CN107264535A - 一种基于频响特性的整车质量估计方法 - Google Patents

一种基于频响特性的整车质量估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种基于频响特性的整车质量估计方法,适用于车辆匀速行驶过程中整车质量的实时监测。它建立了一个能够表征整车纵向加速度与轮速间频响特性之间关系的表达式,进一步在该公式的基础上实现了整车质量的估计:首先分别采集加速度与轮速信号;然后利用周期图法,得到不同频率下两信号幅值比;最后利用结合递归最小二乘法滤波,得到整车质量估计值。本发明的优点是:仅采用加速度与轮速信号,不需要轮胎纵向力信息,使得该方法应用方便;利用频域信息进行估计,使得该方法具有对轮速噪声与误差不敏感的特性。

Description

一种基于频响特性的整车质量估计方法
技术领域
本发明涉及一种基于频响特性的整车质量估计方法,适用于车辆匀速行驶过程中整车质量的实时监测。
背景技术
汽车公司都希望提供给顾客最好的驾驶或乘坐体验,这主要体现在驱动和转向的操纵性能和垂向振动过程中的乘坐舒适性。为保证在不同工况下体验的一致性,在设计车辆控制算法时,通常需要通过辨识一些参数,实现算法的自适应调节。整车质量作为控制期望输出力与车辆加速度间的惯性连接参数,其估计精度的准确与否影响着车辆的行为。
现有车辆质量估计方法一般面临着两个问题:由于质量与坡度在车辆纵向动力学方程中具有一定的耦合关系,因此若想实现质量的估计,首先要估计出道路坡度;质量估计需要依靠于轮胎的力学信息,该信息可以来源于发动机或者电机转矩,也可来自于制动压力,而这些信息准确性较差且估计方法不一致,应用范围受限。
发明内容
为了解决上述问题,本发明提出一种基于频响特性的整车质量估计方法,该方法适用于车辆正常行驶(匀速或者小幅加/减速)过程中整车质量的实时监测估计,可在不需要坡度信息,不需要转矩传感器等情况下,仅依靠纵向加速度和轮速信号的处理实现对整车质量的估计。
为实现上述目的,本发明采取以下技术方案:
一种基于频响特性的整车质量估计方法,其特征在于:
首先通过实时获得的车辆轮速信息和加速度信息,建立纵向加速度与轮速间的频响特性关系:
ω为轮速,ax为车辆质心处纵向加速度,m为整车质量,vx为质心处纵向速度,λ为拉布拉斯算子,R为车轮滚动半径,τ为时间延迟系数,ks为轮胎纵向滑移刚度;
然后借助于周期图法求取在不同频率下车辆加速度与轮速之间的幅值比,进而通过最小二乘法拟合得到整车质量,具体实施步骤为:
1)采用式(17)求取幅值比:
式中,Z(ω|ax)为不同频率下车辆质心处加速度与轮速之间的幅值比,为加速度与轮速的互功率谱密度,为加速度的自功率谱密度;
2)设fi为频率采样点i的频率值,Ai为频率采样点i的幅值比,以式(16)为基础,令λ=(-2πf)j,f为频率,推导出幅频函数如下:
Aω(f)和分别为在频率f时的轮速振幅和车辆质心处纵向加速度振幅;
3)令yi=Ai,采用最小二乘法估计:
①使下式的值最小:
N为选取的频率样本数;
②将式(19)对m求导:
③求解上述方程,即可得到整车质量的最佳估计值:
为整车质量估计值。
进一步地:
在建立纵向加速度与轮速间频响特性关系时采取的方法如下:
车辆纵向加速度是由于驱动力、空气阻力、坡道阻力、滚动阻力等内外力综合作用引起的,因此车辆的纵向动力学模型描述为式(1)所示:
其中,Fx为轮胎瞬态纵向驱动力,m为整车质量,vx为车辆质心处的纵向速度,为车辆质心处的纵向加速度,ρ为空气密度,Cd为空气阻力系数,A为车辆纵向迎风面积,g为重力加速度,θ为路面坡度,f0为路面滚动阻力系数;
将上式左、右两端同时对车辆纵向加速度采用微分运算,得到式(2):
在较长距离上,坡度一般为定值,且与车辆纵向加速度不直接相关,而坡度的瞬时变化是随机的,可以看作为噪声项,固道路坡度对纵向加速度的微分为零:
纵向车速的变化率要远小于加速度的变化率,可以认为纵向速度的微分信号是很小的量,即:
综合式(3)和式(4),式(2)简化为式(5):
对式(5)右侧的分母和分子同时对时间进行微分,得到公式(6):
进一步整理可得轮胎瞬态纵向力微分式为:
将式(7)左、右两侧同时乘以时间延迟系数τ,并与式(1)求和,得下式:
对式(8)左、右两端同时对车辆纵向加速度采用微分运算,得到式(9):
结合式(3)和式(4),式(9)简化为式(10):
为轮胎稳态纵向力,s为轮胎滑移率,ks为轮胎纵向刚度,与瞬态纵向力Fx间的关系为
对式(10)左右两侧的分母和分子同时对时间进行微分,得下式:
对式(11)进一步整理得式(12):
结合驱动工况下,滑移率的定义式s=(Rω-vx)/(Rω),R为车轮滚动半径、ω为轮速,可将式(12)写成式(13):
考虑车辆处于稳定工况的情形,即轮胎侧偏角或者滑移率很小,因此假设Rω≈vx,由于车辆的惯性远大于车轮的惯性,因此车辆的加速度相比车轮的角加速度可以忽略,基于此,进一步整理(13),得下式:
ax为质心处纵向加速度,为加速度的一、二阶导数;
进一步对上式两侧进行拉布拉斯变化,得到(15):
λ代表拉布拉斯算子;
最后对式(15)两边同时除以),得两个状态量间的传递函数,式(16):
本发明所展现出来的优点是:
1、本方法推导得到的纵向加速度与轮速间频响特性关系,能够表征汽车正常行驶工况(匀速、小幅加/减速)下整车质量对车辆驱动系统动态响应的影响。
2、本方法在推导得到的算法的基础上,仅采用加速度信号与轮速信号,不需要轮胎力学信息,不需要添加额外的传感器,应用方便。
3、本方法利用频域信息进行估计,使得该方法具有对轮速噪声与误差不敏感的特性,提高了质量估算精度。
本发明的其他特征和优点将在随后的说明书中阐述,并且,部分的从说明书中变得显而易见,或者通过实施本发明而了解。
附图说明
附图仅用于示出具体实施例的目的,并不是对本发明的限制。
图1是本发明方法的实施流程图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述,其中,附图用于与本发明的实施例一起用于阐释本发明,但本领域的技术人员应该知道,以下实施例并不是对本发明技术方案作的唯一限定,凡是在本发明技术方案精神实质下所做的任何等同变换或改动,均应视为属于本发明的保护范围。
本发明是在大量的理论与实践相结合的基础上,首先摸索建立了纵向加速度与轮速间频响特性关系,通过此两者的关系,依靠一套植有计算算法的估计系统来实现整车质量的估计。该系统硬件包括:一设置在车轮处的轮速传感器、一设置在车辆质心位置的加速度传感器,软件包括:一基于周期图法的幅频值求解模块、一基于最小二乘法的整车质量估计模块,这些模块都附有算法程序,集成在整车控制器的控制系统中。下面将该方法的实现详述如下:
一,本发明首先建立纵向加速度与轮速间频响特性关系,采取了如下方法:
车辆纵向加速度是由于驱动力、空气阻力、坡道阻力、滚动阻力等内外力综合作用引起的,因此车辆的纵向动力学模型可以简化为如式(1)所示:
其中,Fx为轮胎瞬态纵向驱动力,m为整车质量,vx为车辆质心处的纵向速度,为车辆质心处的纵向加速度,ρ为空气密度,Cd为空气阻力系数,A为车辆纵向迎风面积,g为重力加速度,θ为路面坡度,f0为路面滚动阻力系数。
将上式左、右两端同时对车辆纵向加速度采用微分运算,可以得到式(2):
除去特殊情况外,在较长距离上看,坡度一般为定值,且与车辆纵向加速度不直接相关,而坡度的瞬时变化是随机的,可以看作为噪声项,固道路坡度对纵向加速度的微分为零:
动力传动系统的驱动力矩一般有较高的变化频率,相比之下,纵向加速度的积分值—纵向车速的变化率要远小于加速度的变化率,那么与纵向加速度的微分信号相比,可以认为,纵向速度的微分信号是很小的量,即:
综合式(3)和式(4),式(2)可以简化为式(5):
由式(5)可知,当驱动力的变化率较大时,空气阻力、坡道阻力和滚动阻力对质量估计的影响可以忽略掉,即完成了道路纵向坡度与整车质量两者估计过程的解耦。
假设能够同时获得驱动力信号和加速度信号,可直接采用式(5)得到车辆在行驶过程中每一时刻的整车质量,该质量近似等于纵向驱动力与对行驶加速度求微分。但是驱动力信号仅在特定车辆中存在,该方法并不具有普遍适用性。
需进一步推导得出纵向加速度与轮速的频域关系:
首先,对式(5)右侧的分母和分子同时对时间进行微分,得到公式(6):
那么,进一步整理可得轮胎瞬态纵向力微分式为:
将式(7)左右两侧同时乘以时间延迟系数τ,并与式(1)求和,可得下式。
对上式左、右两端同时对车辆纵向加速度采用微分运算,可以得到式(9):
结合式(3)和式(4),式(9)可以简化为式(10):
上式中,为轮胎稳态纵向力,s为轮胎滑移率,ks为轮胎纵向刚度,与瞬态纵向力Fx间的关系为
对式(10)左右两侧的分母和分子同时对时间进行微分,得到公式如下:
对式(11)进一步整理可得式(12):
结合驱动工况下,滑移率的定义式s=(Rω-vx)/(Rω),R为车轮滚动半径、ω为轮速,可将式(12)写成式(13):
本方法考虑车辆处于稳定工况的情形,即轮胎侧偏角或者滑移率很小,因此可假设Rω≈vx,由于车辆的惯性远大于车轮的惯性,则车辆的加速度相比车轮的角加速度可以忽略。基于此,进一步整理(13)得下式:
ax为车辆质心处纵向加速度,为加速度的一、二阶导数。
进一步对上式两侧进行拉布拉斯变化,得到式(15):
λ代表拉布拉斯算子。
最后对式(15)两边同时除以),可得两个状态量间的传递函数,见式(16):
二,在建立了加速度和轮速之间关系式(式(16))的基础上,开展整车质量估算,过程如下:
式(16)中,轮胎纵向刚度、时间延迟系数、轮胎半径为已知参数,车速可以假设为轮速乘以轮胎半径,那么式(16)右侧仅整车质量为未知。基于此,首先利用周期图法求取在不同频率下辆质心处加速度与轮速之间的幅值比,进而通过最小二乘法拟合得到整车质量。
1)幅值比的求取方法采用式(17):
上式中,Z(ω|ax)为不同频率下辆质心处加速度与轮速之间的幅值比,为加速度与轮速的互功率谱密度,为加速度的自功率谱密度。
2)通过上述公式可以得到在不同频率下的幅值比,设fi为频率采样点i的频率值,Ai为频率采样点i的幅值比,以式(16)为基础,令λ=(-2πf)j,f为频率,j表示这个数是虚数,推导出幅频函数如下:
Aω(f)和分别为在频率f时的轮速振幅和质心处纵向加速度振幅。
3)令yi=Ai。采用最小二乘法估计参数时,要求观测值yi的偏差的加权平方和最小。对于待估计参数质量来说,可使下式的值最小:
上式中,N为选取的频率样本数。
将式(19)对m求导得:
求解上述方程,即可得到整车质量的最佳估计值为下式:
为整车质量的最佳估计值。

Claims (2)

1.一种基于频响特性的整车质量估计方法,其特征在于:
首先通过实时获得的车辆轮速信息和加速度信息,建立纵向加速度与轮速间的频响特性关系:
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>mv</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ω为轮速,ax为车辆质心处纵向加速度,m为整车质量,vx为质心处纵向速度,λ为拉布拉斯算子,R为车轮滚动半径,τ为时间延迟系数,ks为轮胎纵向滑移刚度;
然后借助于周期图法求取在不同频率下车辆加速度与轮速之间的幅值比,进而通过最小二乘法拟合得到整车质量,具体实施步骤为:
1)采用式(17)求取幅值比:
<mrow> <mi>Z</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>|</mo> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>S</mi> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中,Z(ω|ax)为不同频率下车辆质心处加速度与轮速之间的幅值比,为加速度与轮速的互功率谱密度,为加速度的自功率谱密度;
2)设fi为频率采样点i的频率值,Ai为频率采样点i的幅值比,以式(16)为基础,令λ=(-2πf)j,f为频率,推导出幅频函数如下:
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>mv</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>f</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msqrt> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
Aω(f)和分别为在频率f时的轮速振幅和车辆质心处纵向加速度振幅;
3)令yi=Ai,采用最小二乘法估计:
①使下式的值最小:
<mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> <mi>N</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>mx</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
N为选取的频率样本数;
②将式(19)对m求导:
<mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> <mi>N</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>mx</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> <mi>N</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>mx</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
③求解上述方程,即可得到整车质量的最佳估计值:
<mrow> <mover> <mi>m</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> <mi>N</mi> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mi>i</mi> <mi>N</mi> </munderover> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为整车质量估计值。
2.根据权利要求1所述的基于频响特性的整车质量估计方法,其特征在于:
建立纵向加速度与轮速间频响特性关系,采取的过程方法如下:
车辆纵向加速度是由于驱动力、空气阻力、坡道阻力、滚动阻力等内外力综合作用引起的,因此车辆的纵向动力学模型描述为式(1)所示:
<mrow> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;rho;C</mi> <mi>d</mi> </msub> <msubsup> <mi>Av</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中,Fx为轮胎瞬态纵向驱动力,m为整车质量,vx为车辆质心处的纵向速度,为车辆质心处的纵向加速度,ρ为空气密度,Cd为空气阻力系数,A为车辆纵向迎风面积,g为重力加速度,θ为路面坡度,f0为路面滚动阻力系数;
将上式左、右两端同时对车辆纵向加速度采用微分运算,得到式(2):
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;C</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mi>Av</mi> <mi>x</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dv</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>d&amp;theta;</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在较长距离上,坡度一般为定值,且与车辆纵向加速度不直接相关,而坡度的瞬时变化是随机的,可以看作为噪声项,固道路坡度对纵向加速度的微分为零:
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
纵向车速的变化率要远小于加速度的变化率,可以认为纵向速度的微分信号是很小的量,即:
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dv</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
综合式(3)和式(4),式(2)简化为式(5):
<mrow> <mi>m</mi> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(5)右侧的分母和分子同时对时间进行微分,得到公式(6):
<mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dF</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
进一步整理可得轮胎瞬态纵向力微分式为:
<mrow> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将式(7)左、右两侧同时乘以时间延迟系数τ,并与式(1)求和,得下式:
<mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>&amp;rho;C</mi> <mi>d</mi> </msub> <msubsup> <mi>Av</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(8)左、右两端同时对车辆纵向加速度采用微分运算,得到式(9):
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;rho;C</mi> <mi>d</mi> </msub> <msub> <mi>Av</mi> <mi>x</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>dv</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>f</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>&amp;theta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
结合式(3)和式(4),式(9)简化为式(10):
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>x</mi> <mi>S</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为轮胎稳态纵向力,s为轮胎滑移率,ks为轮胎纵向刚度,与瞬态纵向力Fx间的关系为
对式(10)左右两侧的分母和分子同时对时间进行微分,得下式:
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>&amp;ap;</mo> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对式(11)进一步整理得式(12):
<mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
结合驱动工况下,滑移率的定义式s=(Rω-vx)/(Rω),R为车轮滚动半径、ω为轮速,可将式(12)写成式(13):
<mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>R</mi> <mi>&amp;omega;</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>R</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
考虑车辆处于稳定工况的情形,即轮胎侧偏角或者滑移率很小,因此假设Rω≈vx,由于车辆的惯性远大于车轮的惯性,因此车辆的加速度相比车轮的角加速度可以忽略,基于此,进一步整理(13),得下式:
<mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mi>R</mi> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </mrow> <msup> <mi>v</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>=</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msub> <mover> <mi>a</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
ax为质心处纵向加速度,为加速度的一、二阶导数;
进一步对上式两侧进行拉布拉斯变化,得到(15):
<mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>R</mi> </mrow> <msubsup> <mi>v</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>&amp;tau;m&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>m&amp;lambda;a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
λ代表拉布拉斯算子;
最后对式(15)两边同时除以),得两个状态量间的传递函数,式(16):
<mrow> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>mv</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> </mrow> <mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>R</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>&amp;lambda;</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> 3
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