CN107609580B - 一种直推式的低秩张量判别性分析方法 - Google Patents
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Abstract
一种直推式的低秩张量判别性分析方法，包括：给出N个图像集，N个图像集数据矩阵中其中少于N个且大于1个的图像集数据矩阵给出类别标注信息，将N个图像集提取到的N个特征矩阵映射成格拉斯曼流形上的点；将代表图像集特征矩阵的格拉斯曼流形上的各个点映射到对称空间上，成为N个b阶对阵矩阵；将N个b阶对阵矩阵组合在一起，构成张量；构建求取张量的判别性低秩表示矩阵的目标函数；用迭代收敛阈值算法求解目标函数，得到张量的判别性低秩表示矩阵。本发明避免了直接以原始图像集数据作为输入张量，而是基于格拉斯曼流形上的点与点之间的相似度可以通过一个映射转换到欧式空间进行计算，来构建张量。
Description
技术领域
本发明涉及一种视觉图像集分类方法。特别是涉及一种考虑寻求格拉斯曼流形上的低秩张量判别性表示，以提高图像集分类准确率的直推式的低秩张量判别性分析方法。
背景技术
近年来，随着照相机技术和便携式设备的快速发展，出现了大量的图像集，一个图像集一般包含一定数量的同一个事物的图像，但由于照相角度不同、光照条件不同、或噪声不同，这些图像会在外表上有一定的差异。图像集分类是一个很有前途的技术，它已经在计算机视觉领域引起了研究者很大的兴趣，而且有了很多应用，比如视频监督、动作识别和人脸识别等。但是由于存在大量的冗余信息、噪声、和几何的变异，寻求图像集分类有代表性的鲁棒的特征表示仍然是一个很大的挑战。关于此项研究的一个目前的趋势就是子空间学习方法，保留原始空间中的几何结构信息，发现隐性的低维特征子空间，比如线性判别性分析(LDA)[1]、局部保留映射(LPP)[2]等。后来，人们受到多线性代数的启发，在各种各样的分类任务上，提出了许多多线性子空间学习方法来处理高维问题，比如多线性主成分分析(MPCA)[3]、张量典型相关分析(TCCA)[4]等。
目前由于低秩表示(LRR)具有很好的性能，人们已经关于低秩表示做了大量的研究工作，并且用它解决了子空间聚类、数据分割、人脸识别和目标检测等问题。基于低秩表示的方法都是尝试通过寻求最低秩表示来描述数据点之间的相似性，探索数据的子空间结构，在这方面，Wang等人[5]提出了一种低秩子空间稀疏表示(LRSR)方法，同时恢复和分割嵌入子空间。但是，由于低秩表示模型依赖于欧式空间的相似性计算，所以它是不适用于高维数据集的，对于高维图像集数据，人们把它映射成格拉斯曼流形上的点，再来计算数据之间的相似度，例如，Wang等人[6]把欧式空间的低秩表示(LRR)延伸到格拉斯曼流形上，用于子空间聚类。相似地，人们也基于张量分解框架提出了许多低秩方法，比如，Dong等人[7]提出了一个新的低秩张量方法，使用拉普拉斯尺度混合(LSM)方法来给多个帧进行建模和去噪。
虽然以上低秩张量方法已经成功地应用到了许多分类问题，但它们很少加入判别性信息，而判别性信息已被证明是对提升视觉分类准确率有很大效果的，因此又有一些人提出了一些基于判别性分析的低秩张量表示的方法，例如，Jia等人[8]为动作分类和图像恢复，提出了一种判别性低秩张量表示的方法。可是这些方法只是考虑了欧式空间的数据表示，没有考虑本质流形结构。因此本方法考虑寻求格拉斯曼流形上的低秩张量判别性表示，以提高图像集分类的准确率。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是，提供一种基于格拉斯曼流形上的点与点之间的相似度可以通过一个映射转换到欧式空间进行计算的直推式的低秩张量判别性分析方法。
本发明所采用的技术方案是：一种直推式的低秩张量判别性分析方法，包括如下步骤：
1)给出N个图像集
其中Si代表第i个图像集，N个图像集数据矩阵中其中少于N个且大于1个的图像集数据矩阵给出类别标注信息，将N个图像集提取到的N个特征矩阵映射成格拉斯曼流形上的点
其中Gi为第i个点，被定义为b阶向量的qi维子空间，表示成Gi＝span(Xi)，
是原特征矩阵一组正交基；
2)将代表图像集特征矩阵的格拉斯曼流形上的各个点映射到对称空间上，成为N个b阶对阵矩阵
其中S(b)i为第i个对称矩阵；
3)将N个b阶对阵矩阵组合在一起，构成张量
4)构建求取张量Y的判别性低秩表示矩阵的目标函数；
5)用迭代收敛阈值算法求解目标函数，得到张量Y的判别性低秩表示矩阵；
步骤1)所述的将N个图像集特征矩阵映射成格拉斯曼流形上的点
是将N个矩阵进行奇异值分解，映射到格拉斯曼流形上，得到N个格拉斯曼流形上的点
步骤2)是将格拉斯曼流形上的点
通过以下公式映射到对称空间上：
∏:G(q,b)→S(b):∏(X)＝XXT，
其中，S(b)是b阶对称矩阵，映射后得到N个b阶对阵矩阵
步骤4)包括：
(1)构建基于格拉斯曼流形的低秩表示的目标函数如下：
其中，
是张量Y的重构误差，Z是张量Y的低秩表示矩阵，×3表示张量与矩阵的模3乘积，λ是平衡参数，为了方便求解，将目标函数进一步转化为如下：
其中，
(2)构建低秩表示矩阵Z的图判别性分析的目标函数如下：
其中，β是平衡参数，L＝Lw-Lb+βLs，Lw＝Dw-Gw、Lb＝Db-Gb和Ls＝Ds-Gs是拉普拉斯矩阵，Dw(i,i)＝∑jGw(i,j)、Db(i,i)＝∑jGb(i,j)和Ds(i,i)＝∑jGs(i,j)是三个对角矩阵，Gw和Gb为判别能力分析中由给出类别标注信息的那部分图像集数据构建的类内相似度矩阵和类间相似度矩阵，表示为：
其中，Nw(Si)表示和Si类别相同的v个近邻图像集数据组成的集合，Nb(Si)表示和Si不同类的v个近邻图像集数据组成的集合，Gs为几何结构分析中的全局几何结相似度矩阵，表示为：
其中，σ为自由参数，Nk(Si)表示和Si最相似的k个图像集数据组成的集合；
(3)将第(1)步和第(2)步构建的目标函数相加，得到最终的目标函数如下：
步骤5)包括：
(1)根据迭代收敛阈值算法把最终的目标函数表示如下：
其中，
f(Z)满足
C等效于是另一个Z，lk是Lipschitz常数，
是对f求导，
对f(Z)求导得到：
利用
和
求得：
用近似梯度算法求解目标函数
得到每次迭代时的张量Y的低秩表示矩阵如下：
其中，k为迭代次数，Zk是第k次迭代求得的Z，Zk-1是第k-1次迭代求得的Z；
(2)用求解核范数最小化问题时常用的奇异值阈值算法对Zk进行求解，
的奇异值分解如下：
其中，U和V分别是左奇异值矩阵和右奇异值矩阵，δ是非负特征值，r是矩阵的秩，最后通过奇异值收敛算子得到第k次迭代时的解为：
其中，
在迭代收敛时得到的Z即为张量Y的判别性低秩表示矩阵。
本发明的一种直推式的低秩张量判别性分析方法，避免了直接以原始图像集数据作为输入张量，而是基于格拉斯曼流形上的点与点之间的相似度可以通过一个映射转换到欧式空间进行计算，来构建张量。本发明有益效果是：
1、把低秩表示和图映射判别性分析组合在一个框架中，来发现样本的具有代表性的隐性低维特征表示；
2、避免了直接以原始图像集数据作为输入张量，而是基于格拉斯曼流形上的点与点之间的相似度可以通过一个映射转换到欧式空间进行计算这个性质，来构建张量；
3、利用一个迭收敛阈值算法求解发明的目标函数，可以得到最优解。
附图说明
图1是本发明一种直推式的低秩张量判别性分析方法的流程图；
图2a是敏感参数beta对本发明方法影响情况图；
图2b是敏感参数p对本发明方法影响情况图；
图2c是样本标注信息数量占比对本发明方法影响情况图；
图2d是本发明方法的迭代收敛情况图。
具体实施方式
下面结合实施例和附图对本发明的一种直推式的低秩张量判别性分析方法做出详细说明。
研究表明：格拉斯曼流形对于子空间的学习是非常有效的[9]，一个图像集数据可以表示为格拉斯曼流形上的一个点，格拉斯曼流形上的低秩表示更适用于高维数据集的学习；而对数据加入判别性信息会进一步提升视觉分类的准确率[8]。
如图1所示，本发明的一种直推式的低秩张量判别性分析方法，包括如下步骤：
1)给出N个图像集
其中Si代表第i个图像集，N个图像集数据矩阵中其中少于N个且大于1个的图像集数据矩阵给出类别标注信息，将N个图像集提取到的N个特征矩阵映射成格拉斯曼流形上的点
其中Gi为第i个点，被定义为b阶向量的qi维子空间，表示成Gi＝span(Xi)，
是原特征矩阵一组正交基。2)将代表图像集特征矩阵的格拉斯曼流形上的各个点映射到对称空间上，成为N个b阶对阵矩阵
其中S(b)i为第i个对称矩阵；
具体是将格拉斯曼流形上的点
通过以下公式映射到对称空间上：
∏:G(q,b)→S(b):∏(X)＝XXT，
其中，S(b)是b阶对称矩阵，映射后得到N个b阶对阵矩阵
3)将N个b阶对阵矩阵组合在一起，构成张量
4)构建求取张量Y的判别性低秩表示矩阵的目标函数；包括：
(1)构建基于格拉斯曼流形的低秩表示分析的目标函数如下：
其中，
是张量Y的重构误差，Z是张量Y的低秩表示矩阵，×3表示张量与矩阵的模3乘积，λ是平衡参数，为了方便求解，将目标函数进一步转化为如下：
其中，
(2)构建低秩表示矩阵Z的图判别性分析的目标函数如下：
其中，β是平衡参数，L＝Lw-Lb+βLs，Lw＝Dw-Gw、Lb＝Db-Gb和Ls＝Ds-Gs是拉普拉斯矩阵，Dw(i,i)＝∑jGw(i,j)、Db(i,i)＝∑jGb(i,j)和Ds(i,i)＝∑jGs(i,j)是三个对角矩阵，Gw和Gb为判别能力分析中由给出类别标注信息的那部分图像集数据构建的类内相似度矩阵和类间相似度矩阵，表示为：
其中，Nw(Si)表示和Si类别相同的v个近邻图像集数据组成的集合，Nb(Si)表示和Si不同类的v个近邻图像集数据组成的集合。Gs为几何结构分析中的全局几何结相似度矩阵，表示为：
其中，σ为自由参数，Nk(Si)表示和Si最相似的k个图像集数据组成的集合；
(3)将第(1)步和第(2)步构建的目标函数相加，得到最终的目标函数如下：
5)用迭代收敛阈值算法求解目标函数，得到张量Y的判别性低秩表示矩阵；包括：
(1)根据迭代收敛阈值算法把最终的目标函数表示如下：
其中，
f(Z)满足
C等效于是另一个Z，lk是Lipschitz常数，
是对f求导，
对f(Z)求导得到：
利用
和
求得：
用近似梯度算法求解目标函数
得到每次迭代时的张量Y的低秩表示矩阵如下：
其中，k为迭代次数，Zk是第k次迭代求得的Z，Zk-1是第k-1次迭代求得的Z；
(2)用求解核范数最小化问题时常用的奇异值阈值算法对Zk进行求解，
的奇异值分解如下：
其中，U和V分别是左奇异值矩阵和右奇异值矩阵，δ是非负特征值，r是矩阵的秩，最后通过奇异值收敛算子得到第k次迭代时的解为：
其中，
在迭代收敛时得到的Z即为张量Y的判别性低秩表示矩阵。
实验报告
数据库
本实验用到了以下数据库：
MNIST手写数字数据库：此数据库由70000张不同的人手写的数字图像组成，共10类，分别为0-9的数字图像。
ETH-80数据库：此数据库由8个物体的图像组成，分别为“苹果”、“梨”、“西红柿”、“牛”、“狗”、“马”、“杯子”和“小汽车”。每一类有10个图像集，每个图像集又包括41张不同角度的图像。
CMU Mobo数据库：此数据库原本是为了步态识别建立的，它包括96个视频序列，24类，即24个人。每个人有4个视频，包括慢走、快走、斜着走和带球走四个步行状态。我们用脸部检测子进行人脸提取，进行人脸识别实验。
Honda/UCSD数据库：此数据库包括20个人的59个人脸视频序列，一个视频序列的图像帧数为12到645。在此数据库中，人脸的姿势和表情都有很大范围的变化。
COIL-20数据库：此数据库包括1440张图像，20个物体，即20类，每一类有72张不同角度的图像。
Cambridge手势数据库：此数据库包括900个图像集，分为9个类，每个类有100个图像集，根据不同的光照条件，此数据库分成了5个子集合，其中有一个子集合是在正常照明情况下的得到的。
评估标准
实验的评估标准为用求得的低秩判别性特征矩阵进行图像集的分类时的平均分类准确率。
对比算法
实验中将本发明的方法与以下十种方法进行对比：
MSM[10](Mutual Subspace Method)，又称“相互子空间方法”；
MDA[11](Manifold Discriminant Analysis)，又称“流形判别性分析”；
MMD[12](Manifold-to-Manifold Distance)，又称“流形与流形之间的距离测度方法”；
DCC[13](Discriminant Canonical Correlation analysis)，又称“判别性典型相关分析”；
AHISD[14](Affine Hull based Image Set Distance)，又称“基于图像集距离的仿射包”；
CHISD[14](Convex Hull based Image Set Distance)，又称“基于图像集距离的凸状包”；
SANP[15](Sparse Approximated Nearest Point)，又称“稀疏近似最近的点方法”；
PM[16](Product Manifolds)，又称“积流形方法”；
GGDA[17](Grassmannian Graph-Embedding Discriminant Analysis)，又称“格拉斯曼图映射判别性分析”；
LRR on GM[6](Low-Rank Representation on Grassmann Manifold)，又称“基于格拉斯曼流形上的低秩表示”。
实验结果
首先做了自身对比实验，表1列出了不同处理过程组合时的方法，表2是在MNIST数据库上、标注样本占比为0.3％时表1中各个组合方法的分类准确率。
表1不同处理过程组合时的方法列表
表2在MNIST数据库上、标注样本占比为0.3％时表1中各个组合方法的平均分类准确率表
可以看出，本发明的方法中每个成分都是有作用的，且在1NN分类器下效果是最好的。图2a～图2d展示了敏感参数对本发明方法的影响和本本发明方法的收敛情况，其中，beta是全局拉普拉斯矩阵系数，p是原始数据映射到格拉斯曼流形上的维数。表3a和表3b是本发明方在5个数据库下与10个对比方法的对比实验结果，可以看到本发明的方法优于其他方法。
表3a本发明方法在2个数据库下与10个对比方法的分类实验结果表
表3b本发明方法在3个数据库下与10个对比方法的分类实验结果表
上述实验结果验证了本发明方法的可行性与优越性。
参考文献：
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[2]X.He and P.Niyogi.Locality preserving projections.In Proceedingsof Advances in Neural Information Processing Systems,16(1):186-197,2002.
[3]P.Kroonenberg and J.Leeuw.Principal component analysis of three-mode data by means of alternating least squares algorithms.Psychometrika,45:69-97,1980.
[4]T.Kim and R.Cipolla.Canonical correlation analysis of video volumetensors for action categorization and detection.IEEE Transactions on PatternAnalysis and Machine Intelligence,31(8):1415-1428,2009.
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[17]M.Harandi,C.Sanderson,S.Shirazi,and B.Lovell.Graph embeddingdiscriminant analysis on grassmannian manifolds for improved image setmatching.In Proceedings of IEEE Conference on Computer Vision and PatternRecognition,Pages:2705-2712,2011.
Claims (4)
1.一种直推式的低秩张量判别性分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
1)给出N个图像集
其中Si代表第i个图像集，N个图像集数据矩阵中其中少于N个且大于1个的图像集数据矩阵给出类别标注信息，将N个图像集提取到的N个特征矩阵映射成格拉斯曼流形上的点
其中Gi为第i个点，被定义为b阶向量的qi维子空间，表示成
是原特征矩阵一组正交基；
2)将代表图像集特征矩阵的格拉斯曼流形上的各个点映射到对称空间上，成为N个b阶对阵矩阵
其中S(b)i为第i个对称矩阵；
3)将N个b阶对阵矩阵组合在一起，构成张量
4)构建求取张量Y的判别性低秩表示矩阵的目标函数；包括：
(1)构建基于格拉斯曼流形的低秩表示的目标函数如下：
其中，
是张量Y的重构误差，Z是张量Y的低秩表示矩阵，×3表示张量与矩阵的模3乘积，λ是平衡参数，为了方便求解，将目标函数进一步转化为如下：
其中，
(2)构建低秩表示矩阵Z的图判别性分析的目标函数如下：
其中，β是平衡参数，L＝Lw-Lb+βLs，Lw＝Dw-Gw、Lb＝Db-Gb和Ls＝Ds-Gs是拉普拉斯矩阵，Dw(i,i)＝∑jGw(i,j)、Db(i,i)＝∑jGb(i,j)和Ds(i,i)＝∑jGs(i,j)是三个对角矩阵，Gw和Gb为判别能力分析中由给出类别标注信息的那部分图像集数据构建的类内相似度矩阵和类间相似度矩阵，表示为：
其中，Nw(Si)表示和Si类别相同的v个近邻图像集数据组成的集合，Nb(Si)表示和Si不同类的v个近邻图像集数据组成的集合，Gs为几何结构分析中的全局几何结构相似度矩阵，表示为：
其中，σ为自由参数，Nk(Si)表示和Si最相似的k个图像集数据组成的集合；
(3)将第(1)步和第(2)步构建的目标函数相加，得到最终的目标函数如下：
5)用迭代收敛阈值算法求解目标函数，得到张量Y的判别性低秩表示矩阵。
2.根据权利要求1所述的一种直推式的低秩张量判别性分析方法，其特征在于，步骤1)所述的将N个图像集特征矩阵映射成格拉斯曼流形上的点
是将N个矩阵进行奇异值分解，映射到格拉斯曼流形上，得到N个格拉斯曼流形上的点
3.根据权利要求1所述的一种直推式的低秩张量判别性分析方法，其特征在于，步骤2)是将格拉斯曼流形上的点
通过以下公式映射到对称空间上：
П:G(q,b)→S(b):Π(X)＝XXT，
其中，S(b)是b阶对称矩阵，映射后得到N个b阶对阵矩阵
4.根据权利要求1所述的一种直推式的低秩张量判别性分析方法，其特征在于，步骤5)包括：
(1)根据迭代收敛阈值算法把最终的目标函数表示如下：
其中，
f(Z)满足
C等效于是另一个Z，lk是Lipschitz常数，
是对f求导，
对f(Z)求导得到：
利用
和
求得：
用近似梯度算法求解目标函数
得到每次迭代时的张量Y的低秩表示矩阵如下：
其中，k为迭代次数，Zk是第k次迭代求得的Z，Zk-1是第k-1次迭代求得的Z；
(2)用求解核范数最小化问题时常用的奇异值阈值算法对Zk进行求解，
的奇异值分解如下：
其中，U和V分别是左奇异值矩阵和右奇异值矩阵，δ是非负特征值，r是矩阵的秩，
最后通过奇异值收敛算子得到第k次迭代时的解为：
其中，
在迭代收敛时得到的Z即为张量Y的判别性低秩表示矩阵。
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