CN107544258A - 自主型水下航行器自适应反演控制方法 - Google Patents
自主型水下航行器自适应反演控制方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种自主型水下航行器自适应反演控制方法，用于解决现有自主型水下航行器控制方法控制精度差的技术问题。技术方案是基于AUV的纵倾运动模型，综合应用Lyapunov方法和反演技术设计了非线性自适应跟踪控制器，将得到的压载舱质量作为参考输入，利用反演法设计压载舱质量伺服控制器，设计自适应律对不确定性进行使AUV能够全局渐近跟踪深度参考指令。本发明构造Lypunov函数设计控制器，相比背景技术方法误差最终能收敛到零，所采用自适应反演控制方法响应速度快，稳定和动态跟踪性能良好，提高了控制精度。
Description
技术领域
本发明涉及一种自主型水下航行器控制方法，特别涉及一种自主型水下航行器自适应反演控制方法。
背景技术
自主水下航行器(AUV)无论在民用还是军事方面都有广泛的应用，如在海洋资源调查、海洋救助与打捞、水下工程施工、海洋石油开采、军事和国防建设等诸多方面，己经产生了巨大的社会效益和经济效益。水下航行器多在未知海洋环境下执行任务，洋流、海浪、水质变化等不确定因素对水下航行器影响较大。研究如何在具有环境不确定因素的情形下进行AUV的运动控制具有重要的工程意义。
文献《自主式水下航行器运动控制系统的设计》(马元，中国海洋大学，2014)利用数学运算推导出空间运动方程，提出鱼雷型水下航行器的建模方法，使分布式控制系统和PID控制算法相结合，在MATLAB仿真环境下验证了控制算法的有效性以及稳定性。但文献所用的PID控制算法由于其参数固定，而水下环境复杂多变，跟踪性能受到系统参数的影响较大，控制精度较差。
发明内容
为了克服现有自主型水下航行器控制方法控制精度差的不足，本发明提供一种自主型水下航行器自适应反演控制方法。该方法基于AUV的纵倾运动模型，综合应用Lyapunov方法和反演技术设计了非线性自适应跟踪控制器，将得到的压载舱质量作为参考输入，利用反演法设计压载舱质量伺服控制器，设计自适应律对不确定性进行使AUV能够全局渐近跟踪深度参考指令。本发明构造Lypunov函数设计控制器，相比背景技术方法误差最终能收敛到零，所采用自适应反演控制方法响应速度快，稳定和动态跟踪性能良好，提高了控制精度。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案：一种自主型水下航行器自适应反演控制方法，其特点是包括以下步骤：
步骤一、根据AUV的升沉运动，将纵向运动方程简化如下：
式中，z是浮心在体坐标系下Oz轴上的距离，θ是俯仰角，vx、vz分别为体坐标系下的前向速度和纵向速度，wy为俯仰角速度，mb1、mb2分别为两个压载舱的质量，xb1、xb2分别为两个压载水舱距离浮心的距离，J2为惯性矩阵， Δh1、Δh2为每秒钟水舱中水的高度变化，V1、V2为水舱中水的体积，S为两个水舱的底面积，m0为AUV的净浮力，m1、m3为附加质量，u1、u2为两个压载舱的质量变化量，Fext_3＝-(Lcosα+Dsinα)、D＝(KD0+KDα2)(vx 2+vz 2)、L＝(KL0+KLα)(vx 2+vz 2)、Text_2＝(KM0+KMα+Kq2wy)(vx 2+vz 2)，L为升力，D为阻力，α为波浪传播方向与地面坐标系x轴正方向的夹角，KD0、KD为阻力相关系数，KL0、KL为升力相关系数，KM0、KM、Kq2为其他系数；
步骤二、对简化后的非线性化运动方程进行自适应反演积分控制器设计
假设θ∈(-π/2,π/2)，控制输入矩阵B已知，未知模型参数具有线性化形式：
式中，为状态函数向量，Θ为参数向量，k，k1，k2表示在重力方向上的单位向量；
定义系统输出向量y＝[z θ]T，常值参考输出向量yd＝[zd θd]T，定义输出跟踪误差e1＝y-yd，设计Lyapunov函数
对Lyapunov函数求导有：
把广义速度向量[vz wy]T看作虚拟的控制输入，选择期望的镇定函数
定义速度跟踪误差代入式(4)得到
对e2求导得到
设计第二个Lyapunov函数
对其求导有：
为使选择控制输入如下：
把式(10)代入式(9)有
式中，为参数向量估计误差；
定义第三个Lyapunov函数
Λ＞0为对角正定设计矩阵，对V3求导得到
设计自适应律，消除参数估计误差的影响
代入式(13)得
在选定的控制律式(10)和自适应律式(14)的作用下，深度、俯仰角跟踪参考指令，跟踪误差全局收敛到零。
步骤三、压载舱的质量为m，压载舱在u的作用下全局渐进跟踪期望质量mr，由于压载舱的质量的作用，mr被视为一种静态量，忽略其动态特性，运用反演法进行压载舱伺服控制器设计，定义压载舱质量跟踪误差：
求导有
以质量的变化为虚拟控制输入，使e3有适当的稳定性，选择稳定函数即控制输入u
选择Lyapunov函数V4＝0.5e3 2 (19)
求导有
本发明的有益效果是：该方法基于AUV的纵倾运动模型，综合应用Lyapunov方法和反演技术设计了非线性自适应跟踪控制器，将得到的压载舱质量作为参考输入，利用反演法设计压载舱质量伺服控制器，设计自适应律对不确定性进行使AUV能够全局渐近跟踪深度参考指令。本发明构造Lypunov函数设计控制器，相比背景技术方法误差最终能收敛到零，所采用自适应反演控制方法响应速度快，稳定和动态跟踪性能良好，提高了控制精度。
下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。
附图说明
图1是本发明自主型水下航行器自适应反演控制方法的流程图。
具体实施方式
参照图1。本发明自主型水下航行器自适应反演控制方法具体步骤如下：
步骤一、根据AUV的升沉运动，把纵向运动方程简化如下：
式中，z是浮心在体坐标系下Oz轴上的距离，θ是俯仰角，vx、vz分别为体坐标系下的前向速度和纵向速度，wy为俯仰角速度，mb1、mb2分别为两个压载舱的质量，xb1、xb2分别为两个压载水舱距离浮心的距离，J2为惯性矩阵， Δh1、Δh2为每秒钟水舱中水的高度变化，V1、V2为水舱中水的体积，S为两个水舱的底面积，m0为AUV的净浮力，m1、m3为附加质量，u1、u2为两个压载舱的质量变化量，Fext_3＝-(Lcosα+Dsinα)、D＝(KD0+KDα2)(vx 2+vz 2)、L＝(KL0+KLα)(vx 2+vz 2)、Text_2＝(KM0+KMα+Kq2wy)(vx 2+vz 2)，L为升力，D为阻力，α为波浪传播方向与地面坐标系x轴正方向的夹角，KD0、KD为阻力相关系数，KL0、KL为升力相关系数，KM0、KM、Kq2为其他系数；取mb1＝10cm，mb2＝8cm，xb1＝6cm，xb2＝5cm，Δh1＝2cm，Δh2＝3cm，V1＝100cm3，V2＝50cm3，S＝600cm2。
步骤二、对简化后的非线性化运动方程进行自适应反演积分控制器设计。
假设θ∈(-π/2,π/2)，控制输入矩阵B已知，未知模型参数具有线性化形式：
式中，为状态函数向量，Θ为参数向量，J2为惯性矩阵，k，k1，k2表示在重力方向上的单位向量；
为了验证以上控制器的有效性，采用REMUS水下航行器的衡重参数和流体力学参数进行数学仿真研究。由于REMUS水下航行器依靠舵进行控制，没有安装垂向推进器，为仿真研究需要增加参数l1、l2，l1＝0.36m，l2＝0.4m
定义系统输出向量y＝[z θ]T，常值参考输出向量yd＝[zd θd]T
取位置姿态指令为zd＝-5m，θd＝10°
自适应反演设计方法：
定义输出跟踪误差e1＝y-yd，设计Lyapunov函数
对Lyapunov函数求导有：
把广义速度向量[vz wy]T看作虚拟的控制输入，选择期望的镇定函数
定义速度跟踪误差代入式(4)得到
取Γ1＝0.5I2×2，对e2求导可得
设计第二个Lyapunov函数
对其求导有：
为使选择控制输入如下：
取Γ2＝5I2×2，把式(10)代入式(9)有
式中，为参数向量估计误差；
定义第三个Lyapunov函数
Λ＞0为对角正定设计矩阵，取Λ＝0.1I18×18
对V3求导得到
设计自适应律，消除参数估计误差的影响
代入式(13)得
在选定的控制律式(10)和自适应律式(14)的作用下，深度、俯仰角能够跟踪参考指令，能够保证跟踪误差全局收敛到零。
根据Barbalat引理，
步骤三、压载舱的质量为m，压载舱在u的作用下全局渐进跟踪期望质量mr，由压载舱的质量的作用可知，mr应该视为一种静态量，忽略其动态特性，运用反演法进行压载舱伺服控制器设计，定义压载舱质量跟踪误差：
取mr1＝5kg，mr2＝6kg
求导有
以质量的变化为虚拟控制输入，使e3有适当的稳定性，选择稳定函数即控制输入u
选择Lyapunov函数V4＝0.5e3 2 (19)
求导有
根据Barbalat引理有：
反演控制具有良好的过渡过程品质，最终保证纵向运动跟踪的全局渐近稳定性，在复杂多变的水下环境中，控制性能较经典的PID控制算法要好。
本发明未详细说明部分属于本领域技术人员公知常识。
Claims (1)
1.一种自主型水下航行器自适应反演控制方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一、根据AUV的升沉运动，将纵向运动方程简化如下
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式中，z是浮心在体坐标系下Oz轴上的距离，θ是俯仰角，vx、vz分别为体坐标系下的前向速度和纵向速度，wy为俯仰角速度，mb1、mb2分别为两个压载舱的质量，xb1、xb2分别为两个压载水舱距离浮心的距离，J2为惯性矩阵， Δh1、Δh2为每秒钟水舱中水的高度变化，V1、V2为水舱中水的体积，S为两个水舱的底面积，m0为AUV的净浮力，m1、m3为附加质量，u1、u2为两个压载舱的质量变化量，Fext_3＝-(L cosα+Dsinα)、D＝(KD0+KDα2)(vx 2+vz 2)、L＝(KL0+KLα)(vx 2+vz 2)、Text_2＝(KM0+KMα+Kq2wy)(vx 2+vz 2)，L为升力，D为阻力，α为波浪传播方向与地面坐标系x轴正方向的夹角，KD0、KD为阻力相关系数，KL0、KL为升力相关系数，KM0、KM、Kq2为其他系数；
步骤二、对简化后的非线性化运动方程进行自适应反演积分控制器设计
假设θ∈(-π/2,π/2)，控制输入矩阵B已知，未知模型参数具有线性化形式：
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式中，为状态函数向量，Θ为参数向量，k，k1，k2表示在重力方向上的单位向量；
定义系统输出向量y＝[z θ]T，常值参考输出向量yd＝[zd θd]T，定义输出跟踪误差e1＝y-yd，设计Lyapunov函数
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把广义速度向量[vz wy]T看作虚拟的控制输入，选择期望的镇定函数
<mrow>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>&alpha;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>J</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&theta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>v</mi>
<mi>x</mi>
</msub>
<mi>s</mi>
<mi>i</mi>
<mi>n</mi>
<mi>&theta;</mi>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
定义速度跟踪误差代入式(4)得到
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>J</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&theta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对e2求导得到
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mi>C</mi>
</msub>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>v</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>w</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mi>D</mi>
</msub>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>v</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>w</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mo>-</mo>
<mi>M</mi>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>M</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>-</mo>
<mi>&Phi;</mi>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>v</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>w</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>&theta;</mi>
</mrow>
<mo>)</mo>
<mi>&Theta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
设计第二个Lyapunov函数
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>Me</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
对其求导有：
为使选择控制输入如下：
把式(10)代入式(9)有
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>&Phi;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>v</mi>
<mi>z</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>w</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mover>
<mi>&alpha;</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>,</mo>
<mi>&theta;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mover>
<mi>&Theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>+</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>f</mi>
<mo>+</mo>
<mi>K</mi>
<mi> </mi>
<mi>sgn</mi>
<mo>(</mo>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，为参数向量估计误差；
定义第三个Lyapunov函数
<mrow>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>V</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msup>
<mover>
<mi>&Theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mi>T</mi>
</msup>
<msup>
<mi>&Lambda;</mi>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mover>
<mi>&Theta;</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
Λ>0为对角正定设计矩阵，对V3求导得到
设计自适应律，消除参数估计误差的影响
代入式(13)得
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>&le;</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
在选定的控制律式(10)和自适应律式(14)的作用下，深度、俯仰角跟踪参考指令，跟踪误差全局收敛到零；
步骤三、压载舱的质量为m，压载舱在u的作用下全局渐进跟踪期望质量mr，由于压载舱的质量的作用，mr被视为一种静态量，忽略其动态特性，运用反演法进行压载舱伺服控制器设计，定义压载舱质量跟踪误差：
<mrow>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>m</mi>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>m</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>m</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>m</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mfenced open = "[" close = "]">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>r</mi>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>m</mi>
<mrow>
<mi>r</mi>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
求导有
以质量的变化为虚拟控制输入，使e3有适当的稳定性，选择稳定函数即控制输入u
<mrow>
<mover>
<mi>m</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>u</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>18</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
选择Lyapunov函数V4＝0.5e3 2 (19)
求导有
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>V</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msub>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>c</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<msup>
<msub>
<mi>e</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>&le;</mo>
<mn>0</mn>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>20</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
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Granted publication date: 20200403 Termination date: 20201017 |
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