CN107369199B - 基于圆盘的近似刚性形状插值方法 - Google Patents

基于圆盘的近似刚性形状插值方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于圆盘的近似刚性形状插值方法，本发明给定一个源形状和一个目标形状，首先自动生成一对同构三角化，然后基于同构三角化中的每一对对应顶点，构建一对圆盘，并分别为每对圆盘计算一个局部线性变换。最后在每一插值时刻t，t∈[0，1]，对于每一对圆盘，根据其局部线性变换，计算得到其在该时刻处的最优插值形状，再通过最小化一个二次能量函数，把所有圆盘在该时刻处的最优插值形状组合在一起，即得到源和目标形状在该时刻处的插值形状，最终产生了源形状到目标形状的自然无扭曲过渡序列。本发明具有考虑了形状内部，更加鲁棒，能够有效处理大旋转情况，产生了自然顺眼的角色姿势过渡序列的特点。

Description

基于圆盘的近似刚性形状插值方法
技术领域
本发明涉及二维角色动画技术领域，尤其是涉及一种考虑了形状内部，鲁棒性好，能够有效处理大旋转情况，能够产生自然顺眼的角色姿势过渡序列的基于圆盘的近似刚性形状插值方法。
背景技术
在政府的大力支持下，国内动漫产业近年来发展迅速，动漫产量亦大幅提升。然而，通过传统的手绘方式制作二维动画需要大量时间以及高额制作成本。国内外研发了许多二维商业动画软件，例如Adobe Flash、Toon Boom Studio等，以辅助二维动画制作。这些商业软件主要实现了所谓的“无纸卡通”功能，即把传统的动画师纸上绘画转为让动画师通过数位板在计算机上绘画，以方便素材的编辑和管理。但是，动画师仍需要一帧一帧地绘制二维动画序列，工作量仍然非常巨大。
二维形状渐变是计算机动画领域中的一项重要技术，它能够光滑地过渡一个形状到另一个形状。给定两个包含二维矢量形状的关键帧，通过过渡一个关键帧中的形状到另一个关键帧中的形状，可以自动生成关键帧之间的动画序列。因此，二维形状渐变技术被广泛应用于二维关键帧动画系统中。该技术需要解决一个基本问题：如何插值两个形状。已有的插值方法要么仅考虑了边界，要么鲁棒性差。特别地，当两个形状之间涉及较大的旋转时，极易产生扭曲的插值结果。因此，需要一种即考虑内部又鲁棒且能够处理大旋转的新的形状插值方法。
发明内容
本发明的发明目的是为了克服现有技术中的动画制作效率低、仅考虑边界，鲁棒性差的不足，提供了一种考虑了形状内部，鲁棒性好，能够有效处理大旋转情况，能够产生自然顺眼的角色姿势过渡序列的基于圆盘的近似刚性形状插值方法。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
一种基于圆盘的近似刚性形状插值方法，包括如下步骤：
(1-1)源形状和目标形状的同构三角化生成
给定一个源形状和一个目标形状，用户在源形状和目标形状上分别放置多边形边界，使用同构三角形算法为源形状和目标形状生成一对同构三角化，所述同构三角化包含源三角形网格和目标三角形网格，三角形网格和目标三角形网格的顶点一一对应，且具有相同的连接边结构；其中，源三角形网格覆盖了源形状，目标三角形网格覆盖了目标形状，源形状作为源三角形网格的纹理，目标形状作为目标三角形网格的纹理。
(1-2)基于圆盘的近似刚性插值方法；
(1-3)基于图的全局连贯旋转优化。
本发明能够自动生成二维动画序列，可以有效提高二维动画的制作效率，极大降低其制作成本，具有重要的社会和经济意义。
与现有技术的形状插值方法，本发明考虑了形状内部，在实际应用中更加鲁棒，同时能够有效处理大旋转情况，最终产生了自然顺眼的角色姿势过渡序列，具有更广阔的应用场景。针对特定的便携式移动设备，例如智能手机，本发明提供了一项新型的娱乐应用：通过直观的交互显示屏，用户可以在手机上任意绘制两个形状，然后算法自动为之生成连贯的形状过渡动画。
作为优选，步骤(1-2)包括如下步骤：
(1-2-1)设{pi}为源三角形网格中顶点的集合，{qi}为目标三角形网格中顶点的集合；其中，每个源顶点pi与目标顶点qi对应，对源三角形网格中的每个源顶点pi，得到其环邻域中的各个邻居顶点，各个邻居顶点形成局部顶点集合，称局部顶点集合为圆盘Pi；
(1-2-2)对于目标三角形网格中的每个源顶点qi，得到其环邻域中的各个邻居顶点，各个邻居顶点形成局部顶点集合，称局部顶点集合为圆盘Qi；
(1-2-3)设pj为圆盘Pi中的一个点，pj在圆盘Qi中的对应点为qj，以pi和qi为旋转中心，定义局部线性变换L(i，j)，L(i，j)包括旋转矩阵Rα和缩放分量s；其中，α为向量pj-pi到向量qj-qi的旋转角度，Rα为旋转角度α对应的旋转矩阵，s为向量qj-qi的长度与向量pj-pi的长度的比值；
(1-2-4)利用公式qj-qi＝Rα(pj-pi)s将pj变换到qj，在任一插值时刻t，t∈[0，1]，计算并得到向量pj-pi和向量qj-qi的中间过渡向量Rtα(pj-pi)(1-t+ts)，Rtα为旋转角度ta对应的旋转矩阵；
Figure BDA0001335547480000031
中的j是和
Figure BDA0001335547480000032
中的i作用相同的下标，
Figure BDA0001335547480000033
和
Figure BDA0001335547480000034
表示集合
Figure BDA0001335547480000035
中的两个不同顶点；
(1-2-5)设定
Figure BDA0001335547480000036
为源三角形网格顶点和目标三角形网格顶点在时刻t的插值位置，通过最小化二次能量函数
Figure BDA0001335547480000041
计算得到
Figure BDA0001335547480000042
中各顶点的位置；
(1-2-6)根据
Figure BDA0001335547480000043
得到源三角形网格顶点和目标三角形网格的过渡序列；依次将源形状和目标形状作为纹理贴到过渡序列上并进行线性纹理融合，得到源形状到目标形状的自然过渡动画序列。
作为优选，步骤(1-3)包括如下步骤：
(1-3-1)新建一个包含节点和连接边的图G，初始时图G中包含零个顶点和零条连接边；
(1-3-2)对源三角形网格中的每个顶点pi，步骤(1-2-1)为其定义了一个圆盘Pi，对于Pi中的每个顶点pj，其与pi一起组成了一个顶点对，并关联了一个局部线性变换L(i，j)，在图G中为该局部线性变换创建一个对应的节点；
(1-3-3)对图G中的任意两个节点，令它们以对应的局部线性变换为
Figure BDA0001335547480000044
和
Figure BDA0001335547480000045
其中
Figure BDA0001335547480000046
与顶点对
Figure BDA0001335547480000047
和
Figure BDA0001335547480000048
关联，
Figure BDA0001335547480000049
与顶点对
Figure BDA00013355474800000410
和
Figure BDA00013355474800000411
关联，步骤(1-2-1)为
Figure BDA00013355474800000412
定义了一个圆盘
Figure BDA00013355474800000413
步骤(1-2-1)为
Figure BDA00013355474800000414
定义了一个圆盘
Figure BDA00013355474800000415
如果
Figure BDA00013355474800000416
属于圆盘
Figure BDA00013355474800000417
中的顶点，或者
Figure BDA00013355474800000418
属于圆盘
Figure BDA00013355474800000419
中的顶点，则在
Figure BDA00013355474800000420
所对应的图G节点以及
Figure BDA00013355474800000421
所对应的图G节点之间创建一条连接边，并在该边上赋一个权值||α1|-|α2||；其中，α1为
Figure BDA00013355474800000422
中所包含旋转矩阵对应的旋转角度，α2为
Figure BDA00013355474800000423
中所包含旋转矩阵对应的旋转角度；
(1-3-4)在图G中选择一个节点作为根节点，为图G构建一颗最小生成树，并从根节点出发，对最小生成树进行深度优先遍历，在进行遍历时，设定
Figure BDA0001335547480000051
为当前遍历的节点所对应的局部线性变换，
Figure BDA0001335547480000052
包含的旋转矩阵角度为α1；
Figure BDA0001335547480000053
为接下来将遍历的节点所对应的局部线性变换，
Figure BDA0001335547480000054
包含的旋转矩阵角度为α2，如果|α1-α2|≥π，则将α2改为α2±2kπ，其中，k取值为使|α1-α2|＜π的最小自然数；同时，对
Figure BDA0001335547480000055
和的旋转矩阵做相应更新；
(1-3-5)根据更新后的局部线性变换L(i，j)，重新使用步骤(1-2)中的基于圆盘的近似刚性插值方法对源和目标形状进行插值，得到全局旋转连贯的自然插值序列。
因此，本发明具有如下有益效果：考虑了形状内部，在实际应用中更加鲁棒，同时能够有效处理大旋转情况，最终产生了自然顺眼的角色姿势过渡序列且具有更广阔的应用场景；针对特定的便携式移动设备，提供了一项新型的娱乐应用。
附图说明
图1是本发明的一种源形状、目标形状及对应的同构三角化图；
图2是本发明的一种三角形网格的过渡序列图；
图3是本发明的一种形状过渡序列；
图4是本发明的具有大旋转的形状之间的一种过渡序列图；
图5是本发明的一种流程图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明做进一步的描述。
如图5所示的实施例是一种基于圆盘的近似刚性形状插值方法，包括如下步骤：
步骤100，源形状和目标形状的同构三角化生成
如图1所示，给定一个源形状和一个目标形状，用户可以通过鼠标单击的方式分别在源和目标形状上放置多边形边界，使用同构三角形算法为源形状和目标形状生成一对同构三角化，所述同构三角化包含源三角形网格和目标三角形网格，三角形网格和目标三角形网格的顶点一一对应，且具有相同的连接边结构；其中，源三角形网格覆盖了源形状，目标三角形网格覆盖了目标形状，源形状作为源三角形网格的纹理，目标形状作为目标三角形网格的纹理。
步骤200，基于圆盘的近似刚性插值方法；
步骤210，设{pi}为源三角形网格中顶点的集合，{qi}为目标三角形网格中顶点的集合；其中，每个源顶点pi与目标顶点qi对应，对源三角形网格中的每个源顶点pi，得到其环邻域中的各个邻居顶点，各个邻居顶点形成局部顶点集合，称局部顶点集合为圆盘Pi；
步骤220，对于目标三角形网格中的每个源顶点qi，得到其环邻域中的各个邻居顶点，各个邻居顶点形成局部顶点集合，称局部顶点集合为圆盘Qi；
步骤230，设pj为圆盘Pi中的一个点，pj在圆盘Qi中的对应点为qj，以pi和qi为旋转中心，定义局部线性变换L(i，j)，L(i，j)包括旋转矩阵Rα和缩放分量s；其中，α为向量pj-pi到向量qj-qi的旋转角度，Rα为旋转角度α对应的旋转矩阵，s为向量qj-qi的长度与向量pj-pi的长度的比值；
步骤240，利用公式qj-qi＝Rα(pj-pi)s将pj变换到qj，在任一插值时刻t，t∈[0，1]，计算并得到向量pj-pi和向量qj-qi的中间过渡向量Rtα(pj-pi)(1-t+ts)，Rtα为旋转角度ta对应的旋转矩阵；
步骤250，设定
Figure BDA0001335547480000074
为源三角形网格顶点和目标三角形网格顶点在时刻t的插值位置，通过最小化二次能量函数
Figure BDA0001335547480000071
计算得到
Figure BDA0001335547480000072
中各顶点的位置；
步骤260，如图2所示，根据
Figure BDA0001335547480000073
得到源三角形网格顶点和目标三角形网格的过渡序列；依次将源形状和目标形状作为纹理贴到过渡序列上并进行线性纹理融合，得到如图3所示的源形状到目标形状的自然过渡动画序列。
在基于圆盘的尽似刚性插值方法中，需要最小化方程(1)中所列的一个二次能量函数。该最小化问题对应一个线性最小二乘求解问题。通过对每个未知变量求偏微导并设其值为0，可以得一组线性方程，该线性方程组可通过高斯消去或者LU分解等数值方法对其进行求解。
步骤300，基于图的全局连贯旋转优化。
步骤310，新建一个包含节点和连接边的图G，初始时图G中包含零个顶点和零条连接边；
步骤320，对源三角形网格中的每个顶点pi，步骤210为其定义了一个圆盘Pi，对于Pi中的每个顶点pi，其与pi一起组成了一个顶点对，并关联了一个局部线性变换L(i，j)，在图G中为该局部线性变换创建一个对应的节点；
步骤330，对图G中的任意两个节点，令它们以对应的局部线性变换为
Figure BDA0001335547480000081
和
Figure BDA0001335547480000082
其中
Figure BDA0001335547480000083
与顶点对
Figure BDA0001335547480000084
和
Figure BDA0001335547480000085
关联，
Figure BDA0001335547480000086
与顶点对
Figure BDA0001335547480000087
和
Figure BDA0001335547480000088
关联，步骤210为
Figure BDA0001335547480000089
定义了一个圆盘
Figure BDA00013355474800000810
步骤210为
Figure BDA00013355474800000811
定义了一个圆盘
Figure BDA00013355474800000812
如果
Figure BDA00013355474800000813
属于圆盘
Figure BDA00013355474800000814
中的顶点，或者
Figure BDA00013355474800000815
属于圆盘
Figure BDA00013355474800000816
中的顶点，则在
Figure BDA00013355474800000817
所对应的图G节点以及
Figure BDA00013355474800000818
所对应的图G节点之间创建一条连接边，并在该边上赋一个权值||α1|-|α2||；其中，α1为
Figure BDA00013355474800000819
中所包含旋转矩阵对应的旋转角度，α2为
Figure BDA00013355474800000820
中所包含旋转矩阵对应的旋转角度；
步骤340，在图G中选择一个节点作为根节点，为图G构建一颗最小生成树，并从根节点出发，对最小生成树进行深度优先遍历，在进行遍历时，设定
Figure BDA00013355474800000821
为当前遍历的节点所对应的局部线性变换，
Figure BDA00013355474800000822
包含的旋转矩阵角度为α1；
Figure BDA00013355474800000823
为接下来将遍历的节点所对应的局部线性变换，
Figure BDA00013355474800000824
包含的旋转矩阵角度为α2，如果|α1-α2|≥π，则将α2改为α2±2kπ，其中，k取值为使|α1-α2|＜π的最小自然数；同时，对
Figure BDA00013355474800000825
中的旋转矩阵做相应更新；
步骤350，根据更新后的局部线性变换L(i，j)，重新使用步骤200中的基于圆盘的近似刚性插值方法对源和目标形状进行插值，得到全局旋转连贯的自然插值序列。
应理解，本实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。此外应理解，在阅读了本发明讲授的内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。

Claims (1)

1.一种基于圆盘的近似刚性形状插值方法，其特征是，包括如下步骤：
(1-1)源形状和目标形状的同构三角化生成：
给定一个源形状和一个目标形状，用户在源形状和目标形状上分别放置多边形边界，使用同构三角形算法为源形状和目标形状生成一对同构三角化，所述同构三角化包含源三角形网格和目标三角形网格，三角形网格和目标三角形网格的顶点一一对应，且具有相同的连接边结构；
(1-2)基于圆盘的近似刚性插值方法；
(1-2-1)设{pi}为源三角形网格中顶点的集合，{qi}为目标三角形网格中顶点的集合；其中，每个源顶点pi与目标顶点qi对应，对源三角形网格中的每个源顶点pi，得到其一环邻域中的各个邻居顶点，各个邻居顶点形成局部顶点集合，称局部顶点集合为圆盘Pi；
(1-2-2)对于目标三角形网格中的每个源顶点qi，得到其一环邻域中的各个邻居顶点，各个邻居顶点形成局部顶点集合，称局部顶点集合为圆盘Qi；
(1-2-3)设pj为圆盘Pi中的一个点，pj在圆盘Qi中的对应点为qj，以pi和qi为旋转中心，定义局部线性变换I(i，j)，L(i，j)包括旋转矩阵Rα和缩放分量s；其中，α为向量pj-pi到向量qj-qi的旋转角度，Rα为旋转角度α对应的旋转矩阵，s为向量qj-qi的长度与向量pj-pi的长度的比值；
(1-2-4)利用公式qj-qi＝Rα(pj-pi)s将pj变换到qj，在任一插值时刻t，t∈[0，1]，计算并得到向量pj-pi和向量qj-qi的中间过渡向量Rtα(pj-pi)(1-t+ts)，Rtα为旋转角度ta对应的旋转矩阵；
(1-2-5)设定
Figure FDA0002521447690000021
为源三角形网格顶点和目标三角形网格顶点在时刻t的插值位置，通过最小化二次能量函数
Figure FDA0002521447690000022
计算得到
Figure FDA0002521447690000023
中各顶点的位置；
Figure FDA0002521447690000024
由的j是和
Figure FDA0002521447690000025
中的i作用相同的下标，
Figure FDA0002521447690000026
和
Figure FDA0002521447690000027
表示集合
Figure FDA0002521447690000028
中的两个不同顶点；
(1-2-6)根据
Figure FDA0002521447690000029
得到源三角形网格顶点和目标三角形网格的过渡序列；依次将源形状和目标形状作为纹理贴到过渡序列上并进行线性纹理融合，得到源形状到目标形状的自然过渡动画序列；
(1-3)基于图的全局连贯旋转优化：
(1-3-1)新建一个包含节点和连接边的图G，初始时图G中包含零个顶点和零条连接边；
(1-3-2)对源三角形网格中的每个顶点pi，步骤(1-2-1)为其定义了一个圆盘Pi，对于Pi中的每个顶点pj，其与pi一起组成了一个顶点对，并关联了一个局部线性变换L(i，j)，在图G中为该局部线性变换创建一个对应的节点；
(1-3-3)对图G中的任意两个节点，令它们以对应的局部线性变换为
Figure FDA00025214476900000210
种
Figure FDA00025214476900000211
其中
Figure FDA00025214476900000212
与顶点对
Figure FDA00025214476900000213
和
Figure FDA00025214476900000214
关联，
Figure FDA00025214476900000215
与顶点对
Figure FDA00025214476900000216
和
Figure FDA00025214476900000217
关联，步骤(1-2-1)为
Figure FDA00025214476900000218
定义了一个圆盘
Figure FDA00025214476900000219
步骤(1-2-1)为
Figure FDA00025214476900000220
定义了一个圆盘
Figure FDA00025214476900000221
如果
Figure FDA00025214476900000222
属于圆盘
Figure FDA00025214476900000223
中的顶点，或者
Figure FDA00025214476900000224
属于圆盘
Figure FDA00025214476900000225
由的顶点，则在
Figure FDA0002521447690000031
所对应的图G节点以及
Figure FDA0002521447690000032
所对应的图G节点之间创建一条连接边，并在该边上赋一个权值||α1|-|α2||；其中，α1为
Figure FDA0002521447690000033
中所包含旋转矩阵对应的旋转角度，α2为
Figure FDA0002521447690000034
和所包含旋转矩阵对应的旋转角度；
(1-3-4)在图G中选择一个节点作为根节点，为图G构建一颗最小生成树，并从根节点出发，对最小生成树进行深度优先遍历，在进行遍历时，设定
Figure FDA0002521447690000035
为当前遍历的节点所对应的局部线性变换，
Figure FDA0002521447690000036
包含的旋转矩阵角度为α1；
Figure FDA0002521447690000037
为接下来将遍历的节点所对应的局部线性变换，
Figure FDA0002521447690000038
包含的旋转矩阵角度为α2，如果|α1-α2|≥π，则将α2改为α2±2kπ，其中，k取值为使|α1-α2|＜π的最小自然数；同时，对
Figure FDA0002521447690000039
中的旋转矩阵做相应更新；
(1-3-5)根据更新后的局部线性变换I(i，j)，重新使用步骤(1-2)中的基于圆盘的近似刚性插值方法对源和目标形状进行插值，得到全局旋转连贯的自然插值序列。
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