CN107181474A - 一种基于函数展开的核自适应滤波器算法 - Google Patents
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Abstract
一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，通过正交基函数展开模型将原始输入数据进行扩维，然后利用核最小均方误差算法进行滤波，得到滤波器的输出；其中，正交基函数展开模型由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式组成。本发明提出基于函数展开的核自适应滤波器算法，通过基函数展开模型，将输入数据进行扩维，然后扩维后的数据作为核最小二乘算法的输入，运用最小均方误差算法进行自适应滤波，可以进一步提高算法性能，给定合理嵌入维数，由于函数展开模型仅仅增加了输入空间的维度，所以不会明显增加计算复杂度，该方法在不明显增加计算复杂度的前提下能够显著提高滤波器收敛性能，具有较为重要的研究意义和广泛的工程实用价值。
Description
技术领域
本发明属于信号处理领域中的方法研究，涉及一种函数展开的核自适应滤波器算法。
背景技术
目前，在线学习在众多领域都扮演重要角色，其中包括控制领域中的跟踪、滤波、系统辨识，在计算机视觉中的滤波、视觉跟踪，在信号处理领域中的去噪、预测等等。
而近年来关于在线核方法的研究也屡见不鲜，核方法依靠其强大的非线性能力和相关数学理论支撑逐渐被应用在很多实际工程问题当中。Mercel核可以将非线性数据通过核函数映射到超高维空间甚至无穷维空间当中，然后在高维空间中运用线性方法处理数据。支持向量机、核自适应滤波都是工程实际中广泛运用的方法。
自适应滤波是在维纳滤波，卡尔曼滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳的滤波方法。在很多现实问题中，系统处理信息的过程和其数学模型通常是不确定的，包含很多未知因素和随机因素，这些不确定性有时表现在过程内部，有时表现在过程外部。从过程内部来讲，系统设计者事先不一定能确定系统的数学模型的结构和参数。同时外部环境也会对系统处理信息的过程产生影响，通常在工程上可以等效为扰动。这些扰动通常是不可测的，它们可能是确定性的，也可能是随机的。同时，系统噪声和量测噪声也是客观存在的不确定因素。如何综合的处理这个信息过程，并且在某一种准则下获得最优或者近似最优的解，就是自适应滤波所解决的问题。核自适应滤波用于再生核希尔伯特空间，是一种非线性滤波器。在众多核自适应滤波算法当中，核最小均方误差算法是最简单也最容易理解的算法。在这基础之上，学者们针对如何提高算法性能做了大量研究。其中，包括核放射投影算法，该算法提供了一种灵活的非线性在线滤波方法，并且可以在计算复杂度与性能之间选择合适的平衡点，同时核仿射投影算法在性能方面好于核最小均方误差算法，通过对窗长度K的选择也可以控制计算复杂度。核最小二乘算法是另一种提高性能的核方法，其收敛速度通常比核最小均方误差快一个量级。然而，这些方法都是通过增加计算量来获取更好的性能。
发明内容
本发明的目的在于提供一种函数展开的核自适应滤波器算法。
为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案。
一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，通过正交基函数展开模型将原始输入数据进行扩维，然后利用核最小均方误差算法进行滤波，得到滤波器的输出；其中，正交基函数展开模型由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式组成。
本发明进一步的改进在于，勒让德正交多项式记为Pn(·)，它是一组定义在(0,1)之间的正交多项式，其表达式为：
其中，n为阶数，x为正交基函数的输入；
勒让德正交多项式的前4项为
P0(x)＝1
P1(x)＝x
更高阶的展开项由其递推关系获得。
本发明进一步的改进在于，切比雪夫正交多项式记为Tn(x)，切比雪夫多项式展开模型由以下递推关系得到：
Tn+1(x)＝2xTn(x)-Tn-1(x) (2)
其中，n为阶数，x为正交基函数的输入；
切比雪夫多项式的前两项为T0(x)＝1和T1(x)＝x，更高阶的展开项由公式(2)获得。
本发明进一步的改进在于，若原始输入数据为二维向量形式u＝[x1,x2]，其中，x1、x2分别为正交基函数的输入数据的两个元素；
利用阶数为n的切比雪夫多项式，得到扩维后的输入为：
u′＝[1,T1(x1),T1(x2),T2(x1),T2(x2),...,Tn(x1),Tn(x2),x1x2] (3)
u′表示扩维后的数据。
本发明进一步的改进在于，其特征在于，阶数n为3或4。
与现有技术相比，本发明的有益效果体现在：本发明提出基于函数展开的核自适应滤波器算法，通过由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式组成的正交基函数展开模型，将输入数据进行扩维，然后扩维后的数据作为核最小二乘算法的输入，运用最小均方误差算法进行自适应滤波，可以进一步提高算法性能，给定合理嵌入维数，由于函数展开模型仅仅增加了输入空间的维度，所以不会明显增加计算复杂度，该方法在不明显增加计算复杂度的前提下能够显著提高滤波器收敛性能，具有较为重要的研究意义和广泛的工程实用价值。
附图说明
图1是本算法所述基于函数展开的核自适应滤波器算法的原理框图；
图2是一般的核自适应滤波器算法的原理框图；
图3是本算法所述基于函数展开的核自适应滤波器结构图；
图4是切比雪夫函数展开的核最小均方误差算法、勒让德函数展开的核最小均方误差算法与传统核最小均方误差算法性能比较图；
图5是不同核宽度下传统最小均方误差算法与切比雪夫函数展开的核最小均方误差算法、勒让德函数展开的核最小均方误差算法性能比较图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步说明。
本发明中滤波器为非线性滤波器。本发明通过正交基函数展开模型将原始输入数据进行扩维，然后利用核最小均方误差算法进行滤波，得到核自适应滤波器(FLKLMS)的输出；其中，正交基函数展开模型由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式组成。具体过程如下：
1.正交基多项式展开
为了能够在不明显增加计算复杂度的情况下提高算法性能，本发明通过函数展开模型将原始输入数据进行扩维，然后利用核最小均方误差算法滤波。
核自适应滤波器的输入数据通过一个正交基函数展开模型，该正交基函数展开模型由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式Φ＝{φ0(·),φ1(·),φ2(·),,...,φn(·)}组成，其中n为多项式展开的阶数，通常展开模型主要由正交多项式的一个子集组成，阶数可取3或4。通过正交基函数展开模型将输入数据映射到高维空间，然后将映射后的数据作为核自适应滤波器的输入进行自适应信号处理。若采用勒让德正交多项式展开将原始输入进行扩维，在这里，将勒让德正交多项式记为Pn(·)，它是一组定义在(0,1)之间的正交多项式。其表达式为：
本发明运用的多项式展开模型，是正交多项式的一个子集Φ＝{P0(·),P1(·),...,Pn(·)}，其中，n为函数展开模型的阶数，x为一个被展开的标量。
其递推关系为：
由以上等式可以得到勒让德正交多项式的前4项，组成函数展开模型。
更高阶的展开项也可由其递推关系获得。
切比雪夫正交多项式展开是另外一种将输入数据进行扩维的方法，它由切比雪夫微分方程得到，同样是一组定义在(0,1)之间的正交多项式，在这里将切比雪夫正交多项式记为Tn(x)。切比雪夫多项式展开模型与勒让德多项式展开模型结构相似，可由以下递推关系得到。
Tn+1(x)＝2xTn(x)-Tn-1(x) (2)
切比雪夫多项式的前两项为T0(x)＝1和T1(x)＝x。
更高阶的展开项也可由其递推关系即公式(2)获得。
同时，在函数展开模型中加入输入向量不同维度之间的外积，从而提高滤波器的性能。所以若原始输入数据为二维向量形式u＝[x1,x2]，利用阶数为n的切比雪夫多项式模型，得到扩维后的输入为：
u′＝[1,T1(x1),T1(x2),T2(x1),T2(x2),...,Tn(x1),Tn(x2),x1x2] (3)
u′表示扩维后的数据。如果后文不另作说明，u′则统一表示扩维后的数据。上述模型为函数展开模型，原始输入将通过函数展开模型进行扩维，然后进入核最小二乘滤波器进行滤波，其原理图参见图1。在算法的实际运用中，数据输入的嵌入维度同样可以用“Takens嵌入理论”得到，即与原始嵌入维度相同。通过调制展开式的阶数来进一步优化系统的稳态精度达到较为理想的效果。通常，展开式的阶数n取3或4便可达到提高性能的效果。
现有的核自适应滤波器原理：以输入和输出信号的统计特性的估计为依据，运用某种算法在迭代过程中不断调整滤波器的系数，使滤波器在某种准则下达到最优特性的一种算法或装置。自适应滤波器包括连续域和离散域的。图2表示的自适应滤波器为离散自适应滤波器，可用于模拟位置离散系统或预测时间序列等等。输入数据按照算法步骤，进行迭代，以更新、调整滤波器的训练参数。通过迭代将滤波器的输出不断逼近期望信号序列。
由于本发明中算法是在核最小均方误差算法上的改进，且本发明中算法也用到了核最小均方误差算法，所以先对核最小均方误差算法进行简单介绍。
2.核最小均方误差算法
对于一个非线性系统，假设有N个训练样本，n>0，其输入与期望值为其中，i表示离散的时间。当处理第i个数据u(i)时，首先经过上一步通过多项式对输入经过扩维，得到扩维后的输入u′(i)，预测函数fi(·)会得到一个预测值自适应滤波器就是通过不断更新预测函数fi(·)→fi+1(·)，从而得到代价函数J＝1/2e2的最小值。通常假设预测函数f(u′)为参数权重向量与输入的内积，具有如下形式：
其中，既可以表示输入本身，也可以表示一个函数对输入的映射。公式中w为核最小均方误差算法中的参数权向量，表示对输入的一种映射关系，通过函数可以将输入映射到高维的特征空间当中。同时，运用随机梯度下降法来更新参数权重向量达到更新预测函数的目的，具体方法如以下公式所示：
若在第i-1次迭代中得到w(i-1)，那么预测误差e(i)被定义为如下形式：
根据Weifeng Liu和Jose C.Principe等人的研究成果(Liu W,Pokharel P P,Principe J C.The kernel least-mean-square algorithm[J].IEEE Transactions onSignal Processing,2008,56(2):543-554.)，得到核最小均方误差算法的参数权重向量的更新方法为：
同时核自适应滤波器的输出被定义为：
这里的κ(u′(j),u′)核函数被定义为高斯核其中，σ被定义为核宽度。核宽度在高斯核函数中起着非常重要的作用，如果核宽度过大，数据将具有很强的相似性，失去了扩维的意义，系统将退化为线性回归系统。如果核宽度太小，数据之间将会存在巨大差异，自适应算法的效果也会变得很差。在实际工程问题当中，可以根据实际需求去定义不同的核函数。虽然函数将输入映射到高维空间，但是其内积却可以通过核函数直接得到答案。
滤波器通过多次学习，参数权重向量将会收敛到一个固定值。对于同一个算法而言，步长参数的大小决定了算法收敛速度和稳态精度。对于核放射投影算法与核最小二乘算法，当他们收敛速度与核最小二乘算法接近时，稳态误差更小，同时计算复杂度更大。
为了展现本发明的优势之处，本发明给出了在仿真环境下原始核最小均方误差算法与本发明的信号处理效果对比图，见图3。
仿真设计如下：针对参数τ＝30的Mackey-Glass混沌时间序列预测问题。根据“Takens嵌入理论”选择7作为本发明与最小均方误差算法的嵌入维度。试验中，共有1500组训练数据，以及另外100组测试数据。在迭代过程中，分别计算每一次迭代后测试数据的MSE并在图4和图5画出收敛曲线。量测噪声为均值为零，方差为0.01的高斯白噪声。
从图4中可以看到核最小均方误差算法与本发明所述算法的比较，其中，基于切比雪夫函数展开模型的核最小均方误差算法，试验中展开模型阶数为4，选择步长为1.2。基于勒让德函数展开模型的核最小均方误差算法，实验中展开模型阶数为6，选择步长为1。这些算法都选择σ＝1作为它们的核宽度，实验结果为100次蒙特卡洛的平均。当KLMS算法与基于函数展开模型收敛速度相同时，本发明所述算法可以显著提高核最小均方误差算法的收敛精度。
从图5中对核宽度不同的核最小均方误差算法与核宽度为1的函数展开的核最小均方误差算法进行比较，可以发现核最小均方误差算法当选取和宽度合适的时候会取得较好的性能，但是无论核宽度如何变化，其性能始终赶不上本发明所述的基于多项式展开模型的核最小均方误差算法。
核自适应滤波方法由于其简单和万能逼近特性在非线性系统滤波方面取得了很好的效果。对于一个具体的非线性系统，一个关键问题是如何选择一个合适的嵌入维度(滤波器阶数)，目前主流的选择嵌入维度的方法是通过“Takens嵌入理论”。通常，当滤波器的阶数较小时，增加滤波器的阶数可以提高滤波效果。但是，不断增加滤波器的阶数会导致过学习，从而影响滤波效果。本发明提出的函数展开核自适应滤波设计方法，将核自适应滤波器的输入向量通过函数多项式展开进行扩维，然后将扩维后的数据作为核自适应滤波输入。给定合理嵌入维数，该方法在不明显增加计算复杂度的前提下进一步显著提高滤波器收敛性能，具有实际运用的价值。
以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。
Claims (5)
1.一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，其特征在于，通过正交基函数展开模型将原始输入数据进行扩维，然后利用核最小均方误差算法进行滤波，得到滤波器的输出；其中，正交基函数展开模型由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式组成。
2.根据权利要求1所述的一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，其特征在于，勒让德正交多项式记为Pn(·)，它是一组定义在(0,1)之间的正交多项式，其表达式为：
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其中，n为阶数，x为正交基函数的输入；
勒让德正交多项式的前4项为
P0(x)＝1
P1(x)＝x
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更高阶的展开项由其递推关系获得。
3.根据权利要求1所述的一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，其特征在于，切比雪夫正交多项式记为Tn(x)，切比雪夫多项式展开模型由以下递推关系得到：
Tn+1(x)＝2xTn(x)-Tn-1(x) (2)
其中，n为阶数，x为正交基函数的输入；
切比雪夫多项式的前两项为T0(x)＝1和T1(x)＝x，更高阶的展开项由公式(2)获得。
4.根据权利要求1所述的一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，其特征在于，若原始输入数据为二维向量形式u＝[x1,x2]，其中，x1、x2分别为正交基函数的输入数据的两个元素；
利用阶数为n的切比雪夫多项式，得到扩维后的输入为：
u′＝[1,T1(x1),T1(x2),T2(x1),T2(x2),...,Tn(x1),Tn(x2),x1x2] (3)
u′表示扩维后的数据。
5.根据权利要求1所述的一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，其特征在于，阶数n为3或4。
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| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication | ||
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Application publication date: 20170919 |