CN107608931B - 一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法 - Google Patents

Abstract

一种基于Chebyshev拟谱‑二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，针对传输线瞬态响应过程的数值计算，首先采用以切比雪夫多项式为基函数的拟谱方法在空间域上离散电报方程，得到时域上的一阶微分方程组；在此基础上，采用2级2阶或3阶边界值方法在时间域上离散该微分方程得到系统离散代数方程组；为避免“维数灾”，采用块三对角矩阵的追赶法求解该代数方程，得到各空间离散点处时域数值解。本发明一种基于Chebyshev拟谱‑二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，在保证精度的基础上，计算效率高、CPU耗时短，数值稳定性好，可以长时间模拟传输线的瞬态响应过程，对传输线的工程应用研究具有很大的实用价值。

Description

一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态 响应快速计算方法

技术领域

本发明一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，涉及传输线瞬态响应计算方法领域。

背景技术

随着超大规模集成电路特征尺寸减小、上升时间缩短、集成规模扩大和时钟频率提高，互连传输线产生的延迟、反射、畸变和串扰等效应将引起电路错误响应，所以信号互连线之间的耦合己经成为影响电路信号完整性以及系统整体性能的重要因素之一。在高速电路中，应用传输线理论对信号连接线进行分析，能够准确地得到信号连接线上各点的电压和电流值，从而对改善信号互连线之间耦合具有重要的理论指导和应用价值。

传输线的数学模型被称作电报方程，而电报方程在数学中又被称作一阶双曲型偏微分方程组。对电报方程的求解有两种技术途径：一种是寻找其数学上的解析解；另一种是采用数值计算方法得到其数值解。前者只在极少数情况可行，在工程上大多数采用后者来模拟传输线的瞬态响应。迄今为止，常用的数值法主要有快速傅里叶变换(fast Fouriertransform,FFT)法、数值拉氏逆变换(NILT)法、时域有限差分(finite difference timedomain, FDTD)法、微分求积法(differential quadrature methods,DQM)以及精细积分法(precise integration methods,PIM)等。FFT方法、NILT方法需要进行频域到时域的相互转换，涉及的卷积积分计算量大，耗费时间长，而且计算十分繁琐。FDTD法算法简单，但此法的时间步长受到稳定条件的约束，计算效率较低。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明提供一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，将Chebyshev拟谱法和二级边界值法相结合对传输线的瞬态响应进行快速计算。通过数值算例结果表明，本发明的耦合方法在时域上相比经典的同级时域微分求积法具有更高的计算精度和效率，且在时间域上是无条件稳定的。此外，在空间域上还具有谱精度收敛性。

本发明采取的技术方案为：

一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，针对传输线瞬态响应过程的数值计算，首先采用以切比雪夫多项式为基函数的拟谱方法在空间域上离散电报方程，得到时域上的一阶微分方程组；在此基础上，采用2级2阶或3阶边界值方法在时间域上离散该微分方程得到系统离散代数方程组；为避免“维数灾”，采用块三对角矩阵的追赶法求解该代数方程，得到各空间离散点处时域数值解。

一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，包括以下步骤：

步骤1：运用Chebyshev拟谱方法在空间上离散描述均匀传输线上电压和电流变化规律的电报方程，得到了传输线瞬态响应计算的一阶常微分初值模型。

步骤2：以2级3阶边界值方法作为主方法，隐式梯形公式作为末点方法，对初值方程进行时域上的整体离散求解，得到线性方程组。

步骤3：采用块三对角矩阵的追赶法求解以上代数方程，得到各空间离散点处时域数值解。

所述步骤1中的电报方程为：

其中k₀>0,a₀>0以及b₀<0都是与传输线参数相关的常系数；新变量ω(z,t)表示传输线上的电压或电流，其定义域为(z,t)∈[c,d]×[0,T]。

所述步骤1中，任意区间[a,b]内的Chebyshev配置点x_i所对应的p阶Chebyshev微分矩阵

模型为：

式中，a、b分别为区间起点和终点，

为微分矩阵。

所述步骤1中的微分初值模型为：

式中，

Γ是N+1维单位矩阵。

所述步骤2中的2级3阶边界值法模型为：

末点方法附加方程为：

式中，h为时间积分步长；M为时间划分的区间数；

h≡t_m+1-t_m＝(t_f-t₀)/M

f_m+i＝f(t_m+i,y_m+i),i＝-1,0,1

y_m+i＝y(t_m+i)；

t_m+i＝t_m+i×h。

所述步骤2中的线性方程组为：

J₀ζ＝Z；

式中：J₀为常系数矩阵；ζ≡[ζ_i]^T；ζ_i∈R^q×1,q＝2(N+1)；Z≡[z_i]^T，i∈(1,M)；

其中：

上述各式中：I_q为q阶单位矩阵。

本发明一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法技术效果如下：

1)、FFT方法、NILT方法需要进行频域到时域的相互转换，涉及的卷积积分计算量大，耗费时间长，而且计算十分复杂，本发明提出一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，在时间域上是无条件稳定的，在空间域上还具有谱精度收敛性。

2)、所述方法与传统的同级时域微分求积法相比，精度更高。所述方法的平均绝对误差为0.7795×10^-11，传统算法的平均绝对误差为3.5871×10^-8；所述方法的平均相对误差为3.4019×10^-11，传统算法的平均相对误差为7.2591×10^-8。

3)、所述方法与传统的同级时域微分求积法相比，CPU耗时较短。所述方法的平均CPU耗时2.3945秒，传统方法的平均CPU耗时6.7105秒。

4)、所述算法在保证精度的基础上，计算效率高、CPU耗时短，数值稳定性好，可以长时间模拟传输线的瞬态响应过程，对传输线的工程应用研究具有很大的实用价值。

附图说明

图1为本发明的流程图。

图2为本发明基于Chebyshev拟谱-2级3阶边界值耦合方法绝对误差三维曲线图。

图3为本发明基于Chebyshev拟谱-2级2阶边界值耦合方法绝对误差三维曲线图。

图4为本发明基于Chebyshev拟谱-2级3阶边界值耦合方法的数值结果曲线图。

图5为本发明所用算例的解析解曲线图。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明作进一步的详细描述，实现流程图如图1所示。

一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，其具体实现方法为：

步骤1：运用Chebyshev拟谱方法在空间上离散描述均匀传输线上电压和电流变化规律的电报方程，得到了传输线瞬态响应计算的一阶常微分初值模型。

电报方程可以写成如下形式：

其中k₀>0,a₀>0以及b₀<0都是与传输线参数相关的常系数；新变量ω(z,t)表示传输线上的电压或电流，其定义域为(z,t)∈[c,d]×[0,T]。

式中：z表示传输线上的任意点距离首端的距离；

t表示时间变量；

T表示总的时间；

[c,d]为传输线的空间坐标区间。

初始条件为：

ω(z,0)＝υ₁(z),z∈[c,d]，

ω_t(z,0)＝υ₂(z),z∈[c,d]；

狄里克雷边界条件为：

ω(c,t)＝h₁(t),t∈[0,T]，

ω(d,t)＝h₂(t),t∈[0,T]。

式中：t表示时间变量，T表示总的时间。

运用Chebyshev拟谱方法在空间上进行离散可得到：

其中，

I_N+1为N+1维单位矩阵；定义如下向量ζ，并记

式中：

表示传输线上的电压或电流，其是时间t和空间位置的函数；

t表示传输线上的电压或电流的时间变量；

a₀,b₀,k₀都是与传输线相关的常数；

为chebyshev谱方法的二阶微分矩阵；

为

和

组成新的列向量；

是

关于时间t的一阶导数向量；

因此得到微分初值模型如下：

式中：t表示时间变量；

T表示总的时间；

ζ表示一阶齐次常微分方程的常系数矩阵；

ζ₀是变量ζ当t＝0时的初值；

式中，

式中，

Γ是N+1维单位矩阵。

步骤2：以2级3阶边界值方法作为主方法，隐式梯形公式作为末点方法，对初值方程进行时域上的整体离散求解，得到线性方程组。

2级3阶边界值法模型为：

式中：y_m+1是y(t_m+i)的近似值；

θ是二步二阶边界值法的待定参数；

h为时间积分步长；

M为时间划分的区间数；

末点方法附加方程为：

式中，h为时间积分步长；M为时间划分的区间数；

h≡t_m+1-t_m＝(t_f-t₀)/M

f_m+i＝f(t_m+i,y_m+i),i＝-1,0,1

y_m+i＝y(t_m+i)；

t_m+i＝t_m+i×h。

式中：y_m+1是y(t_m+i)的近似值；

θ是二步二阶边界值法的待定参数；

h为时间积分步长；

M为时间划分的区间数；

t表示时间变量；

离散化可得线性方程组：

J₀ζ＝Z

式中：J₀为常系数矩阵；ζ≡[ζ_i]^T；ζ_i∈R^q×1,q＝2(N+1)；Z≡[z_i]^T，i∈(1,M)。

其中

上述各式中：I_q为q阶单位矩阵；

h为时间积分步长；

θ是二步二阶边界值法的待定参数；

步骤3：采用块三对角矩阵的追赶法求解以上代数方程，得到各空间离散点处时域数值解。

步骤4：所述的一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，通过仿真算例验证精确性和有效性。

选用的仿真软件平台为Matlab7.14，硬件平台为CPU A6 1.50GHz。初值和狄里克雷边界条件按解析解ω(z,t)＝e^-tcosh(πz)确定。空间离散点数为N″＝14，h＝0.001s，T＝15s。分别用本发明方法基于Chebyshev拟谱-2级2阶边界值耦合方法(PM-BVM2)和基于Chebyshev拟谱-2级3阶边界值耦合方法(PM-BVM3)求解，以电报方程的解析解为基准，分别追踪2种方法计算结果的绝对误差

(

为数值解)，误差曲线如图2～3所示。图2～5都只截取了部分样点。

由图2可知，随着时间的增加，在时间域上，PM-BVM3能很好的模拟传输线的暂态响应过程，且都具有较高的计算精度。

同样的，由图3可知，PM-BVM2也能很好的跟踪模拟传输线的暂态响应过程。对比图2和图3可以看出，PM-BVM3比PM-BVM2的计算精度更高，这说明在时间域上， PM-BVM3更优。

图4～5分别表示PM-BVM3的数值结果

和本算例的解析解。

图4表示PM-BVM3的数值结果，从图上可以看出，本发明算法的数值稳定较好。

图5表示PM-BVM3的解析解，对比图2和图3可以看出，PM-BVM3的数值计算结果与真实解析解几乎一致，充分说明本发明算法在时间域上是无条件稳定的；在空间域上则具有谱精度收敛性。

表1为本发明基于Chebyshev拟谱-2级2阶边界值耦合方法与传统方法的计算误差情况。

表1

从表1可以看出，本发明方法与传统算法相比，不管是绝对误差还是相对误差，本发明算法的误差都要小。

表2为本发明基于Chebyshev拟谱-2级3阶边界值耦合方法与传统方法的计算误差情况。

表2

从表2可以看出，本发明方法与传统的同级时域微分求积法相比，精度要高出3个数量级。本发明方法的平均绝对误差为0.7795×10^-11，传统算法的平均绝对误差为 3.5871×10^-8；所述方法的平均相对误差为3.4019×10^-11，传统算法的平均相对误差为 7.2591×10^-8。

表3为三种算法CPU耗时比较情况。

表3

从表3可以看出，本发明方法与传统的同级时域微分求积法相比，计算效率更高。所述方法的平均CPU耗时2.3945秒，传统方法的平均CPU耗时6.7105秒。

Claims (1)

1.一种基于Chebyshev拟谱-二级边界值耦合方法的传输线瞬态响应快速计算方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：运用Chebyshev拟谱方法在空间上离散描述均匀传输线上电压和电流变化规律的电报方程，得到了传输线瞬态响应计算的一阶常微分初值模型；

步骤2：以2级3阶边界值方法作为主方法，隐式梯形公式作为末点方法，对初值方程进行时域上的整体离散求解，得到离散代数方程组；

步骤3：采用块三对角矩阵的追赶法求解以上离散代数方程组，得到各空间离散点处时域数值解；

所述步骤1中，任意区间[a,b]内的Chebyshev配置点x_i所对应的p阶Chebyshev微分矩阵

模型为：

式中，a、b分别为区间起点和终点，

为微分矩阵；

所述步骤1中的微分初值模型为：

式中，

Γ是N+1维单位矩阵；

a₀、b₀、k₀都是与传输线参数相关的常系数，

为chebyshev谱方法的二阶微分矩阵；

所述步骤2中的2级3阶边界值法模型为：

末点方法附加方程为：

式中，h为时间积分步长；M为时间划分的区间数；

h≡t_m+1-t_m＝(t_f-t₀)/M

f_m+i＝f(t_m+i,y_m+i),i＝-1,0,1

y_m+i＝y(t_m+i)；

t_m+i＝t_m+i×h；

式中：y_m+1是y(t_m+i)的近似值；

θ是二步三阶边界值法的待定参数；

h为时间积分步长；

t表示时间变量；

所述步骤2中的线性方程组为：

J₀ζ＝Z；

式中：J₀为常系数矩阵；ζ≡[ζ_i]^T；ζ_i∈R^q×1,q＝2(N+1)；Z≡[z_i]^T，i∈(1,M)；

其中：

上述各式中：I_q为q阶单位矩阵，θ是二步三阶边界值法的待定参数，h为时间积分步长，

Γ是N+1维单位矩阵。

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