CN107479385B - 直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法 - Google Patents

直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法 Download PDF

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CN107479385B CN201710801742.8A CN201710801742A CN107479385B CN 107479385 B CN107479385 B CN 107479385B CN 201710801742 A CN201710801742 A CN 201710801742A CN 107479385 B CN107479385 B CN 107479385B
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Abstract

本发明公开了一种直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法。所述控制方法包括以下过程：建立所述直角坐标机器人轮廓误差模型和直流电机模型，以及建立滑模速度控制器、迭代学习位置控制器、轴间变增益交叉耦合控制器，进行迭代滑模交叉耦合控制。其中滑模速度控制器用以抑制非周期干扰，迭代学习位置控制器用以减小跟踪误差，轴间变增益交叉耦合控制器用以减小轮廓误差。本发明所构建的迭代滑模交叉耦合控制器具有较高的轮廓精度和较强的鲁棒性。

Description

直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法
技术领域
本发明涉及直角坐标机器人控制技术领域，特别是一种直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法。
背景技术
工业机器人是集机械、电子、控制、计算机、传感器、人工智能等多学科先进技术于一体的自动化装备，代表着未来智能装备的发展方向。目前，国内外汽车、电子电器、工程机械等行业已大量使用工业机器人自动化生产线，以保证产品质量和生产高效率。
工业机器人按坐标形式可以划分为直角坐标型机器人、圆柱坐标型机器人、极坐标型机器人和多关节型机器人。作为工业机器人其中的一种类型，直角坐标机器人(Cartesian Robot)具有超大行程、负载能力强、动态特性高、扩展能力强、简单经济、寿命长等特性，由于可以在末端加持不同操作用途的工具，适用于多品种、便批量的柔性化作业，完成如焊接、码垛、包装、点胶、检测、打印等一系列作业。
直角坐标机器人的三轴运动控制是机器人的灵魂所在，对轮廓误差控制的好坏将直接影响末端执行器的位姿精度。目前，国内外学者对直角坐标机器人运动控制的研究着重于对单轴进行跟踪控制，主要手段包括摩擦力补偿、前馈控制和扰动补偿等。但是，上述方法对三轴同步、轨迹跟踪和轮廓误差控制的提升是有限的。系统外部扰动和参数摄动会严重影响三轴同步、轨迹跟踪和轮廓误差控制的精度。
发明内容
本发明的目的在于提供一种精度高、鲁棒性好的直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法，所述控制方法包括以下两个过程：
建立所述直角坐标机器人轮廓误差模型和直流电机模型，以及
建立滑模速度控制器、迭代学习位置控制器、轴间变增益交叉耦合控制器，进行迭代滑模交叉耦合控制。
进一步地，所述直角坐标机器人轮廓误差模型的建立过程如下：
假设t0时刻，在直角坐标系中，P为末端执行器的实际位置，坐标为(a,b,c)；F(t)为期望轨迹；R为期望位置，坐标为(x1,y1,z1)，则
Figure BDA0001401741980000021
为直角坐标机器人的跟踪误差向量，记作
Figure BDA0001401741980000022
Figure BDA0001401741980000023
在三轴上的投影分别为ex、ey、ez，即三轴各自的跟踪误差；R′坐标为(x0,y0,z0)，直线RR′为轨迹F(t)在R处的切线；从P处向直线RR′作垂线，垂足为Q，坐标为(x,y,z)，则
Figure BDA0001401741980000024
为机器人的轮廓误差向量，记作
Figure BDA0001401741980000025
Figure BDA0001401741980000026
在三轴上的投影分别为εx、εy、εz，即三轴各自的轮廓误差；
由几何分析得跟踪误差向量
Figure BDA0001401741980000027
和向量
Figure BDA0001401741980000028
的表达式为：
Figure BDA0001401741980000029
Figure BDA00014017419800000210
由R、Q、R′三点求得直线RR′的线性方程为：
Figure BDA00014017419800000211
求得向量
Figure BDA00014017419800000212
的表达式为：
Figure BDA00014017419800000213
已知直线PQ与直线RR′互相垂直，则向量
Figure BDA00014017419800000214
与向量
Figure BDA00014017419800000215
內积为零，表示为：
Figure BDA00014017419800000216
将式(2)和式(4)代入式(5)中，求得：
Figure BDA00014017419800000217
将式(6)求出的参数t0代回式(3)，得坐标点Q：
Figure BDA0001401741980000031
则轮廓误差向量
Figure BDA0001401741980000032
的表示式为：
Figure BDA0001401741980000033
进一步地，所述直角坐标机器人直流电机模型的建立过程如下：
直流电机的电枢回路方程为：
Figure BDA0001401741980000034
式中，Ua为电枢电压，Id为电枢电流，E为感应电动势，Rd为绕组的电阻，L为绕组的电感，t为时间；
忽略粘性摩擦和弹性转矩，得到电机轴上的运动方程为：
Figure BDA0001401741980000035
式中，Te为电磁转矩，TL为负载转矩，J为转子转动惯量，ω为电机转速，GD2为电力拖动系统折算到电机轴上的飞轮矩，n为转速；
额定励磁下的感应电动势方程和电磁转矩方程分别为：
E＝Cen (11)
Te＝CmId (12)
式中，Ce为电动势常数，Cm为转矩系数；
将式(11)和式(12)代入式(9)和(10)中并整理得：
Figure BDA0001401741980000036
Figure BDA0001401741980000037
式中，Tl＝L/Rd，为电枢回路电磁时间常数；IdL＝TL/Cm，为负载电流；Tm＝GD2Rd/(375CeCm)，为机电时间常数；
在零初始条件下，对式(14)取Laplace变换，得到电压与电流之间的传递函数：
Figure BDA0001401741980000041
对式(15)取Laplace变换，得到电流与电动势之间的传递函数：
Figure BDA0001401741980000042
进一步地，所述建立滑模速度控制器、迭代学习位置控制器、轴间变增益交叉耦合控制器，进行迭代滑模交叉耦合控制，具体如下：
由于直流电机的电流变化率很小，现忽略项
Figure BDA0001401741980000043
将式(9)改写为：
Ua＝RdId+Cen (17)
联立式(10)、式(12)和式(17)，合并消去Id和Te，得：
Figure BDA0001401741980000044
移项整理，得：
Figure BDA0001401741980000045
设状态变量x＝n*-n，将n＝n*-x代入式(19)中，得系统的状态方程为：
Figure BDA0001401741980000046
其中，n*表示转速的观测量；
取PI型滑模面S：
Figure BDA0001401741980000047
其中，S为滑模面，Cp、Ci为滑膜系数，x为状态变量；
对式(21)求导，得：
Figure BDA0001401741980000048
当系统处于滑模面上，满足
Figure BDA0001401741980000049
将式(20)代入式(22)中得：
Figure BDA00014017419800000410
化简式(23)，得到系统的等效控制律为：
Figure BDA0001401741980000051
其中，
Figure BDA0001401741980000052
为不确定项，设计滑模控制律为：
Figure BDA0001401741980000053
其中，η为滑膜效率，sat(S)表示相关滑膜变量；
根据空间轮廓误差
Figure BDA0001401741980000054
的表达式(8)，得到轮廓误差补偿量C为：
C＝Cxεx+Cyεy+Czεz (26)
式中，Cx、Cy和Cz分别为各轴的交叉耦合增益值；
对于X轴，跟随误差为：
Figure BDA0001401741980000055
同理，Y轴和Z轴的跟随分别误差为：
Figure BDA0001401741980000056
Figure BDA0001401741980000057
式中，k是迭代次数，
Figure BDA0001401741980000058
是三轴的期望轨迹，Rx,k+1、Ry,k+1、Rz,k+1是经过k+1次迭代学习后三轴的输出轨迹，Gx、Gy、Gz是三轴的传递函数，
Figure BDA0001401741980000059
是经过k+1次迭代学习后三轴位置环的输出即速度环的输入，Гx、Гy、Гz是三轴的迭代学习律，Ex,k、Ey,k、Ez,k是经过k+1次迭代学习后三轴的跟随误差，C为交叉耦合控制器的传递函数；
联立式(27)、式(28)和式(29)，得：
Figure BDA0001401741980000061
对式(30)取范数，得：
Figure BDA0001401741980000062
根据迭代学习控制的收敛条件，可得：
Figure BDA0001401741980000063
本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)采用单轴速度环采用滑模控制，能有效抑制系统的非周期干扰；(2)位置环采用迭代学习控制，具有高精度的跟踪性能；(3)轴间采用变增益交叉耦合控制器，能演算并补偿轮廓误差，能大幅度提高直角坐标机器人的轮廓精度和鲁棒性。
附图说明
图1是本发明的任意轨迹的实时轮廓误差模型示意图。
图2是本发明的直流电机动态结构图。
图3是本发明的迭代滑模交叉耦合控制器结构简图。
图4是本发明的空间螺旋线期望轨迹与实际输出轨迹图。
图5是本发明的y轴负载变化时速度环SMC与PID的对比图。
图6是本发明的x轴位置环ILC与PID跟踪误差的对比图。
图7是本发明的ILC+SMC+CCC与CCC轮廓误差的对比图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。
结合图1～图7，一种直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法，所述控制方法包括以下过程：
所述直角坐标机器人轮廓误差模型建立过程如下：
假设t0时刻，在直角坐标系中，P为末端执行器的实际位置，坐标为(a,b,c)，F(t)为期望轨迹，R为期望位置，坐标为(x1,y1,z1)，则
Figure BDA0001401741980000071
为直角坐标机器人的跟踪误差向量，记作
Figure BDA0001401741980000072
其在三轴上的投影分别为ex、ey、ez，即三轴各自的跟踪误差；R′坐标为(x0,y0,z0)，直线RR′为轨迹F(t)在R处的切线；从P处向直线RR′作垂线，垂足为Q，坐标为(x,y,z)，则
Figure BDA0001401741980000073
为机器人的轮廓误差向量，记作
Figure BDA0001401741980000074
其在三轴上的投影分别为εx、εy、εz，即三轴各自的轮廓误差。
由几何分析可得跟踪误差向量
Figure BDA0001401741980000075
和向量
Figure BDA0001401741980000076
的表达式为：
Figure BDA0001401741980000077
Figure BDA0001401741980000078
由R、Q、R′三点可求得直线RR′的线性方程为：
Figure BDA0001401741980000079
可求得向量
Figure BDA00014017419800000710
的表达式为：
Figure BDA00014017419800000711
已知直线PQ与直线RR′互相垂直，则向量
Figure BDA00014017419800000712
与向量
Figure BDA00014017419800000713
內积为零，表示为：
Figure BDA00014017419800000714
将式(2)和式(4)代入式(5)中，可求得：
Figure BDA00014017419800000715
将式(6)求出的参数t0代回式(3)，得坐标点Q：
Figure BDA0001401741980000081
则轮廓误差向量
Figure BDA0001401741980000082
的表示式为：
Figure BDA0001401741980000083
所述直角坐标机器人直流电机模型建立过程如下：直流电机的电枢回路方程为：
Figure BDA0001401741980000084
式中，Ua为电枢电压，Id为电枢电流，E为感应电动势，Rd为绕组的电阻，L为绕组的电感，t为时间；
忽略粘性摩擦和弹性转矩，得到电机轴上的运动方程为：
Figure BDA0001401741980000085
式中，Te为电磁转矩，TL为负载转矩，J为转子转动惯量，ω为电机转速，GD2为电力拖动系统折算到电机轴上的飞轮矩，n为转速；
额定励磁下的感应电动势方程和电磁转矩方程分别为：
E＝Cen (11)
Te＝CmId (12)
式中，Ce为电动势常数，Cm为转矩系数；
将式(11)和式(12)代入式(9)和(10)中并整理得：
Figure BDA0001401741980000086
Figure BDA0001401741980000087
式中，Tl＝L/Rd，为电枢回路电磁时间常数；IdL＝TL/Cm，为负载电流；Tm＝GD2Rd/(375CeCm)，为机电时间常数。
在零初始条件下，对式(14)取Laplace变换，得到电压与电流之间的传递函数：
Figure BDA0001401741980000091
对式(15)取Laplace变换，得到电流与电动势之间的传递函数：
Figure BDA0001401741980000092
所述直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法建立过程如下：
对于所述直角坐标机器人，设计速度环滑模控制器，可以抑制非周期干扰；设计位置环迭代学习控制器，能够抑制周期性干扰和减小单轴跟踪误差；设计轴间变增益交叉耦合控制器，用以减小系统的轮廓误差。
由于直流电机的电流变化率很小，现忽略项
Figure BDA0001401741980000093
将式(9)改写为：
Ua＝RdId+Cen (17)
联立式(10)、式(12)和式(17)，合并消去Id和Te，得：
Figure BDA0001401741980000094
移项整理，得：
Figure BDA0001401741980000095
设状态变量x＝n*-n，将n＝n*-x代入式(19)中，得系统的状态方程为：
Figure BDA0001401741980000096
其中，n*表示转速的观测量；
取PI型滑模面S：
Figure BDA0001401741980000097
其中，S为滑模面，Cp、Ci为滑膜系数，x为状态变量；
对式(21)求导，得：
Figure BDA0001401741980000098
当系统处于滑模面上，满足
Figure BDA0001401741980000099
将式(20)代入式(22)中得：
Figure BDA00014017419800000910
化简式(23)，得到系统的等效控制律为：
Figure BDA0001401741980000101
其中，
Figure BDA0001401741980000102
为不确定项，设计滑模控制律为：
Figure BDA0001401741980000103
其中，η为滑膜效率，sat(S)表示相关滑膜变量；
根据空间轮廓误差
Figure BDA0001401741980000104
的表达式(8)，得到轮廓误差补偿量C为：
C＝Cxεx+Cyεy+Czεz (26)
式中，Cx、Cy和Cz分别为各轴的交叉耦合增益值，能够影响轮廓误差的修正速度。
对于X轴，跟随误差为：
Figure BDA0001401741980000105
同理，Y轴和Z轴的跟随分别误差为：
Figure BDA0001401741980000106
Figure BDA0001401741980000107
式中，k是迭代次数，
Figure BDA0001401741980000108
是三轴的期望轨迹，Rx,k+1、Ry,k+1、Rz,k+1是经过k+1次迭代学习后三轴的输出轨迹，Gx、Gy、Gz是三轴的传递函数，
Figure BDA0001401741980000109
是经过k+1次迭代学习后三轴位置环的输出即速度环的输入，Гx、Гy、Гz是三轴的迭代学习律，Ex,k、Ey,k、Ez,k是经过k+1次迭代学习后三轴的跟随误差，C为交叉耦合控制器的传递函数；
联立式(27)、式(28)和式(29)，得：
Figure BDA00014017419800001010
对式(30)取范数，得：
Figure BDA0001401741980000111
根据迭代学习控制的收敛条件，可得：
Figure BDA0001401741980000112
将本发明提出的控制方法运用到直角坐标机器人中，该直角坐标机器人采用三台相同的直流电机作为的驱动部件。
机器人的期望跟踪轨迹为空间螺旋线，方程为：
Figure BDA0001401741980000113
图4仿真结果表明，对所设计的迭代滑模交叉耦合控制器进行验证，两者基本重合，所设计的控制器性能良好。为验证速度环滑模控制、位置环迭代学习控制的优越性，将分别单独测试其性能：
图5仿真结果表明，比较速度环(SMC)和普通PID控制在抑制非周期干扰方面的性能，以y轴为例，y轴转速跟踪的是周期为1s，幅值为568rpm的余弦波。电机空载运行后，PID控制需要将近0.1s进入稳态，而SMC很快进入稳态；在0.5s给电机加10N的负载，PID的动态响应能力较弱，而SMC体现出很强的抗干扰能力。
图6仿真结果表明，比较位置环(ILC)和普通PID控制在位置跟踪方面的性能，以x轴为例，x轴位置跟踪的是周期为1s，幅值为100mm的余弦波。PID控制能够使位置跟踪误差迅速收敛，但是由于没有学习能力，重复运行并不能改善系统性能，位置误差峰峰值始终保持在±0.62mm；采用ILC，系统运行到第2秒，即迭代学习进行了2次后，位置误差逐渐减小，最终峰峰值收敛于±0.08mm，以此验证了ILC具有高精度的跟踪性能。
图7仿真结果表明，比较迭代滑模交叉耦合控制器与普通交叉耦合控制器(CCC)在控制轮廓误差方面的性能，在ILC+SMC+CCC控制下，系统具有学习能力，轮廓误差不断减少，经过6次迭代后，已经小于普通CCC控制下的轮廓误差，随着迭代次数的增加，最终轮廓误差被控制在0.04mm。可见，采用ILC+SMC+CCC控制可以有效地补偿轮廓误差。
综上所述，本发明一种直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法，针对直角坐标机器人，本发明设计了一种迭代滑模交叉耦合控制器。单轴速度环采用滑模控制，能有效抑制系统的非周期干扰；位置环采用迭代学习控制，具有高精度的跟踪性能；轴间采用变增益交叉耦合控制器，能演算并补偿轮廓误差。仿真结果表明，本发明所设计的迭代滑模交叉耦合控制器能大幅度提高直角坐标机器人的轮廓精度和鲁棒性。

Claims (2)

1.一种直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法，其特征在于，所述控制方法包括以下两个过程：
建立所述直角坐标机器人轮廓误差模型和直流电机模型，以及
建立滑模速度控制器、迭代学习位置控制器、轴间变增益交叉耦合控制器，进行迭代滑模交叉耦合控制；
所述直角坐标机器人轮廓误差模型的建立过程如下：
假设t0时刻，在直角坐标系中，P为末端执行器的实际位置，坐标为(a，b，c)；F(t)为期望轨迹；R为期望位置，坐标为(x1，y1，z1)，则
Figure FDA0002965020380000011
为直角坐标机器人的跟踪误差向量，记作
Figure FDA0002965020380000012
在三轴上的投影分别为ex、ey、ez，即三轴各自的跟踪误差；R′坐标为(x0，y0，z0)，直线RR′为轨迹F(t)在R处的切线；从P处向直线RR′作垂线，垂足为Q，坐标为(x，y，z)，则
Figure FDA0002965020380000013
为机器人的轮廓误差向量，记作
Figure FDA0002965020380000014
在三轴上的投影分别为εx、εy、εz，即三轴各自的轮廓误差；
由几何分析得跟踪误差向量
Figure FDA0002965020380000015
和向量
Figure FDA0002965020380000016
的表达式为：
Figure FDA0002965020380000017
Figure FDA0002965020380000018
由R、Q、R′三点求得直线RR′的线性方程为：
Figure FDA0002965020380000019
求得向量
Figure FDA00029650203800000110
的表达式为：
Figure FDA00029650203800000111
已知直线PQ与直线RR′互相垂直，则向量
Figure FDA00029650203800000112
与向量
Figure FDA00029650203800000113
内 积为零，表示为：
Figure FDA00029650203800000114
将式(2)和式(4)代入式(5)中，求得：
Figure FDA0002965020380000021
将式(6)求出的参数t0代回式(3)，得坐标点Q：
Figure FDA0002965020380000022
则轮廓误差向量
Figure FDA0002965020380000023
的表示式为：
Figure FDA0002965020380000024
所述直角坐标机器人直流电机模型的建立过程如下：
直流电机的电枢回路方程为：
Figure FDA0002965020380000025
式中，Ua为电枢电压，Id为电枢电流，E为感应电动势，Rd为绕组的电阻，L为绕组的电感，t为时间；
忽略粘性摩擦和弹性转矩，得到电机轴上的运动方程为：
Figure FDA0002965020380000026
式中，Te为电磁转矩，TL为负载转矩，J为转子转动惯量，ω为电机转速，GD2为电力拖动系统折算到电机轴上的飞轮矩，n为转速；
额定励磁下的感应电动势方程和电磁转矩方程分别为：
E＝Cen (11)
Te＝CmId (12)
式中，Ce为电动势常数，Cm为转矩系数；
将式(11)和式(12)代入式(9)和(10)中并整理得：
Figure FDA0002965020380000031
Figure FDA0002965020380000032
式中，Tl＝L/Rd，为电枢回路电磁时间常数；IdL＝TL/Cm，为负载电流；Tm＝GD2Rd/(375CeCm)，为机电时间常数；
在零初始条件下，对式(14)取Laplace变换，得到电压与电流之间的传递函数：
Figure FDA0002965020380000033
对式(15)取Laplace变换，得到电流与电动势之间的传递函数：
Figure FDA0002965020380000034
2.根据权利要求1所述的直角坐标机器人迭代滑模交叉耦合控制方法，其特征在于，所述建立滑模速度控制器、迭代学习位置控制器、轴间变增益交叉耦合控制器，进行迭代滑模交叉耦合控制，具体如下：
由于直流电机的电流变化率很小，现忽略项
Figure FDA0002965020380000035
将式(9)改写为：
Ua＝RdId+Cen (17)
联立式(10)、式(12)和式(17)，合并消去Id和Te，得：
Figure FDA0002965020380000036
移项整理，得：
Figure FDA0002965020380000037
设状态变量x＝n*-n，将n＝n*-x代入式(19)中，得系统的状态方程为：
Figure FDA0002965020380000038
其中，n*表示转速的观测量；
取PI型滑模面S：
Figure FDA0002965020380000039
其中，S为滑模面，Cp、Ci为滑膜系数，x为状态变量；
对式(21)求导，得：
Figure FDA0002965020380000041
当系统处于滑模面上，满足
Figure FDA0002965020380000042
将式(20)代入式(22)中得：
Figure FDA0002965020380000043
化简式(23)，得到系统的等效控制律为：
Figure FDA0002965020380000044
其中，
Figure FDA0002965020380000045
为不确定项，设计滑模控制律为：
Figure FDA0002965020380000046
其中，η为滑膜效率，sat(S)表示相关滑膜变量；
根据空间轮廓误差
Figure FDA0002965020380000047
的表达式(8)，得到轮廓误差补偿量C为：
C＝Cxεx+Cyεy+Czεz (26)
式中，Cx、Cy和Cz分别为各轴的交叉耦合增益值；
对于X轴，跟随误差为：
Figure FDA0002965020380000048
同理，Y轴和Z轴的跟随误差分别为：
Figure FDA0002965020380000049
Figure FDA00029650203800000410
式中，k是迭代次数，
Figure FDA00029650203800000411
是三轴的期望轨迹，Rx，k+1、Ry，k+1、Rz，k+1是经过k+1次迭代学习后三轴的输出轨迹，Gx、Gy、Gz是三轴的传递函数，
Figure FDA00029650203800000412
Figure FDA00029650203800000413
是经过k+1次迭代学习后三轴位置环的输出即速度环的输入，Гx、Гy、Гz是三轴的迭代学习律，Ex，k、Ey，k、Ez,k是经过k+1次迭代学习后三轴的跟随误差，C也为交叉耦合控制器的传递函数；
联立式(27)、式(28)和式(29)，得：
Figure FDA0002965020380000051
对式(30)取范数，得：
Figure FDA0002965020380000052
根据迭代学习控制的收敛条件，可得：
Figure FDA0002965020380000053
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