CN107985315A - 轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法 - Google Patents

轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法 Download PDF

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CN107985315A CN201711224884.9A CN201711224884A CN107985315A CN 107985315 A CN107985315 A CN 107985315A CN 201711224884 A CN201711224884 A CN 201711224884A CN 107985315 A CN107985315 A CN 107985315A
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Abstract

本发明提供了一种轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法，首先基于前后桥独立电驱动轮式装载机的前后电机实时可知的电机输出转矩以及测量得到的轮胎滚动半径，通过非线性滤波器估计得到纵向速度；然后依据传感器测量得到的纵向加速度和坡度，估计得到的纵向速度、通过计算得到的前后轮胎滑移率以及通过查表或计算得到的整车质量和铲掘阻力，搭建状态方程和量测方程，最后通过扩展卡尔曼滤波估计得到动态的前轮纵向力和后轮纵向力。本发明所述方法为前后桥独立电驱动的轮式装载机智能化动力学控制提供准确的轮胎纵向力动态参数，提升整车控制精度和性能。该方法适用于各种作业工况中纵向运动的轮式装载机，且使用的传感器数量少，价格低廉。

Description

轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法
技术领域
本发明属于轮式装载机状态参数估计技术领域，具体涉及一种轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法，适用于前后桥独立电驱动轮式装载机(Front/Rear Axle ElectricWheel Loader,简称FREWL)。
背景技术
近年来，新能源轮式装载机日益得到国内外政府和工程机械厂商的重视。其中，动力学智能控制领域的研究是新能源轮式装载机的重点研究方向之一。为实现整车动力学智能控制，需要向控制系统在线提供整车各种关键的状态参数。然而，这些关键的状态参数有一部分无法通过传感器在线测量或测量仪器价格较高。其中，轮胎纵向力是开展整车智能控制的关键状态参数，但测量仪器价格昂贵，无法在量产轮式装载机上安装。因此，通过先验估计方法对轮胎纵向力进行精确的在线估计具有重要的意义。
现有的轮胎纵向力估计方法主要通过滑膜观测器、递推最小二乘法或扩展卡尔曼滤波方法估计轮胎纵向力，但存在以下两个主要缺点：
1、当前研究的轮胎纵向力估计方法主要应用于公路车辆领域，由于工作装置和铰接结构的存在，FREWL的动力学模型和作业特性与公路车辆有较大的区别；
2、现有通过扩展卡尔曼滤波估计轮胎纵向力的估计方法，动力学方程中通常含有轮胎径向刚度，且将轮胎径向刚度定义为一个常数。然而，轮胎径向刚度的数值变化与轮胎垂向力成正比。因此，公路车辆在沥青路面上行驶时，由于轮胎垂向力变化频率和幅度较小，轮胎径向刚度数值变化较小，其轮胎纵向力估计精度较高。而轮式装载机经常作业在各种恶劣工况，轮胎垂向力变化频繁和幅度较大，无法忽略轮胎径向刚度数值的变化。
以上原因导致现有的估计方法在轮式装载机轮胎纵向力的动态估计上难以得到良好的估计精度。由此可见，在本技术领域，轮胎纵向力的动态估计方法需进行改进。
综上，目前急需一种适用于轮式装载机作业特性，且不含有轮胎径向刚度的轮胎纵向力动态估计方法。
发明内容
针对上述现有技术中存在的问题，本发明提出一种适用于前后桥独立电驱动的轮式装载机(简称“FREWL”)轮胎纵向力动态估计方法，为FREWL智能化动力学控制提供准确的轮胎纵向力动态参数，提升整车控制精度和性能。该方法适用于各种作业工况中纵向运动的FREWL，且使用的传感器数量少，价格低廉。结合说明书附图，本发明的技术方案如下：
轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法，所述动态估计方法首先基于前后桥独立电驱动轮式装载机的前后电机实时可知的电机输出转矩Tf,r以及测量得到的轮胎滚动半径reff，通过非线性滤波器估计得到纵向速度vx；然后依据传感器测量得到的纵向加速度和坡度θ，估计得到的纵向速度vx、通过计算得到的前后轮胎滑移率σf,r以及通过查表或计算得到的整车质量m和铲掘阻力纵向分力Fx，搭建状态方程和量测方程，最后通过扩展卡尔曼滤波估计得到动态的前轮纵向力Fxf和后轮纵向力Fxr。
所述动态估计方法具体过程如下：
一、布置传感器：
在装载机的静态重心位置安装加速度传感器和坡度传感器，用于测量装载机的纵向加速度和装载机行驶时路面坡度的变化；
在装载机桥壳上安装轮速传感器，用于测量轮胎转速；
二、纵向速度vx的估计：
基于前后桥独立电驱动轮式装载机的前后电机输出转矩实时可知的特点，假设车辆只是纵向行驶，通过一个非线性滤波器对纵向速度进行估计，具体计算公式如下：
y(t＝0)＝y0………………………………(2)
公式(1)中，vx(t)是车辆的纵向速度，x(t)是前后车轮角速度ωf,r与轮胎滚动半径reff的乘积，前后车轮角速度ωf,r通过轮速传感器测量得到，轮胎滚动半径reff通过测量得到；Tf,r是前后桥电机输出转矩，L是系统参数，d是自定义值。
三、推导动力学模型并建立状态方程和量测方程：
(1)、推导动力学模型：
基于力平衡原理，纵向加速度与整车质量m、前轮纵向力Fxf、后轮纵向力Fxr、路面坡度θ和铲掘阻力纵向分力Fx的计算关系如下：
上述关系式(3)中，铲掘阻力纵向分力Fx通过经验公式获得，整车质量m通过车辆出厂手册获得，路面坡度θ通过坡度传感器测量得到；
基于力矩平衡原理，前轮角加速度和后轮角加速度与前轮驱动转矩Tf、后轮驱动转矩Tr，轮胎滚动半径reff、前轮纵向力Fxf、后轮纵向力Fxr、轮胎转动惯量Ie、轮胎滑移系数K、滚动阻力系数γ、前轮纵向滑移率Sf和后轮纵向滑移率Sr的计算关系如下：
上述公式(3)、(4)和(5)即为所需的动力学模型；
(2)、建立状态方程和量测方程：
离散时间的动态系统由描述状态向量的状态方程和描述量测向量的量测方程组成：
xk+1＝Akxk+Bkuk+wk…………………………………(6)
zk+1＝Hk+1xk+1+vk+1……………………………………(7)
上述公式(6)和(7)中，Ak是状态转移矩阵，Bk是控制输入矩阵，Hk+1是量测矩阵。wk和vk+1是相互独立的过程噪声和量测噪声，Qk是wk的协方差矩阵，Rk+1是vk+1的协方差矩阵，xk是状态变量，uk是控制量，zk是量测量；
扩充状态变量xk，得到xk＝[vx ωf ωr Fxf Fxr]T；
量测矩阵Hk+1定义为：
k+1时刻的状态量xk+1与k时刻的状态量xk的关系如下所示：
式中，Δt是采样时间，是xk的导数；
基于公式(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)和(9)，推导出状态方程(10)和量测方程(11)如下所示：
四、扩展卡尔曼滤波递推：
在递推过程中，先初始化滤波器，即定义xk的初值x(0)以及协方差矩阵Pk的初值P(0)，具体计算公式如下：
式中，表示估计值；
后续计算中扩展卡尔曼滤波中xk和协方差矩阵Pk的执行时间更新方程为：
运用雅克比矩阵F和G组成的状态转移矩阵xk+1＝Fkxk+Gkuk+wk，替代原有的非线性状态方程(6)，F和G分别如下式所示：
基于公式(8)、(13)、(14)和(15)，计算卡尔曼滤波增益Kk，具体计算公式如下：
根据公式(8)、(13)和(16)，进而求状态更新和协方差更新Pk+1|k+1，具体计算公式如下：
xk+1|k+1＝xk+1|k+Kk(yk+1-Hkxk+1|k)………………(17)
Pk+1|k+1＝(I-KkHk)Pk+1|k……………………(18)
通过前述公式(10)、(11)和上述扩展卡尔曼滤波递推公式计算后，即实现动态估计轮式装载机纵向运动中的前后轮轮胎纵向力。
与现有技术相比，本发明的有益效果在于:
1、本发明提出了一种低成本、高精度、实时性好的适用于估计各种作业工况下轮式装载机纵向运动时前后轮轮胎纵向力，尤其适用于动态估计FREWL纵向运动时前后轮轮胎纵向力；
2、本发明提出的轮胎纵向力动态估计方法不但适用于FREWL的特殊作业条件，同时避免了状态方程和量测方程中出现轮胎径向刚度这一状态参数，克服了传统轮胎纵向力估计方法在恶劣作业工况中估计精度不足的缺点；
3、本发明仅需一个加速度传感器、一个轮速传感器和一个坡度传感器，具有成本低的优点，便于大规模推广。
附图说明
图1为本发明所述轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法的流程框图；
图2为适用本发明所述方法的前后桥独立电驱动轮式装载机结构原理简图；
图3为适用本发明所述方法的前后桥独立电驱动轮式装载机受力分析图。
具体实施方式
为进一步阐述本发明所述的技术方案，结合说明书附图，本发明的具体实施方式如下：
本发明所述的轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法简述如下：
基于前后桥独立电驱动轮式装载机的前后电机实时可知的电机输出转矩Tf,r以及测量得到的轮胎滚动半径reff，通过非线性滤波器估计得到纵向速度vx；依据传感器测量得到的纵向加速度和坡度θ，估计得到的纵向速度vx、通过计算得到的前后轮胎滑移率σf,r以及通过查表或计算得到的整车质量m和铲掘阻力纵向分力Fx，搭建状态方程和量测方程，并通过扩展卡尔曼滤波估计得到动态的前轮纵向力Fxf和后轮纵向力Fxr。
所述动态估计方法具体步骤如下：
一、传感器布置：
根据本发明所述的动态估计方法所搭建的硬件系统中，包括一个加速度传感器、至少一个轮速传感器以及一个坡度传感器。所述加速度传感器安装在前后桥独立电驱动轮式装载机的静态重心位置附近固定位置，其用于测量前后桥独立电驱动轮式装载机的纵向加速度vx；所述轮速传感器安装在桥壳上，其用于测量轮胎转速；所述坡度传感器安装在静态重心位置附近固定位置，其用于测量车辆行驶时路面坡度θ的变化。
二、纵向速度vx的估计：
如图1所示，前电机输出转矩Tf、后电机输出转矩Tr、纵向速度vx、前轮纵向滑移率σf、后轮纵向滑移率σr、纵向加速度、整车质量m、路面坡度θ和铲掘阻力纵向分力Fx是进行轮胎纵向力动态估计所需的重要状态参数。
上述状态参数除了纵向速度vx外，其他参数都可以通过计算或传感器直接测量得到。在量产车辆上想要通过传感器直接测量纵向速度vx却很难实现。这是因为普通车载GPS由于存在采样频率低和延时现象，很难提供精确的纵向车速数值。车载惯性导航系统(INS)虽然可以测量精确的纵向速度，但价格昂贵，很难在量产车上安装。因此，需要一种可以低成本且可在线估计纵向速度的方法。
本发明基于前后桥独立电驱动的轮式装载机的前后电机输出转矩实时可知的特点，通过一个非线性滤波器对纵向速度进行估计，具体计算公式如下：
y(t＝0)＝y0……………………………………(2)
公式(1)中，假设车辆只是纵向行驶，则vx(t)是车辆的纵向速度，x(t)是前后车轮角速度ωf,r与轮胎滚动半径reff的乘积，前后车轮角速度ωf,r通过轮速传感器测量得到，轮胎滚动半径reff通过测量得到。Tf,r是前后桥电机输出转矩，L是一个系统参数，本实施例中取值20。d是一个很小的自定义值，本实施例中取值0.01。
三、推导轮式装载机轮胎纵向力动态估计所需动力学模型以及建立状态方程和量测方程：
(1)、推导动力学模型：
因为前后桥独立电驱动轮式装载机主要工作在低速区域，其空气阻力数值较小，因此本发明忽略空气阻力。如图2和图3所示，依据前后桥独立电驱动轮式装载机前后电机分别驱动前后桥的驱动特点，基于力平衡原理，纵向加速度与整车质量m、前轮纵向力Fxf、后轮纵向力Fxr、路面坡度θ和铲掘阻力纵向分力Fx的计算关系如下：
关系式(3)中，铲掘阻力纵向分力Fx通过经验公式获得，整车质量m通过车辆出厂手册获得，路面坡度θ通过坡度传感器测量得到。
基于力矩平衡原理，前轮角加速度和后轮角加速度与前轮驱动转矩Tf、后轮驱动转矩Tr，轮胎滚动半径reff、前轮纵向力Fxf、后轮纵向力Fxr、轮胎转动惯量Ie、轮胎滑移系数K、滚动阻力系数γ、前轮纵向滑移率Sf和后轮纵向滑移率Sr的计算关系如下：
在本实施例中，上述公式(4)和(5)中，轮胎滑移系数K取值20，滚动阻力系数γ取值0.006。
上述公式(3)、(4)和(5)即为本发明推导轮式装载机轮胎纵向力动态估计所需动力学模型，也就是在后续扩展卡尔曼滤波递推运算中所需要的动力学模型。
(2)、建立状态方程和量测方程：
在列出扩展卡尔曼滤波所需的动力学模型后，还需要基于公式(3)、(4)和(5)，建立扩展卡尔曼滤波所需的状态方程和量测方程。
离散时间的动态系统由描述状态向量的状态方程和描述量测向量的量测方程组成：
xk+1＝Akxk+Bkuk+wk…………………………………(6)
zk+1＝Hk+1xk+1+vk+1……………………………………(7)
上述公式(6)和(7)中，Ak是状态转移矩阵，Bk是控制输入矩阵，Hk+1是量测矩阵。wk和vk+1是相互独立的过程噪声和量测噪声，Qk是wk的协方差矩阵，Rk+1是vk+1的协方差矩阵，本实施例中所选用的Qk矩阵数值为diag(0.001,0.001,0.00001,0.0001,0.0001)，所选用的Rk+1矩阵数值为diag(0.01,0.0001,0.0001,0,0)，xk是状态变量，uk是控制量，zk是量测量。
由公式(3)、(4)和(5)，可知公式(6)中的一部分状态变量可以是纵向加速度前轮角加速度和后轮角加速度然而，为了估计前轮纵向力Fxf和后轮纵向力Fxr，需要扩充状态变量xk，得到xk＝[vx ωf ωr Fxf Fxr]T。因为前轮纵向力Fxf和后轮纵向力Fxr是待估计量，只有纵向加速度前轮角加速度和后轮角加速度可以测量得到或根据前述步骤估计得到，因此本发明量测矩阵Hk+1定义为：
k+1时刻的状态量xk+1与k时刻的状态量xk的关系如下所示：
式中，Δt是采样时间，是xk的导数。因此，基于公式(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)和(9)，可推导出对轮胎纵向力进行动态估计所需的状态方程(10)和量测方程(11)为：
上述公式(10)和公式(11)为本发明所需的状态方程和量测方程。
四、扩展卡尔曼滤波递推：
在得到扩展卡尔曼滤波所需的状态方程(10)和量测方程(11)后，还需通过扩展卡尔曼滤波滤波递推运算以在线估计轮胎纵向力。
在递推过程中，需先初始化滤波器，即定义xk的初值x(0)以及协方差矩阵Pk的初值P(0)，具体计算公式如下：
式中，表示估计值。
后续计算中扩展卡尔曼滤波中xk和协方差矩阵Pk的执行时间更新方程为：
扩展卡尔曼滤波的核心是进行线性Taylor展开，对于本发明主要则是运用雅克比矩阵F和G组成的状态转移矩阵xk+1＝Fkxk+Gkuk+wk，替代原有的非线性状态方程(6)，F和G分别如下式所示：
基于公式(8)、(13)、(14)和(15)，计算卡尔曼滤波增益Kk，具体计算公式如下：
根据公式(8)、(13)和(16)，进而求状态更新和协方差更新Pk+1|k+1，具体计算公式如下：
xk+1|k+1＝xk+1|k+Kk(yk+1-Hkxk+1|k)………………(17)
Pk+1|k+1＝(I-KkHk)Pk+1|k……………………(18)
通过公式(10)、(11)和上述扩展卡尔曼滤波递推公式计算后，可实时、精确地动态估计轮式装载机纵向运动中的前后轮轮胎纵向力。

Claims (2)

1.轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法，其特征在于：
所述动态估计方法首先基于前后桥独立电驱动轮式装载机的前后电机实时可知的电机输出转矩Tf,r以及测量得到的轮胎滚动半径reff，通过非线性滤波器估计得到纵向速度vx；然后依据传感器测量得到的纵向加速度和坡度θ，估计得到的纵向速度vx、通过计算得到的前后轮胎滑移率σf,r以及通过查表或计算得到的整车质量m和铲掘阻力纵向分力Fx，搭建状态方程和量测方程，最后通过扩展卡尔曼滤波估计得到动态的前轮纵向力Fxf和后轮纵向力Fxr。
2.如权利要求1所述轮式装载机轮胎纵向力动态估计方法，其特征在于：
所述动态估计方法具体过程如下：
一、布置传感器：
在装载机的静态重心位置安装加速度传感器和坡度传感器，用于测量装载机的纵向加速度和装载机行驶时路面坡度的变化；
在装载机桥壳上安装轮速传感器，用于测量轮胎转速；
二、纵向速度vx的估计：
基于前后桥独立电驱动轮式装载机的前后电机输出转矩实时可知的特点，假设车辆只是纵向行驶，通过一个非线性滤波器对纵向速度进行估计，具体计算公式如下：
<mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&gt;</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>/</mo> <mi>L</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lt;</mo> <mo>-</mo> <mi>d</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>x</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <mo>/</mo> <mi>d</mi> <mi>L</mi> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>s</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow>
y(t＝0)＝y0………………………………(2)
公式(1)中，vx(t)是车辆的纵向速度，x(t)是前后车轮角速度ωf,r与轮胎滚动半径reff的乘积，前后车轮角速度ωf,r通过轮速传感器测量得到，轮胎滚动半径reff通过测量得到；Tf,r是前后桥电机输出转矩，L是系统参数，d是自定义值。
三、推导动力学模型并建立状态方程和量测方程：
(1)、推导动力学模型：
基于力平衡原理，纵向加速度与整车质量m、前轮纵向力Fxf、后轮纵向力Fxr、路面坡度θ和铲掘阻力纵向分力Fx的计算关系如下：
<mrow> <msub> <mover> <mi>v</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>m</mi> <mi>g</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mi> </mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
上述关系式(3)中，铲掘阻力纵向分力Fx通过经验公式获得，整车质量m通过车辆出厂手册获得，路面坡度θ通过坡度传感器测量得到；
基于力矩平衡原理，前轮角加速度和后轮角加速度与前轮驱动转矩Tf、后轮驱动转矩Tr，轮胎滚动半径reff、前轮纵向力Fxf、后轮纵向力Fxr、轮胎转动惯量Ie、轮胎滑移系数K、滚动阻力系数γ、前轮纵向滑移率Sf和后轮纵向滑移率Sr的计算关系如下：
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>w</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>f</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>KS</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;omega;</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>w</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>KS</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
上述公式(3)、(4)和(5)即为所需的动力学模型；
(2)、建立状态方程和量测方程：
离散时间的动态系统由描述状态向量的状态方程和描述量测向量的量测方程组成：
xk+1＝Akxk+Bkuk+wk…………………………………(6)
zk+1＝Hk+1xk+1+vk+1……………………………………(7)
上述公式(6)和(7)中，Ak是状态转移矩阵，Bk是控制输入矩阵，Hk+1是量测矩阵。wk和vk+1是相互独立的过程噪声和量测噪声，Qk是wk的协方差矩阵，Rk+1是vk+1的协方差矩阵，xk是状态变量，uk是控制量，zk是量测量；
扩充状态变量xk，得到xk＝[vx ωf ωr Fxf Fxr]T；
量测矩阵Hk+1定义为：
<mrow> <msub> <mi>H</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
k+1时刻的状态量xk+1与k时刻的状态量xk的关系如下所示：
<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，Δt是采样时间，是xk的导数；
基于公式(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)和(9)，推导出状态方程(10)和量测方程(11)如下所示：
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>g</mi> <mi> </mi> <mi>sin</mi> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>KS</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <msub> <mi>T</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>KS</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>w</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>v</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>v</mi> <mi>x</mi> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>f</mi> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>&amp;omega;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>e</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
四、扩展卡尔曼滤波递推：
在递推过程中，先初始化滤波器，即定义xk的初值x(0)以及协方差矩阵Pk的初值P(0)，具体计算公式如下：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;rsqb;</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，表示估计值；
后续计算中扩展卡尔曼滤波中xk和协方差矩阵Pk的执行时间更新方程为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mi>T</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mover> <mi>x</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>|</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
运用雅克比矩阵F和G组成的状态转移矩阵xk+1＝Fkxk+Gkuk+wk，替代原有的非线性状态方程(6)，F和G分别如下式所示：
<mrow> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>F</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mtd> <mtd> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>KS</mi> <mi>f</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>t</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mi>r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&amp;gamma;r</mi> <mrow> <mi>e</mi> <mi>f</mi> <mi>f</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>e</mi> </msub> <msub> <mi>KS</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>...</mo> <mo>...</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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基于公式(8)、(13)、(14)和(15)，计算卡尔曼滤波增益Kk，具体计算公式如下：
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根据公式(8)、(13)和(16)，进而求状态更新和协方差更新Pk+1|k+1，具体计算公式如下：
xk+1|k+1＝xk+1|k+Kk(yk+1-Hkxk+1|k)………………(17)
Pk+1|k+1＝(I-KkHk)Pk+1|k……………………(18)
通过前述公式(10)、(11)和上述扩展卡尔曼滤波递推公式计算后，即实现动态估计轮式装载机纵向运动中的前后轮轮胎纵向力。
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