CN107276561A - 基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，使用量化核最小均方误差方法(QKLMS)拟合Hammerstein的非线性部分，该方法具有很强的拟合能力，能够拟合任何非线性映射。当调整量化参数，QKAHF算法可以获得不同的性能，量化参数变大时，均方误差的收敛稳态值变大，但网络结构变小；量化参数变小时，均方误差的收敛稳态值变小，但网络结构会变大,能够实现更好的拟合性能，且快速收敛，在实际应用中更加易于推广和使用。
Description
【技术领域】
本发明属于信号处理领域，涉及一种基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法。
【背景技术】
近年以来，自适应滤波迅速发展起来为一种最佳滤波方法。自适应滤波是在维纳滤波，卡尔曼滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳的滤波方法，由于它具有更强的适应性和更优的滤波性能。从而在工程实际中，尤其在信息处理技术中得到了广泛的应用。
核自适应滤波(KAF)算法是一类在线方法，它将原始数据映射到高维再生核希尔伯特空间(RKHS)，在此空间内实行传统的线性自适应算法。已知的核自适应滤波算法包括核最小均方误差算法(KLMS)，核仿射投影算法(KAPAs)，核递推最小二乘算法(KRLS)，量化核最小均方误差算法(QKLMS)。这些算法在非线性学习任务中有很好的效果，如混沌时间序列预测，非线性信道均衡，非线性系统辨识等。核自适应滤波有一些很好的特性：1)当使用一个通用核时，核自适应滤波是通用的学习器；2)在均方误差准则下，性能曲面在RKHS空间内是二次的，因此使用梯度下降学习不会有局部最小的问题；3)此类算法有适度的时间和空间复杂度。
当使用一个通用核，且样本数量无限多时，KAF算法可以估计任何结构的非线性系统。在许多实际环境中，系统的结构是已知的或部分已知的，这样的先验信息在提升学习性能上有很大的作用，尤其是当样本尺寸比较小时。例如，Hammerstein系统是一种串联的结构，包含一个无记忆(静态)非线性部分和一个线性子系统(通常是动态的)。
在自适应Hammerstein滤波(AHF)的相关算法中，如基于部分正交化的自适应Hammerstein滤波，基于仿射映射变步长自适应算法。有学者使用多通道离散傅里叶变换算法来学习Hammerstein系统两种基函数的系数。这些算法在Hammerstein系统识别问题上有很好的表现。
但它们基本都使用多项式结构来拟合非线性部分。
参见图1，使用多项式来辨识Hammerstein非线性部分的方法为：给定输入信号u(n)和期望输出信号d(n)，使用梯度下降等方法更新系数，使得每次迭代后减小。Hammerstein系统输入输出关系为：
式中M,N为线性系统的阶数，是无记忆多项式非线性系统的输出，可用下式来表达：
在以上的方程中，分别代表相关的系数。
方程(1)可以重写为
式中
q-1代表单位时延操作子。参数向量为：
数据向量为：
根据式(5)、(6)，式(1)可以改写为
根据式(7)更新参数向量即可得到传统的多项式Hammerstein系统辨识方法。
这些算法只能用在某些特定结构的Hammerstein系统中，但在实际情况下，非线性部分不只有多项式形式，这大大限制了该算法的实用性和泛化能力。
【发明内容】
本发明的目的在于提供一种基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，使用量化核最小均方误差算法来拟合非线性部分，具有无限的估计能力，很好地拟合任何形式的非线性函数，在Hammerstein系统辨识中可以取得很好的效果。
为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案：
基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，具体步骤如下：
Hammerstein系统的输入输出关系为：
式中：为估计输出，和为待估计系数，M,N为线性环节的阶数，为非线性部分的输出；
使用量化核最小均方误差算法估计非线性部分，q为字典的大小，为在输入空间U的量化操作，u(n)∈Rm为输入向量，m为输入维度，为系数，将参数向量和数据向量表示为下式：
则式(1)可重写为：
算法流程为：
设定相关参数，核宽度σ，量化参数ζ，小正常数δ，学习速率Λ(n)，线性环节阶数M,N，计算初始参数向量循环以下过程：
根据当前输入计算数据向量
计算误差d(n)为期望输出；
计算信息向量
计算向量
更新参数向量
更新非线性部分的输出
得到当前输入的估计输出
进一步，更新参数向量时，使用参数δ预防变得很小时带来的问题。
进一步，选择步长参数使下式满足
即可保证量化核自适应Hammerstein滤波收敛，式中 是先验误差，为最优参数向量，P(n)＝φ(n)e(n)。
本发明的有益效果体现在：
基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，使用量化核最小均方误差方法(QKLMS)拟合Hammerstein的非线性部分，该方法具有很强的拟合能力，能够拟合任何非线性映射；当调整量化参数，QKAHF算法可以获得不同的性能，量化参数变大时，均方误差的收敛稳态值变大，但网络结构变小；量化参数变小时，均方误差的收敛稳态值变小，但网络结构会变大。因而根据不同的实际要求可以调整量化参数来达到。该方法有无限估计能力，能够很好地拟合任何形式的非线性函数，在Hammerstein系统辨识中可以取得很好的效果。且这种算法解决了核自适应滤波算法的主要瓶颈，即其网络结构会随着新的数据的到来而线性增长，这个问题会导致算法在计算和存储上的巨大负担，具有较为重要的研究意义和广泛的工程应用价值。
【附图说明】
图1是传统的自适应Hammerstein系统辨识原理框图；
图2是本算法所述基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法原理框图；
图3是传统AHF算法在不同多项式阶数下的稳态均方误差(MSE)；
图4是QKAHF算法，KAHF算法，AHF算法的MSE收敛曲线；
图5是QKAHF算法的网络结构增长曲线。
图6是不同信噪比(SNR)下三种算法的稳态MSE。
【具体实施方式】
下面结合附图对本发明做进一步说明。
本发明基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，简称为量化核自适应Hammerstein滤波(QKAHF)，现具体介绍如下：
量化核最小均方误差算法(QKLMS)
当学习一个连续非线性输入输出映射d＝f(u),其中u是一个m维的输入向量，U是中的一个紧凑输入域，d是输出信号。当输入输出对{u(i),d(i),i＝1,2,...}可用时，这个学习问题可以理解为基于训练数据找到映射f的一个估计核自适应滤波算法是一种基于核的序列估计器，在第i步对f的估计为fi，根据上一次的估计fi-1和当前样本{u(i),d(i)}来更新。
Mercer核是一种连续，对称和正定的函数κ：常用的高斯核为
式中σ＞0是核宽度。根据Mercer的理论，任何的Mercer核κ(u,u′)都可以推导出一个映射将输入空间U映射到高维特征空间Γ(一个内积空间)，因此存在下式：
核最小均方误差算法实际上是在高维特征空间的线性最小均方误差算法。首先，基于核的映射被用来转换输入u(i)到特征空间将最小均方误差算法应用到新的样本序列可以得到：
式中e(i)是第i步的预测误差，η是步长，Ω(i)代表在特征空间的权重向量。在权重更新方程中，将特征向量进行量化即可得到量化核自适应滤波，可以用下式来表示：
式中代表在特征空间的量化操作。因为特征空间的维度非常高，量化通常在原输入空间U进行。此时，量化核最小均方误差的更新规则如下：
式中，fi由Ω(i)和组成，也就是
量化核自适应Hammerstein滤波
如图2所示，输入与输出的关系如(1)式，无记忆核自适应滤波非线性系统的输出q是字典的大小。根据的定义可知，它与过去的数据相关，且是一个增长的结构。要估计期望的信号d(n)，我们使用迭代的方法来更新(1)中的系数，使得在均方意义下接近d(n)。因此，代价函数定义为：
使用最小均方误差算法来学习(13)式中的系数。首先选定核宽度σ，量化参数ζ，参数δ，线性系统阶数M和N，学习速率Λ(n)＝diag[μ1(n),…,μN+M+q(n)]。构造参数向量和数据向量分别为：
使用下式来更新参数向量：
式中，ψ(n)为信息向量，由下式得到：
更新非线性部分的输出为系统输出
收敛性分析
权重误差向量定义为θ*为最优权重向量，即满足：
d(n)＝(θ*)Tu(n)+v(n)(16)
v(n)为扰动项。是第n步的先验误差。记P(n)＝φ(n)e(n)。在上述算法中，令：
选择步长参数使得即可保证权重误差能量单调递减，即算法均方收敛。
仿真分析
为验证QKAHF算法的性能，构造以下Hammerstein系统。无记忆非线性系统为z1(n)＝0.5*sin(0.4x(n)-0.3x2(n)+0.2x3(n))，线性成分的传递函数为在未知系统的输出加上零均值的噪声信号，得到期望的信号使得输出信号的信噪比为30dB。输入信号u(n)为零均值和单位方差的高斯信号。为进行比较，我们首先进行了传统自适应Hammerstein滤波(AHF)的仿真实验。如图3所示，当多项式阶数为4的时候，AHF的效果最好，因此在对比实验中，我们将多项式阶数设定为4。同时可以看到，AHF算法的效果主要依赖于多项式阶数的选择。
我们将QKAHF算法的核宽度设定为σ＝1，量化参数ζ＝0.5，δ＝0.01。实验中使用10000个训练数据，进行100次蒙特卡洛仿真，将100次仿真的结果平均后得到图4和图5的效果。图4是这些方法的对数均方误差(MSE)收敛曲线。可以看出，QKAHF和KAHF算法可以收敛到更小的稳态误差，且量化参数越小收敛值越小，当量化参数变为0时，QKAHF变为KAHF。这说明了当非线性部分使用核自适应滤波有更好的估计能力。图5展示了在不同的量化参数下QKAHF算法的网络增长曲线，说明量化的方法可以有效地减少计算复杂性。
进一步，我们将研究不同的噪声如何影响算法的性能。我们使用不同能量的噪声污染信号，获得不同的信噪比。图6展示了不同算法在不同信噪比的信号下的稳态MSE值。QKAHF算法的参数不变。可以明显地看到，在不同的信噪比情况下，QKAHF和KAHF算法有更低的误差。当量化参数设定为0.5或者1时，QKAHF和KAHF的均方误差接近，但QKAHF有更小的网络结构，因而计算效率更高。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。
Claims (3)
1.基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，其特征在于具体步骤如下：
Hammerstein系统的输入输出关系为：
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式中：为估计输出，和为待估计系数，M,N为线性环节的阶数，为非线性部分的输出；
使用量化核最小均方误差算法估计非线性部分，q为字典的大小，为在输入空间U的量化操作，u(n)∈Rm为输入向量，m为输入维度，为系数，将参数向量和数据向量表示为下式：
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算法流程为：
设定相关参数，核宽度σ，量化参数ζ，小正常数δ，学习速率Λ(n)，线性环节阶数M,N，计算初始参数向量循环以下过程：
根据当前输入计算数据向量
计算误差d(n)为期望输出；
计算信息向量
计算向量
更新参数向量
更新非线性部分的输出
得到当前输入的估计输出
2.根据权利要求1所述的基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，其特征在于：更新参数向量时，使用参数δ预防变得很小时带来的问题。
3.根据权利要求1所述的基于量化核最小均方误差的Hammerstein系统辨识方法，其特征在于：选择步长参数使下式满足
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即可保证量化核自适应Hammerstein滤波收敛，式中 是先验误差，为最优参数向量，P(n)＝φ(n)e(n)。
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