CN107695791A - 通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法 - Google Patents

通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法，用于解决现有通用转动轴几何误差辨识方法实用性差的技术问题。技术方案是首先针对两个转动轴分别进行两组球杆仪实验，分别记录第一组实验和第二组实验的球杆仪杆长数据；针对第一组实验的球杆仪杆长数据使用平面圆拟合方法分别辨识两个转动轴的位置误差；接着，通过辨识得到的位置误差和第一组实验的球杆仪杆长数据建立球杆仪工件球的空间运动轨迹；最后使用空间平面拟合方法分别辨识两个转动轴的方向误差。本发明不要求球杆仪的精密球必须放置在转动轴轴线上，因此可以适用于任意结构的数控机床，实用性好。

Description

通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法
技术领域
本发明涉及一种通用转动轴几何误差辨识方法，特别涉及一种通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法。
背景技术
文献1“K.I.Lee,S.H.Yang,Robust measurement method and uncertaintyanalysis for position-independent geometric errors of a rotary axis using adouble ball-bar,International Journal of Precision Engineering andManufacturing 14(2013)231-239.”公开了一种使用球杆仪仅通过转动轴的旋转来辨识数控机床转动轴与位置无关几何误差(PIGEs)的方法。该方法通过在转动轴轴向两个不同位置进行球杆仪实验建立了球杆仪轨迹偏心与PIGEs误差分量之间的关系并对误差分量进行分离。但该方法必须要将球杆仪的刀具球放置在转动轴轴线上，不适用于摆动轴轴线接近工作台台面或者低于工作台台面的五轴数控机床。
文献2“X.G.Jiang,R.J.Cripps,A method of testing position independentgeometric errors in rotary axes of a five-axis machine tool using a doubleball bar,International Journal of Machine Tools and Manufacture 89(2015)151-158.”公开了一种使用球杆仪仅通过转动轴的旋转来辨识PIGEs的方法。该方法通过使用球杆仪工具箱中的加长杆消除了五轴数控机床平动轴误差分量对转动轴PIGEs辨识结果的影响。但该方法必须要将球杆仪的刀具球放置在转动轴轴线上，不适用于摆动轴轴线接近工作台台面或者低于工作台台面的五轴数控机床。
以上文献的典型特点是：均需要将球杆仪的刀具球放置在转动轴轴线上，无法用于摆动轴轴线接近工作台台面或者低于工作台台面的五轴数控机床几何误差测量。
发明内容
为了克服现有通用转动轴几何误差辨识方法实用性差的不足，本发明提供一种通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法。该方法首先针对两个转动轴分别进行两组球杆仪实验，分别记录第一组实验和第二组实验的球杆仪杆长数据；针对第一组实验的球杆仪杆长数据使用平面圆拟合方法分别辨识两个转动轴的位置误差；接着，通过辨识得到的位置误差和第一组实验的球杆仪杆长数据建立球杆仪工件球的空间运动轨迹；最后使用空间平面拟合方法分别辨识两个转动轴的方向误差。本发明不要求球杆仪的精密球必须放置在转动轴轴线上，因此可以适用于任意结构的数控机床，实用性好。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法，其特点是包括以下步骤：
步骤1、将B轴测量行程等分成NB分，第i个采样点对应的转角θi,B为：
表示B轴测量行程。
步骤2、在B轴位置误差EX0B和EZ0B的影响下，第i个采样点的理论球杆仪杆长|PiQi|为：
其中，
式中La,B是工件球的转动半径，[Ln,0,H]是工件球在参考坐标系中的安装位置，Ln是球杆仪的标定杆长，ΔX和ΔZ是工件球在X方向上和Z方向上的定位误差。
步骤3、使用平面圆拟合方法最小化B轴采样点理论杆长|PiQi|和B轴第一组实验记录的杆长数据Li,1B的差值，EX0B、EZ0B和La,B计算如下：
参数b、c、d计算如下：
xi、zi计算如下：
xi＝cos(αB+θi,B)
zi＝sin(αB+θi,B)
步骤4、生成B轴工件球轨迹的空间坐标(Xi,B,Yi,B,Zi,B)：
Xi,B＝La,Bcos(θi,B+αB)+EX0B
Zi,B＝La,Bsin(θi,B+αB)+EZ0B
式中Li,2B为B轴第二组实验记录的杆长数据。
步骤5、使用空间平面拟合方法拟合B轴工件球轨迹所在的空间平面，目标函数构造为：
使用最小二乘法求解目标函数中的参数e、g、h得：
步骤6、由空间平面方程的表达式得到空间平面的法向矢量n′B为：
其中，
由此得到B轴的方向误差EA0B和EC0B为：
步骤7、将C轴测量行程等分成NC分，第i个采样点对应的转角θi,C为：
表示C轴测量行程。
步骤8、在C轴位置误差EX0C和EY0C的影响下，第i个采样点的理论球杆仪杆长|PiQi|为：
式中La,C是工件球的转动半径,ΔY是工件球在Y方向上的定位误差。
步骤9、使用平面圆拟合方法最小化C轴采样点理论杆长|PiQi|和C轴第一组实验记录的杆长数据Li,1C的差值，EX0C、EY0C和La,C计算如下：
参数b、c、d计算如下：
xi、yi计算如下
步骤10、生成C轴工件球轨迹的空间坐标(Xi,C,Yi,C,Zi,C)：
Xi,C＝La,Ccos(θi,C+αC)+EX0C
Yi,C＝La,Csin(θi,C+αC)+EY0C
式中Li,2C为C轴第二组实验记录的杆长数据。
步骤11、使用空间平面拟合方法拟合C轴工件球轨迹所在的空间平面，目标函数构造为：
使用最小二乘法求解目标函数中的参数e、g、h得：
步骤12、由空间平面方程的表达式得到空间平面的法向矢量n′C为：
其中，
由此得到B轴的方向误差EA0C和EB0C为：
步骤13、C轴位置误差更新为：
EX0C′＝EX0C-HtanEB0C
EY0C′＝EY0C+HtanEA0C。
本发明的有益效果是：该方法首先针对两个转动轴分别进行两组球杆仪实验，分别记录第一组实验和第二组实验的球杆仪杆长数据；针对第一组实验的球杆仪杆长数据使用平面圆拟合方法分别辨识两个转动轴的位置误差；接着，通过辨识得到的位置误差和第一组实验的球杆仪杆长数据建立球杆仪工件球的空间运动轨迹；最后使用空间平面拟合方法分别辨识两个转动轴的方向误差。本发明不要求球杆仪的精密球必须放置在转动轴轴线上，因此可以适用于任意结构的数控机床，实用性好。
下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。
附图说明
图1是本发明方法实施例中B轴第一组实验示意图。
图2是本发明方法实施例中B轴第二组实验示意图。
图3是本发明方法实施例中C轴第一组实验示意图。
图4是本发明方法实施例中C轴第二组实验示意图。
图5是本发明方法实施例中B轴第一组实验辨识和补偿结果图。
图6是本发明方法实施例中B轴第二组实验辨识和补偿结果图。
图7是本发明方法实施例中C轴第一组实验辨识和补偿结果图。
图8是本发明方法实施例中C轴第二组实验辨识和补偿结果图。
图中，1-刀具球。
具体实施方式
参照图1-8。选择数控机床结构为BC摇篮式五轴数控机床，特别的，该数控机床摆动轴轴线接近工作台台面。分别对B轴和C轴进行两组球杆仪实验，第一组实验要求实验过程中球杆仪轴向始终沿着转动轴径向方向，第二组实验要求实验过程中球杆仪轴向始终沿着转动轴轴向方向。受结构限制，B轴测量不能将刀具球1放置在转动轴轴线上，测量采用B轴、X轴和Z轴联动进行测量。C轴测量时将刀具球1放置在转动轴轴线上，测量仅采用C轴转动进行测量。参考坐标系的原点选择为B轴轴线和C轴轴线的交点，坐标轴方向与机床坐标系的坐标轴方向相同。B轴测量行程NB＝45；C轴测量行程NC＝120。球杆仪标定杆长Ln＝100.0026mm，工件球初始安装位置在参考坐标系中的坐标[Ln,0,H]＝[100.0026,0,43.393]。安装球杆仪之后，将球杆仪轴向分别指向X轴正向、Y轴正向和Z轴正向测量得到工件球的定位误差ΔX＝0.033mm，ΔY＝0.012mm，ΔZ＝-0.063mm。
本发明通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法具体步骤如下：
步骤1、将B轴测量行程等分成NB分，第i个采样点对应的转角θi,B为：
步骤2、在B轴位置误差EX0B和EZ0B的影响下，第i个采样点的理论球杆仪杆长|PiQi|为：
其中，
步骤3、使用平面圆拟合方法最小化B轴采样点理论杆长|PiQi|和B轴第一组实验记录的杆长数据Li,1B的差值，EX0B、EZ0B和La,B计算如下：
参数b、c、d计算如下：
xi、zi计算如下：
xi＝cos(αB+θi,B)
zi＝sin(αB+θi,B)
步骤4、生成B轴工件球轨迹的空间坐标(Xi,B,Yi,B,Zi,B)：
Xi,B＝La,B cos(θi,B+αB)+EX0B
Zi,B＝La,B sin(θi,B+αB)+EZ0B
步骤5、使用空间平面拟合方法拟合B轴工件球轨迹所在的空间平面，目标函数构造为：
使用最小二乘法求解目标函数中的参数e、g、h得：
步骤6、由空间平面方程的表达式可得空间平面的法向矢量n′B为：
其中，
由此可得到B轴的方向误差EA0B和EC0B为：
步骤7、将C轴测量行程等分成NC分，第i个采样点对应的转角θi,C为：
步骤8、在C轴位置误差EX0C和EY0C的影响下，第i个采样点的理论球杆仪杆长|PiQi|为：
步骤9、使用平面圆拟合方法最小化C轴采样点理论杆长|PiQi|和C轴第一组实验记录的杆长数据Li,1C的差值，EX0C、EY0C和La,C计算如下：
参数b、c、d计算如下：
xi、yi计算如下：
步骤10、生成C轴工件球轨迹的空间坐标(Xi,C,Yi,C,Zi,C)：
Xi,C＝La,Ccos(θi,C+αC)+EX0C
Yi,C＝La,Csin(θi,C+αC)+EY0C
步骤11、使用空间平面拟合方法拟合C轴工件球轨迹所在的空间平面，目标函数构造为：
使用最小二乘法求解目标函数中的参数e、g、h得：
步骤12、由空间平面方程的表达式可得空间平面的法向矢量n′C为：
其中，
由此可得到B轴的方向误差EA0C和EB0C为
步骤13、C轴位置误差更新为：
EX0C′＝EX0C-H tan EB0C
EY0C′＝EY0C+H tan EA0C
辨识得到EX0B＝-3.3μm，EZ0B＝11.7μm，EX0C′＝-0.6μm，EX0C′＝-16.4μm，EA0B＝-60.01μrad，EC0B＝-57.49μrad，EA0C＝-33.42μrad，EX0C′＝12.68μrad。
从图1-4可以看出，本实施例开展球杆仪实验不需要将球杆仪的刀具球1放置在转动轴轴线上，因此可适用于任意结构，特别是摆动轴轴线接近工作台台面或者低于工作台台面的五轴数控机床。
从图5-8可以看出，将辨识得到的PIGEs补偿到球杆仪实验的NC代码中再次进行球杆仪实验，补偿后四组球杆仪实验测量得到的球杆仪杆长误差都被限制在了1μm之内。
补偿前最大值 补偿前最小值 补偿后最大值 补偿后最小值
B轴第一组实验 4.0μm -1.1μm 0.4μm -0.4μm
B轴第二组实验 7.0μm -3.3μm 0.9μm -0.8μm
C轴第一组实验 3.8μm -3.2μm 0.8μm -0.8μm
C轴第二组实验 16.5μm -16.6μm 0.3μm -0.3μm
可以看出本发明提出的通用转动轴与位置无关几何误差的辨识方法可以精确的辨识出数控机床转动轴与位置无关的几何误差，并且能够适用于任意结构的数控机床。

Claims (1)

1.一种通用转动轴与位置无关的几何误差辨识方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤1、将B轴测量行程等分成NB分，第i个采样点对应的转角θi,B为：
表示B轴测量行程；
步骤2、在B轴位置误差EX0B和EZ0B的影响下，第i个采样点的理论球杆仪杆长|PiQi|为：
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式中La,B是工件球的转动半径，[Ln,0,H]是工件球在参考坐标系中的安装位置，Ln是球杆仪的标定杆长，ΔX和ΔZ是工件球在X方向上和Z方向上的定位误差；
步骤3、使用平面圆拟合方法最小化B轴采样点理论杆长|PiQi|和B轴第一组实验记录的杆长数据Li,1B的差值，EX0B、EZ0B和La,B计算如下：
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参数b、c、d计算如下：
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xi、zi计算如下：
xi＝cos(αB+θi,B)
zi＝sin(αB+θi,B)
步骤4、生成B轴工件球轨迹的空间坐标(Xi,B,Yi,B,Zi,B)：
Xi,B＝La,Bcos(θi,B+αB)+EX0B
Zi,B＝La,Bsin(θi,B+αB)+EZ0B
<mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>B</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>L</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <msubsup> <mi>L</mi> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <msup> <mi>H</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow>
式中Li,2B为B轴第二组实验记录的杆长数据；
步骤5、使用空间平面拟合方法拟合B轴工件球轨迹所在的空间平面，目标函数构造为：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>eX</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>gZ</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
使用最小二乘法求解目标函数中的参数e、g、h得：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>g</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>h</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mi>B</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
步骤6、由空间平面方程的表达式得到空间平面的法向矢量n′B为：
<mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>B</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mrow>
其中，
<mrow> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow>
由此得到B轴的方向误差EA0B和EC0B为：
<mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mn>0</mn> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>E</mi> <mi>C</mi> <mn>0</mn> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤7、将C轴测量行程等分成NC分，第i个采样点对应的转角θi,C为：
表示C轴测量行程；
步骤8、在C轴位置误差EX0C和EY0C的影响下，第i个采样点的理论球杆仪杆长|PiQi|为：
<mrow> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mi>E</mi> <mi>X</mi> <mn>0</mn> <mi>C</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <mi>L</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <mi>E</mi> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> <mi>C</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中La,C是工件球的转动半径,ΔY是工件球在Y方向上的定位误差；
步骤9、使用平面圆拟合方法最小化C轴采样点理论杆长|PiQi|和C轴第一组实验记录的杆长数据Li,1C的差值，EX0C、EY0C和La,C计算如下：
<mrow> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mi>d</mi> </msqrt> </mrow>
<mrow> <mi>E</mi> <mi>X</mi> <mn>0</mn> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>b</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>
<mrow> <mi>E</mi> <mi>Y</mi> <mn>0</mn> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow>
参数b、c、d计算如下：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>y</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mi>C</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mi>C</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mi>C</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
xi、yi计算如下
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤10、生成C轴工件球轨迹的空间坐标(Xi,C,Yi,C,Zi,C)：
Xi,C＝La,Ccos(θi,C+αC)+EX0C
Yi,C＝La,Csin(θi,C+αC)+EY0C
<mrow> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>L</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>C</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>Y</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>X</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>n</mi> </msub> </mrow>
式中Li,2C为C轴第二组实验记录的杆长数据；
步骤11、使用空间平面拟合方法拟合C轴工件球轨迹所在的空间平面，目标函数构造为：
<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>e</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>N</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>eX</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>gY</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow>
使用最小二乘法求解目标函数中的参数e、g、h得：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>e</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>g</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>h</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <msub> <mi>N</mi> <mi>C</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
步骤12、由空间平面方程的表达式得到空间平面的法向矢量n′C为：
<mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>C</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mrow>
其中，
<mrow> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>e</mi> <mi>h</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>h</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow>
由此得到B轴的方向误差EA0C和EB0C为：
<mrow> <mi>E</mi> <mi>B</mi> <mn>0</mn> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mi>E</mi> <mi>A</mi> <mn>0</mn> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mi>c</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
步骤13、C轴位置误差更新为：
EX0C′＝EX0C-HtanEB0C
EY0C′＝EY0C+HtanEA0C。
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