CN107391442A - 一种增广线性模型及其应用方法 - Google Patents
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Abstract
一种增广线性模型及其应用方法，在训练阶段，假设有N组训练数据，假设输入数据是L维数据，通过最小二乘算法计算出维纳滤波器参数的最优解，然后计算维纳滤波器的输出，当已知训练阶段的期待数据，通过增广线性模型计算每个数据的瞬时误差，从而得到输入数据和瞬时误差的关系表，对关系表进行量化；在应用阶段中，首先找到与当前测试样本最近的索引以及最近的索引对应的误差，并将该误差作为对当前测试数据瞬时误差的估计，得到当前测试数据瞬时误差值，再根据增广空间线性模型，得到测试数据期待数据的估计值。与非线性滤波器相比，计算复杂度有着明显的优势。与维纳滤波器相比，增广线性滤波器在非线性数据上的性能也获得大幅提高。
Description
技术领域
本发明属于数据处理领域中的方法研究，涉及一种增广线性模型及其应用方法。
背景技术
线性模型最早由高斯提出，这种模型将期待数据映射到由输入数据张成的输入空间中，并在输入空间中找到最优模型参数使得损失函数最小。因为线性模型在数学性质、可解释性及鲁棒性等方面较其他模型具有明显优势，被广泛应用在数据处理、控制理论、模式识别、机器学习等多个领域。当数据是非线性的时候，参数的自适应将变得非常复杂，这是因为非线性系统参数寻优时存在大量局部极值点，而通过目前已有的方法和手段很难得到最优解，且其理论分析将变得极为复杂。现有的很多非线性函数拟合方法都以实用为主，缺乏相应的理论支撑。
近年来，随着计算机性能大幅提高，数据量的显著增大，人工神经网络依靠其强大的端对端非线性拟合能力，受到工业界的青睐。即便如此，如何减少训练时间以及如何降低网络规模仍然是研究者们探讨的热点。与此同时，核自适应滤波在工程实际中也被广泛运用。这是种单隐层前向网络，通过Mercel核将非线性数据映射到超高维空间甚至无穷维空间当中，并用线性自适应滤波算法得到最优解。另一个受到广泛关注的算法是超限学习机，与核自适应滤波相同，极限学习机也是一种单隐层网络。网络中，隐层的激活函数与隐层权重都是随机产生的，所以网络训练速度很快。但是在实际问题中，为了达到理想的效果，在训练阶段需要一些技巧，例如随机权重服从怎样的分布以及隐层节点的个数都是训练网络时需要考虑的问题。人工神经网络等非线性拟合算法的成功展现了人们对于快速有效的非线性拟合算法的迫切需求。
发明内容
本发明的目的在于提供一种增广线性模型及其应用方法，将其应用在数据处理领域，提出增广空间线性滤波器，并通过实验证明了滤波器的有效性。
为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案。
一种增广线性模型，该增广线性模型的定义为
d＝wTu+e (1)
其中e是增广线性滤波器的瞬时误差，w是线性维纳滤波器的最优解，u是训练数据的输入数据，d是期待输出数据。
一种增广线性模型的应用方法，包括训练阶段和应用阶段；
在训练阶段，假设有N组训练数据其中，i表示时间索引，u是训练数据的输入数据，d是期待输出数据，这里假设输入数据是L维数据，通过最小二乘算法计算出维纳滤波器参数的最优解w；根据最优解w后，计算出期待数据在输入空间的投影，即维纳滤波器的输出y：
y＝wTu (2)
当已知训练阶段的期待数据，首先通过增广线性模型计算每个数据的瞬时误差，该瞬时误差的方向是垂直于L维输入空间的，从而得到输入数据和瞬时误差的关系表，关系表中每个误差的索引是对应的输入数据；
对关系表进行量化，输入为N个索引向量，设定量化半径ε，通过度量索引之间的距离得到一个数量小于N的新的索引集，其对应误差为索引中心包含的索引误差的平均值；
在应用阶段中，首先通过构建kd树在关系表中找到与当前测试样本最近的索引C(j*)以及最近的索引对应的误差e(j*)，并将该误差作为对当前测试数据瞬时误差的估计，得到当前测试数据瞬时误差值在这里j*表示字典中与当前样本最近的索引是表中的第j*个索引：
再根据增广空间线性模型，得到测试数据期待数据的估计值
本发明进一步的改进在于，通过公式计算出维纳滤波器参数的最优解w：
w＝(βI+UUT)-1Ud (5)
维纳滤波器参数的最优解w是与输入相同维度的L维向量，其中，U为训练数据的输入数据组成的矩阵，且U＝[u1,u2,…,uN]，d为期待输出数据组成的向量且d＝[d1,d2,…,dN]T，β是最优解的正则项，I表示对角线为1的对角矩阵。
本发明进一步的改进在于，度量索引之间的距离具体过程如下：用维纳解对输入数据进行加权，然后再用欧式距离度量数据点之间的距离，得到距离最近的点为最近的索引。
本发明进一步的改进在于，加权通过以下公式进行
其中u'表示由维纳解加权后的输入，运算表示Hadamard积，即两个大小相同的向量或矩阵对应项相乘。
本发明进一步的改进在于，得到一个数量小于N的新的索引集的具体过程如下：
首先选择量化半径ε>0，初始化的索引集为C(1)＝{u'1}，其对应的误差集为E(1)＝{e1}；
然后利用公式计算当前需要量化的输入索引u'i与当前索引集C(i)的距离dis(u'i,C(i-1))：
其中，i为时间索引，j表示字典中的第j个索引；如果最短距离dis(u'i,C(i-1))≤ε，则索引集不变，即C(i)＝C(i-1)，将当前索引u'i量化到离它最近的中心当中；同时，索引u'i的误差也放入对应中心的误差集E(·)中，即E(j*)＝{E(j*),ei}，其中如果最短距离大于所设定的量化半径，则更新索引集C(i)＝{C(i-1),u'i}，同时更新新增索引中包含的被量化的误差：E(size(C(i)))＝{ei}，不断重复上述过程直到完成对所有输入索引的量化。
与现有技术相比，本发明的有益效果体现在：与传统非线性系统相比，由于本发明的增广线性模型是线性模型，所以在训练时间和测试时间上有着巨大优势。人工神经网络需要大量时间训练同时还有避免求解陷入局部极值，而与核自适应滤波与超限学习机也需要计算隐层的输出，相比之下，本发明的增广线性模型在训练时只需要简单的进行表的检索得到输出值，所以计算复杂度有着明显优势。与传统线性滤波器相比，增广线性滤波器在非线性拟合方面有着大幅提高。本发明的增广线性模型的输出是期待数据在输入空间的投影，假设原始输入是L维数据，增广线性模型将解空间扩展到由期待数据与输入数据共同组成的增广空间当中。由于L+1维线性独立的基可以张成任意L+1维空间，所以增广线性滤波器训练误差为0。同时，增广线性滤波器作为一种线性滤波器，与非线性滤波器相比，计算复杂度有着明显的优势。与维纳滤波器相比，增广线性滤波器在非线性数据上的性能也获得大幅提高。
附图说明
图1是增广线性滤波器在训练阶段的示意图。
图2是增广线性滤波器在测试阶段的示意图。
图3是实验所用的Lorenz数据。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
参见图1，图1展示了增广空间线性模型与原始线性模型的区别，由于原始线性模型是在输入空间中寻找期待输出数据的投影，维纳滤波器的输出在输入空间中。而在一般非线性问题中，期待数据通常不在输入空间中，所以线性模型难以获得令人满意的结果，本发明提出的增广空间线性模型就是在这基础之上，通过一个表记录下增广空间中的期待数据与输入空间中的期待数据投影之间的关系。
本发明的增广空间线性模型模型的定义为
d＝wTu+e (1)
其中e是增广线性滤波器的瞬时误差，w是线性维纳滤波器的最优解，u是训练数据的输入数据，d是期待输出数据。对于一个非线性系统，期待输出数据不在由输入数据张成的L维空间当中。增广线性模型将期待数据加入到输入空间中，于是由输入数据与期待数据组成的L+1维空间被定义为增广空间。在这个空间中求出每一组训练数据对应的瞬时误差e，该误差的方向是垂直于L维输入空间的。
该增广线性模型的应用方法包含训练阶段与应用阶段两个部分。
在训练阶段，假设有N组训练数据其中，i表示时间索引，u是训练数据的输入数据，d是期待输出数据，在这里假设输入数据是L维数据。可以通过最小二乘算法即公式计算出维纳滤波器参数的最优解w：
w＝(βI+UUT)-1Ud (5)
维纳滤波器参数的最优解w是与输入相同维度的L维向量，其中U为训练数据的输入数据组成的矩阵，且U＝[u1,u2,…,uN]，d为期待输出数据组成的向量且d＝[d1,d2,…,dN]T，β是最优解的正则项，I表示对角线为1的对角矩阵。得到最优解w后，根据最优解利用公式计算出期待数据在输入空间的投影，即维纳滤波器的输出y。
y＝wTu (2)
当已知训练阶段的期待数据，可以利用增广线性模型，首先通过公式计算每个数据的瞬时误差，该瞬时误差的方向是垂直于L维输入空间的。由于对于一个特定的非线性系统，输入数据和瞬时误差是存在特定的关系的，所以本发明中通过一个表记录输入数据和瞬时误差定的关系，表中每个误差的索引是对应的输入数据。
庞大的训练集会产生一个庞大的表，由于测试时间主要来自于表中索引的搜索，所以大规模训练集会导致测试时间很长。同时，训练数据中期待数据往往含有噪声，所以计算得到的瞬时误差e中也含有噪声。如果对该误差表进行量化不仅可以减少索引的数量，同时计算被量化的临近索引的误差的平均值可以减小平均误差中的噪声。通过陈霸东等人的研究成果(Chen B,Zhao S,Zhu P,et al.Quantized kernel least mean squarealgorithm[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems,2012,23(1):22-32.)对表进行量化，输入为N个索引向量，设定量化半径ε，通过度量索引之间的距离可以得到一个数量小于N的新的索引集，其对应误差为索引中心包含的索引误差的平均值。
度量索引之间的距离具体过程如下：
由于直接用欧式距离度量数据之间的距离没有考虑数据整体的信息，所以本发明在这里通过公式(6)，用维纳解对输入数据进行加权，然后再用欧式距离度量数据点之间的距离，得到距离最近的点为最近的索引，提高了滤波器的性能。
其中u'表示由维纳解加权后的输入，运算表示Hadamard积即两个大小相同的向量或矩阵对应项相乘。用维纳解对输入向量加权实际上是在后续用欧式距离度量数据之间的距离时，加入数据整体的信息。
得到一个数量小于N的新的索引集的具体过程如下：首先选择合适的量化半径ε>0，初始化的索引集为C(1)＝{u'1}，其对应的误差集为E(1)＝{e1}。
然后利用公式计算当前需要量化的输入索引u'i与当前索引集C(i)的距离dis(u'i,C(i-1))：
其中，i为时间索引，j表示字典中的第j个索引。
如果最短距离dis(u'i,C(i-1))≤ε，则索引集不变，即C(i)＝C(i-1)，即将当前索引u'i量化到离它最近的中心当中。同时，索引u'i的误差也放入对应中心的误差集E(·)中，即E(j*)＝{E(j*),ei}，其中如果最短距离大于所设定的量化半径，则更新索引集C(i)＝{C(i-1),u'i}，同时更新新增索引中包含的被量化的误差：E(size(C(i)))＝{ei}。不断重复上述过程直到完成对所有输入索引的量化。
通过这种方法，将原来规模庞大的表，变成到可以接受的大小，量化后的索引C(j)对应的误差是量化在该索引的所有误差的平均值mean(E(j))。
对表进行优化之后，增广线性滤波器的训练阶段完成。
在应用阶段中，如图2所示，首先在表中找到与当前测试样本最近的索引C(j*)，需要注意的此次表中的索引不是原始数据，而是被维纳解加权后的数据。在寻找最近的索引的时候不需要计算当前测试数据与表中所有数据的距离然后找出距离最小的数据，而是通过构建kd树寻找最近邻的索引，kd树搜索的平均复杂度为O(logN)，可以极大程度的缩短搜索时间。同时，找到表中最近的索引对应的误差e(j*)，并将该误差作为对当前测试数据瞬时误差的估计，并得到当前测试数据瞬时误差值
再根据公式(1)提出的增广空间线性模型，得到测试数据期待数据的估计值
为了展现本发明的优势之处，本发明给出了在仿真环境下维纳滤波器、增广线性滤波器与核最小均方误差算法的数据处理效果对比。
仿真设计如下：实验数据为洛伦兹数据，是一个对应于混沌流长期行为的动力系统，以下微分方程阐明了洛伦兹系统如何以一个复杂非重复模式随时间发展。
设置β＝8/3，σ＝10，ρ＝28，使用一个步长参数为0.1的一阶近似。本发明以第三成分作x，做一个短期预测任务，第三成分在图3中绘出。短期预测任务选择以七个以前的数据u(i)＝[x(i-7),x(i-6),…,x(i-1)]T作为输入来预测期望的响应x(i)，本实施例中的数据是干净的，不含有任何噪声。建模前，对数据进行预处理达到单位方差。训练集包含2000个数据，测试集为紧跟在训练集之后的400个数据。最终MSE是50组蒙特卡洛仿真的平均值。
实施例1
核最小均方误差算法是一种常见的核自适应滤波算法，具有拟合任意非线性函数的特性，训练简单的特点使其经常被应用在预测、系统辨识等非线性系统回归中。由于核最小均方误差算法是一种在线学习算法，而最小二乘算法与增广空间线性模型的训练方法都是批处理的方法，所以核最小均方误差算法最终MSE根据平均学习曲线的最后100个值来估计，平均学习曲线是所有蒙特卡洛仿真的平均值。核最小均方误差算法的核宽σ＝1.5，步长参数η＝0.5。最小二乘算法的正则项因子λ＝0.001。增广空间线性模型在训练阶段也用到最小二乘算法，所以其正则项因子也是λ＝0.001。结果对比见表1。
表1核最小均方误差滤波器、维纳滤波器与增广空间线性滤波器在无噪声的lorenz数据下的性能比较
由表1的结果可以看出，增广空间线性模型有着较好的非线性拟合能力，相比于维纳滤波器，精度有着很大程度的提高，但是测试时间也比维纳滤波器更长。由于该模型也是一种线性模型与表的结合，其测试时间较非线性模型还是有着明显优势。因为表中需要记录所有训练数据，所有该模型的在储存空间上与核最小均方误差算法几乎相同。在下一个实施例中，本发明通过量化的方法对表进行优化，减小增广空间线性模型的空间复杂度，同时当训练数据中含有噪声的时候，也可以一定程度的通过精度。
实施例2
在本发明给出的第二个实例中，训练数据的期待数据中混合了20dB的高斯白噪声。核最小均方误差算法的核宽σ＝1.5，步长参数η＝0.5。最小二乘算法的正则项因子λ＝0.001。增广空间线性模型在训练阶段也用到最小二乘算法，所以其正则项因子也是λ＝0.001，在这里，假设增广空间线性模型量化后的center有M个。结果对比见表2。
表2核最小均方误差滤波器、维纳滤波器与增广空间线性滤波器在含有噪声的洛伦兹数据下的性能比较
由以上表2可以看出当训练数据含有噪声的时候，三种滤波器的性能均有所下降，可增广空间线性滤波器在对字典进行优化之后，可以一定程度的提高滤波器的精度，并且滤波器的计算复杂度与空间复杂度均有一定程度的减小。
在以高斯提出的线性回归为基础的一系列模型中，通常都会将系统的期待输出数据投影在输入空间中，然后寻找最优的参数值。这种方法被广泛的应用在数据处理、控制论、模式识别与机器学习当中。而对于非线性的系统，情况将变得非常复杂，因为非线性优化问题常常出现局部最优解，目前现有的方法并不能够保证结果收敛到全局最优解。一般情况下，非线性系统的期待输出数据与输入数据不在同一平面即期待数据不能由输入数据线性表出。本发明利用增广线性模型，该模型将原始L维输入空间扩展为包含期待数据L+1维输入空间，该空间被称为增广空间。在训练阶段，增广空间中的瞬时误差被储存在一个表中。在测试阶段用该表估计出输入数据的瞬时误差，并将估计出的瞬时误差与线性模型的输出相加，得到期待数据的估计值。由于是在增广空间中寻找最优解，所以该方法的训练误差为0，同时该模型属于一种线性模型，与非线性模型相比计算复杂度很小，具有实际运用的价值。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。
Claims (6)
1.一种增广线性模型，其特征在于，该增广线性模型的定义为
d＝wTu+e (1)
其中e是增广线性滤波器的瞬时误差，w是线性维纳滤波器的最优解，u是训练数据的输入数据，d是期待输出数据。
2.一种如权利要求1所述的增广线性模型的应用方法，其特征在于，包括训练阶段和应用阶段；
在训练阶段，假设有N组训练数据其中，i表示时间索引，u是训练数据的输入数据，d是期待输出数据，这里假设输入数据是L维数据，通过最小二乘算法计算出维纳滤波器参数的最优解w；根据最优解w后，计算出期待数据在输入空间的投影，即维纳滤波器的输出y：
y＝wTu (2)
当已知训练阶段的期待数据，首先通过增广线性模型计算每个数据的瞬时误差，该瞬时误差的方向是垂直于L维输入空间的，从而得到输入数据和瞬时误差的关系表，关系表中每个误差的索引是对应的输入数据；
对关系表进行量化，输入为N个索引向量，设定量化半径ε，通过度量索引之间的距离得到一个数量小于N的新的索引集，其对应误差为索引中心包含的索引误差的平均值；
在应用阶段中，首先通过构建kd树在关系表中找到与当前测试样本最近的索引C(j*)以及最近的索引对应的误差e(j*)，并将该误差作为对当前测试数据瞬时误差的估计，得到当前测试数据瞬时误差值在这里j*表示字典中与当前样本最近的索引是表中的第j*个索引：
<mrow>
<mover>
<mi>e</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>e</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
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</mrow>
再根据增广空间线性模型，得到测试数据期待数据的估计值
<mrow>
<mover>
<mi>d</mi>
<mo>^</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<mi>y</mi>
<mo>+</mo>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mrow>
3.根据权利要求2所述的应用方法，其特征在于，通过公式计算出维纳滤波器参数的最优解w：
w＝(βI+UUT)-1Ud (5)
维纳滤波器参数的最优解w是与输入相同维度的L维向量，其中，U为训练数据的输入数据组成的矩阵，且U＝[u1,u2,…,uN]，d为期待输出数据组成的向量且d＝[d1,d2,…,dN]T，β是最优解的正则项，I表示对角线为1的对角矩阵。
4.根据权利要求2所述的应用方法，其特征在于，度量索引之间的距离具体过程如下：用维纳解对输入数据进行加权，然后再用欧式距离度量数据点之间的距离，得到距离最近的点为最近的索引。
5.根据权利要求4所述的应用方法，其特征在于，加权通过以下公式进行
其中u'表示由维纳解加权后的输入，运算表示Hadamard积，即两个大小相同的向量或矩阵对应项相乘。
6.根据权利要求4所述的应用方法，其特征在于，得到一个数量小于N的新的索引集的具体过程如下：
首先选择量化半径ε>0，初始化的索引集为C(1)＝{u'1}，其对应的误差集为E(1)＝{e1}；
然后利用公式计算当前需要量化的输入索引u'i与当前索引集C(i)的距离dis(u'i,C(i-1))：
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>i</mi>
<mi>s</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
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<mi>u</mi>
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<mi>C</mi>
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<mi>C</mi>
<mo>(</mo>
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<mo>)</mo>
</mrow>
</munder>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<msub>
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<mi>u</mi>
<mo>&prime;</mo>
</msup>
<mi>i</mi>
</msub>
<mo>-</mo>
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<mi>C</mi>
<mi>j</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>i</mi>
<mo>-</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，i为时间索引，j表示字典中的第j个索引；如果最短距离dis(u'i,C(i-1))≤ε，则索引集不变，即C(i)＝C(i-1)，将当前索引u'i量化到离它最近的中心当中；同时，索引u'i的误差也放入对应中心的误差集E(·)中，即E(j*)＝{E(j*),ei}，其中如果最短距离大于所设定的量化半径，则更新索引集C(i)＝{C(i-1),u'i}，同时更新新增索引中包含的被量化的误差：E(size(C(i)))＝{ei}，不断重复上述过程直到完成对所有输入索引的量化。
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication | ||
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Application publication date: 20171124 |