防护技术领域，具体涉及一种基于能量法求解弹道极限速度的理论计算方法。

背景技术

穿甲侵彻过程是非常复杂的力学行为，弹靶相互作用的影响因素较多，例如弹体形状，弹靶材料强度比，弹径与板厚比，弹体速度等，不同条件下弹体的侵彻性能和靶板的失效模式存在较大差别。

弹道极限速度是判断弹体能否穿透靶板的依据，在毁伤及防护领域均具有重要意义。当弹体初始速度大于弹道极限速度时，弹体能够穿透靶板；当初始速度小于弹道极限速度时，弹体则不能穿透靶板，因此弹道极限速度对防护结构的设计起着关键作用。在防护领域，许多核心任务就是假定战斗部初始速度一定，设计有效的防护装甲结构以实现对战斗部的有效阻拦，其中的关键技术就是设计有效的阻拦结构使得弹道极限速度大于战斗部的初始速度，从而保证战斗部无法穿透靶板。因而对弹道极限速度进行有效评估至关重要。

目前针对平头空心弹正侵彻下靶板的弹道极限速度评估主要采用弹道冲击实验或者数值仿真方法。然而弹道冲击实验需要消耗巨大的人力和物力资源；而数值仿真方法则需耗费大量的计算资源和时间，且由于有限元仿真计算过程受网格大小的影响较大，其弹体和靶板材料模型的不确定性，因此其计算精确度和可靠性需要进一步验证。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于针对上述现有技术存在的不足，提供一种平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，它是一种基于能量守恒原理的理论计算方法，能较好地预测弹体正侵彻下靶板的弹道极限速度，以判断弹体能否穿透靶板或者靶板是否能够实现对弹体的有效阻拦。

本发明为解决上述提出的技术问题所采用的技术方案为：

一种平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，包括以下步骤：

步骤1，根据战斗部和防护结构的具体情况，确定平头空心弹体与靶板的几何尺寸和材料参数；

步骤2，确定弹道极限速度附近靶板的变形位移场；

步骤3，根据弹体和靶板的变形破坏特征，计算弹体和靶板的变形能：

弹体和靶板的变形能包括弹体的塑性变形能E_pp、弹靶作用过程中的剪切冲塞能E_s、靶板的塑性变形能E_tp，所述弹体的塑性变形能E_pp包括墩粗变形和空心部分的内凹变形所消耗的能量；

步骤4，基于能量守恒原理确定平头空心弹正侵彻下薄钢板的弹道极限速度：

根据能量守恒原理，即弹体在侵彻靶板前的动能等于弹体侵彻靶板后弹体与冲塞块的动能、弹体的塑性变形能E_pp、剪切冲塞能E_s、靶板的塑性变形能E_tp之和，建立关于平头空心弹正侵彻下薄钢板的弹道极限速度的方程式，并求解弹道极限速度。

上述方案中，步骤1中所述的平头空心弹体的几何尺寸包括弹体长度L_P，弹体内径d_n，弹体外径d_e，弹体前端壁厚h_p，弹体侧壁厚h_c；靶板的几何尺寸包括靶板厚度h_t。弹体的材料参数包括弹体材料的密度ρ_p，弹性模量 E_p，泊松比ν_p，准静态屈服强度σ_0p，失效应变ε_fp；靶板的材料参数包括靶板材料的ρ_t，弹性模量E_t，泊松比ν_t，准静态屈服强度σ_0t，失效应变ε_ft。

上述方案中，步骤2中所述的弹道极限速度附近靶板的变形位移场参考文献《球头弹丸速冲击下薄板大变形的理论计算》(该文献于2012年发表于《华中科技大学学报(自然科学版)》)中的位移场，其变形位移相对于撞击中心完全轴对称，其大小与点到撞击中心的距离相关，变形位移场的表达式为：

式中：w₀为变形位移场的幅值，单位为mm；r为点到撞击中心的距离，单位为mm；r_p为弹体的外半径，单位为mm；a为拟合系数，单位为m^-1。

变形位移场的幅值w₀为靶板材料失效应变的函数：

式中：ε_ft为靶板材料的失效应变，a为拟合系数，单位为m^-1。

在薄板范围内，变形位移场的拟合系数a为靶板厚度的函数：

a＝C/h_t (3)

式中：h_t为靶板厚度，单位为mm；C为固定常数，可近似取为160。

上述方案中，步骤3中所述的弹体的塑性变形包括墩粗变形和空心部分的内凹变形，弹体的塑性变形能与弹体前端空心部分的质量的初始动能成正比：

E_pp＝0.5km_pfv₀ ²＝0.125kπd_n ²h_pρ_pv₀ ² (4)

式中：m_pf为弹体前端空心部分的质量；v₀为弹体的初始速度，单位为m/s； k为比例系数，其与弹体前端壁厚h_p，靶板厚度h_t，弹体材料与靶板材料的屈服强度σ_0p和σ_0t相关，k的具体取值参考表1；ρ_p为弹体密度，d_n为空心弹体内径，h_p为空心弹体前端厚度。

表1

上述方案中，步骤3中所述的弹靶作用过程中的剪切冲塞能为：

E_s＝2πr_eτ_dth_tδ_s (5)

式中：r_e为环形剪切带的半径，τ_dt为靶板的动态剪切强度，h_t靶板厚度，δ_s为剪切带宽度。

环形剪切带的半径r_e可取弹体外半径：

r_e＝0.5d_e (6)

式中：d_e为弹体外径。

靶板的动态剪切强度τ_dt为：

τ_dt＝0.5σ_dt (7)

式中：σ_dt为靶板的动态屈服强度。

剪切带宽度δ_s为：

式中：h_t为靶板厚度。

上述方案中，步骤3中所述的弹靶作用过程中靶板的塑性变性能E_tp主要为非接触区靶板的碟形变形所消耗的能量，其由三部分组成：

E_tp＝E_rb+Eθ_b+E_rm (9)

式中：E_rb为径向弯曲变形能，E_θb为环形弯曲变形能，E_rm为径向拉伸应变能。

径向弯曲变形能E_rb，环形弯曲变形能E_θb，径向拉伸应变能E_rm相应的表达式依次为：

式中：r_p为弹体半径，r_j为侵彻过程结束时塑性铰距撞击中心的距离，M为非接触区靶板单位长度的动态极限弯矩，k_r为非接触区的径向曲率，k_θ为非接触区的环向曲率，ε_r为靶板的径向应变，σ_dt为靶板的动态屈服强度，r为点到撞击中心的距离。

M为非接触区靶板单位长度的动态极限弯矩，其表达式为：

M＝0.25h_t ²σ_dt (13)

式中：σ_dt为靶板的动态屈服强度，h_t为靶板厚度。

根据薄板大变形假定，其中k_r，k_θ，ε_r的表达式分别为：

式中：w为靶板的变形位移场函数，r为点到撞击中心的距离。

将变形位移场式(1)代入式(14)的各个表达式中，得到相应曲率与应变的表达式为：

再将式(13)、(15)、(16)、(17)代入式(10)、(11)、(12)中，得到相应变形能的表达式为：

靶板材料的动态屈服强度采用Cowper-Symonds模型(该模型出自于文献《舰船结构毁伤力学》)：

式中：σ_0t为靶板的准静态屈服强度，D为40.4s^-1，q为5，

为应变率，

的取值参考非接触区靶板的径向平均应变率

式中：v₀为弹体的初始速度，a为拟合系数，单位为m^-1，w₀为变形位移场的幅值，单位为mm；r_p为弹体半径，r_j为侵彻过程结束时塑性铰距撞击中心的距离。

侵彻过程结束时塑性铰距撞击中心的距离r_j较难从理论上得到相关解析解，但根据实际经验，低速侵彻下十倍弹径外靶板的变形大小几乎为零，相应地靶板的变形能也可以近似忽略不计，因此r_j可近似取为10倍弹径，即r_j＝10r_p。

上述方案中，步骤4中所述的能量守恒原理为：弹体在侵彻靶板前的动能等于弹体侵彻靶板后弹体与冲塞块的动能，弹体的变形能，剪切冲塞能，靶板的塑性变形能之和。即为：

0.5m_pv₀ ²＝E_pp+E_s+E_tp+0.5(m_p+m_g)v_r ² (23)

式中：m_p为弹体质量，v₀为初始速度，E_pp为弹体的塑性变形能，E_s为剪切冲塞能，E_tp为靶板的塑性变形能，m_g为塞块质量，v_r为剩余速度。

当弹体的剩余速度v_r为零时，此时弹体刚好穿透或内嵌于靶板，该情形下弹体的初始速度即为弹道极限速度v_bl，即：

0.5m_pv_bl ²＝E_pp+E_s+E_tp (24)

式中：E_pp，E_s，E_tp的具体表达式分别为上述式(4)、(5)、(9)，式(9)的具体表达式则为式(18)、(19)、(20)之和。

上述方案中，采用二分法求解方程式(24)的近似解v_bl。在求v_bl的近似解中，弹体的初始动能为E₀：

E₀＝0.5m_pv₀ ² (25)

侵彻过程中消耗的能量为E₁：

E₁＝E_pp+E_s+E_tp (26)

剩余能量为E_r：

E_r＝E₀-E₁＝0.5m_pv₀ ²-(E_pp+E_s+E_tp) (27)

二分法的基本步骤如下：

第一步，首先设定初始速度v₁，初始速度v₁的设定尽量小于弹道极限速度v_bl，代入式(27)中求得E_r1(E_r1＜0)，再设定初始速度v₂，初始速度v₂的设定尽量大于弹道极限速度v_bl，代入式(27)中求得E_r2(E_r2＞0)。即在区间[v₁，v₂]中，连续函数E_r1＜0，E_r2＞0，则根据介质定理，这个区间内一定包含着方程式的根，即v_bl包含于区间[v₁，v₂]中。

第二步，取该区间的中点v₃＝0.5(v₁+v₂)，并代入式(27)中求得E_r3。

第三步，若E_r3与E_r1同号，则取[v₃，v₂]为新的区间，若E_r3与E_r2同号，则取[v₁，v₃]为新的区间。

第四步，重复第二步，第三步，直到新区间[v_i，v_k]的区间长度(v_k-v_i)在1 以内，相应地：v_bl＝0.5(v_i+v_k)。

本发明的有益效果在于：

本发明提出的一种平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，仅根据弹体与靶板的相关几何尺寸和材料参数，通过理论计算便能够简便且较为准确地得到平头空心弹正侵彻时薄钢板的弹道极限速度v_bl，从而能够为相关武器战斗部或防护结构等设计及优化提供方便快捷且可靠的参考依据。通过本发明的方法对靶板的弹道极限速度进行有效预测，以判断弹体能否穿透靶板或者靶板是否能够实现对弹体的有效阻拦，能够应用于工程实际，节省了大量的人力和物力资源，降低成本；同时也能为弹道冲击实验或数值仿真方法提供有效参考以减少实验次数或仿真计算时间。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1是本发明的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法的流程图；

图2是本发明步骤1中所述的平头空心弹体的侧视图；

图3是图2所示的平头空心弹体的主视图；

图4是采用二分法求解弹道极限速度的过程图；

图5是初始速度为210m/s时弹体内嵌于靶板的仿真图及相应的弹体速度的时间历程曲线。

具体实施方式

为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图详细说明本发明的具体实施方式。

选取国外某一战斗部侵彻某型舰船舷侧外板的简化情形作为实施例具体说明本发明的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，具体步骤如下：

步骤1，根据战斗部和防护结构的具体情况，确定平头空心弹体与靶板的几何和材料参数。

本实施例中平头空心弹体与靶板的几何尺寸及材料参数如下表2所示。

表2

弹体长度L<sub>P</sub>	34mm	弹体泊松比ν<sub>p</sub>	0.3
				弹体内径d<sub>n</sub>	11.3mm	弹体准静态屈服强度σ<sub>0p</sub>	355MPa
弹体外径d<sub>e</sub>	14.5mm	弹体失效应变ε<sub>fp</sub>	0.3
				弹体前端壁厚h<sub>p</sub>	1.8mm	靶板密度ρ<sub>t</sub>	7800kg/m<sup>3</sup>
弹体侧壁厚h<sub>c</sub>	1.6mm	靶板弹性模量E<sub>t</sub>	210GPa
				靶板厚度h<sub>t</sub>	2mm	靶板泊松比ν<sub>t</sub>	0.3
弹体密度ρ<sub>p</sub>	7800kg/m<sup>3</sup>	靶板准静态屈服强度σ<sub>0t</sub>	235MPa
				弹体弹性模量E<sub>p</sub>	205GPa	靶板失效应变ε<sub>ft</sub>	0.42

步骤2，确定弹道极限速度附近靶板的变形位移场。

根据步骤1中所确定的靶板的几何与材料参数，得到：

a＝C/h_t＝160/2＝80(m^-1)

根据式(1)确定的变形位移场函数，并将相应的靶板材料参数代入计算，得到弹道极限速度附近靶板的变形位移场函数如下：

其中：w₀的单位为mm，r的单位为mm。

步骤3：根据弹体或靶板的变形破坏特征，计算弹体和靶板的变形能。

第一步，计算弹体的塑性变形能E_pp，弹体的塑性变形主要包括墩粗变形和空心部分的内凹变形，弹体的塑性变形能与弹体前端空心部分的质量的初始动能成正比：

E_pp＝0.5km_pfv₀ ²＝0.125kπd_n ²h_pρ_pv₀ ²＝0.563×10^-3v₀ ²(J) (4)

式中：v₀为弹体的初始速度，单位为m/s，k为比例系数，本实例模型中，h_p/h_t为0.87，σ_0t/σ_0p为0.66，根据表1可知，比例系数取为1.6。

第二步，计算弹靶作用过程中的剪切冲塞能为：

E_s＝2πr_eτ_dth_tδ_s＝0.031σ_dt (5)

式中：σ_dt为靶板的动态屈服强度。

第三步，计算弹靶作用过程中的径向弯曲变形能E_rb，环形弯曲变形能E_θb，径向拉伸应变能E_rm：

式中：σ_dt为靶板的动态屈服强度。

第四步，计算靶板的动态屈服强度σ_dt。

首先计算非接触区靶板的径向平均应变率为：

则，靶板材料的动态屈服强度采用Cowper-Symonds模型：

式中：σ_0t为靶板的准静态屈服强度，σ_0t＝235MPa，D为40.4s^-1，q为5，

为应变率，在计算时采用径向平均应变率

代入计算。

第五步，将动态屈服强度σ_dt的计算公式(21)代入上述公式(5)，(18)， (19)，(20)中，得到：

E_s＝7.311[1+(1.655v₀/40.4)^1/5]

E_rb＝26.104[1+(1.655v₀/40.4)^1/5]

E_θb＝16.824[1+(1.655v₀/40.4)^1/5]

E_rm＝104.625[1+(1.655v₀/40.4)^1/5]

步骤4，基于能量守恒原理确定平头空心弹正侵彻下薄钢板的弹道极限速度。

第一步：根据能量守恒原理建立弹道极限速度v_bl的平衡表达式。

弹体的初始动能E₀为：

E₀＝0.5m_pv₀ ²＝9.282×10^-3v₀ ²

弹道极限速度v_bl的平衡表达式：

9.282×10^-3v_bl ²＝0.563×10^-3v_bl ²+154.864[1+(1.655v_bl/40.4)^1/5] (24)

第二步：采用二分法求解v_bl的近似解。

在求v_bl的近似解中，弹体的初始动能为E₀：

E₀＝0.5m_pv₀ ²＝9.282×10^-3v₀ ²

侵彻过程中消耗的能量为E₁：

E₁＝0.563×10^-3v₀ ²+154.864[1+(1.655v₀/40.4)^1/5] (26)

剩余能量为E_r：

E_r＝8.719×10^-3v₀ ²-154.864[1+(1.655v₀/40.4)^1/5] (27)

S1：首先设定初始速度v₁为20m/s(很显然小于弹道极限速度v_bl)，代入式(27)中求得E_r1(E_r1＜0)；再设定初始速度v₂为500m/s，代入式(27)中求得E_r2(E_r2＞0)，即在区间[20，500]中，连续函数E_r1＜0，E_r2＞0，则根据介质定理，这个区间内一定包含着方程式的根，即v_bl包含于区间[20，500]中。

S2：取该区间的中点v₃＝0.5(20+500)＝260m/s，并代入式(27)中求得E_r3＞0。

S3：E_r3与E_r2同号，则取[20，260]为新的区间。

S4：重复S2、S3，相应的区间设置与对应E_ri的正负值如下表3所示。

表3

新区间

的区间长度为15/16，在1以内，相应地：

v_bl＝0.5(212.186+213.125)＝212.656m/s

根据上述计算过程可知，该平头空心弹正侵彻下薄钢板弹道极限速度为212.656m/s。

为验证该结果的正确性，采用ANSYS/LS-DYNA建立了该平头空心弹侵彻靶板的三维有限元模型，弹体和靶板均采用六面体单元。靶板中心4倍弹径内网格尺寸为0.25mm，4倍弹径外采用放射性网格，靶板在厚度方向划分8 个单元。弹体与靶板之间采用面面侵蚀接触。靶板材料采用双线性弹塑性本构模型，材料的应变率效应采用Cowper-Symonds模型，弹体材料采用 Johnson-Cook本构模型，考虑应变率效应。弹体和靶板材料参数如表4所示。

表4弹体和靶板的材料参数

如图4-5所示，有限元分析中，当弹体初始速度为210m/s时，弹体内嵌于靶板中，剩余速度约为0，即弹道极限速度为210m/s。

由此可见，本发明所提出的一种平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法所得出的弹道极限速度v_bl为212.66m/s，与仿真分析所得的弹道极限速度相对误差约为1.27％。即计算结果吻合较好，能够满足工程应用的需要。

本说明书中各个实施例采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似部分互相参见即可。

上面结合附图对本发明的实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可做出很多形式，这些均属于本发明的保护之内。

Claims (6)

1.一种平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，根据战斗部和防护结构的具体情况，确定平头空心弹体与靶板的几何尺寸和材料参数；

步骤2，确定弹道极限速度附近靶板的变形位移场，变形位移场的表达式为：

式中：w₀为变形位移场的幅值，单位为mm；r为点到撞击中心的距离，单位为mm；r_p为弹体的外半径，单位为mm；a为拟合系数，单位为m^-1；

步骤3，根据弹体和靶板的变形破坏特征，计算弹体和靶板的变形能：

弹体和靶板的变形能包括弹体的塑性变形能E_pp、弹靶作用过程中的剪切冲塞能E_s、靶板的塑性变形能E_tp，所述弹体的塑性变形能E_pp包括墩粗变形和空心部分的内凹变形所消耗的能量；

所述的弹体的塑性变形能E_pp与弹体前端空心部分的质量的初始动能成正比，其表达式为：

E_pp＝0.5km_pfv₀ ²＝0.125kπd_n ²h_pρ_pv₀ ² (4)

式中：m_pf为弹体前端空心部分的质量；v₀为弹体的初始速度，单位为m/s；k为比例系数，其与弹体前端壁厚h_p，靶板厚度h_t，弹体材料与靶板材料的屈服强度σ_0p和σ_0t相关；ρ_p为弹体密度，d_n为空心弹体内径，h_p为弹体前端厚度；

步骤4，基于能量守恒原理确定平头空心弹正侵彻下薄钢板的弹道极限速度：

根据能量守恒原理，即弹体在侵彻靶板前的动能等于弹体侵彻靶板后弹体与冲塞块的动能、弹体的塑性变形能E_pp、剪切冲塞能E_s、靶板的塑性变形能E_tp之和，建立关于平头空心弹正侵彻下薄钢板的弹道极限速度的方程式，并求解弹道极限速度。

2.根据权利要求1所述的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，其特征在于，步骤1中所述的平头空心弹体的几何尺寸包括弹体长度L_P，弹体内径d_n，弹体外径d_e，弹体前端壁厚h_p，弹体侧壁厚h_c；靶板的几何尺寸包括靶板厚度h_t；弹体的材料参数包括弹体材料的密度ρ_p，弹性模量E_p，泊松比ν_p，准静态屈服强度σ_0p，失效应变ε_fp；靶板的材料参数包括靶板材料的ρ_t，弹性模量E_t，泊松比ν_t，准静态屈服强度σ_0t，失效应变ε_ft。

3.根据权利要求1所述的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，其特征在于，步骤3中所述的弹靶作用过程中的剪切冲塞能E_s为：

E_s＝2πr_eτ_dth_tδ_s (5)

式中：r_e为环形剪切带的半径，τ_dt为靶板的动态剪切强度，h_t靶板厚度，δ_s为剪切带宽度。

4.根据权利要求1所述的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，其特征在于，步骤3中所述的靶板的塑性变性能E_tp为非接触区靶板的碟形变形所消耗的能量，其由三部分组成：

E_tp＝E_rb+E_θb+E_rm (9)

式中：E_rb为径向弯曲变形能，E_θb为环形弯曲变形能，E_rm为径向拉伸应变能，

径向弯曲变形能E_rb，环形弯曲变形能E_θb，径向拉伸应变能E_rm相应的表达式依次为：

式中：r_p为弹体半径，r_j为侵彻过程结束时塑性铰距撞击中心的距离，M为非接触区靶板单位长度的动态极限弯矩，k_r为非接触区的径向曲率，k_θ为非接触区的环向曲率，ε_r为靶板的径向应变，σ_dt为靶板的动态屈服强度，r为点到撞击中心的距离，h_t为靶板厚度。

5.根据权利要求1所述的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，其特征在于，步骤4中根据能量守恒原理建立的方程式为：

0.5m_pv₀ ²＝E_pp+E_s+E_tp+0.5(m_p+m_g)v_r ² (23)

式中：m_p为弹体质量，v₀为初始速度，E_pp为弹体的塑性变形能，E_s为剪切冲塞能，E_tp为靶板的塑性变形能，m_g为塞块质量，v_r为剩余速度；

当弹体的剩余速度v_r为零时，弹体刚好穿透或内嵌于靶板，此时弹体的初始速度即为弹道极限速度v_bl，即：

0.5m_pv_bl ²＝E_pp+E_s+E_tp (24)。

6.根据权利要求5所述的平头空心弹低速正侵彻下薄钢板弹道极限速度的计算方法，其特征在于，采用二分法求解方程式(24)的近似解v_bl，在求v_bl的近似解中，弹体的初始动能为E₀：

E₀＝0.5m_pv₀ ² (25)

侵彻过程中消耗的能量为E₁：

E₁＝E_pp+E_s+E_tp (26)

剩余能量为E_r：

E_r＝E₀-E₁＝0.5m_pv₀ ²-(E_pp+E_s+E_tp) (27)

二分法的步骤如下：

第一步，首先设定初始速度v₁，初始速度v₁的设定小于弹道极限速度v_bl，代入式(27)中求得E_r1＜0，再设定初始速度v₂，初始速度v₂的设定大于弹道极限速度v_bl，代入式(27)中求得E_r2＞0；

第二步，取区间[v₁，v₂]的中点v₃＝0.5(v₁+v₂)，并代入式(27)中求得E_r3；

第三步，若E_r3与E_r1同号，则取[v₃，v₂]为新的区间，若E_r3与E_r2同号，则取[v₁，v₃]为新的区间；

第四步，重复第二步和第三步，直到新区间[v_i，v_k]的区间长度v_k-v_i在1以内，相应地：v_bl＝0.5(v_i+v_k)。

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