CN107704428B - 一种求解结构失效概率函数的贝叶斯再抽样方法 - Google Patents

Abstract

一种求解结构失效概率函数的贝叶斯再抽样方法，涉及结构失效概率。包括以下步骤：(1)假定设计参数先验分布；(2)预抽样失效样本；(3)贝叶斯再抽样；(4)拟合参数条件分布；(5)计算失效概率函数估计。克服了失效概率函数求解的多次可靠性分析，通过一次抽样获得的少量信息，利用基于贝叶斯的再抽样技术，来推断失效概率函数的估计，从而达到减少计算代价，提高结构失效概率函数求解的效率。

Description

一种求解结构失效概率函数的贝叶斯再抽样方法

技术领域

本发明涉及结构失效概率，尤其是涉及基于贝叶斯公式的一种求解结构失效概率函数的贝叶斯再抽样方法。

背景技术

在结构的可靠性优化设计中，通常需要研究失效概率与设计参数的相互关系。这种关系被定义为失效概率函数，即结构失效概率随参数变化的函数。然而，在实际应用中，对一般结构而言很难直接获得设计参数的失效概率函数的显示表达式，因其需要巨大的计算成本。通常，这需要在不同的设计参数取值下反复进行可靠性分析，而每次可靠性分析又需要反复计算极限状态函数的值，关键是，结构响应的计算可能需要进行虚拟仿真和数值模型(例如有限元模型)的计算。因此计算代价巨大，使得很多实际结构的可靠性优化设计问题计算代价太大而变得不可行；并且这种做法通常只能获得失效概率函数的离散点值。

构建近似失效概率函数有很多种方法，如对数函数拟合方法(Gasser M,Schueller GI.Reliability-based optimization of structuralsystems.Mathematical Methods of Operations Research1997；46(3):287-307.)，灵敏度方法(Zou T,Mahadevan S.A direct decoupling approach for efficientreliability-based design optimization[J].Struct Multidisc Optim,2006,31(3):190–200.)等。但这些方法目前还无法满足工程结构对求解精度和效率的要求。因此，如何进一步提高实际工程问题的失效概率函数求解的精度和效率，仍然是一个需要研究的课题。

发明内容

本发明的目的在于针对现有的实际工程问题中失效概率函数求解的精度和效率所存在的问题，提供能够避免多次重复的可靠性分析，提高分析效率的一种求解结构失效概率函数的贝叶斯再抽样方法。

本发明包括以下步骤：

1)假定设计参数先验分布；

在步骤1)中，所述假定设计参数先验分布的具体方法可为：将设计参数θ视作随机量，并赋予参数先验分布

所述

可为常见的均匀分布或正态分布。

2)预抽样失效样本；

在步骤2)中，所述预抽样失效样本的具体方法可为：在变量x和参数θ的扩展空间上，采用可靠性抽样方法，获得少量失效域F内的样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}；在扩展空间(x,θ)中，通过蒙特卡洛模拟方法或者子集模拟方法进行抽样分析，得到落入失效域的样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}，并得到全局失效概率估计

3)贝叶斯再抽样；

在步骤3)中，所述贝叶斯再抽样的具体方法可为：运用贝叶斯公式得到参数后验分布表达形式，依照预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}及参数后验分布表达式抽取参数后验样本；可首先运用贝叶斯公式得到参数后验分布

表达形式如下：

其中

表示参数在失效域F上的条件分布；f(x|θ,F)为随机变量x在失效域且依赖参数θ的条件分布，f(x|F)为变量在失效域F上的条件分布；依据落入失效域的预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}及

抽取更多的符合

分布的θ样本，方式有如下两种：

1)抽样方式一：若可以解析求解

的表达式，则可依据密度表达式及预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}直接抽取，此时依赖的x样本为失效域，那么产生的参数样本亦是落入失效域的，即产生的样本是符合

分布的；

2)抽样方式二：在

无解析表达式时，可采用Metropolis-Hastings算法来进行抽取。

4)拟合参数条件分布；

在步骤4)中，所述拟合参数条件分布的具体方法可为：基于失效域的条件样本{θ^(j)|F:j＝1,2,...N}，通过密度函数拟合方法(诸如核密度拟合，最大熵密度拟合)求解参数在失效域F上的条件分布密度

5)计算失效概率函数估计。

在步骤5)中，所述计算失效概率函数估计的具体方法可为：依照贝叶斯公式，计算失效概率函数的估计；失效概率函数估计可由贝叶斯公式表达为：

其中

为扩展空间的全局失效概率；

表示由参数θ的后验密度估计。

本发明的有益效果是：本发明在求解失效概率函数上，不需要多次可靠性分析的求解，而是通过一次抽样获得的少量信息，利用基于贝叶斯的再抽样技术，来推断失效概率函数的估计。关键思想是将失效概率函数依据贝叶斯进行了转化，再通过后验概率的再抽样技术，以较小的代价获得后验分布的估计，从而可以得到失效概率函数的估计。

本发明的一种重要特征是它只需在扩展变量空间进行一次可靠性分析即可获得失效概率函数的估计，因此本发明在失效概率函数的求解上具有极大的求解效率，为结构的可靠性分析和设计提供一种有效的设计手段。

附图说明

图1为汽车前轴工字梁结构示意图。

图2为本发明抽样方式一获得的失效概率曲线P_f(θ)的对比图。

图3为本发明抽样方式二获得的失效概率曲线P_f(θ)的对比图。

具体实施方式

为能清楚说明本发明的技术特点，下面通过具体实施方式，并结合其附图，对本发明进行详细阐述。

取汽车前轴的失效概率函数求解问题为例来进行本发明的具体实施方法的阐述。前轴是汽车承重的重要组成部分，多被设计为工字梁结构(如图1所示)，因工字形断面可以提高前轴的抗弯强度并减轻前轴的重量。已知前轴的最大正应力和剪切应力分别为σ＝M/W_x和τ＝T/W_ρ，其中M和T为弯矩和扭矩，

和W_ρ＝0.8bt²+0.4[a³(h-2t)/t]分别为截面系数和极截面系数。此问题的极限状态函数表示为：

其中σ_s是屈服的极限状态应力，根据前轴的材料属性确定σ_s为460MPa。前轴工字梁的几何尺寸、弯矩和扭矩等随机变量分布如表1所示，其中θ＝μ_a∈[10,14]为设计参数，现求解设计参数对应的失效概率函数。

表1

针对上述前轴的失效概率函数求解问题，采用本发明来进行求解，它包括如下过程：

步骤一，假定设计参数先验分布：在该例中，设计参数θ先验分布

取为设计区间

上的均匀分布，即：

步骤二，预抽样失效样本：采用蒙特卡罗模拟方法，依照密度函数f(x,θ)＝f(x)f(θ)形式抽取N＝100个样本点{(x,θ)^(j):j＝1,2,...100}；其中获得失效样本N_f＝16个，且知全局失效概率

步骤三，基于后验分布抽取参数样本，其中的后验分布可以表达如下：

其中

表示参数在失效域F上的条件分布；f(x|θ,F)为随机变量x在失效域且依赖参数θ的条件分布，f(x|F)为变量在失效域F上的条件分布；基于预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}及

的表达式抽取更多的θ样本，这里抽取数量为480的参数的后验样本，即{θ^(j):j＝1,...,480}。方式有如下两种：

1)抽样方式一：解析求解

的表达式，然后依据密度表达式抽取。

在本例中，随机变量

即a的条件分布密度：

则参数的后验分布可由贝叶斯公式求解如下：

其中φ(.)为标准正态分布密度函；Φ(.)为标准正态累积分布函数；

由此可以看出，参数的后验分布是一截断的正态分布形式。按照该后验分布

结合变量的失效样本{a^(j):j＝1,...,16}，即可产生一系列参数θ的条件样本(符合

分布)。

2)抽样方式二：可采用Metropolis-Hastings算法来进行抽取。

在Metropolis-Hastings算法中无需计算出参数的后验分布

的显式表达式，而仅需计算后验分布的比值即可运用算法进行抽样。在本例中，

可以显式表达，同样可以运用。

采用以上抽样方式中任一种抽到参数的样本{θ^(j):j＝1,...,480}后，再采用最大熵密度拟合方法即可得到参数条件分布的估计

步骤五，计算失效概率函数估计。根据如下式子对失效概率函数进行估计：

其中

在步骤一中选定的，

在步骤二中计算得到，

为在步骤三中计算得到。

采用本发明获得计算结果结构的失效概率函数曲线如图2和3所示，分别对应本发明步骤三中的抽样方式一和二获得失效概率函数估计曲线。图中亦给出了由预抽样样本(16个)、以及蒙特卡洛方法获取同样数量样本(480个)，以及精确计算结果(采用MCS法抽样10⁶获得的失效概率值，用黑点‘.’表示)。从图中可以看到，本发明两种不同的抽样方式获得的结果与精确结果非常一致，比预抽样样本的结果更为准确。需要注意的是，再抽样样本的产生过程不再包含结构极限状态函数的计算，亦即不需进行结构系统的响应分析，大大提高了分析的效率。本发明在求解过程仅需要进行一次可靠性抽样，所需失效样本点仅为16个，因此本发明具有较高的效率。

Claims (1)

1.一种用于汽车前轴求解失效概率函数的贝叶斯再抽样方法，前轴是汽车承重的重要组成部分，被设计为工字梁结构，已知前轴的最大正应力和剪切应力分别为σ＝M/W_x和τ＝T/W_ρ，其中M和T为弯矩和扭矩，

和W_ρ＝0.8bt²+0.4[a³(h-2t)/t]分别为截面系数和极截面系数，此问题的极限状态函数表示为：

其中，a为前轴工字梁结构的中部区域宽度，b为前轴工字梁结构的端部区域宽度，h为前轴工字梁结构的整体高度，t为前轴工字梁结构的端部区域高度，σ_s为屈服的极限状态应力，根据前轴的材料属性确定σ_s为460MPa，其中a、t、b、h、M、T均为正态分布，变异系数均为0.05，均值分别为θ＝μ_a、14、65、85、3.5、3.1，其中θ＝μ_a∈[10,14]为设计参数；

其特征在于包括以下步骤：

1)假定设计参数先验分布，具体方法为：将设计参数θ视作随机量，并赋予参数先验分布

所述

为均匀分布或正态分布；

2)预抽样失效样本，具体方法为：在变量x和参数θ的扩展空间上，采用可靠性抽样方法，获得少量失效域F内的样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}；在扩展空间(x,θ)中，通过蒙特卡洛模拟方法或者子集模拟方法进行抽样分析，得到服从失效域x和θ联合条件分布f(x,θ|F)的样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}，并得到全局失效概率估计

3)贝叶斯再抽样，具体方法为：运用贝叶斯公式得到参数后验分布表达形式，依照预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}及参数后验分布表达式抽取参数后验样本；首先运用贝叶斯公式得到参数后验分布

表达形式如下：

其中

表示参数在失效域F上的条件分布；f(x|θ,F)为随机变量x在失效域且依赖参数θ的条件分布，f(x|F)为变量在失效域F上的条件分布；依据落入失效域的预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}及

抽取更多的符合

分布的θ样本，方式有如下两种：

(1)抽样方式一：若解析求解

的表达式，则依据密度表达式及预抽样样本{(x,θ)^(j):j＝1,2,...N_f}直接抽取，此时依赖的x样本为失效域，那么产生的参数样本亦是落入失效域的，即产生的样本是符合

分布的；

(2)抽样方式二：在

无解析表达式时，采用Metropolis-Hastings算法来进行抽取；

4)拟合参数条件分布，具体方法为：基于失效域的条件样本{θ^(j)|F:j＝1,2,...N}，通过密度函数拟合方法求解参数在失效域F上的条件分布密度

5)计算失效概率函数估计，具体方法为：依照贝叶斯公式，计算失效概率函数的估计；失效概率函数估计由贝叶斯公式表达为：

其中，

为扩展空间的全局失效概率；

表示参数θ的后验密度估计。

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