CN107105126B - 用于使用于彩色设备的墨模型规则化的系统和方法 - Google Patents

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Abstract

本发明涉及用于使用于彩色设备的墨模型规则化的系统和方法。所述方法包括步骤：选择用于彩色设备的n墨模型，以便将着色剂空间中的一组着色剂值传递至色彩空间中的一组色值；选择n墨模型的打印机特性，其中，所述打印机特性指示n墨模型的规则性；针对n墨模型评估用于打印机特性的一组一个或多个值和/或范围，因此确定n墨模型的规则性；修改n墨模型，使得如果基于所述评估，n墨模型并非规则的话，修改的n墨模型是规则的。

Description

用于使用于彩色设备的墨模型规则化的系统和方法
本申请是申请号为201380010565.1、申请日为2013年2月21日、发明名称为“用于使用于彩色设备的墨模型规则化的系统和方法”的发明专利申请的分案申请。
技术领域
本发明涉及用于彩色文档的再现的方法和系统；本发明尤其涉及色彩管理。本发明特别适合于由墨混合物限定的对象的准确、稳定且连续的再现。
背景技术
术语定义和解释
今天，针对彩色图像和/或彩色文本的再现而开发了越来越多的输出系统。使用几个显示和打印技术，诸如CRT、LCD、等离子体显示板（PDP）、电致发光显示器（ELD）、碳纳米管、量子点显示器、激光TV、电子纸、电子墨、投影显示器、常规照相、电子照相、热转印、染料升华和喷墨系统、3D彩色喷墨系统，仅举几个例子。针对彩色图像和/或彩色文本的再现，还开发了常规打印技术，诸如胶版印刷、轮转凹版印刷、橡胶版轮转印刷、凸版印刷以及丝网印刷。在本文献的其余部分中，将把这些系统称为彩色设备或彩色再现设备。
可以将所有这些系统描述为多维彩色设备，其具有诸如喷墨系统、电子照相、热转印、染料升华、常规打印系统的CMYK（青色、品红色、黄色和黑色）墨之类的n个着色剂或者在诸如CRT、LCD、等离子体显示板（PDP）、电致发光显示器（ELD）、碳纳米管、量子点显示器、激光TV、电子纸、电子墨、投影显示器之类的显示系统的情况下的RGB（红色、绿色、蓝色）。在本文献中，假设未用RGB值寻址的用于基于墨的打印机的着色剂值从0%（没有涂覆在纸张上的着色剂）变动至100%（涂覆在其中基于墨的打印机正在其上面进行打印的纸张或基板上的着色剂的最大量）。对于诸如显示器之类的基于RGB的系统而言，该值从0变动至255。在本文献的其余部分中，将主要使用打印机作为彩色设备的示例，然而，在色彩管理系统领域中众所周知的是下面进一步公开的本发明的方面能够容易地扩展至其它彩色设备，诸如显示器、并非基于RGB系统且并非基于CMYK系统的彩色设备、彩色扫描仪和数字彩色照相机。
具有着色剂空间意指n维空间，其中n是能够用其来对彩色设备进行寻址的独立变量的数目。在胶印机的情况下，着色剂空间的维度对应于印刷机的墨的数目。由于正常地使用CMYK墨，所以着色剂空间的维度是四。着色剂空间也称为设备相关空间。在针对基于墨的彩色设备的本文献的其余部分中，使用CMYK作为着色剂空间，而且可以使用其它墨组合来再现彩色图像或彩色文本。
在针对显示系统的本文献的其余部分中，使用RGB作为着色剂空间，而且可以使用其它色彩组合来再现彩色图像或彩色文本。
着色剂色域由着色剂值的所有可能组合定义，对于非RGB彩色设备而言从0%变动至100%且对于基于RGB的系统而言从0变动至255。如果不存在着色剂限制，着色剂色域是n维立方。然而，在大多数情况下，还必须考虑一个或多个墨组合，因为多个着色剂组合对于要打印而言是不可接受的。因此，着色剂色域被这些墨限制减小。墨限制可以是对要考虑的着色剂组合的任何限制。在本文献中，仅考虑线性墨限制，但是线性墨限制的所有方面能够被容易地扩展至线性和/或非线性墨限制的任何组合。
具有色彩空间意指表示对象的表征其色彩的多个量的空间。在大多数实际情形下，将在诸如CIE XYZ空间、CIELAB或CIECAM02之类的三维空间中将色彩表示为色值。然而，还可以使用其它特性，诸如基于滤波器的多谱值，其不一定基于色彩匹配函数的线性变换。在色彩空间中表示的值称为色值。色彩空间还称为设备无关色彩空间，其中，可在不参考外部因素的情况下不含糊地指定色彩。在色彩管理系统领域中众所周知的是正在使用诸如CIE XYZ空间之类的设备无关色彩空间的方法也将适用于其它设备无关色彩空间，诸如CIELAB空间、CIECAM02、多谱值空间。
打印机模型是以用于给定彩色设备的着色剂值的函数来表示色值的数学关系。用于着色剂的变量被表示为c1,c2,…,cn，其中n为着色剂空间的维度。在本文献中，将针对具有维度n的着色剂空间中的给定着色剂色域定义的打印机模型称为彩色设备的n墨模型。对于显示器、扫描仪和数字式照相机而言，此类模型也称为n着色剂模型。在彩色管理系统领域中众所周知的是使用n墨模型的方法也适用于n着色剂模型。假设n墨模型是从着色剂空间到色彩空间的连续函数。在大多数情况下针对n墨模型定义特性，然而，由于n墨模型描述相应色彩设备的色彩性质，所以还针对彩色设备间接地定义针对n墨模型所定义的特性。例如如果n墨模型是规则的，则说成是彩色设备也是规则的。并且假设针对n墨模型定义的色域为彩色设备的色域。
以下标准科学手册提出了关于色彩管理和打印机模型的主题的通常的一般知识：Henry R. Kang在第一版, ISBN 08194 3318 7中的“Digital Color Halftoning”，由SPIE、The International Society for Optical Engineering（1999年）联合出版，被整体地通过引用结合到本文中，以及Gaurav Sharma在ISBN 08493 0900 X中的“Digital ColorImaging”，由CRC Press出版（2003年），被整体地通过引用结合到本文中。
n墨模型常常基于打印机目标。此类目标包括在彩色设备的着色剂空间中定义的多个均匀色彩贴片。在下一步骤中，对打印机目标进行打印并测量为色彩空间中的色值，并且基于着色剂空间中的贴片的值和测量色值，完成n墨模型。这也称为对打印机进行配置文件（profiling）或色彩配置文件。通常用沿着不同着色剂轴的采样点来表征打印机目标。基于该采样点，可以在着色剂空间中构造规则网格，其中多个网格点被打印机目标包含。因此，可以将目标说成是完整或不完整的。针对关于网格、完整和不完整打印机目标以及相关术语的更多信息，我们参考专利申请EP-A-1 146 726。从打印机目标的测量计算出的来自打印机的着色剂空间中的规则网格中的位置和色彩空间的相应色值是由n墨模型计算的前向查找表。不一定需要规则网格，但是其使得用于色彩变换和/或将此LUT倒置的计算的复杂性更为容易。打印机目标的测量结果也可以变成n墨模型前向测量查找表的一部分。被打印目标的测量结果取决于几个打印参数，诸如半色调技术、墨的着色以及被打印目标被打印在其上面的基板的吸收。
用使n墨模型倒置意指针对色彩空间中的给定色彩，通过利用n墨模型来寻找映射到该给定色彩的着色剂值。另一方面，n墨模型到色彩空间的变换通过利用n墨模型而等效于相应着色剂色域到色彩空间的变换。
针对关于着色剂空间、色彩空间、使n墨模型倒置及其它相关术语的更多信息，我们参考：Bala Raja在PROCEEDINGS OF SPIE, US, vol 5016 23 January 2003, pages185—195中公布的专利申请EP A 1 083 739、“Inverse problems in color devicecharacterization”，其被整体地通过引用结合到本文中、R. Balasubramanian在JOURNALOF ELECTRONIC IMAGING, SPIE/IS&T, vol 8, no.2, 1 April 1999, pages 156—166中的“Optimization of the spectral Neugebauer model for printercharacterization”，其被整体地通过引用结合到本文中，以及1999年3月2日的US 5 878195（MAHY MARC），其被整体地通过引用结合到本文中。
基于n墨模型，构造前向和逆向查找表。这些表也称为表格或色表。前向表将着色剂值变换成色值，而逆向表将色值变换成着色剂值。逆向表也称为分离表或色彩分离表。可以将前向、逆向查找表且替换地连同具有打印目标的测量结果及其相应着色剂值的查找表一起作为轮廓（profile）存储在计算机可读介质的一个或几个位置上。轮廓也称为色彩轮廓。对于打印系统而言，轮廓也称为输出轮廓或输出色彩轮廓。对于显示系统、扫描仪和数字式照相机而言，轮廓也称为输入轮廓或输入色彩轮廓。被存储在计算机可读介质的1个位置上的具有打印目标的测量结果及其相应着色剂值的查找表被称为测量文件。
国际色彩联盟（ICC）在2010年将轮廓格式指定为包括色彩轮廓以为色彩和/或着色剂值的解释的创建而提供跨平台轮廓格式。此类色彩轮廓可以用来在不同着色剂空间和/或色彩空间之间转换，并且将使用彩色设备创建的着色剂值变换成另一彩色设备的本地着色剂空间。允许将此轮廓格式嵌入页面描述语言数据和/或图像数据中。国际色彩联盟—规范ICC 1：2010年，ICC.1的修订：2004—10，（Profile version 4.3.0.0）（2010年），被整体地通过引用结合到本文中。此规范是关于色彩管理的主题的工程师的通常的一般知识。
根据从测量文件的数据和逆向n墨模型计算出n墨模型而计算和创建色彩轮廓的例程是轮廓创建器一部分，软件应用程序，也称为轮廓制作器，其优选地是色彩管理系统的一部分。
创建n墨模型的几个技术作为现有技术而已知，并且其主要是基于Neugebauer等式、Murray-Davies等式、Yule-Nielsen模型、区域覆盖密度关系、Clapper-Yule模型、点增益和优选地分段线性n墨模型（无论是否用谱扩展进行扩展）或者是其组合。
使用n墨模型和/或色彩轮廓而将来自彩色图像或彩色文本中的第一着色剂空间的第一着色剂值转换成来自第二着色剂空间的另一着色剂值，目的是以第一着色剂值的近似相同色值来在第二着色剂空间中再现第一着色剂值，这是色彩管理系统的基础。
当在彩色设备上呈递色彩时，在大多数情况下，针对CMY（其中C为青色、M为品红色且Y为黄色）、RGB（其中R为红色、G为绿色、且B为蓝色）和CMYK（其中C为青色、M为品红色、Y为黄色且K为黑色）彩色设备制作分离表。这些表一般地是基于色彩空间中的规则网格，其按照网格点定义要打印的着色剂值以在色彩设备上获得用于该网格点的正确色彩。通过构造n墨模型和用以将用于对应于网格点的色彩的n墨模型倒置的技术来计算着色剂值。这一般地逐个网格点地完成，而不明确地检查给定网格点到后续网格点的着色剂组合是否是连续的。这是重要的，因为在应用分离表时，将使用内插技术来得到用于给定网格点之间的色彩的着色剂值。如果网格点之间的内插实际上并不对应于彩色设备的色彩再现性质，则所得到的色彩将不是色彩准确的。
对于RGB或CMY三墨模型而言，一般地在三维着色剂值与色值之间存在一对一关系（图1）。在这种情况下，将三墨模型和相应彩色设备说成是规则的。因此，对于规则彩色设备或三墨模型而言，相应分离表的两个连续色值之间的精选内插是自动地稳定、准确且连续的。
然而，存在几个例外。对于其而言着色剂的300%覆盖不透明或几乎不透明的三墨模型导致某些色彩的多个双解（图2和3）。将这些三墨模型和相应的彩色设备说成是奇异的（即将n墨模型和并非规则的相应彩色设备称为奇异的）。另一类示例是不同于前述RGB或CMY着色剂的非常规三墨组合。示例是黄色、绿色和青色（YGC）彩色设备，其中，黄色和青色的某些组合与一定百分比的绿色匹配。因此，对于这些彩色设备而言，用多个着色剂组合来完成某些色值。一般地，将找到有限数目的着色剂组合，并且通常将存在两个。然而，如果用于三墨模型的着色剂组合的连续集导致相同色值，则将三墨模型和相应彩色设备说成是退化的。在本文献中将不讨论这种情形，因为一般地能够通过略微修改某些模型参数而容易地将退化三墨模型变换成非退化三墨模型。如果在对于其而言只能用一个着色剂组合来再现一个色值但对于另一个而言存在多个解的分离表中存在两个相邻色值，则一般地，仅对于一个解而言，两个网格点之间的内插导致打印中的连续色彩变化。因此，用现有技术，可能选择错误的着色剂组合，使得基于这些分离表的打印将示出严重的带状伪影和非预期虹彩效应（图4）。
对于常规CMYK四墨模型而言，在着色剂空间中的连接路径与色值之间预期唯一关系。如果该色彩位于色彩色域内部，则在着色剂空间中存在能够用其来获得此色彩且在着色剂边界处开始和结束的连接路径（图5）。如果色彩位于色彩色域边界处，则确切地存在能够用其来再现此色彩的一个着色剂组合（图6）。用于给定色值的适当着色剂组合的选择是基于GCR/UCR选择（备注：GCR代表灰色分量替换且UCR代表底色去除；这些众所周知的技术关于替换将灰色增加K的CMY值以及将其替换到什么程度。针对GCR/UCR并且还针对关于色彩管理和色彩再现的其它术语，我们参考Yule在Wiley & Sons, 1967中的“Principles ofColor Reproduction”）。随着GCR/UCR选择值在色彩空间中连续地改变，分离表中的两个连续网格点之间的着色剂组合也正在缓慢地改变，使得对于现今多数所使用的内插技术而言，内插导致平滑色彩分离。因此，获得色值与着色剂值之间的平滑关系。然而，如果突然改变GCR/UCR设置，则从最小K解至最大K解，从一个网格点至下一个网格点，假设内插着色剂值在两个网格点之间可能是不正确的。通过GCR/UCR值的适当选择，用于CMYK四墨模型的分离将导致稳定、准确且平滑的色彩打印。换言之，对于GCR/UCR值的适当选择而言，将色彩空间中的每个连接路径映射到着色剂空间中的连接路径（图7）。
然而，同样对于CMYK四墨模型而言，在制作并非始终有效的分离表中进行多个假设。在应用GCR/UCR设置中，常常假设在K值与着色剂空间中的路径之间存在导致相同色彩的唯一关系；即如果该路径被投射在K轴上，则在路径上始终存在一个点，在投影的最小和最大K值之间具有给定K值。这也意味着路径的一个端点映射到最小K值，而另一端点映射到最大K值。如果对于给定色彩而言，存在一个连接路径，但与K轴的关系并不如上文所解释的那样，则这可能导致非连续分离。一般地，如果针对给定色彩将四墨模型倒置，则常常首先寻找最小和最大K解。然后将给定GCR/UCR设置应用为最小和最大K解之间的百分比。因此，在某些情况下，如果映射到给定色值的着色剂空间中的路径沿着着色剂空间中的K轴向上和向下前进的话，这导致两个、三个或多于三个可能着色剂组合（图8）。并且在这种情况下，如果对于一个网格点而言，与另一网格点相比选择“错误的”着色剂组合的话（即在用于给定GCR/UCR值的多个解可用于其中的一个的情况下），两个连续网格点之间的内插导致严重的条带或虹彩效应。
对于某些四墨模型而言，导致色彩空间中的给定色彩的着色剂空间中的着色剂组合不属于一个连接路径，而是属于着色剂域中的多个非连接路径。在这种情况下，如果两个路径在K轴上的投影是断开的且一个路径包含最小K解并且另一个包含最大K解的话，并不总是能够达到给定GCR/UCR值（和因此的相应K值）（图9）。在其它情况下，这些路径沿着K值部分地投射在同一区域上，使得可以针对给定GCR/UCR设置而再次获得多个解（图10）。并且在这种情况下，两个连续点之间的内插可能导致严重的条带和虹彩效应，因为在色值与着色剂值之间不存在连续关系。
用于CMYK四墨模型的另一假设是K针对CMY组合而交换，即如果能够用CMYK值的给定组合来获得色彩，则可以通过增加K值并减小CMY值（且反之亦然）来获得相同色彩。然而，计算指示情况并非总是如此。一般地，这针对中性点发生，但对于非中性点而言此假设并不总是有效的。因此，基于此假设的所有GCR/UCR技术将不能得到准确的色彩。并且，常常以这种方式来应用施加墨限制，即增加K值常常意味着CMY着色剂值的减小，使得使用较少的墨。基于此技术的墨限制因此也将不能保持正确的色彩。
另一方面，对于非CMYK四墨模型而言，发生几个类型的非常规打印行为。因此，不存在分离表导致平滑的色彩打印、稳定的色彩再现和准确的色彩的保证。
发明内容
本发明的实施例能够减少或消除与现有技术设备和方法相关联的缺陷和问题。本文公开方法和系统的实施例可以用来以这样的方式在彩色设备上呈递色彩，即以稳定的方式和/或准确地再现色彩，和/或使得色值与着色剂值之间的关系是连续的。
根据本发明的一种用于生成色彩轮廓的计算机实施方法，其包括用于彩色设备的前向查找表和逆向查找表，包括步骤：
（a）从针对彩色设备创建的测量文件的数据之中或从来自彩色设备的色彩轮廓的前向查找表的数据之中创建n墨模型，其适合于将着色剂空间中的一组着色剂值传递至色彩空间中的一组色值；
（b）根据n墨模型或根据也称为色彩分离表的色彩轮廓的逆向查找表创建倒置n墨模型；
（c）对前向查找表中的n墨模型进行转换；
（d）对逆向查找表中的倒置n墨模型进行转换；
其特征在于创建n墨模型之后的额外步骤：
（e）选择色彩轮廓特性；
（f）基于具有一个或多个值和/或值范围的色彩轮廓特性而确定n墨模型是否并不规则；
（g）如果n墨模型并非规则，通过修改n墨模型来进行优化；
（h）可选地重复步骤（e）直至（f），直至n墨模型为规则的为止。
对于所述的方法优选的是，所述彩色设备是打印机或显示系统。所述所选n墨模型可以包括分段线性n墨模型。所述彩色设备可以是三墨彩色设备，并且其中，所述n墨模型是三墨模型，还包括步骤：将三维着色剂立方体分解成四面体的联合；用所述分段线性三墨模型来近似用于三墨彩色设备的原始三墨模型，其中，所述分段线性三墨模型包括用于四面体的原始三墨模型的多个雅可比矩阵；并且所述打印机特性是所述多个雅可比矩阵的行列式的多个符号。
所述n墨模型是四墨模型，其中，所述方法还可以包括步骤：将四维着色剂立方体分解成五面体的联合；组成在所述五面体中限定的多个线性模型的所述分段线性四墨模型；确定在所述五面体中限定的所述四墨模型的特性矢量场；其中，所述打印机特性是特性矢量场的符号签名。
优选地，n大于四，其中，所述所选n墨模型包括多个分段线性四墨模型，每个分段线性四墨模型是用于n墨中的四个的子集，并且其中，所述打印机特性是所述多个分段线性四墨模型的特性矢量场的所述多个符号签名。
本发明还提供一种计算机可读介质，包括软件指令，该软件指令当在处理器上执行时可应用于指挥处理器生成彩色设备的色彩轮廓，所述软件指令还可操作用于指挥处理器以便：
—从针对彩色设备创建的测量文件的数据之中或者从来自彩色设备的色彩轮廓的前向查找表的数据之中创建n墨模型，其适合于将着色剂空间中的一组着色剂值传递至色彩空间中的一组色值；
—根据n墨模型或根据也称为色彩分离表的色彩轮廓的逆向查找表创建倒置n墨模型；
—对前向查找表中的n墨模型进行转换；
—对逆向查找表中的倒置n墨模型进行转换；
—选择色彩轮廓特性；
—基于具有一个或多个值和/或值范围的色彩轮廓特性而确定n墨模型是否并非规则；
—如果n墨模型并非规则，通过修改n墨模型来进行优化。
本发明的实施例还涉及由处理器使用计算机可读介质或计算机可读存储器而创建、存储、访问或修改的软件、固件以及程序指令。所述方法可在各种计算设备以及外围设备上执行，包括彩色设备，优选地显示器和更优选地打印设备。
为了克服现有技术的问题，本发明的优选实施例提供了：
按照本发明的第一方面的一种用于生成色彩轮廓的方法，所述色彩轮廓包括用于三墨彩色设备的前向查找表和逆向查找表，包括步骤：
（a）从来自三墨彩色设备的测量的打印目标的数据之中创建分段线性三墨模型；
（b）根据所述分段线性三墨模型创建倒置三墨模型；
（c）对所述前向查找表中的所述分段线性三墨模型进行转换；
（d）对所述逆向查找表中的所述倒置三墨模型进行转换；
其特征在于在创建所述分段线性三墨模型之后的额外步骤：
（e）执行三维着色剂立方体W3到N个四面体 ∆j的集合的单形分解，W3 = j=1,…,N∆j，使得到四面体 ∆j的映射F的所有限制F|∆j : ∆j→ R3是线性映射：即F|∆j (c) =aj + Bjc，其中，对于j＝1,…,N而言，Bj是3×3矩阵，c和aj是三维矢量；以及
（f）通过检查是否所述矩阵Bj的所有行列式具有相同的符号而确定所述分段线性三墨模型是否是规则的；以及如果所述矩阵Bj的所有行列式不具有相同的符号，就优化所述分段线性三墨模型以匹配所述测量的打印目标的数据，这是通过以下步骤实现的：
-确定正阈值ε，ε >0；以及
-取决于来自所述矩阵Bj的行列式的负符号和正负号的数目之间的差，在所述测量的打印目标的数据上用所确定的正阈值ε构造误差函数R；以及
-通过最小化优化方法来最小化所述误差函数R；（g）可选地重复步骤（e）直至（f），直至所述分段线性三墨模型为规则的为止。
按照本发明第二方面的一种用于生成色彩轮廓的设备，所述色彩轮廓包括用于三墨彩色设备的前向查找表和逆向查找表，包括：
（a）用于从来自三墨彩色设备的测量的打印目标的数据之中创建分段线性三墨模型 的部件；
（b）用于根据所述分段线性三墨模型创建倒置三墨模型的部件；
（c）用于对所述前向查找表中的所述分段线性三墨模型进行转换的部件；
（d）用于对所述逆向查找表中的所述倒置三墨模型进行转换的部件；
其特征在于在创建所述分段线性三墨模型之后采用下列部件：
（e）部件，用于执行三维着色剂立方体W3到N个四面体 ∆j的集合的单形分解，W3 = j=1,…,N∆j，使得到四面体 ∆j的映射F的所有限制F|∆j : ∆j→ R3是线性映射：即F|∆j(c) = aj + Bjc，其中，对于j＝1,…,N而言，Bj是3×3矩阵，c和aj是三维矢量；以及
（f）部件，用于通过检查是否所述矩阵Bj的所有行列式具有相同的符号而确定所述分段线性三墨模型是否是规则的；以及如果所述矩阵Bj的所有行列式不具有相同的符号，就优化所述分段线性三墨模型以匹配所述测量的打印目标的数据，这是通过以下实现的：
-确定正阈值， >0；以及
-取决于来自所述矩阵Bj的行列式的负符号和正负号的数目之间的差，在所述测量的打印目标的数据上用所确定的正阈值构造误差函数R；以及
-通过最小化优化方法来最小化所述误差函数R；
（g）用于可选地操作部件（e）以及部件（f），直至所述分段线性三墨模型为规则的为止的部件。
在图形行业中使用打印机系统和优选地喷墨式打印机及更优选地UV喷墨式打印机上的无光泽清漆、光泽清漆来增强打印质量是众所周知的。通过使用包括具有额外采样点的均匀色彩贴片的已打印打印机目标，可以因而在n维空间中构造规则网格，其中（n-x）是彩色设备能够用其来对色彩进行寻址的独立变量的数目并且x是彩色设备能够用其来对清漆或底漆的量进行寻址的独立变量，并且根据本发明的实施例，通过测量表示表征对象的色彩和光泽的对象的多个量的空间中的已打印的打印机目标，能够用光泽表征来容易地对其进行扩展。如在ICC的规范ICC 1：2010中定义的前向、倒置LUT及其它LUT能够优选地适于用光泽表征扩展色彩和着色剂值。除着色剂和色值之外，可以用此光泽表征和光泽测量来扩展本发明的实施例。除着色剂和色值之外，可以用其它表征和测量来扩展本发明的实施例，诸如斑点、聚结、无光泽效果、浮凸结构、洇色、无光泽效果、光泽或同色异谱。如在ICC的规范ICC 1：2010中定义的前向、倒置LUT及其它LUT然后能够优选地适于用这些表征中的一个或多个来扩展色彩和着色剂值。
本发明的实施例提供了一种保证色彩分离表表现良好的技术；即分离表通过适当地限制着色剂域和色值与着色剂值之间的平滑关系来生成准确的色彩、稳定的色彩再现，使得平滑色彩分级或小插图被很好地再现。
如果也称为色彩轮廓的逆向查找表的色彩分离表表现良好，则将色彩轮廓称为表现良好色彩轮廓。然后将色彩分离表称为色彩表现良好分离表。
如果也称为色彩轮廓的逆向查找表的色彩分离表是规则的，则色彩轮廓是表现良好色彩轮廓且也称为规则色彩轮廓。色彩分离表则是也称为色彩规则分离表的色彩表现良好分离表。
为了获得表现良好色彩分离表，需要：
- 检查以查看n墨模型是否是奇异的或者行为是否是由于测量误差而引起的；
- 基于测量文件检查以查看哪些测量结果是异常的（例如未适当地测量）和哪些测量结果真实地表示彩色设备的行为；
- 调整测量文件，以便获得规则n墨模型；
- 如果n墨模型在着色剂域的某些部分中为奇异的话，适当地限制着色剂空间；
- 使得n墨模型为规则的；
- 检查分离表是否是表现良好的
- 指示分离表的哪个部分并非表现良好的技术；
- 从一组着色剂组合之中选择着色剂组合以实现表现良好分离表的技术；
- 检测映射到色彩空间中的相同色彩的路径；
- 用于GCR/UCR设置的一般化概念；
- 规则n墨模型在闭环迭代之后仍是规则的。
可以在在轮廓创建器中创建色彩轮廓的同时、在创建色彩轮廓之后、在将图像从第一着色剂空间呈递到第二着色剂空间之前或在将图像从第一着色剂空间呈递到第二着色剂空间期间使用轮廓规则化。轮廓规则化器包括指示轮廓和/或N墨模型的规则性的色彩轮廓特性的一个或多个例程。
根据本发明的一方面，本发明在实施例中的一个中提供了以下方法和系统：生成色彩轮廓，其包括用于打印设备的前向查找表和逆向查找表，包括步骤：（a）从针对彩色设备创建的测量文件的数据之中或从来自彩色设备的色彩轮廓的前向查找表的数据之中创建n墨模型，其适合于将着色剂空间中的一组着色剂值传递至色彩空间中的一组色值；
（b）根据n墨模型或根据也称为色彩分离表的色彩轮廓的逆向查找表创建倒置n墨模型；
（c）对前向查找表中的n墨模型进行转换；
（d）对逆向查找表中的倒置n墨模型进行转换；
其特征在于创建n墨模型之后的额外步骤：
（e）选择色彩轮廓特性；
（f）基于具有一个或多个值和/或值范围的色彩轮廓特性而确定n墨模型是否并非规则；
（g）如果n墨模型并非规则的，通过修改n墨模型来进行优化；
（h）可选地重复步骤（e）直至（f），直至n墨模型为规则的为止
步骤（a）直至（d）是关于色彩管理主题的通常的一般知识且可以是计算机实施的方法。可在计算设备的一个或多个中包括用于这些步骤（a）—（h）的例程。这些部分可以是轮廓创建器或轮廓规则化器的一部分，但是优选地为图像数据处理器的一部分，更优选地光栅图像处理器的一部分且最优选地彩色设备上的色彩管理系统的一部分。在创建轮廓之后，将在彩色设备的计算机可读介质、存储器或辅助存储上将轮廓存储在彩色设备上。
如果n墨模型在色彩空间的一部分中和/或n墨模型的着色剂空间是规则的，则该方法还可以用来修改n墨模型。否则，该方法还可以用来在闭环中修改n墨模型直至n墨模型在色彩空间的一部分中和/或n墨模型的着色剂空间是规则的为止。
n墨模型优选地基于分段线性n墨模型，但是还可以使用基于Neugebauer等式、Murray-Davies等式、Yule-Nielsen模型、区域覆盖密度关系、Clapper-Yule模型、点增益和优选地分段线性n墨模型（无论是否用谱扩展进行扩展）或者是其组合的其它技术。
n墨模型的优化可包括构造误差函数R并优选地使误差函数R最小化，这优选地通过使用梯度方法来完成。
如果彩色设备是三墨彩色设备且其中n墨模型是三墨模型，则所述方法和系统还包括步骤：
- 将三维着色剂立方体分解成四面体的联合；
- 用所述分段线性三墨模型来近似用于三墨彩色设备的原始三墨模型，其中，所述分段线性三墨模型包括用于四面体的原始三墨模型的多种雅可比矩阵；
并且其中，所述彩色轮廓特性是所述多个雅可比矩阵的行列式的多个符号。
可在计算设备的一个或多个中包括用于这些步骤的例程。
如果彩色设备是四墨彩色设备且其中n墨模型是四墨模型，则所述方法和系统还包括步骤：
- 将四维着色剂立方体分解成五面体的联合；
- 组成在所述五面体中定义的多个线性模型的所述分段线性四墨模型；
- 确定在所述五面体中定义的所述四墨模型的特性矢量场；
其中，所述色彩轮廓特性是特性矢量场的符号签名。
可在计算设备的一个或多个中包括用于这些步骤的例程。
如果彩色设备是n墨彩色设备，其中，n大于四，其中，所选n墨模型包括多个分段线性四墨模型，每个分段线性四墨模型用于n个墨中的四个的子集，并且其中，色彩轮廓特性是所述多个分段线性四墨模型的特性矢量场的所述多个符号签名。
可在计算设备的一个或多个中包括用于这些步骤的例程。
在以下描述中可以找到规则n墨模型、色彩轮廓特性、误差函数和用以将n墨模型修改成规则n墨模型的优化技术的示例的进一步解释和定义。
规则三墨模型
如果在三维着色剂空间与三维色彩空间之间存在一对一关系（双射变换），则三墨模型是规则的。
规则四墨模型
四墨模型是规则的，如果：
- 导致色彩空间中的相同色彩的所有着色剂组合位于着色剂色域中的一个连接路径上。
- 导致色彩空间中的相同色彩的所有路径在着色剂立方体的边界处开始和结束。
- 对于在色彩色域的边界处的所有色彩而言，仅在着色剂域的边界处存在将获得此色彩的一个着色剂组合。
严格单调规则四墨模型
如果映射到色彩空间中的相同色彩的每个路径在每个着色剂轴上的投影是严格增加或减小的，则规则四墨模型称为严格单调规则四墨模型。特别是对于CMYK四墨模型而言，预期该路径是沿着K轴减小的且沿着青色、品红色和黄色轴是增加的（图11）。
用于n墨模型的准则
为了定义并检查用于n墨模型的准则，用分段线性模型来近似n墨模型。由于分段线性模型被假设为反映n墨模型的性质，所以将用于n墨模型的准则假设为类似于针对分段线性模型所定义和检查的那些。实际上，情况不总是这样，但是在实践中此假设对于许多n墨模型而言是有效的。因此，仅必须针对分段线性模型定义和检查准则。
在多个情况下，可以针对非分段线性模型定义和评估准则。局部化Neugebauer等式（参见Yule在Wiley & Sons, 1967中的“Principles of Color Reproduction”）是此类n墨模型的示例。然而，在本文献中，我们不将给出更复杂的n墨模型的示例，因为可以在所有情况下使用分段线性近似；即可以通过在足够小的区域中将着色剂域分裂而将近似分段线性模型的准确度增加至任何期望水平。一般地，可以用分段线性模型来近似任何n墨模型，其中，每个线性模型基于n墨模型的雅可比矩阵。
为了定义n墨模型是否是规则的，与也称为色彩轮廓特性的用于打印机特性的一组一个或多个值和/或范围相比，定义并评估n墨模型的一个或多个特性，也称为打印机特性或轮廓特性或色彩轮廓特性。具有用来检查彩色设备是否是规则的所需值和或范围的准则将称为规则性准则。如先前所讨论的，将主要针对分段线性n墨模型定义规则性准则，然而，在大多数情况下可以针对非分段线性模型容易地扩展这些概念。
附图说明
图1示出了具有红色、绿色和蓝色着色剂的三墨过程的所需行为：在色值201与着色剂值101之间存在唯一映射900。
图2示出了对于具有红色、绿色和蓝色着色剂的三墨过程而言要避免的问题：能够用着色剂空间100中的着色剂立方体800内部的两个着色剂组合101来获得色彩空间200中的色域内色彩201的情况。
图3示出了对于具有红色、绿色和蓝色着色剂的三墨过程而言要避免的问题：能够用着色剂立方体8中的两个着色剂组合101、102获得的色彩空间200中的色域边界801处的色彩202的情况；一个在着色剂立方体800内部101且一个在其边界处102。
图4示出了如果每个色彩可用多个着色剂组合的话，对于具有红色、绿色和蓝色着色剂的三墨过程而言要避免的虹彩效应：色彩空间中的分离表的连续采样点203、204映射201到不适当着色剂组合103、104。
图5示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四墨过程的所需行为：能够用着色剂空间100内部的在着色剂边界810处开始和结束的连接路径105获得的色彩空间200中的色域内色彩201。
图6示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四墨过程的所需行为：可以在着色剂边界810处用一个着色剂组合112来获得色域边界801处的色彩202。
图7示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四墨过程的所需行为；色彩空间200中的连续路径205映射900到着色剂空间110中的连续路径115。
图8示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四墨过程的问题：能够用着色剂空间120中的一个路径225来获得色域内色彩201，但是在路径与K值之间不存在唯一关系。
图9示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四墨过程的问题：能够用着色剂空间120中的两个路径226来获得色域内色彩201，其中，着色剂组合并未被连接224。
图10示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四墨过程的问题：能够用着色剂空间120中的两个路径227来获得色域内色彩201，其中，着色剂组合未被连接且两个路径对于某些点而言具有相同的黑色值223。
图11示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的严格单调规则四墨过程：可以通过使着色剂空间120中的路径225单调减小、因此黑色值减小且CMY值增加来获得色彩空间200中的连续路径205。
图12示出了三维立方体到6个四面体601、602、603、604、605、606的划分。
图13示出了单元1351中的三维着色剂立方体1350的划分及内部面1301和边界面1302的示例。
图14示出了用于三维着色剂空间130的奇异面901及其到色彩空间230的映射。
图15示出了具有青色、品红色、黄色和黑色着色剂的四着色剂空间120中的特性矢量场，其中，每个单式，矢量场是恒定的且与映射到色彩空间200中的相同色彩的着色剂空间中的路径相切。
图16示出了用于其中一个着色剂是黑色的三墨过程的奇异面及其到色彩空间240的映射906。
图17示出了用于其中一个着色剂是黑色的规则三墨过程的奇异面及其到色彩空间240的映射906。
图18示出了二维着色剂空间150被分裂1810成由某些色彩组合1801定义的单形的方式。
图19在系统1900中示出了示例性打印机1970，其执行从着色剂空间或色彩空间到打印机1970的着色剂空间的色彩空间转换、色彩管理、色彩转化和打印图像。
参考标号列表
21：青色、品红色和黄色着色剂的轴
22：黑色着色剂的轴
31：红色着色剂的轴
32：绿色着色剂的轴
33：蓝色着色剂的轴
41：青色着色剂的轴
42：黑色着色剂的轴
43：黄色着色剂的轴
44：品红色着色剂的轴
100：具有红色、绿色和蓝色着色剂的三墨过程的着色剂空间
101：着色剂立方体内部的着色剂值
102：着色剂边界处的着色剂值（RGB墨过程）
103：用色彩203映射的着色剂值
104：用色彩204映射的着色剂值
105：2个着色剂值之间的着色剂空间中的路径
112：着色剂边界处的着色剂值（CMYK墨过程）
115：2个着色剂值之间的着色剂空间中的路径
120：二个维度上的用于四维着色剂空间的着色剂空间呈现
130：着色剂空间
141：用于着色剂1的轴
142：用于黑色着色剂的轴
143：用于着色剂2的轴
144：边界面
145：奇异面
146：法向矢量
147：法向矢量
148：奇异面
150：以着色剂1和着色剂2作为着色剂的二维着色剂空间的着色剂空间
151：用于着色剂1的轴
152：用于着色剂2的轴
200：色彩空间
201：色域内色彩
202：色彩空间的边界处的色值
205：2个色彩之间的色彩空间中的路径
210：色彩空间中的分离表
221：最小黑色值
222：最大黑色值
223：用于给定黑色值的多个着色剂组合
224：没有用于给定黑色值的着色剂组合
225：色值的着色剂空间中的路径
226：色值的着色剂空间中的路径的一部分
227：色值的着色剂空间中的路径的一部分
230：色彩空间
240：色彩空间中的分离表
601：四面体1
602：四面体2
603：四面体3
604：四面体4
605：四面体5
606：四面体6
800：用于三维着色剂空间的着色剂立方体
801：色彩空间的边界
810：用于四维着色剂空间的三维中的着色剂立方体
820：用于其中黑色是着色剂中的一个的三维着色剂空间的着色剂立方体
900：色值与着色剂值之间的唯一映射
901：奇异面
902：不是色值与着色剂值之间的唯一映射
903：用于CMYK墨过程的色值与着色剂值之间的映射
905：用于CMYK墨过程的色值与着色剂值之间的映射
906：映射到色彩空间
1301：内部面
1302：边界面
1350：三维着色剂立方体
1351：单元
1500：在色彩1510上映射的着色剂空间中的路径（＝R）
1501：在色彩1511上映射的着色剂空间中的路径（＝S）
1502：在色彩1512上映射的着色剂空间中的路径（T）
1503：在色彩1513上映射的着色剂空间中的路径（＝U）
1510：色值
1511：色值
1512：色值
1513：色值
1801：着色剂组合
1810：分裂成单形
2400：白色的色值
2401：黑色的色值
2402：着色剂1的色值
2403：着色剂2的色值
2404：着色剂1和黑色的墨组合的色值
2405：着色剂1和黑色的墨组合的色值
2406：着色剂1和黑色和着色剂2的墨组合的色值
2407：着色剂1和着色剂2的墨组合的色值
6000：P0,0,0
6001：P0,0,1
6010：P0,1,0
6011：P0,1,1
6100：P1,0,0
6101：P1,0,1
6110：P1,1,0
6111：P1,1,1
根据以下描述，本发明的更多优点和实施例将变得显而易见。
具体实施方式
n墨模型的分段线性近似
考虑具有n个着色剂的着色剂空间Wn，Wn = {(c1,… ,cn) | 0<c1<100, … ,0<cn<100}，以及具有维度3的色彩空间R3，R3 = {(y1,y2,y3 ) | -∞<y1<+∞, … ,-∞<y3<+∞}。
n墨模型将着色剂组合（c1,…,cn）呈递到相应的色值（y1,y2,y3）。意味着可以用映射F：Wn→ R3| F(c1,…,cn) = (y1,y2,y3)来描述n墨模型，其中Wn是着色剂立方体。
实际上，n墨模型是基于被打印和测量的打印机目标。打印机目标包括用有限集{wi} Wn（即在着色剂立方体Wn内部的固定点wi，i＝1,…,N的网状物）描述的多个色彩贴片。可以用集合{pi} ∈ R3 = {(y1,y2,y3), -∞<y1,y2,y3<∞}来表示相应测量结果；即F(wi) = pi。
我们将此网状物称为n墨模型的测量数据。因此，测量数据是离散映射f: {wi} →{pi} ，使得对于i＝1,…,N而言，f(wi) = pi = F(wi)。
为了简单起见，我们将自身限制到如下的在着色剂立方体中定义的规则网格的情况： Wn = [0,100] × … × [0,100]。
对于k = 1,…,n，考虑N(k)+1个实数的有限集Zk = {ck 0,…,ck N(k)}, 0=ck 0<…<ck N(k)=100。
具有N = [N(1)+1][N(2)+1][N(3)+1]…[N(n)+1]的N个点的积网状物{wi} = Z1×…× Zn Wn定义着色剂立方体中的规则网格。
制作色彩分离表中的最困难问题是n墨模型的倒置，即找到连续映射g: F(Wn) →Wn，F的逆向映射，即映射g和F的组成是集合F(Wn)的相等映射，F°g=IdF(W)。
定义单形：假设着色剂立方体Wn被分解成K个集合∆j的联合，具有集合∆j，j=1,…,K的Wn = j=1,…,K∆j，n维单形。任何两个单形∆j和∆k的交集是空的，∆j ∆k=，或者是这些单形中的一个的边界单形（其中维度＜n）。
三维（分别地四维）空间中的单形称为四面体（分别地五面体）。
定义分段线性映射：如果存在n维着色剂立方体Wn的单形分解Wn = j=1,…,K∆j，使得对于所有j而言，到单形∆j的映射F的限制F|∆j : ∆j→ R3是线性映射，则将连续映射F: Wn→ R3称为分段线性的。
换言之，F|∆j (c) = aj + Bjc，其中，c = (c1,…,cn)T是着色剂值的n维矢量，Bj是3×n矩阵，并且aj是三维矢量，对于j=1,…,K，aj∈ R3。
如果用分段线性n墨模型来近似非分段线性n墨模型F = (F1(c), F2(c), F3(c))，则用非分段线性模型的雅可比矩阵来获得矩阵Bj，即
其中，k=1,2,3为矩阵Bj的行，且l=1, …,n 为列。
另一方面，从用于给定的一组着色剂值的非分段线性n墨模型的评估获得矢量aj，通常是针对单形∆j的顶点中的一个。
定义非退化分段线性映射：如果矩阵Bj对于所有j=1,…,K而言是非退化的，即det(Bj) ≠ 0，则将分段线性映射F称为是非退化的。
用于三墨彩色设备的分段线性三墨模型
让着色剂立方体W3内部的点wi （i=1,…,N）的有限集{wi} W3为规则网状物。考虑测量数据的离散映射f: {wi} → {pi}，其中，对于i=1,…,N，pi = f(wi) = F(wi)。
为了用连续映射F: W3→ R3来近似给出的离散映射f，使用分段线性内插。在这里仅描述了四面体内插，但是可以通过利用其它线性内插技术、非线性内插公式或其它模型来获得类似结果。
根据规则网状物的定义，对于k=1,2,3而言，存在N(k)+1个实数的一维网状物Zk ={ck 0,…,ck N(k)}，其中0=ck 0<…<ck N(k)=100，使得{wi} = Z1× Z2× Z3 W3且N = [N(1)+1][N(2)+1][N(3)+1]。
其意味着可以将三维着色剂立方体W3分解成网状物平行六面体单元Πi,j,k =[c1 i-1,c1 i] × [c2 j-1,c2 j] × [c3 k-1,c3 k]， i=1,…,N(1)，j=1,…,N(2), k=1,…,N(3)的联合
。
在这些平行六面体单元中的每一个内部，以下面方式来构造测量离散映射f的连续近似F：
- 考虑任意三维长方体Π = [0,100]×[0,100]×[0,100] = {(c1,c2,c3), 0≤c1≤100, 0≤c2≤100, 0≤c3≤100}。存在8个顶点到长方体Π和8个顶点(0,0,0)、(0,0,1)、(0,1,0)、(0,1,1)、(1,0,0)、(1,0,1)、(1,1,0)、(1,1,1)到单位三维立方体Π1 = {(c1,c2,c3), 0≤ c1≤ 1, 0≤ c2≤1, 0≤ c3≤ 1}的明显一一对应。
- 借助于单位立方体Π1的相应顶点，c000、c001、c010、c011、c100、c101、c110、c111来列举长方体Π的全部8个顶点。
- 对离散映射f的值应用相同的计算，即针对i、j、k＝0、1设置pijk = f(cijk)。
- 定义长方体Π内部的映射F，yl=Fl(c1,c2,c3)=pl000+rl1∆c1+rl2∆c2+rl3∆c3，其 中，l=1,2,3是三维色彩空间R3中映射F的分量的数目且对于i=1,2,3而言∆ci = (ci-ci0)/ (ci1-ci0)。与以下表格相对应地确定系数rli，i=1,2,3：
No 条件 r<sup>l</sup><sub>1</sub> r<sup>l</sup><sub>2</sub> r<sup>l</sup><sub>3</sub>
1 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>100</sub>- p<sup>l</sup><sub>000</sub> p<sup>l</sup><sub>110</sub>- p<sup>l</sup><sub>100</sub> p<sup>l</sup><sub>111</sub>- p<sup>l</sup><sub>110</sub>
2 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>100</sub>- p<sup>l</sup><sub>000</sub> p<sup>l</sup><sub>111</sub>- p<sup>l</sup><sub>101</sub> p<sup>l</sup><sub>101</sub>- p<sup>l</sup><sub>100</sub>
3 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>101</sub>- p<sup>l</sup><sub>001</sub> p<sup>l</sup><sub>111</sub>- p<sup>l</sup><sub>101</sub> p<sup>l</sup><sub>001</sub>- p<sup>l</sup><sub>000</sub>
4 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>110</sub>- p<sup>l</sup><sub>010</sub> p<sup>l</sup><sub>010</sub>- p<sup>l</sup><sub>000</sub> p<sup>l</sup><sub>111</sub>- p<sup>l</sup><sub>110</sub>
5 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>111</sub>- p<sup>l</sup><sub>011</sub> p<sup>l</sup><sub>010</sub>- p<sup>l</sup><sub>000</sub> p<sup>l</sup><sub>011</sub>- p<sup>l</sup><sub>010</sub>
6 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>111</sub>- p<sup>l</sup><sub>011</sub> p<sup>l</sup><sub>011</sub>- p<sup>l</sup><sub>001</sub> p<sup>l</sup><sub>001</sub>- p<sup>l</sup><sub>000</sub>
该内插具有纯几何意义。我们将三维长方体分解成六个四面体（图12）。这些四面体由上表的第二列中的条件定义。在每个四面体内部，用四面体的顶点处的离散映射f的值pijk，i,j,k＝0,1的线性内插来构造映射F。
用于四墨彩色设备的分段线性四墨模型
让着色剂立方体W4内部的点wi，i＝1,…,N的有限集{wi} W4为规则网状物。考虑测量数据的离散映射f: {wi} → {pi}，其中，对于i＝1,…,N而言，pi=f(wi)=F(wi)。
为了用连续映射F: W4→ R3来近似给定离散映射f，使用分段线性内插。在这里仅描述了五面体内插，但是可以通过利用其它线性内插技术、非线性内插公式或其它模型来获得类似结果。
按照规则网状物的定义，针对k=1,2,3,4，存在(N(k)+1)个实数的一维网状物Zk ={ck 0,…,ck N(k)}, 0=ck 0<…<ck N(k)=100，使得{wi} = Z1× Z2× Z3× Z4 W4且N = [N(1)+1][N(2)+1][N(3)+1][N(4)+1]。
其意味着可以将四维着色剂立方体W4分解成网状物平行六面体单元Πi,j,k =[c1 i-1,c1 i] × [c2 j-1,c2 j] × [c3 k-1,c3 k] × [c4 k-1,c4 k]，i=1,…,N(1), j=1,…,N(2)，k=1,…,N(3), l=1,…,N(4)的联合
。在这些平行六面体单元中的每一个内部，以下面的方式来构造测量离散映射f的连续近似F：
- 考虑任意四维长方体Π = [0,100]×[0,100]×[0,100]×[0,100]={(c1,c2,c3,c3), 0≤c1≤100, 0≤c2≤100, 0≤c3≤100, 0≤c4≤100}。存在长方体Π的16个顶点和单位四维立方体Π1 = {(c1,c2,c3,c4)，0≤ c1≤1, 0≤ c2≤1, 0≤ c3≤1, 0≤ c4≤1}的16个顶点(0,0,0,0)、(0,0,0,1)、(0,0,1,0)、(0,0,1,1)、(0,1,0,0)、(0,1,0,1)、(0,1,1,0)、(0,1,1,1)、(1,0,0,0)、(1,0,0,1)、(1,0,1,0)、(1,0,1,1)、(1,1,0,0)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0)、(1,1,1,1) 的一一对应。
- 借助于单位立方体Π1的相应顶点，c0000、c0001、c0010、c0011、c0100、c0101、c0110、c0111、c1000、c1001、c1010、c1011、c1100、c1101、c1110、c1111来列举长方体Π的全部16个顶点。
- 对离散映射f的值应用相同计算，即针对i,j,k,l=0,1设置pijkl = f(cijkl)。
- 定义长方体Π内部的映射F，yl=Fl(c1,c2,c3,c4)=pl 000+rl 1∆c1+rl 2∆c2+rl 3∆c3+rl 4∆c4，其中，l=1,2,3是三维色彩空间R3中的映射F的分量的数目且对于i=1,2,3,4而言∆ci = (ci - ci 0)/(ci 1 - ci 0)。与以下表格相对应地确定系数rl i, i=1,2,3,4：
No 条件 r<sup>l</sup><sub>1</sub> r<sup>l</sup><sub>2</sub> r<sup>l</sup><sub>3</sub> r<sup>l</sup><sub>4</sub>
1 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>4</sup> P<sup>l</sup><sub>1000</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1100</sub>-p<sup>l</sup><sub>1000</sub> p<sup>l</sup><sub>1110</sub>-p<sup>l</sup><sub>1100</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1110</sub>
2 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>1000</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1100</sub>-p<sup>l</sup><sub>1000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1101</sub> p<sup>l</sup><sub>1101</sub>-p<sup>l</sup><sub>1100</sub>
3 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>1000</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1101</sub>-p<sup>l</sup><sub>1001</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1101</sub> p<sup>l</sup><sub>1001</sub>-p<sup>l</sup><sub>1000</sub>
4 ∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>1001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0001</sub> p<sup>l</sup><sub>1101</sub>-p<sup>l</sup><sub>1001</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1101</sub> p<sup>l</sup><sub>0001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub>
5 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>4</sup> p<sup>l</sup><sub>1000</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1110</sub>-p<sup>l</sup><sub>1010</sub> p<sup>l</sup><sub>1010</sub>-p<sup>l</sup><sub>1000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1110</sub>
6 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>1000</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1011</sub> p<sup>l</sup><sub>1010</sub>-p<sup>l</sup><sub>1000</sub> p<sup>l</sup><sub>1011</sub>-p<sup>l</sup><sub>1010</sub>
7 ∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>1000</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1011</sub> p<sup>l</sup><sub>1011</sub>-p<sup>l</sup><sub>1001</sub> p<sup>l</sup><sub>1001</sub>-p<sup>l</sup><sub>1000</sub>
8 ∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>1001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0001</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1011</sub> p<sup>l</sup><sub>1011</sub>-p<sup>l</sup><sub>1001</sub> p<sup>l</sup><sub>0001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub>
9 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>4</sup> p<sup>l</sup><sub>1010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0010</sub> p<sup>l</sup><sub>1110</sub>-p<sup>l</sup><sub>1010</sub> p<sup>l</sup><sub>0010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1110</sub>
10 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>1010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0010</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1011</sub> p<sup>l</sup><sub>0010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1011</sub>-p<sup>l</sup><sub>1010</sub>
11 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>1011</sub>-p<sup>l</sup><sub>0011</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1011</sub> p<sup>l</sup><sub>0010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>0011</sub>-p<sup>l</sup><sub>0010</sub>
12 ∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>2</sup> p<sup>l</sup><sub>1011</sub>-p<sup>l</sup><sub>0011</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1011</sub> p<sup>l</sup><sub>0011</sub>-p<sup>l</sup><sub>0001</sub> p<sup>l</sup><sub>0001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub>
13 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>4</sup> p<sup>l</sup><sub>1100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0100</sub> p<sup>l</sup><sub>0100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1110</sub>-p<sup>l</sup><sub>1100</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1110</sub>
14 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>1100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0100</sub> p<sup>l</sup><sub>0100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1101</sub> p<sup>l</sup><sub>1101</sub>-p<sup>l</sup><sub>1100</sub>
15 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>1101</sub>-p<sup>l</sup><sub>0101</sub> p<sup>l</sup><sub>0100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1101</sub> p<sup>l</sup><sub>0101</sub>-p<sup>l</sup><sub>0100</sub>
16 ∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>3</sup> p<sup>l</sup><sub>1101</sub>-p<sup>l</sup><sub>0101</sub> p<sup>l</sup><sub>0101</sub>-p<sup>l</sup><sub>0001</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1101</sub> p<sup>l</sup><sub>0001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub>
17 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>4</sup> p<sup>l</sup><sub>1110</sub>-p<sup>l</sup><sub>0110</sub> p<sup>l</sup><sub>0100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>0110</sub>-p<sup>l</sup><sub>0100</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1110</sub>
18 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0111</sub> p<sup>l</sup><sub>0100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>0110</sub>-p<sup>l</sup><sub>0100</sub> p<sup>l</sup><sub>0111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0110</sub>
19 ∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0111</sub> p<sup>l</sup><sub>0100</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>0111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0101</sub> p<sup>l</sup><sub>0101</sub>-p<sup>l</sup><sub>0100</sub>
20 ∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0111</sub> p<sup>l</sup><sub>0101</sub>-p<sup>l</sup><sub>0001</sub> p<sup>l</sup><sub>0111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0101</sub> p<sup>l</sup><sub>0001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub>
21 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup>≥∆c<sup>4</sup> p<sup>l</sup><sub>1110</sub>-p<sup>l</sup><sub>0110</sub> p<sup>l</sup><sub>0110</sub>-p<sup>l</sup><sub>0010</sub> p<sup>l</sup><sub>0010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>1110</sub>
22 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0111</sub> p<sup>l</sup><sub>0110</sub>-p<sup>l</sup><sub>0010</sub> p<sup>l</sup><sub>0010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>0111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0110</sub>
23 ∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0111</sub> p<sup>l</sup><sub>0111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0011</sub> p<sup>l</sup><sub>0010</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub> p<sup>l</sup><sub>0011</sub>-p<sup>l</sup><sub>0010</sub>
24 ∆c<sup>4</sup>≥∆c<sup>3</sup>≥∆c<sup>2</sup>≥∆c<sup>1</sup> p<sup>l</sup><sub>1111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0111</sub> p<sup>l</sup><sub>0111</sub>-p<sup>l</sup><sub>0011</sub> p<sup>l</sup><sub>0011</sub>-p<sup>l</sup><sub>0001</sub> p<sup>l</sup><sub>0001</sub>-p<sup>l</sup><sub>0000</sub>
并且在这种情况下内插具有纯几何意义。我们将四维长方体分解成24个五面体。这些五面体由上表的第二列中的条件定义。在每个四面体内部，用五面体的顶点处的离散映射f的值pijkl，i,j,k,l＝0,1的线性内插来构造映射F。
三墨模型的色域描述
考虑给定三墨彩色设备的分段线性三墨模型F: W3→ R3。从数学角度出发，将三墨模型的色域表示为分段线性映射F的图像F(W3)。
根据分段线性映射F的定义，我们具有三维着色剂立方体W3到N个四面体∆j的联合的单形分解，W3 = j=1,…,N∆j。
每个四面体具有四个二维面。这些面是三角形的且每个三角形属于集合{∆j}的一个或几个四面体。
定义边界面：
固定四面体∆l, l=1,…,N，并且考虑∆l的二维边界三角形δ。如果面δ不属于集合{∆j}的任何其它四面体，即对于k=1,…,l-1,l+1,…,N而言δ∆k，则将其称为着色剂立方体的边界面（图13）。
定义内部面：
如果存在来自集合{∆j}的四面体∆k，使得δ属于∆l和∆k两者，即δ∆l ∆k，则将面δ称为内部的（图13）。
用Θ来表示着色剂立方体W3的所有边界面的集合。
所有边界面的集合Θ独立于三墨模型。所有这些面的联合始终与三维着色剂立方体的边界∂W3重合， δ∈Θδ = ∂W3。这些边界在专利申请EP 0 763 927中也称为物理边界。
假设，被考虑的三墨模型是非退化的，即相应的分段线性映射F是非退化的。根据定义，其意味着到四面体∆j的映射F的所有限制F|∆j : ∆j→ R3是非退化线性映射F|∆j(c) = aj + Bjc。
换言之，相应矩阵Bj的行列式是正的，即det Bj＞0，或者是负的，即det Bj＜0。
定义奇异面：
固定四面体∆l, l=1,…,N，并且考虑二维内部面，三角形δ。如果存在来自集合{∆j}的四面体∆k，使得δ属于∆l和∆k两者，即δ∆l ∆k，则将内部面δ称为奇异的。并且相应矩阵Bl和Bk的行列式具有不同符号，即（det Bl＞0且det Bk＜0）或者（det Bl＜0且detBk＞0）（图14）。
用Σ来表示给定三墨模型的所有奇异面的集合。
与所有边界面的集合Θ相反，所有奇异面的集合Σ本质上取决于三墨模型的选择，即关于相应分段线性映射F的选择。例如，对于某些三墨模型而言，此集合是空的且对于某些而言其不是。集合Σ的这些面在专利申请EP 0 763 927中也称为自然边界。
关于边界和奇异面来描述非退化三墨模型的色域是可能的。可以证明以下定理：
定理1：对于任何非退化三墨模型而言，色域的边界是所有边界和奇异面的图像的 子集，即∂F(W3)F(Θ)F(Σ)。
实际上，这些边界和奇异面并不始终组成很好闭合表面。如果奇异面存在，则某些边界和奇异面交叉且因此能够用获取所有边界和奇异面的外边界来获得色域边界。如果不存在奇异面，则在理论上边界面交叉仍是可能的。因此，在这种情况下，通过获取所有边界面的外边界来获得色域。然而，如果不存在奇异面且边界面不交叉，则由所有边界面来定义色域，其全部一起定义色域边界（将不获取外边界）。
四墨模型的色域描述
考虑四墨彩色设备的分段线性四墨模型F: W4→ R3。
定义适当四墨模型：
如果四维着色剂立方体的边界∂W4的图像与整个立方体W4的图像重合，即F(W4) =F(∂W4)，则将四墨模型称为适当的。
在本部分中，描述了适当的非退化四墨模型的色域，即色彩空间中的相应分段线性映射F的图像F(W4)。
根据分段线性映射的定义，我们具有四维着色剂立方体W4到N（N>0）个单形∆j的联合的单形分解，W4 = j=1,…,N∆j。
每个五面体具有五个三维面。这些面是四面体且每个四面体属于集合{∆j}中的一个或几个五面体。
定义边界面：
固定五面体∆l，l=1,…,N，并考虑∆l的三维边界四面体δ。如果面δ不属于集合{∆j}的任何其它五面体，即，对于k=1,…,l-1,l+1,…,N而言，δ∆k，则将面δ称为着色剂立方体的边界面。
用Θ来表示着色剂立方体W4的所有边界面的集合。
所有边界面的集合Θ并非取决于四墨模型的选择，即取决于相应分段线性映射F的选择。所有这些面的联合始终与四维着色剂立方体的边界∂W4重合， δ∈Θδ = ∂W4。还用四墨模型的八个边界三墨模型来获得这些边界面。
根据分段线性映射F的定义，到五面体∆j的映射F的所有限制F|∆j : ∆j→ R3是线性映射，即F|∆j(c) = aj + Bjc，其中，对于j=1,…,N而言，Bj是3×4矩阵。
让Bj i为通过省略3×4矩阵Bj的第i列且让对于j=1,…,N而言χj = (det Bj 1, -detBj 2, det Bj 3, -det Bj 4)而获得的3×3矩阵。
定义特性矢量场：
考虑对应于分段线性映射F的四墨模型。使得对于j＝1,…,N而言χ|∆j = χj的着色剂立方体W4上的矢量场χ被称为四墨模型的特性矢量场。
根据定义，任何四墨模型的特性矢量场是四维着色剂立方体W4上的四维分段恒定矢量场，如针对分段线性四墨模型所定义的。因此，每个五面体∆j，其中j＝1,…,N，矢量场是恒定的且等于矩阵Bj。可以如下表示矢量χj本身的几何意义：具有由此矢量χj定义的方向的沿着五面体∆j内的线的所有色彩映射到色彩空间中的相同色彩。因此，特性矢量场是沿着着色剂空间中的一维路径的衍生物，其中所有着色剂组合映射到相同色彩。多个五面体的边界处的着色剂组合一般地具有多个衍生物。如果且只有相应的特性矢量场χ是非退化的，即对于所有j=1,…,N而言χj≠0，四墨模型才是非退化的（图15）。
因此，可以如下针对非分段线性四墨模型扩展特性矢量场的概念：假设映射到着色剂空间中的给定色彩的所有着色剂组合沿着着色剂空间中的一维路径展开。沿着此路径的衍生物被定义为特性矢量场。如下获得此衍生物χ：计算用于给定着色剂组合的雅可比矩阵，即3×4矩阵Bj，以及集合χ = (det Bj 1, -det Bj 2, det Bj 3, -det Bj 4)。
在四维着色剂立方体W4的边界∂W4上，存在到此立方体的法向矢量场ν。让δj，j=1,…,N,为属于五面体∆j的四维着色剂立方体W4的边界面。用vj来表示到此面的法向矢量场ν的限制，即νj = ν|δj。
让δk和δl为四维着色剂立方体W4的边界面，使得对于某些五面体∆k和∆l，k,l＝1,…,N而言δk ∆k且δl ∆l。根据定义，这些边界面是四面体。假设其共同地具有二维面，三角形δ，δ = δk δl。
定义奇异面：
如果法向矢量场v和特性矢量场χ的内积(νk,χk)和(νl,χl)具有不同的符号，即（(νk,χk) > 0且(νl,χl) < 0）或者（(νk,χk) < 0且(νl,χl) > 0），则二维面δ是对应于分段线性映射F的非退化四墨模型的奇异面。
用Σ来表示给定四墨模型的所有奇异面的集合。
与所有边界面的集合Θ相反，所有奇异面的集合Σ本质上取决于四墨模型的选择，即相应分段线性映射F的选择。此外，边界面是三维单形，即四面体，而奇异面是二维单形，即三角形。
对于某些三墨模型而言，所有奇异面的集合Σ可以是空的。对于任何四墨模型而言，所有奇异面的集合Σ并不是空的，并且仅就奇异面而言描述适当非退化四墨模型的色域是可能的。以下定理适用：
定理2：对于任何适当非退化四墨模型而言，色域的边界是所有奇异面的图像的子集，即∂F(W4) F(Σ)。
在图16中示出了奇异面的概念，其表示从三墨模型c1c2K到二维色彩空间的映射，在c1c2和K之间具有全局墨交换（定义“全局墨交换”参见小节“规则三墨模型”）。
并且对于四墨模型而言，奇异面可交叉且因此一般地，通过获取所有奇异面的外边界来获得适当非退化四墨模型的色域。
规则三墨模型
考虑三墨彩色设备的分段线性三墨模型F: W3→ R3。
定义规则三墨模型：如果分段线性映射F是注入（injection），则将三墨模型称为是规则的。
引理：让拓扑空间W是紧凑的且映射F，F: W → F(W)是连续注入。然后，存在唯一连续逆向映射g = F-1: F(W) → W。换言之，然后映射F是同胚。
由于三维立方体W3是紧凑拓扑空间，所以被考虑的引理给出对规则三墨模型建模的逆向问题的解的构造的令人满意的方法。
根据分段线性映射的定义，我们具有三维着色剂立方体W3到N个四面体 ∆j的集合的单形分解，W3 = j=1,…,N∆j，使得到四面体 ∆j的映射F的所有限制F|∆j : ∆j→ R3是线性映射，即F|∆j (c) = aj + Bjc，其中，Bj是3×3矩阵，c和aj对于j＝1,…,N而言是三维矢量。
定义严格非退化三墨模型：
如果矩阵Bj的所有行列式具有相同的符号，即对于所有索引j＝1,…,N而言det Bj＞0或者对于所有索引j＝1,…,N而言det Bj＜0，则将三墨模型称为是严格非退化的。
任何严格非退化三墨模型是非退化的。逆向声明是错误的。根据奇异面的定义，如果且只有所有其奇异面的集合Σ为空，Σ = Ø，三墨模型才是严格非退化的。
存在三墨模型为规则的有效准则。
定理3：让F: W3→ R3为三墨模型的分段线性模型。如果且只有其为严格非退化的且到三维着色剂立方体W3的边界的映射F的限制F|∂W3 : ∂W3→ R3是注入，此三墨模型才是规则的。
因此，规则三墨模型的色域由边界面定义。这些面组成具有等于2的欧拉数的闭合取向表面（将不获取外边界）。
规则四墨模型
考虑四墨彩色设备的分段线性四墨模型F: W4→ R3。
定义规则四墨模型：
如果以下三个性质适用于分段线性映射F，则将四墨模型称为是规则的：
- 色域F(W4)与闭合三维圆盘D3同胚。
- 针对色域F(W4)的任何内部点p，p ∈ int F(W4)，原像F-1(p)与段[0,100]同胚，并且此原像与着色剂立方体W4的边界∂W4的交集F-1(p) ∂W4确切地由到原像F-1(p)的两个边界点组成。
- 对于色域F(W4),的任何边界点p，p ∈ ∂F(W4)，原像F-1(p)确切地由一个点组成。
如果四墨模型是规则的，则其是非退化的且适当的。当然，逆向声明是错误的。
让χ为被考虑的四墨模型的特性矢量场。根据定义，其为分段恒定矢量场，使得χ|∆j = χj，其中，对于j=1,…,N而言，χj = (det Bj 1, -det Bj 2, det Bj 3, -det Bj 4)。
定义严格非退化四墨模型：
如果四墨模型是非退化的且在四维着色剂立方体W4的任何点c处，特性矢量场χ的四个坐标中的每个具有相同符号，则将四墨模型称为严格非退化的。换言之，对于所有j＝2,…,N而言，第j单形处的特性矢量场χ的第i坐标χj i = (-1)i+1det Bj i具有与对于i＝1,2,3,4而言的第一单形处的特性矢量场χ的第i坐标χ1 i = (-1)i+1det B1 i相同的符号。
对于严格非退化四墨模型而言，示出奇异面的集合Σ仅由着色剂立方体W4的二维面组成是可能的。这些二维面是通过着色剂立方体的两个物理墨限制的交集获得的，例如
Ci = 最小值且 Cj = 最小值 => 6 双墨平面
Ci = 最小值且 Cj = 最大值 => 12 双墨平面
Ci = 最大值且 Cj = 最大值 => 6 双墨平面
其中i ≠ j 且 i,j=1,2,3,4.
存在着色剂立方体的三维面的24个二维面。因此，严格非退化四墨模型的所有奇异面的集合与二维球体S2同胚。
矢量场的符号特性也称为全局墨交换。对于常规CMYK四墨模型而言，对于CMY而言符号特性是+且对于K而言是-（或者反之亦然），因此我们说CMY交换K。实际上，这意味着对于色域内色彩而言，如果所有CMY值增加（分别地减小）且K减小（分别地增加），则保持色彩。对于四墨模型而言，存在用于全局墨交换的7个不同可能性，即
在下表中表示了定义用于不同交换类型的色域的2墨边界面cicj：
c<sup>i</sup>, c<sup>j </sup>= 0 c<sup>i</sup> = 0, c<sup>j</sup> = 1 c<sup>i</sup> = 1, c<sup>j</sup> = 0 c<sup>i</sup>, c<sup>j </sup>= 1
c<sup>1</sup>,c<sup>2</sup> A B F G C D E C D E A B F G
c<sup>1</sup>,c<sup>3</sup> A C E G B D F B D F A C E G
c<sup>1</sup>,c<sup>4</sup> B C E F A D G A D G B C E F
c<sup>2</sup>,c<sup>3</sup> A D E F B C G B C G A D E F
c<sup>2</sup>,c<sup>4</sup> B D E G A C F A C F B D E G
c<sup>3</sup>,c<sup>4</sup> C D F G A B E A B E C D G F
解释此表如下：c1＝c2＝0对于情况A、B、F和G而言是边界面。并且，c1＝0、c2＝1对于情况C、D和E而言是边界面。此处，应指出的是24个二维边界面中的12个定义色域，即具有欧拉数2的闭合取向表面。
存在用于使四墨模型为规则的充分条件。
定理4：如果四墨模型是严格非退化的且到所有其奇异面的集合Σ的分段线性映射F的限制F |Σ是注入，则此四墨模型是规则的。
在图17中，针对到二维色彩空间的规则三墨模型c1c2K示出了多个特性，在c1c2和K之间具有全局墨交换。可以将三维着色剂空间到二维色彩空间的映射视为变形着色剂立方体到二维色彩空间上的投影变换。对于规则四墨模型而言，在本示例中为线段的奇异面将着色剂立方体的边界划分成两个部分。可以如下举例说明此划分的意义：对于每个色域内色彩而言，存在在着色剂立方体的边界处开始和结束的着色剂空间中的路径。对于每个路径而言，起始点始终位于一个部分中，而端点始终在另一部分中找到。只能用着色剂值的一个集合来获得色域边界处的色彩。在这里，还显而易见的是色域边界是用两个物理墨限制的交集获得的，对于来自三维至二维色彩空间的规则模型而言，色域边界由两个墨限制的6个交集定义。
三墨模型的规则化
考虑三墨彩色设备的分段线性三墨模型F: W3→ R3。根据分段线性映射的定义，我们具有三维着色剂立方体W3到N（N＞0）个四面体∆j的集合的单形分解，W3 = j=1,…,N∆j，使得到四面体∆j的映射F的所有限制F|∆j : ∆j→ R3是线性映射，即F|∆j (c) = aj +Bjc，其中，Bj是3×3矩阵，并且aj对于j＝1,…,N而言是三维矢量。基于定理3，如果矩阵Bj的所有行列式具有相同符号，则此三墨模型是规则的。换言之，对于所有索引j＝1,…,N而言det Bj＞0，或者（除外的）对于所有索引j＝1,…,N而言det Bj＜0。可以如下实施迫使三墨模型为严格非退化的算法：
在第一步骤处，对正行列式的数目npos和负行列式的数目nneg进行计数。假设npos>nneg
在第二步骤处，定义正阈值ε，ε >0，通常是小的实数，并构造误差函数R，R = R(p1,…,pM) = Σj=1,…,N Rj(p1,…,pM)，其中，如果det Bj≥ ε则Rj = Rj(p1,…,pM) = 0且如果对于j=1,…,N而言det Bj < ε则Rj = Rj(p1,…,pM) = (ε-det Bj)2。在这里，p1,…,pM是色彩空间中的三维点，形成三墨模型的测量数据。根据分段线性映射F的构造，所有行列式det Bj是针对j＝1,…,N的关于测量数据p1,…,pM的三阶多项式。因此，用于j = 1,…,N的全部函数Rj和误差函数R＝R（p1,…,pM）相对于测量数据p1,…,pM而言是平滑的。
如果npos<nneg，则在第二步骤处，定义正阈值ε，ε >0，通常是小的实数，并构造误差函数R，R = R(p1,…,pM) = Σj=1,…,N Rj(p1,…,pM)，其中，如果det Bj≤-ε，则Rj = Rj(p1,…,pM) = 0，并且如果对于 j=1,…,N而言如果det Bj > -ε，则Rj = Rj(p1,…,pM) =(ε+det Bj)2。
在第三步骤处，通过利用最小优化算法和优选地梯度方法，相对于测量数据p1,…,pM,使误差函数R最小化，R(p1,…,pM) → min，（参见W. H. Kress等人在CambridgeUniversity Press, 1992的The art of scientific computing, second edition中的Numerical recipes in C），其被整体地通过引用结合到本文中。优化技术中的梯度方法是要解决该形式的问题的算法，其中搜索方向由当前点处的函数梯度定义。梯度方法的示例是梯度下降和共轭梯度。最小化算法可以是用以将函数的固定参数的矢量最小化的函数，并且函数的可变参数的矢量是输入。该算法找到对于其而言函数被最小化的可变参数的值。
所得到的最小值的自变量（p1 0,…,pM 0）是规则化三墨模型的测量数据。
根据构造，误差函数R并不是凸面的，其最小值是零且解并不是唯一的。用最小化过程获得的所得到的解（p1 0,…,pM 0）具有误差函数的零值R(p1 0,…,pM 0) = 0，这意味着其满足规则条件。因此，根据构造（p1 0,…,pM 0）是规则化三墨模型的测量数据。按照梯度方法的性质，此数据将尽可能接近于原始测量数据（p1,…,pM）。然而，在某些情况下，最小化过程并未在给定量的处理时间内导致用于误差函数的零值。然而，误差函数被显著地减小且最小化过程以用于误差函数的小的非零值结束。测量数据的空间维度是3M。
也可以使用用以使误差函数最小化的其它技术，但是梯度方法一般地在最小次数的迭代中向零或最小值收敛。
因此我们已获得3M维非凸面最小化问题。用梯度方法的此问题的解给出用于规则化三墨模型的测量数据（p1 0,…,pM 0）。根据梯度方法的性质，此数据将最有可能尽可能接近于初始测量数据（p1,…,pM）。
在此优化程序中，可以保持多个色值，即其在优化程序期间不改变。通常，这是针对介质（例如打印纸）的色彩以及主要墨完成的。
四墨模型的规则化
考虑四墨彩色设备的分段线性四墨模型F: W4→ R3。将被考虑的四墨模型的特性矢量场χ定义为χ|∆j = χj，其中，对于j=1,…,N而言，χj = (det Bj 1, -det Bj 2，det Bj 3, -det Bj 4)。
在第一步骤处，对特性矢量场χ的正第i坐标的数目ni pos和负第i坐标的数目ni neg进行计数，i＝1,2,3,4。
假设对于i=1,2,3而言ni pos>ni neg且n4 pos<n4 neg。此符号签名表示为（+、+、+、-）。
在第二步骤处，定义正阈值ε，ε>0，通常是小的实数，并且构造误差函数R，R = R(p1,…,pM) = Σi=1,2,3,4, j=1,…,N Rj i(p1,…,pM)。在这里，如果(-1)i+1det Bj i≥ ε，则Rj i =Rj i(p1,…,pM) = 0 且如果对于i=1,2,3而言(-1)i+1det Bj i < ε，则Rj i = Rj i(p1,…,pM) =[ε-(-1)i+1det Bj i]2。对于i=4而言，如果det Bj 4≥ ε，则 Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = 0，并且如果对于j=1,…,N而言det Bj 4 < ε，则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = (ε-det Bj 4)2。在两种情况下，p1,…,pM是色彩空间中的三维点，形成四墨模型的测量数据。根据分段线性映射F的构造，所有行列式det Bj i对于j＝1,…,N和i＝1,2,3,4而言是相对于测量数据p1,…,pM的三阶多项式。因此，所有函数Rj i对于j＝1,…,N、i＝1,2,3,4而言是平滑的，并且因此误差函数R = R(p1,…,pM)相对于测量数据p1,…,pM而言也是平滑的。
对于另一种情况而言，假设对于i=1,2,3而言ni pos<ni neg且n4 pos>n4 neg。现在将此符号签名表示为（-、-、-、+）。
现在，在第二步骤处，定义正阈值ε，ε>0，通常是小的实数，并且构造误差函数R，R= R(p1,…,pM) = Σi=1,2,3,4, j=1,…,N Rj i(p1,…,pM)。在这里，如果(-1)i+1det Bj i≤-ε，则Rj i= Rj i(p1,…,pM) = 0，并且如果对于i=1,2,3而言(-1)i+1det Bj i>-ε，则Rj i = Rj i(p1,…,pM)= [ε+(-1)i+1det Bj i]2。对于i=4而言，如果-det Bj 4≥ε，则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = 0，并且如果对于 j=1,…,N而言，-det Bj 4<ε则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = (ε+det Bj 4)2。
对于CMYK四墨模型而言，特性矢量场χ对于i=1,2,3而言具有特性ni pos>ni neg且n4 pos<n4 neg。然而，对于其它墨组合而言，例如具有O橙色、M品红色、Y黄色和K黑色的OMYK，对于i＝2,3而言ni pos>ni neg且对于i＝1,4而言ni pos<ni neg。对于特性矢量场的不同符号特性而言，可以由具有由其任意处理的本文献中的公开的本领域技术人员容易地修改先前的第二步骤。
在第三步骤处，通过利用最小优化算法和优选地梯度方法而相对于测量数据p1,…,pM使误差函数R最小化，R(p1,…,pM) → min。优化技术中的梯度方法是要解决该形式的问题的算法，其中搜索方向由当前点处的函数梯度定义。梯度方法的示例是梯度下降和共轭梯度。最小化算法可以是用以将函数的固定参数的矢量最小化的函数，并且函数的可变参数的矢量是输入。该算法找到对于其而言函数被最小化的可变参数的值。
所得到的最小值的自变量(p1 0,…,pM 0)是用于规则化四墨模型的测量数据，类似于上文所讨论的三墨模型的规则化。
根据构造，误差函数R并不是凸面的，其最小值是零且解并不是唯一的。测量数据的空间维度是3M。
因此我们已获得3M维非凸面最小化问题。用梯度方法的此问题的解给出用于规则化四墨模型的测量数据（p1 0,…,pM 0）。根据梯度方法的性质，此数据将最有可能尽可能接近于初始测量数据（p1,…,pM）。
在此优化程序中，可以保持多个色值，即其在优化程序期间不改变。通常，这是针对介质（例如打印纸）的色彩以及主要墨完成的。
另外，内置额外条件是有利的，诸如：
- 每个色彩贴片的最大△E，使得最大△E在最小化搜索期间受到限制。
- 对全局墨交换的限制。对于CMYK四墨模型而言，CMY与K之间的交换被约束在预定义限制内。如果K以1%而改变，则用于CMY的改变被限制在用于CMY值的Imin和Imax百分比之间。这样，如果GCR被平滑地修改，则分离不会剧烈地改变。
- 相邻单形的特性矢量之间的角度是受限的，以获得映射到色彩空间中的相同色彩的着色剂空间中的平滑路径。
然而，对于某些四墨模型而言，并不总是存在用于整个着色剂色域的全局墨交换。在那些情况下，可以将着色剂色域划分成每个具有其自己的全局墨交换的几个部分。在这种情况下，误差函数是单独部分的误差函数的和，每个反映其特定全局墨交换。在优化过程期间，此误差函数被最小化。
在先前段落中，即用于三或四墨模型的规则化，假设分段线性n墨模型的顶点由n墨模型所基于的测量数据给出。然而，实际上，定义分段线性n墨模型的网状物是着色剂空间中的规则网格是有利的。在大多数情况下，定义分段线性模型的网状物并不总是测量数据的子集，并且因此必须通常基于相邻着色剂组合来计算错过的顶点。使用内插和外插技术两者来得到用于错过顶点的色值。在规则化期间，可以通过考虑所使用的内插或外插模型来将这些内插或外插色彩考虑在内（因此，这些色彩在规则化期间未被独立地修改，因为用于这些色彩的内插被明确地构建成误差函数），或者可以将这些顶点视为独立变量。
色域计算和墨限制
对于三墨模型而言，被认为是着色剂域的线性限制的墨限制重新定义着色剂立方体的边界。内和外边界面的概念能够容易地应用于具有墨限制的着色剂立方体。具体地，对于规则三墨模型而言，由边界面来定义色域边界。
并且对于四墨模型而言，能够针对多个附加墨限制而容易地扩展边界和奇异面的概念。
用于四墨模型的规则化和墨限制
如果四墨模型是规则化的，如果必须将墨限制考虑在内的话，则四墨模型不一定是规则的。
如果对于给定着色剂域而言四墨模型是规则的，则其对于用于单个墨的墨限制而言也是规则的。例如，针对对于所有墨值而言从0变动至100%的域而言CMYK四墨模型是规则的，则如果K值局限于95%的话，那么四墨模型也是规则的。
然而，针对对于所有墨值而言从0变动至100%的域而言规则的四墨模型不一定对于任何墨限制而言是规则的。
TAC（总面积覆盖）是限制如下定义的墨值的正常域的线性墨限制：
c1+c2+c3+c4 <= TAC
其中（c1,c2,c3,c4）是四墨模型的着色剂值，并且其中TAC是墨的最大量，在0与400%之间的值。
为了使得四墨模型对于任何TAC而言是规则的，向最小化问题添加以下附加准则：
如先前所讨论的，映射到相同色彩的所有着色剂组合组成在着色剂边界处开始和结束的着色剂空间中的连接路径。
为了创建对于任何TAC而言也规则的规则四墨模型，强加的是映射到给定色彩的着色剂组合的路径并不在由墨限制定义的超平面中开始或者（除外的或者）在其中结束。
要选择哪个准则可以基于检查手头的四墨模型，即对于给定墨限制而言，路径是否通常在由墨限制定义的超平面中开始或结束。
如下表示此条件：
χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j < -ε 或 χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j > ε
如果选择了第一条件，则每个单形j用以下项Rgil j来添加误差函数R：
χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j<-ε => Rtac j = 0
χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j≥-ε => Rtac j = (χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j+ε)2
如果选择了第二条件，则每个单形j用以下项Rtac j来添加误差函数R：
χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j≥ε => Rtac j = 0
χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j<ε => Rtac j = (χ1 j+χ2 j+χ3 j+χ4 j-ε)2
其中ε是小的严格正值。
对于一般墨限制a1c1+a2c2+a3c3+a4c4<a0而言，如下基于所述条件使得四墨模型为规则的。
a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j < -ε 或
a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j > ε
其中a0、a1、a2、a3、a4是实际值。
如果选择了第一条件，则每个单形j用以下项Rgil j来添加误差函数R：
a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j < -ε => Rgil j = 0
a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j ≥ -ε => Rgil j = (a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j+ε)2
如果选择了第二条件，则每个单形j用以下项Rgil j来添加误差函数R：
a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j ≥ ε => Rgil j = 0
a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j < ε => Rgil j = (a1χ1 j+a2χ2 j+a3χ3 j+a4χ4 j-ε)2
其中ε是小的严格正值。
如果定义多个一般墨限制，则如上文所解释的，按照每个墨限制向误差函数R添加附加项。
着色剂限制
对于多个测量文件而言，规则化过程导致相当大的色彩变化。某些彩色设备的评估指示该彩色设备实际上并未规则地表现，使得规则化不是要采取的适当动作。由于奇异n模型常常导致用于某些色彩变化的非连续分离，所以优选的是减小着色剂域，使得n墨模型对于其余着色剂域而言是规则的。
首先，检查是否可以使n墨模型规则化。这通过检查所需色彩变化以使得n墨模型规则来完成。如果这些变化对于给定应用而言不可接受地高，则可以推断不能使n墨模型规则化。在这种情况下，可以识别导致奇异打印行为的单形并从n墨模型的着色剂域消除。这优选地以这样的方式来完成，即减小的域被连接且根据偏好也是凸面的。
在另一方法中，消除例如由单形j的误差函数Rj定义的最奇异单形，优选地导致相连且根据偏好也为凸面的着色剂域，然而，常常仍存在略微奇异的某些单形，并且因此针对减小的着色剂域来使n墨模型规则化。
另一方法可能是消除某些顶点并基于其余顶点而重构分段线性n墨模型，并且应用前述规则化方法中的一个。顶点的此消除相当于模型网格的局部粗糙化。
在闭环表征期间获得规则化的另一优点，如在专利申请EP 1596576中所述。在这种方法中，向现有分段线性n墨模型添加附加单形，使得在着色剂立方体的某些区域中n墨模型更加准确。这可以视为模型网格的局部细化。要检查以添加新顶点的附加准则优选地基于如在此专利申请中所讨论的规则化准则。如果由于添加一个或多个顶点，n墨模型在这些顶点的近邻中变成奇异的，则优选地不添加这些顶点。另一方法可以是在添加多个顶点之后使新的n墨模型规则化。只有能够在不过多地改变色彩的情况下获得规则化n墨模型，才将添加顶点。
n墨模型的规则化
在多种情况下，知道n墨模型是规则的还是奇异的是有利的，也称为n墨模型和相应彩色设备的规则性。参考上文所讨论的规则化技术，要采取的第一规则性准则是用于ε的非常小的值（即将为零）的误差函数。
用以检查n墨模型的规则性的另一方法是基于规则n墨模型和色域特性的定义。在这里，针对三或四墨模型获得不同的规则性准则。
对于三墨模型而言，可以使用以下准则来检查规则性：
- 符号准则
- 用行列式Bj＜0来定义单形的数目pmin
- 用行列式Bj＝0来定义单形的数目pzer
- 用行列式Bj＞0来定义单形的数目ppos
三墨模型是规则的，如果：
- （pmin=0或ppos=0）且（pzer=0）且 （着色剂立方体的边界面并未在色彩空间中交叉）。
按照定义，如果三墨模型并不是规则的，则其为奇异的，即如果满足以下条件中的一个，则三墨模型是奇异的：
- Pneg≠0且ppos≠0
- Pzer≠0
- 着色剂立方体的边界面在色彩空间中交叉。
- 色域准则
如果满足以下条件中的一个，则三墨模型是奇异的
- 存在至少一个奇异面
- 着色剂立方体的边界面在色彩空间中交叉
- 倒置准则
如果满足以下条件中的一个，则三墨模型是奇异的：
- 存在可以用多个着色剂组合获得的至少一个色彩
- 存在能够用着色剂域内部的着色剂组合达到的色域边界处的色彩。
对于四墨模型而言，可以使用以下准则来检查规则性：
- 符号准则
四墨模型是规则的，如果：
- 对于所有单形j而言，特性矢量场χj具有相同符号签名且所有分量是非零的。
按照定义，如果四墨模型并不是规则的，则其为奇异的，即如果满足以下条件中的一个，则四墨模型是奇异的：
- 存在至少两个单形j和k，其中特性矢量场χj和χk具有不同的符号签名
- 存在至少一个单形j，其中特性矢量场χj的至少一个分量是零。
- 色域准则
如果满足以下条件中的一个，则四墨模型是奇异的
- 存在至少一个奇异面
- 着色剂立方体的边界面在色彩空间中交叉
- 倒置准则
如果满足以下条件中的一个，则四墨模型是奇异的
- 存在能够用着色剂域中的多个未连接路径获得的至少一个色彩
- 存在能够用多个着色剂组合达到的色域边界处的色彩
- 存在能够用着色剂域内部的着色剂组合达到的色域边界处的色彩。
这些规则性准则是基于n墨模型的符号准则、色域特性或倒置性质。然而，存在基于关于规则n墨模型的先前讨论来检查n墨模型的规则化的许多更多方式。
实际上，对于规则性准则而言，并不是在规则三墨模型、和四墨模型的先前给定定义中提供的所有准则都必须考虑。由于某些条件是极少发生的，所以将其不考虑是节省的。通常，对于常规3墨模型而言，例如具有CMY或RGB着色剂的彩色设备而言，仅评估行列式Bj的符号，并且规则化仅基于此准则，因为边界面在色彩空间中交叉是极其少见的。由于相同原因，四墨模型的规则化仅基于关于常规CMYK四墨模型的符号准则，如果模型是严格非退化的，奇异面很少交叉（到色彩空间中的F|Σ注入）。因此，规则性准则一般地不必完全基于规则过程的先前给定定义。
并且，用于创建严格非退化四墨模型的先前所讨论规则化方法过于严格。对于其而言用在色彩空间中并未交叉的奇异面来构造的色域且对于其而言能够用其达到此色彩的所有着色剂组合的每个域内色彩组成着色剂空间中的在着色剂边界处开始和结束的连接路径的四墨模型是用以检查模型是否规则的其它准则。并且，规则化可以基于这些准则。实际上，规则化是基于用统一墨交换将区域中的着色剂域分裂且每个区域应用先前所讨论的规则化方法。并且，必须检查映射到相同色彩的着色剂路径的连接性。这可以容易地完成，因为每个五面体路径是恒定的，并且因此要求有限数目的测试。对于两个相邻区域而言，在两个区域的公共边界处结束的第一区域中的每个路径在第二区域中继续。
实际上，可以基于对于其而言规则化之后的误差函数被显著地减小但不一定为零的n墨模型来构造表现良好分离表。因此，即使未达到所需值，应用规则化也是可接受的。
在规则化过程期间保证至少n墨模型是非退化的也是有利的。这意味着：
- 对于三墨过程而言，Bj的秩是三
- 对于四墨过程而言，特性矢量场从不与定义着色剂边界的超平面中的一个平行。在数学上，可以将其表示为特性矢量场与墨限制的法线之间的标量积为零的要求。特别是对于每个墨的限制而言，其意味着特性矢量场的分量始终是非零的。
这样，可以针对任何单形始终将三墨模型倒置。对于四墨模型而言，始终存在用于三墨边界过程的倒置，并且每个五面体存在一维路径，所有着色剂沿着该一维路径映射到相同色彩（特性矢量场是非零的）。可以以与n墨模型的规则化类似的方式来定义施加这些条件中的一个的误差函数。优选地用梯度优化技术，用前述局部倒置特性来获得n墨模型。但是也可以使用其它最小化优化技术。优化技术中的梯度方法是要解决该形式的问题的算法，其中搜索方向由当前点处的函数梯度定义。梯度方法的示例是梯度下降和共轭梯度。最小化算法可以是用以将函数的固定参数的矢量最小化的函数，并且函数的可变参数的矢量是输入。该算法找到对于其而言函数被最小化的可变参数的值。
因此，可以构造几个规则性检查以检查n墨模型的规则性，并且可以设计使得模型规则的相应规则化过程。
在本文献中，用于给定n墨模型的也称为色彩轮廓特性的打印机特性是指示n墨模型的规则性的特性。也称为色彩轮廓特性的打印机特性包括一组的一个或多个度量和用于这些度量的相应的一组一个或多个值和/或范围（即每个度量对应于值或范围）。上文所讨论的规则性准则是打印机特性的典型示例，也称为色彩轮廓特性。例如，用于CMY三墨模型的也称为色彩轮廓特性的打印机特性是用于所有单形的雅可比矩阵的行列式的符号集合；如果这些符号全部是负的，则三墨模型是规则的。对于CMYK四墨模型而言，也称为色彩轮廓特性的典型打印机特性由四墨模型的特性矢量场的符号签名，例如，（+、+、+、-）给定。如上文所讨论的，然后评估针对n墨模型所选择的也称为色彩轮廓特性的打印机特性，例如用于诸如三墨模型的分段线性三模模型。如果从评估得出三墨模型是规则的（例如，对于分段线性模型而言，用于所有单形的雅可比矩阵的行列式的所有符号都是负的），则可以同样地使用三墨模型。如果从评估得出n墨模型不是规则的，则修改n墨模型；例如，遵循如上文根据“三墨模型的规则化”所解释的程序，并且基于通过对最小化问题求解而获得的数据（p1 0,…,pM 0）来实现已修改n墨模型。
针对经由GDI驱动器寻址的三墨模型给出规则性检查的实际示例。在这种情况下，通常向彩色设备发送RGB数据，但是使用内部查找表来将例如RGB着色剂值转换成CMYK着色剂值。为了检查此色彩表的色彩性质，打印并测量RGB目标。基于此数据，实现分段线性三墨模型，并且应用用于三墨模型的规则性检查中的一个。如果此模型是奇异的，则存在不能以连续方式再现的某些色彩等级，并且因此存在以某个△E再现的某些RGB色彩。如果三模模型是奇异的，则其也意味着此彩色设备不能被适当地进行色彩管理。例如，此彩色设备可以不用于色彩准确应用，诸如图形艺术中的合同打样。
质量前向色彩表、测量文件和n墨模型
基于以多个单形将给定域分裂，可以计算奇异单形的数目（具有不同于零的误差函数Rj的单形j）和误差函数R（参见例如上文所讨论的三墨模型的规则化）。
对于前向色彩表而言，例如如在色彩轮廓中定义的（如由IS0 15076定义的），定义规则网状物，因此，可以如先前所讨论的那样以单形来容易地将着色剂域分裂。以类似方式，这可以针对测量文件完成，即使没有规则网状物是可用的。并且最后对于n墨模型而言，可以取回多个着色剂和色彩组合，导致“测量数据”的网状物。再次地对于此网状物而言，将着色剂域分裂成多个单形，可以在其上面构造分段线性n墨模型。在图18中，基于黑点所指示的一组着色剂组合以多个单形来将二维着色剂空间分裂。
分段线性n墨模型的误差函数R的值是用于此色彩表的质量的度量，因为R是与规则性的距离的度量。R的值越大，表格的质量越差。
对于具有n＞4的n墨模型的规则化。
由于用于n墨模型的分离是基于多个四墨模型的分离，误差函数将是单独四墨模型的误差函数的和。对于CMYKOG六墨模型（其中C青色、M品红色、Y黄色、K黑色、O橙色、G绿色）而言，使用四墨子模型CMYK、OMYK和CGYK。每个子模型具有定义其误差函数的典型全局墨交换。n墨模型的误差函数是四墨子模型的误差函数的和。
并且，在非常一般的情况下，可以将不同的四墨子模型划分成不同的部分，其中每个具有特定全局墨交换。要最小化的误差函数再次地是四墨子过程的误差函数的和。
宽色域CMYK四墨模型
对于某些应用而言，在某些PDF工作流中需要宽色域CMYK四墨模型以对多个源对象的色彩进行编码。这些对象可以在不同的色彩空间中定义，诸如Adobe RGB、CMYK、CIELAB，并且根据偏好，在色域方面是足够大的以涵盖包括具有诸如橙色、绿色和蓝色之类的附加墨的喷墨式设备的大多数彩色设备的色域。可以如下完成对此类宽色域CMYK设备进行编码的最简单方式：
- 将（0,0,0,0）映射到CIELAB（100, 0, 0）
- 将（100,100,100,100）映射到CIELAB（0, 0, 0）
- 根据例如Adobe RGB的宽色域RGB色彩空间来选择用于主要红色、黄色、绿色、青色、蓝色和品红色的CIELAB值。
红色：将（0,100,100,0）映射到Adobe RGB（255,0,0）
黄色：将（0,0,100,0）映射到Adobe RGB（255,255,0）
绿色：将（100,0,100,0）映射到Adobe RGB（0,255,0）
青色：将（100,0,0,0）映射到Adobe RGB（0,255,255）
蓝色：将（100,100,0,0）映射到Adobe RGB（0,0,255）
品红色：将（0,100,0,0）映射到Adobe RGB（255,0,255）
- 如下以100%K来映射原色和辅助色。
- 颜色（c1,c2,c3,100）与颜色（c1,c2,c3,0）相同
- 亮度（c1,c2,c3,100）小于亮度（c1,c2,c3,0）
- 色度（c1,c2,c3,100）小于色度（c1,c2,c3,0）
其中c1,c2,c3是除（0,0,0）和（100,100,100）之外的0和100的所有可能组合，并且使得能够涵盖大多数先前所讨论的色域
这14个色彩定义具有全局墨交换CMY至K的CMYK四墨模型的色域。其余两个着色剂组合（0,0,0,100）和（100,100,100,0）必须是色域内的。如下映射这些色彩：
- （0,0,0,100）是中性色
- （100,100,100,0）是中性色
用于两个色彩的亮度值并不那么重要。
为了获得规则CMYK四墨模型，使四墨模型规则化。这样，基于16个Neugebauer原色来构造人造宽色域CMYK空间，具有明确定义的色域和倒置性质，使得针对色彩空间中的任何色彩等级而获得平滑和连续分离。
图19图示出根据公开实施例的使用被耦合到被示为示例性打印机1970的输出设备的一个或多个计算设备1910a 1910b的系统1900的示例性框图。请注意，一般地，可在能够执行色彩转换操作的任何图形处理设备上执行公开方法，包括计算设备1910、图19中的系统1900中所示的示例性打印机1970、和/或执行色彩空间转换、色彩管理和/或色彩转化的其它设备。在某些实施例中，设备可在第一着色剂空间中接收输入并在第二着色剂空间中产生输出，其在某些情况下可不同于第一着色剂空间。在本文献中所述的方法和装置也可以以适当的修改且以与将对于本领域的普通技术人员而言显而易见的本文公开实施例一致的方式应用于以上设备类型。然而，为了简单和便于解释，参考示例性打印机1970来描述该方法。
一般地，打印机1970可以是任何打印系统。打印机1970可具有如安装在传真机和数字式复印机中的图像发射/接收功能、图像扫描功能和/或复印功能。还可以以适当的修改并以与本文公开实施例一致的方式将在本文献中所述的方法和装置应用于这些不同打印机设备类型。
打印机1970可包含一个或多个输入—输出端口1975，并且打印机1970可以能够使用I/O端口1975和连接1920与计算设备1910上的资源通信并访问其。打印机1970可从一个或多个计算设备1910a、1910b接收输入打印数据，包括着色剂或色值及其它数据。例如，计算设备1910a、1910b可以是包括用以显示输入色彩或着色剂值的监视器的通用计算机。
可使用常规通信协议和/或数据端口接口经由有线或无线连接1920将计算设备1910a、1910b中的一个或多个耦合到打印机1970。一般地，连接1920可以是允许设备之间的数据传输的任何通信信道。在一个实施例中，例如，可以为设备提供常规数据端口，诸如并行端口、串行端口、以太网、USB™、SCSI、FIREWIRE™、和/或用于通过适当连接的数据传输的同轴电缆端口。数据端口可以是有线或无线端口。
打印机1970可以还包括总线1974，其耦合CPU 1976、固件1971、存储器1972、打印引擎1977以及辅助存储设备1973。打印机1970还可以包括其它专用集成电路（ASIC）和/或现场可编程门阵列（FPGA）1978，其能够执行来自一个或多个计算设备的例程的部分和色彩管理例程。
打印机1970还可以能够执行包括打印机操作系统及其它适当应用软件的软件，包括将执行色彩管理功能和图像数据处理器的软件。
CPU 1976可以是通用处理器、专用处理器或嵌入式处理器。CPU 1976能够与存储器1972和/或固件1971交换包括控制信息和指令的数据。存储器1972可以是任何类型的动态随机存取存储器（“DRAM”），诸如但不限于SDRAM或RDRAM。固件1971可保持指令和数据，包括但不限于启动序列、预定义例程、将执行色彩管理的例程，包括色彩空间转换、辉度计算和来自计算设备1910a、1910b中的一个或多个的例程的一部分。可在被CPU 1976采取动作之前将固件1971中的代码和数据拷贝到存储器1972。在某些实施例中，固件1971中的数据和指令可以是可升级的。
固件1971还可包括将执行色彩或着色剂空间转换相关计算、轮廓创建、轮廓规则化的例程和来自计算设备1910a、1910b中的一个或多个的例程的一部分，并将值和轮廓存储在存储器1972中。该例程可包括能够被CPU 1976和/或计算设备1910执行以执行与确定、轮廓或n墨模型创建及色域内和色域外色彩处理有关的计算的部分的代码。固件1971中的例程还可包括将处理从计算设备1910接收到的输入色彩和相关色彩空间或输入着色剂和相关着色剂空间信息以及色域映射函数的代码。
还应设想的是可将用以执行一个或多个色彩管理相关计算的例程的部分存储在可移动计算机可读介质上，诸如硬盘驱动器、计算机磁盘、CD-ROM、DVD ROM、CD.+-.RW或DVD.+-.RW、USB闪速驱动器、记忆棒或任何其它适当介质，并且可在打印机1970的任何适当子系统上运行。例如，可将执行与轮廓和n墨模型计算、色域映射和处理有关的计算的应用程序的部分存在于可移动计算机可读介质上，并且被CPU 1976使用已被拷贝到存储器1972的固件1971中的例程读取并采取动作。
CPU 1976可按照指令和数据行动并向ASIC/FPGA 1978和打印引擎1977提供控制和数据以生成打印文献。在某些实施例中，ASIC/FPGA 1978还可向打印引擎1977提供控制和数据。FPGA/ASIC 1978还可实施转化、压缩以及色彩转换算法中的一个或多个和例程的一部分以创建色彩轮廓。
示例性辅助储存1973可以是内部或外部硬盘、Memory Stick™、计算机可读介质或能够在打印机1970中使用和/或被耦合到打印机1970的任何其它存储器存储设备。将存储计算值、查找表和/或色彩轮廓的存储器可以是专用存储器或形成通用存储器的一部分。可动态地分配存储器以根据需要保持查找表和/或轮廓。可在处理之后动态地释放被分配为存储查找表的存储器。
计算机设备中的一个或多个可包括图像数据处理系统，优选地光栅图像处理器，并且其可包括轮廓制作器。
可在计算设备的一个或多个中包括用于通过使用I/O端口1975在/从计算机可读介质、存储器或辅助存储上来存储和/或读取色彩轮廓、前向查找表、逆向查找表和/或测量文件的例程。还可在计算设备的一个或多个中包括选择查找表中的一个，诸如色彩轮廓的前向查找表、逆向查找表或测量文件，并通过使用I/O端口1975在计算机可读介质、存储器或辅助存储上存储。存储轮廓、前向查找表、逆向查找表和/或测量文件的文件管理由轮廓文件管理器完成，其包括优选的轮廓数据库，其中还管理并存储关于色彩轮廓的额外信息，诸如打印打印机目标的日期、轮廓创建器的版本号、轮廓规则化器的版本号、打印机目标的版本号、打印机1970的名称、打印机的表征。
可在计算设备的一个或多个中包括将从轮廓或测量文件之中创建n墨模型、将n墨模型倒置的例程，或者可在计算设备的一个或多个中包括将使n墨模型规则化的例程。将使n墨模型规则化的例程是轮廓规则化器的一部分且可存储在计算机可读介质上。

Claims (9)

1.一种使用打印机打印图像的方法，该打印机使用定义三维墨空间的三墨，并且对于该打印机而言，具有在所述打印机的所述三维墨空间中的三墨组合的色彩贴片的三维色彩测量结果的集合{pi}(i=1, …,M)是可用的，所述方法包括以下步骤：
- 将所述三维三墨空间的至少一部分分解成其顶点与所述色彩贴片的三墨组合相对应的四面体∆j (j=1,…,N)的联合；
- 通过为每个四面体计算线性变换Aj + Bj*C (j=1,…,N)来确定第一分段线性三墨打印机模型，其中Aj为3×1列矩阵并且Bj为3×3矩阵，并且C为代表三墨组合的3×1列矩阵，所述线性变换将这样的四面体中的三墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 为每个四面体∆j (j=1,…,N)确定矩阵Bj的行列式的值；
- 计算负行列式的数目nneg和正行列式的数目npos；
- 如果npos>nneg，则：
- 选择正实数阈值；
- 定义使得M个色彩的集合作为自变量的误差函数R，所述误差函数按照以下规则是阈值和那些行列式之间的距离度量的总和：
R = R(p1,…,pM) =Σj=1,…,N Rj(p1,…,pM)，
其中，
如果det Bj ≥ ，则Rj = Rj(p1,…,pM) = 0，且
如果det Bj < ，则Rj = Rj(p1,…,pM) = (-det Bj)2，
- 如果npos<nneg，则：
- 选择负实数阈值；
-定义使得M个色彩的集合作为自变量的误差函数R，所述误差函数按照以下规则是阈值和那些行列式之间的距离度量的总和：
R = R(p1,…,pM) = Σj=1,…,N Rj(p1,…,pM)，
其中：
如果det Bj≤，则Rj = Rj（p1，...，pM）= 0，且
如果det Bj > ，则Rj = Rj(p1,…,pM) = (-det Bj)2，
- 搜索使得误差函数最小化的色彩集合{pi 0} (i=1, …,M)；
- 使用所获得的色彩集合{pi 0}来替换所述色彩测量结果的集合{pi}；
- 通过为每个四面体计算线性变换F|∆j(c) = Aj 0 + Bj 0xC，从所获得的色彩测量结果的集合获得规则的第二分段线性三墨打印机模型，其中Aj 0为3×1列矩阵，Bj 0为3×3矩阵，C为代表三墨组合的3×1列矩阵，所述线性变换将这样的四面体中的三墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 使用所述第二分段线性三墨打印机模型来创建用于将图像中的色彩转换为三墨集合的分离表；
- 使用所述分离表以用于将待打印的图像分离成分离集合；
- 使用所述分离集合以用于打印所述图像。
2.按照权利要求1所述的方法，其中，所述打印机使用CMY或RGB三墨过程。
3.一种使用打印机打印图像的方法，该打印机使用定义四维墨空间的四墨，并且对于该打印机而言，具有在所述四维墨空间中的四墨组合Ck（k=1,2,3,4）的色彩贴片的三维色彩测量结果的集合{pi}(i=1, …,M)是可用的，由此针对给定的色彩，墨C4可与墨C1,C2,C3的组合进行交换，所述方法包括如下步骤：
- 将四维四墨空间的至少一部分分解成其顶点与所述色彩贴片的四墨组合相对应的五面体∆j (j=1,…,N)的联合；
- 通过为每个五面体计算线性变换Aj + Bj*C (j=1,…,N)，确定第一分段线性四墨打印机模型，其中Aj为3×1列矩阵，Bj为3×4矩阵，C为表示四墨组合的4×1列矩阵，所述线性变换将这样的五面体中的四墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 为每个五面体∆j (j=1,…,N)确定表示所述五面体中的方向的特征矢量χj，所有四墨组合沿着所述方向映射到所述色彩空间中的相同色彩上，所述特征矢量χj具有坐标[χj 1,χj 2,χj 3,χj 4]=[det Bj 1, -det Bj 2, det Bj 3, -det Bj 4]，其中j=1,…,N，且Bj k (k = 1, 2,3, 4)为通过省略3×4矩阵Bj中的四列中的第k列而获得的3×3矩阵；
- 计算所述特征矢量坐标的负坐标的数目nk neg和所述特征矢量的正坐标的数目nk pos；
- 如果对于k = 1,2,3有nk pos>nk neg，且如果n4 pos<n4 neg，则：
- 选择正的实数阈值；
-定义使得N个色彩的集合作为自变量的误差函数R，所述误差函数是阈值和按照以下规则的那些行列式之间的距离度量的总和：
R = R(p1,…,pM) = Σk=1,2,3,4, j=1,…,N Rj k(p1,…,pM)，
其中，对于k=1,2,3:
如果χj k ≥，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = 0，且
如果χj k < ，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = (-χj k)2，
并且其中对于k = 4：
如果det Bj 4≥，则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = 0，且
如果det Bj 4 < ，则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = (-det Bj 4)2，其中j=1,…,N，
- 如果对于k= 1,2,3有nk pos<nk neg，并且如果n4 pos>n4 neg，则：
- 选择负的实数阈值；
-定义使得N个色彩的集合作为自变量的误差函数R，所述误差函数按照以下规则是阈值和那些行列式之间的距离度量的总和：
R = R(p1,…,pM) = Σk=1,2,3,4, j=1,…,N Rj k(p1,…,pM)，
其中，对于k=1,2,3:
如果χj k≤，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = 0，且
如果χj k >，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = (-+χj k)2，
并且其中对于k = 4：
如果-det Bj 4≥-，则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = 0，且
如果-det B j 4 <-，则Rj 4 = Rj 4(p1,…,pM) = (-+det B j 4)2，其中j=1,…,N，
- 搜索使得误差函数最小化的色彩集合{pi 0}；
- 使用所获得的色彩集合{pi 0}来替换所述色彩测量结果的集合{pi};
- 通过为每个五面体计算线性变换F|∆j(c) = Aj 0 + Bj 0xC，获得第二分段线性四墨打印机模型，其中Aj 0为3×1列矩阵，Bj 0为3×4矩阵，并且C是表示四墨组合的4×1列矩阵，所述线性变换将这样的五面体中的四墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 使用所述第二分段线性四墨打印机模型来创建用于将图像中的色彩转换为四墨集合的分离表；
- 使用所述分离表将待打印的图像分离成分离集合；
- 使用所述分离集合以用于打印所述图像。
4.按照权利要求3所述的方法，其中所述打印机使用CMYK四墨过程。
5.一种使用打印机打印图像的方法，该打印机使用定义四维墨空间的四墨，并且对于该打印机而言，具有在所述四维墨空间中的四墨组合Ck（k=1,2,3,4）的色彩贴片的三维色彩测量结果的集合{pi}(i=1, …,M)是可用的，由此针对给定的色彩，所述墨C2和 C3可与墨C1 和C4的组合进行交换，该方法包括如下步骤：
- 将四维四墨空间的至少一部分分解成其顶点与色彩贴片的四墨组合相对应的五面体∆j (j=1,…,N)的联合；
- 通过为每个五面体计算线性变换Aj + Bj*C (j=1,…,N)，确定第一分段线性四墨打印机模型，其中Aj为3×1列矩阵，Bj为3×4矩阵，C为表示四墨组合的4×1列矩阵，所述线性变换将这样的五面体中的四墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 为每个五面体∆j (j=1,…,N)确定表示所述五面体中的方向的特征矢量χj，所有四墨组合沿所述方向映射到色彩空间中的相同色彩上，所述特征矢量χj具有坐标[χj 1,χj 2,χj 3,χj 4]=[det Bj 1, -det Bj 2, det Bj 3, -det Bj 4]，其中j=1,…,N，且Bj k (k = 1, 2, 3,4)是通过省略所述3×4矩阵Bj中的四列中的第k列而获得的3×3矩阵；
- 计算所述特征矢量坐标的负坐标的数目nk neg和所述特征矢量的正坐标的数目nk pos；
- 如果对于k = 2,3有nk pos>nk neg，并且如果对于k = 1,4有nk pos<nk neg，则：
- 选择正的实数阈值；
-定义使得N个色彩的集合作为自变量的误差函数R，所述误差函数按照以下规则是阈值和那些行列式之间的距离度量的总和：
R = R(p1,…,pM) = Σk=1,2,3,4, j=1,…,N Rj k(p1,…,pM)，
其中，对于k=2,3:
如果χj k ≥ ，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = 0，且
如果χj k < ，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = (-χj k)2，
并且其中对于k=1,4：
如果det Bj k≥，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = 0，且
如果det Bj k <，则Rj k= Rj k(p1,…,pM) = (-det Bj k)2，其中j=1,…,N，
- 如果对于k= 2,3有nk pos<nk neg，并且如果对于k=1,4有nk pos>nk neg，则：
- 选择负的实数阈值；
-定义使得N个色彩的集合作为自变量的误差函数R，所述误差函数按照以下规则是阈值和那些行列式之间的距离度量的总和：
R = R(p1,…,pM) = Σk=1,2,3,4, j=1,…,N Rj k(p1,…,pM)，
其中，对于k=2,3:
如果χj k≤，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = 0，且
如果χj k > ，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = (-+χj k)2，
对于k = 1,4：
如果-det Bj k≥-，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = 0，且
如果-det B j k < -，则Rj k = Rj k(p1,…,pM) = (-+det Bj k)2，其中j=1,…,N，
- 搜索使得误差函数最小化的色彩集合{pi 0}；
- 使用所获得的色彩集合{pi 0}来替换所述色彩测量结果的集合{pi}；
- 通过为每个五面体计算线性变换F|∆j(c) = Aj 0 + Bj 0xC，获得第二分段线性四墨打印机模型，其中Aj 0为3×1列矩阵，Bj 0为3×4矩阵，并且C是表示四墨组合的4×1列矩阵，所述线性变换将这样的五面体中的四墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 使用所述第二分段线性四墨打印机模型来创建用于将图像中的色彩转换为四墨集合的分离表；
- 使用所述分离表将待打印的图像分离成分离集合；
- 使用所述分离集合以用于打印所述图像。
6.按照权利要求5所述的方法，其中所述打印机使用OMYK或GCYK过程。
7.一种使用打印机打印图像的方法，该打印机使用定义n维墨空间的n墨，并且对于该打印机而言，具有在所述n维墨空间中的n墨组合Ck(k=1,...n)的色彩贴片的三维色彩测量结果的第一集合{pi}(i=1, …,M)是可用的，所述方法包括以下步骤：
- 获得多个分段四墨模型，所述多个分段线性四墨模型中的每个分段线性四墨模型是所述n个墨中的四个的子集，所述四墨过程中的每一个具有定义其误差函数的全局墨交换；
- 取决于全局墨交换而使用如权利要求3或5所述的方法将作为四墨过程的误差函数总和的误差函数最小化，从而获得三维色彩测量结果的第二集合{p0 i} (i=1,…, M)；
- 使用所述三维色彩测量结果的第二集合{p0 i} (i=1,…, M)来创建用于将图像中的色彩转换为n墨集合的分离表；
- 使用所述分离表将待打印的图像分离成分离集合；
- 使用所述分离集合以用于打印所述图像。
8.一种使用打印机打印图像的方法，该打印机使用定义三维墨空间的三墨，并且对于该打印机而言，具有在所述三维墨空间中的三墨组合的色彩贴片的三维色彩测量结果的集合{pi}(i=1, …,M)是可用的，所述方法包括以下步骤：
- 将所述三维三墨空间的至少一部分分解成其顶点与所述色彩贴片的三墨组合相对应的四面体∆j (j=1,…,N)的联合；
- 通过为每个四面体计算线性变换Aj + Bj*C (j=1,…,N)来确定第一分段线性三墨打印机模型，其中Aj为3×1列矩阵并且Bj为3×3矩阵，并且C为代表三墨组合的3×1列矩阵，所述线性变换将这样的四面体中的三墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 为每个四面体∆j (j=1,…,N)确定矩阵Bj的行列式的值；
- 选择实数阈值；
- 定义使得M个色彩的集合作为自变量的误差函数R，其中R = R(p1,…,pM) =Σj=1,…,N Rj(p1,…,pM)，所述误差函数被构造为所述阈值与行列式之间的距离度量的总和，每个总和取决于行列式是否超过所述阈值；
- 搜索使得误差函数最小化的色彩集合{pi 0} (i=1, …,M)；
- 使用所获得的色彩集合{pi0}来替换所述色彩测量结果的集合{pi}；
- 通过为每个四面体计算线性变换F|∆j(c) = Aj 0 + Bj 0xC，从所获得的色彩测量结果的集合获得规则的第二分段线性三墨打印机模型，其中Aj 0为3×1列矩阵且Bj 0为3×3矩阵，C为代表三墨组合的3×1列矩阵，所述线性变换将这样的四面体中的三墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 使用所述第二分段线性三墨打印机模型来创建用于将图像中的色彩转换为三墨集合的分离表；
- 使用所述分离表将待打印的图像分离成分离集合；
- 使用所述分离集合来打印所述图像。
9.一种使用打印机打印图像的方法，该打印机使用四墨，并且对于该打印机而言，具有在四维墨空间中的四墨组合的色彩贴片的三维色彩测量结果的集合{pi}(i=1, …,M)是可用的，该方法包括以下步骤：
- 将四维三墨空间的至少一部分分解成其顶点与所述色彩贴片的四墨组合相对应的五面体∆j (j=1,…,N)的联合；
- 通过为每个五面体计算线性变换Aj + Bj*C (j=1,…,N)，确定第一分段线性四墨打印机模型，其中Aj为3×1列矩阵，Bj为3×4矩阵，C为表示三墨组合的4×1列矩阵，所述线性变换将这样的五面体中的四墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 为每个五面体∆j (j=1,…,N)确定矩阵Bj的辅因子，所述辅因子定义了符号签名；
- 选择实数阈值；
- 定义使得M个色彩的集合作为自变量的误差函数R，其中R = R(p1,…,pM) =Σj=1,…,N Rj(p1,…,pM)，所述误差函数被构造为阈值和所述辅因子之间的距离度量的总和，每个总和取决于所述辅因子是否超过所述阈值；
- 搜索使得误差函数最小化的色彩集合{pi 0} (i=1, …,M)；
- 使用所获得的色彩集合{pi0}来替换所述色彩测量结果的集合{pi}；
- 通过为每个五面体计算线性变换F|∆j(c) = Aj 0 + Bj 0xC，从所获得的色彩测量结果的集合获得规则的第二分段线性四墨打印机模型，其中Aj 0为3×1列矩阵，Bj 0为3×4矩阵，C为表示四墨组合的4×1列矩阵，所述线性变换将这种五面体中的四墨组合映射到三维色彩空间中的一个色彩上；
- 使用所述第二分段线性四墨打印机模型来创建用于将图像中的色彩转换为四墨集合的分离表；
- 使用所述分离表将待打印的图像分离成分离集合；
- 使用所述分离集合以用于打印所述图像。
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