CN114863151B - 一种基于模糊理论的图像降维聚类方法 - Google Patents
一种基于模糊理论的图像降维聚类方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种基于模糊理论的图像降维聚类方法，首先初始化投影矩阵U、隶属度矩阵Y、聚类中心矩阵M、投影后的样本矩阵V及正则化参数λ，然后采用交替优化算法交替更新V、M、Y，重复迭代直到目标函数收敛，实现无监督数据降维。实现了可以同时进行降维和聚类的无监督方法‑模糊主成分降维聚类方法(Fuzzy Principal Component Projection and Clustering，FPCPC)。本发明在一个方法内同时实现图像数据的降维和子空间内的聚类，提高了效率，并减少了图像在降维的过程中类别信息的丢失。
Description
技术领域
本发明属于机器学习技术领域，具体涉及一种图像降维聚类方法。
背景技术
降维和聚类是机器学习领域中最为热门的两种算法，降维通过将高维数据投影至低维空间，剔除了原始数据中冗余信息和噪声信息，保留了最主要的数据特征，并缓解了高维度带来的“维数灾难”的问题。在生产实践中由于硬件故障、编程错误、程序识别出错等原因，获得的数据往往含有冗余和噪声，这些冗余和噪声不仅会导致后续的数据处理运算复杂缓慢，更有可能使数据处理的结果与真实方向偏离。因此降维方法是常用的数据预处理和数据处理方法，被广泛应用到人脸识别、图像压缩、高光谱波段选择、医学影像处理等领域。在生产实践中直接获得的数据本身不含标签，由于缺乏足够的先验知识，对这些数据难以进行人工标注类别而且人工标注成本太高，因此需要一种方法依据数据特征将数据集进行分割，聚类就是这样一种方法。聚类可以将一个数据集分割成不同的类或簇，使得同一个簇内的数据对象的相似性尽可能大，同时不在同一个簇中的数据对象的差异性也尽可能地大。即聚类后同一类的数据尽可能聚集到一起，不同数据尽量分离，从而完成对无标签的样本集的分类问题。
聚类通过计算各数据点之间的相似度关系，从而将数据集分割成不同的类或簇，计算过程中其对数据点不加以区分，对所有数据点间的相似性进行计算，因此聚类对数据中的噪声和冗余比较敏感，在对数据进行聚类分析时往往要对数据集进行一个除噪去冗余的预处理，而降维的作用之一就是剔除原始数据中冗余信息和噪声信息，保留最主要的数据特征。不仅如此，降维之后的数据还可以简化计算过程，加快计算速度。然而现有的无监督算法绝大部分只能单独完成降维或者聚类任务，不能同时完成，对数据进行聚类往往需要分降维、聚类两步进行，步骤比较繁琐，不仅如此，降维与聚类分步进行会导致部分类别信息缺失，从而降低聚类准确度。
目前很多图像分析的生产实践中，降维逐渐成为图像数据进行聚类前必要的预处理步骤，大部分算法的具体实现都是将降维和聚类两种算法分开进行，比如《面向非标准化单细胞转录组测序数据的聚类方法及系统》(南开大学.面向非标准化单细胞转录组测序数据的聚类方法及系统：CN202110572329.5[P].2021-08-13.)首先利用UMAP对原始数据进行降维，之后对降维后的数据再利用K-means完成聚类。《图像聚类方法及系统》(广东云曌医疗科技有限公司.图像聚类方法及系统：CN20211057988 3.6[P].2021-08-24.)首先对数据集进行降维，之后对降维后的数据再利用K-means完成聚类。这些生产实践中的方法都是分步骤对数据进行降维和聚类，算法分两步进行降低了算法效率，而且在降维的过程中可能会丢失类别信息，降低聚类准确率，因此可以考虑将降维和聚类合并为一个方法中，从而提升算法效率，减少图像类别信息的丢失。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于模糊理论的图像降维聚类方法，首先初始化投影矩阵U、隶属度矩阵Y、聚类中心矩阵M、投影后的样本矩阵V及正则化参数λ，然后采用交替优化算法交替更新V、M、Y，重复迭代直到目标函数收敛，实现无监督数据降维。实现了可以同时进行降维和聚类的无监督方法-模糊主成分降维聚类方法(FuzzyPrincipal Component Projection and Clustering，FPCPC)。本发明在一个方法内同时实现图像数据的降维和子空间内的聚类，提高了效率，并减少了图像在降维的过程中类别信息的丢失。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：
步骤1：构建图像降维聚类目标函数：
其中为图像数据矩阵，矩阵X的每一列为一个样本，即n为样本数量，d为样本的维度，i＝1,2,...,n；/>为投影矩阵，d′表示降维之后的维度；为投影后的样本矩阵，V为正交矩阵，vi为行向量；/> 为隶属度矩阵，yij为矩阵Y的元素，表示vi和mj之间的隶属度值，yi为矩阵Y的第i个行向量，1为所有元素均为1的列向量，给定约束能够保证矩阵Y行的和为1；c表示样本类别数，mj为聚类中心，c个聚类中心组成了聚类中心矩阵/> λ和γ为正则化参数；
步骤2：初始化矩阵M，U，Y；
步骤2-1：固定参数M和Y计算投影矩阵U：
目标函数转化为：
构建拉格朗日函数为：
L(U,△)＝Tr(XTUUTX)-Tr[△(UTU-I)] (3)
其中，Δ表示拉格朗日乘子矩阵；
将式(3)对投影矩阵U求偏导，并令结果为0，得到：
因此投影矩阵U的解为矩阵XXT前d′个最大的特征值组成的特征向量；
步骤2-2：初始化聚类中心矩阵M；
用步骤2-1得到的投影矩阵U对数据矩阵X进行投影，再对投影得到的数据进行K-means聚类，得到的c个聚类中心就是聚类中心矩阵M的初始化结果；
步骤2-3：初始化隶属度矩阵Y；
用值在0到1间的随机数初始化隶属度矩阵Y，使Y满足约束条件
步骤3：固定聚类中心矩阵M、隶属度矩阵Y和投影矩阵U，更新投影后的样本矩阵V；
目标函数变为：
其中对目标函数(5)求偏导，有：
步骤4：固定投影后的样本矩阵V、隶属度矩阵Y和投影矩阵U，更新聚类中心矩阵M：
目标函数变为：
将式(7)对mj求偏导，有：
步骤5：固定样本矩阵V、聚类中心矩阵M和投影矩阵U，更新隶属度矩阵Y：
将目标函数变为：
式(9)对于每一个行向量都是独立的，因此能转化为如下的n个独立的子问题：
其中式(10)等价写为：
其中di＝[di1,di2,...,dic]，此时隶属度矩阵Y的求解变为式(11)单纯形问题的求解；
定义构建如下函数：
其中，uj表示向量u的第i个元素，α为所需要求解的参数；
根据牛顿迭代法求解式(12)的零点α*，即f(α*)＝0，令t表示迭代次数，那么求解的迭代格式为：
其中，αt+1表示牛顿迭代中第t+1次更新后的值，αt表示第t次更新后的值；
那么
其中，表示yij的最优解；
步骤6：重复步骤3到步骤5，迭代更新样本矩阵V、聚类中心矩阵M和隶属度矩阵Y直至目标函数式(1)收敛，得到参数M、Y和V的最优值。
本发明的有益效果如下：
1、本发明方法中的目标函数加入了将图像的降维和聚类有机结合，可以同时进行图像数据降维和子空间内的聚类，提高了算法效率，并减少了图像在降维的过程中类别信息的丢失；
2、本发明方法在迭代求解的过程中仅矩阵V的更新涉及数据集X的运算，其他变量的更新均为小型数值矩阵之间的运算，因此减小了计算复杂度，加快了运算时间；
3、本发明采用了无监督的方法进行数据降维和聚类，无需用到标签数据，减小了大量的获取标签数据所用到的时间，可以实现对高维数据快速、有效的降维。
附图说明
图1是本发明方法的流程图。
图2是本发明方法与对比算法HQPCA和LDEFKC在Control数据集上不同子空间维度上的检测结果图。
图3是本发明方法与对比算法HQPCA和LDEFKC在二维空间内可视化聚类效果图，(a)LDEFKC，(b)HQPCA，(c)FPCPC。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
针对目前大部分已有的无监督算法无法在降维的同时完成聚类，本发明采用模糊主成分降维聚类方法，在图像数据降维的同时，对图像数据进行子空间内的聚类，从而保证图像数据在降维的过程中不丢失类别信息。
一种基于模糊理论的图像降维聚类方法，包括如下步骤：
步骤1：构建图像降维聚类目标函数：
其中为图像数据矩阵，矩阵X的每一列为一个样本，即n为样本数量，d为样本的维度，i＝1,2,...,n；/>为投影矩阵，d′表示降维之后的维度；为投影后的样本矩阵，V为正交矩阵，vi为行向量；/> 为隶属度矩阵，yij为矩阵Y的元素，表示vi和mj之间的隶属度值，yi为矩阵Y的第i个行向量，1为所有元素均为1的列向量，给定约束能够保证矩阵Y行的和为1；c表示样本类别数，mj为聚类中心，c个聚类中心组成了聚类中心矩阵/> λ和γ为正则化参数；
步骤2：初始化矩阵M，U，Y；
步骤2-1：固定参数M和Y计算投影矩阵U：
目标函数转化为：
构建拉格朗日函数为：
L(U,△)＝Tr(XTUUTX)-Tr[△(UTU-I)] (3)
将式(3)对投影矩阵U求偏导，并令结果为0，得到：
因此投影矩阵U的解为矩阵XXT前d′个最大的特征值组成的特征向量；
步骤2-2：初始化聚类中心矩阵M；
用步骤2-1得到的投影矩阵U对数据矩阵X进行投影，再对投影得到的数据进行K-means聚类，得到的c个聚类中心就是聚类中心矩阵M的初始化结果；
步骤2-3：初始化隶属度矩阵Y；
用值在0到1间的随机数初始化隶属度矩阵Y，使Y满足约束条件
步骤3：固定聚类中心矩阵M、隶属度矩阵Y和投影矩阵U，更新投影后的样本矩阵V；
目标函数变为：
其中对目标函数(5)求偏导，有：
步骤4：固定投影后的样本矩阵V、隶属度矩阵Y和投影矩阵U，更新聚类中心矩阵M：
目标函数变为：
将式(7)对mj求偏导，有：
步骤5：固定样本矩阵V、聚类中心矩阵M和投影矩阵U，更新隶属度矩阵Y：
将目标函数变为：
式(9)对于每一个行向量都是独立的，因此能转化为如下的n个独立的子问题：
其中式(10)等价写为：
其中此时隶属度矩阵Y的求解变为式(11)单纯形问题的求解；
定义构建如下函数：
根据牛顿迭代法求解式(12)的零点α*，即f(α*)＝0；
那么
步骤6：重复步骤3到步骤5，迭代更新样本矩阵V、聚类中心矩阵M和隶属度矩阵Y直至目标函数式(1)收敛，得到参数M、Y和V的最优值。
具体实施例：
如图1所示，模糊主成分降维聚类方法，包括以下步骤：
以Control数据集为例介绍方法流程。Control数据集一共600个图像样本，维度为60，总共分6类，降至d′维。则n＝600,d＝60,c＝6，样本矩阵
①初始化即/>
②对图像数据矩阵XXT进行特征分解，前d′个最大的特征值对应的特征向量组成矩阵U,初始化/>
③采用如下公式更新矩阵V
④采用如下公式更新行向量mj，从而更新矩阵M
⑤更新矩阵Y
对于每个行向量yi，依次计算
构建函数
其中(x)+＝max(0,x)。
根据牛顿迭代法求解上述函数的零点α*，根据以下公式更新Y
⑥重复步骤都③-⑤，直到收敛。
如图2所示，本发明提出的方法与对比算法HQPCA(基于最大熵准则的鲁棒主成分分析)LDEFKC(带判别嵌入的模糊K-均值聚类)在Control数据集上的结果。Control数据集一共600个样本，维度为60，总共6类。聚类之后得到的标签和样本真实的标签进行对比得到整体分类精确度为评价指标，整体分类精确度取值为0-1，数值越大，证明聚类方法越好。如图2所示，本发明提出的方法在子空间维度上的聚类精确度在维度较低的情况下明显要高于对比算法，在维度较高的情况下与对比算法聚类精确度基本相同。从图3可以看出，本方法簇内数据点之间的距离相比于其他两种方法明显较小，并且簇间距离明显较大，这表明本方法可以更准确地将数据进行聚类，同时使类间相似度尽可能小，从而增大了聚类结果的置信度。这两幅图从实验方面证明了本方法的有效性。
Claims (1)
1.一种基于模糊理论的图像降维聚类方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：构建图像降维聚类目标函数：
其中为图像数据矩阵，矩阵X的每一列为一个样本，即n为样本数量，d为样本的维度，i＝1,2,...,n；/>为投影矩阵，d′表示降维之后的维度；为投影后的样本矩阵，V为正交矩阵，vi为行向量；/> 为隶属度矩阵，yij为矩阵Y的元素，表示vi和mj之间的隶属度值，yi为矩阵Y的第i个行向量，1为所有元素均为1的列向量，给定约束能够保证矩阵Y行的和为1；c表示样本类别数，mj为聚类中心，c个聚类中心组成了聚类中心矩阵/> λ和γ为正则化参数；
步骤2：初始化矩阵M，U，Y；
步骤2-1：固定参数M和Y计算投影矩阵U：
目标函数转化为：
构建拉格朗日函数为：
L(U,△)＝Tr(XTUUTX)-Tr[△(UTU-I)] (3)
其中，Δ表示拉格朗日乘子矩阵；
将式(3)对投影矩阵U求偏导，并令结果为0，得到：
因此投影矩阵U的解为矩阵XXT前d′个最大的特征值组成的特征向量；
步骤2-2：初始化聚类中心矩阵M；
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步骤2-3：初始化隶属度矩阵Y；
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步骤3：固定聚类中心矩阵M、隶属度矩阵Y和投影矩阵U，更新投影后的样本矩阵V；
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其中对目标函数(5)求偏导，有：
步骤4：固定投影后的样本矩阵V、隶属度矩阵Y和投影矩阵U，更新聚类中心矩阵M：
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步骤5：固定样本矩阵V、聚类中心矩阵M和投影矩阵U，更新隶属度矩阵Y：
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Legal Events
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|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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