CN107086576B - 一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法 - Google Patents

Abstract

一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法，包括步骤：S1、将分布式潮流控制器并联侧装置视为一组背靠背连接的变换器组，包括并联网侧三相变换器、并联谐波侧单相变换器以及并联侧公共直流电容三部分等值电路；S2、将分布式潮流控制器串联侧装置视为一个同时作用于电力系统的交流基波网络和交流三次谐波网络和串联侧直流电容三部分等值电路；S3、根据电压型PWM变换器开关周期平均模型的原理，分别建立分布式潮流控制器动态数学模型；S4、结合奇异摄动原理对分布式潮流控制器动态数学模型进行多时间尺度分析，建立分布式潮流控制多时间尺度数学模型。本发明有助于分析整个电力系统多时间尺度特性，适用于电力系统的降阶分析。

Description

一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法

技术领域

本发明涉及柔性交流输电技术领域，具体涉及一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法。

背景技术

在今后的一段时期，我国能源消费将进入一个中低速增长的常态过程，电力供需层面进一步宽松。合理规划好供给需求，以更加经济、高效的方式满足电力供应成为了当前需要深入研究的问题。柔性交流输电技术(FACTS,Flexible AC Transmission System)利用电力电子变换元件及其控制装置以控制功率传输能力，实现在不改变线路拓扑的情况下通过装置控制和系统中央指令相结合的形式实现对电力系统运行指标(电压、线路阻抗、功角)的实时控制。大量的电力电子元件以及分布式发电技术的接入使得电力系统成为一个集机电暂态、电磁暂态和开关暂态等多个时间尺度为一体的复杂系统。

分布式潮流控制器(DPFC,Distributed Power Flow Controller)基于目前研究十分成熟的统一潮流控制器(UPFC,Unified Power Flow Controller)原有结构以及分布式静止串联补偿器(DSSC,Distributed Static Series Compensator)的思想，将自身并联侧装置和串联侧装置分开，同时串联侧装置分相串接于输电线路上实现串联侧的分布化；根据不同频率下有功功率彼此独立的特性，去掉UPFC串并联变换器间有功功率交换的公共直流电容，利用其并联侧装置发出的三次谐波电流作为传递有功功率的媒介，进而达到综合调节整个线路潮流的目的。DPFC既具有UPFC的强大潮流控制能力，又具有控制方式灵活和成本相对低廉的优势。

目前针对分布式潮流控制器的数学模型研究，主要集中在等效电源法建模，将整个系统等效为一个基波网络模型和三次谐波网络模型，由于忽略了电力电子装置内部的开关状态，不利于分析装置的内部特性。

发明内容

本发明要解决的技术问题是，针对现有分布式潮流控制器协调控制存在的上述不足，提供一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法，将以电力电子变换器开关模型为基础的多时间尺度降阶模型与传统电力系统多时间尺度模型进行合理衔接，有助于分析整个电力系统的多时间尺度特性，为研究分布式潮流控制器内部动态特征以及对安装DPFC装置的区域电力系统的降阶处理打下基础。

本发明为解决上述技术问题所采用的技术方案是：

一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法，包括以下步骤：

步骤S1：将分布式潮流控制器并联侧装置视为一组背靠背连接的变换器组，包括并联网侧三相变换器VSC1、并联谐波侧单相变换器VSC2以及并联侧公共直流电容C_sh三部分等值电路；

步骤S2：将分布式潮流控制器串联侧装置视为一个同时作用于电力系统的交流基波网络和交流三次谐波网络和串联侧直流电容Cse三部分等值电路；

步骤S3：根据电压型PWM变换器开关周期平均模型的原理，分别建立分布式潮流控制器动态数学模型；

步骤S4：结合奇异摄动原理对分布式潮流控制器动态数学模型进行多时间尺度分析，建立分布式潮流控制多时间尺度数学模型。

按上述方案，步骤S3中建立分布式潮流控制器动态数学模型具体包括如下步骤：

步骤3-1：建立分布式潮流控制器并联侧动态数学模型，包括：

(1)建立分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1数学模型

式中，u_s1,d和i_sh1,d分别表示网侧电压和电流d轴分量，u_s1,q和i_sh1,q分别表示网侧电压和电流表示q轴分量；u_sh1,d和u_sh1,q分别表示等效输入电压的d、q轴分量；R₁和L₁分别表示网侧滤波器的电阻和电感；ω表示电网基频角速度；

(2)建立分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2数学模型

式中，u_sh3和i_sh3分别表示单相变换器VSC2交流测输出电压和三次谐波电流；L_Σ3表示三次谐波网络中的电感之和；R_Σ3表示三次谐波网络中的电阻之和；

经过单相dq变换得到在两相旋转坐标系下的模型：

式中，i_sh3,d和i_sh3,q分别表示三次谐波网络中输出电流的d轴分量和q轴分量；u_sh3,d和u_sh3,q分别表示变换器等效输出电压的d轴分量和q轴分量；

(3)建立分布式潮流控制器并联侧公共直流电容C_sh数学模型

式中，i_dc1和i_dc3分别表示网侧三相变换器VSC1输出电流和谐波侧变换器VSC2的流入电流；i_sh,dc和u_sh,dc分别表示公共直流电容C_sh的电流和电压；C_sh,dc表示分布式潮流控制器并联侧装置的公共直流电容C_sh的容量；

当分布式潮流控制器工作时，忽略功率器件损耗，根据功率守恒定律，并联网侧基波有功功率P_sh1、公共直流电容C_sh上充电功率P_Csh、并联网侧三次谐波有功功率P_sh3在dq坐标系下满足以下关系：

式中，P_sh3取dq坐标系下瞬时功率的一半(因为单相Park变换中虚构了一个原变量等幅值且滞后90°的旋转变量)；

步骤3-2：建立分布式潮流控制器串联侧动态数学模型，包括：

(1)建立分布式潮流控制器串联侧交流基波网络和交流三次谐波网络模型

式中，i_1,d、i_3,d和i_1,q、i_3,q分别表示电力系统基波网络电流和三次谐波网络电流的d轴分量、q轴分量；R_∑1和L_∑1分别为基波网络的电阻之和、电感之和，R_∑3和L_∑3分别为三次谐波网络的电阻之和、电感之和(等效电阻和电感，假设电阻和电感在网络中三相对称)；u_s1,d、u_s1,q和u_s1,d、u_r1,q分别表示基波网络送端电压和受端电压的d轴分量、q轴分量；u_se1,d、u_se3,d和u_se1,q、u_se3,q分别表示为单相变换器(D-VSC1～D-VSCn)输出基波电压和三次谐波电压的d轴d轴分量、q轴分量；

(2)建立分布式潮流控制器串联侧直流电容C_se模型

式中，i_se,dc和u_se,dc分别表示直流电容C_se的电流和电压，C_se,dc表示直流电容C_se的容量；

当分布式潮流控制器工作时，忽略功率器件损耗，根据功率守恒定律，串联网侧基波有功功率P_se1、直流电容C_se上充电功率P_Cse、串联网侧三次谐波有功功率P_se3在dq坐标系下满足以下关系：

引入电压型PWM变换器开关周期平均模型中常用的开关函数概念：

对于三相变换器，式中S_k代表a、b、c三相桥臂的开关状态，由于每相的上下桥臂不能同时导通，设定上桥臂导通时值为1，下桥臂导通时值为0；

对于单相变换器，式中S_i为单相桥式变换器两个接入点桥臂开关状态，其中上桥臂导通值为1，下桥臂导通值为0；

三相变换器abc三相的调制参数m_a、m_b、m_c满足下式：

单相变换器的调制参数m满足下式：

m＝S₁-S₂ (12)

结合式(1)至式(12)，分别建立分布式潮流控制器并联侧装置和串联侧装置动态数学方程；

分布式潮流控制器并联侧装置动态数学方程如式(13)所示：

式(13)中，m_sh1,d、m_sh1,q分别为分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1在dq坐标系下的调制参数；m_sh3,d、m_sh3,q分别为分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2在dq坐标系下的调制参数；

分布式潮流控制器串联侧装置动态数学方程如式(14)所示：

分布式潮流控制器串联侧装置存在两套调制参数，式(14)中，m_se1,d和m_se1,q分别为基波网络调制参数；m_se3,d和m_se3,q分别为三次谐波网络调制参数。

按上述方案，步骤S4中结合奇异摄动原理对分布式潮流控制器动态数学模型进行多时间尺度分析，具体包括如下步骤：

步骤4-1：所有电力系统数学模型均写成如下的非线性方程的形式：

式中，m为慢状态变量，n为快状态变量，u为系统输入变量，ε为奇异摄动参数(通常是一个很小的正常数)；将整个电力系统数学模型分解成两个不同时间尺度的子系统，分别为快状态变量子系统和慢状态变量子系统，当奇异摄动参数ε趋近于0时，意味着当快状态变量子系统很快衰减时而慢状态变量子系统还未来得及发生相应变化；

步骤4-2：给出分布式潮流控制器测试系统的参数，包括：

(i)分布式潮流控制器并联侧背靠背变换器组参数：并联网侧三相变换器VSC1的交流侧等效电感L₁；基频基准频率ω_b1；并联谐波侧(三次谐波端)单相变换器VSC2的交流侧等效电感L₂；三次谐波基准频率ω_b3；公共直流电容C_sh,dc；

(ii)分布式潮流控制器串联侧单相变换器参数：单相变换器的交流侧等效电感L_se；基频基准频率ω_b1；三次谐波基准频率ω_b3；直流电容C_se,dc；

(iii)单机无穷大系统输电线路参数：分布式潮流控制器测试系统输电线路的等效阻抗Z；阻抗角；相应的等效电阻R；基频等效电感L_line1；三次谐波等效电感L_line3；

步骤4-3：结合步骤4-2中分布式潮流控制器测试系统的参数，得到相应的奇异摄动参数ε；并联侧动态数学模型基频电流方程和三次谐波电流方程的奇异摄动参数分别为 电压方程的奇异摄动参数为C_sh,dc；串联侧动态数学模型基频电流方程和三次谐波电流方程的奇异摄动参数分别为电压方程的奇异摄动参数为C_se,dc；

分析上面求得的各数学动态方程的奇异摄动参数的数量级，直流电容电压方程的摄动参数明显大于电流方程的奇异摄动参数一个数量级，因此分布式潮流控制器动态模型分解为快状态变量子系统和慢状态变量子系统(两个子模型)，分析不同变量的状态时，采用不同的子系统进行研究；

令分布式潮流控制器并联侧装置的奇异摄动参数ε₂＝C_sh,dc；快状态变量x＝[i_sh1,d,i_sh1,q,i_sh3,d,i_sh3,q]^T；慢状态变量y＝u_sh,dc；系统输入变量u＝[u_s1,d,u_s1,q]^T，分布式潮流控制器并联侧系统5阶模型化为以下标准的双时间尺度模型：

令分布式潮流控制器串联侧装置的奇异摄动参数ε₄＝C_se,dc，系统输入变量u＝[u_s1,d,u_s1,q,u_r1,d,u_r1,q,u_s3,d,u_s3,q]^T，快状态变量x＝[i_1,d,i_1,q,i_3,d,i_3,q]^T；慢状态变量y＝u_se,dc；分布式潮流控制器串联侧系统5阶模型化为以下标准的双时间尺度模型：

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

1、本发明利于分析分布式潮流控制器内部电流和电压等动态变量的特性，同时变换器经过相应的功率交换使得直流电容电压在一个相对稳定的范围内调节；

2、该模型可以将模型中摄动参数与其他交流电力系统常规装置(原动机、同步发电机、异步电动机、常规FACTS装置)多时间尺度数学模型中摄动参数进行比较，与传统电力系统多时间尺度模型进行合理衔接，有助于分析整个电力系统的多时间尺度特性，适用于安装有分布式潮流控制器电力系统的降阶分析。

附图说明

图1是本发明所述的分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法的流程图；

图2是分布式潮流控制器以及内部不同频率有功功率的传输网络通道；

图3是分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1等值电路图；

图4是分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2等值电路图；

图5是分布式潮流控制器并联侧公共直流电容Csh等值电路图；

图6是分布式潮流控制器串联侧等值电路图。

具体实施方式

下面结合具体实例和附图对本发明做进一步说明。

参见图1所示，本发明所述的分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法，基于图2所示的分布式潮流控制器以及内部不同频率有功功率的传输网络通道，数学模型建立方法包括以下几个步骤：

步骤S1：将分布式潮流控制器并联侧装置视为一组背靠背连接的变换器组，包括并联网侧三相变换器VSC1、并联谐波侧单相变换器VSC2以及并联侧公共直流电容C_sh三部分等值电路，图3表示分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1等值电路，图4表示分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2等值电路，图5表示分布式潮流控制器并联侧公共直流电容C_sh等值电路；

步骤S2：将分布式潮流控制器串联侧装置视为如图6所示的同时作用于电力系统的交流基波网络和交流三次谐波网络和串联侧直流电容Cse三部分等值电路；

步骤S3：根据电压型PWM变换器开关周期平均模型的原理，分别建立分布式潮流控制器动态数学模型，具体包括如下步骤：

步骤3-1：建立分布式潮流控制器并联侧动态数学模型，包括：

(1)建立分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1数学模型，如公式(1)所示；

(2)建立分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2数学模型，如公式(2)所示，经过单相dq变换得到在两相旋转坐标系下的模型，如公式(3)所示；

(3)建立分布式潮流控制器并联侧公共直流电容C_sh数学模型，如公式(4)所示，

当分布式潮流控制器工作时，并联网侧三相变换器VSC1从电网交换的基波有功功率除了维持公共直流电容电压稳定，还要满足并联谐波侧单相变换器VSC2与电网的谐波有功功率的交换需求，忽略功率器件损耗，根据功率守恒定律，并联网侧基波有功功率P_sh1、公共直流电容C_sh上充电功率P_Csh、并联网侧三次谐波有功功率P_sh3在dq坐标系下满足关系式(5)，式(5)中，P_sh3取dq坐标系下瞬时功率的一半，是因为单相dq变换中虚构了一个原变量等幅值且滞后90°的旋转变量；

步骤3-2：建立分布式潮流控制器并联侧动态数学模型，包括：

(1)建立分布式潮流控制器串联侧交流基波网络和交流三次谐波网络模型，如公式(6)所示；

(2)建立分布式潮流控制器串联侧直流电容C_se模型，如公式(7)所示；

当分布式潮流控制器工作时，串联侧装置从电网吸收的谐波有功功率除了维持公共直流电容电压稳定，还要满足与电网的基波有功功率的交换需求，忽略功率器件损耗，根据功率守恒定律，串联网侧基波有功功率P_se1、直流电容C_se上充电功率P_Cse、串联网侧三次谐波有功功率P_se3在dq坐标系下满足关系式(8)；

引入电压型PWM变换器开关周期平均模型中常用的开关函数概念，如公式(9)、(10)所示；

对于三相变换器，式中S_k代表a、b、c三相桥臂的开关状态，由于每相的上下桥臂不能同时导通，设定上桥臂导通时值为1，下桥臂导通时值为0；三相变换器abc三相的调制参数m_a、m_b、m_c满足式(11)；

对于单相变换器，式中S_i为单相桥式变换器两个接入点桥臂开关状态，其中上桥臂导通值为1，下桥臂导通值为0；单相变换器的调制参数m满足式(12)；

结合式(1)至式(12)，分别建立分布式潮流控制器并联侧装置和串联侧装置动态数学方程：

分布式潮流控制器并联侧装置动态数学方程如式(13)所示；

分布式潮流控制器串联侧装置动态数学方程如式(14)所示，与并联侧变换器组不同，串联侧变换器利用三次谐波实现对线路功率的潮流控制，同时作用在基波网络和三次谐波网络，并将基波功率和三次谐波功率叠加产生PWM触发，既能吸收三次谐波电流给直流回路电容充(放)电，同时又能产生串入基波交流线路的交流电压，实现有功功率和无功功率的交换，因此分布式潮流控制器串联侧装置的一个D-VSC存在两套调制参数，m_se1,d和m_se1,q分别为基波网络调制参数；m_se3,d和m_se3,q分别为三次谐波网络调制参数；

步骤S4：结合奇异摄动原理对分布式潮流控制器动态数学模型进行多时间尺度分析，建立分布式潮流控制多时间尺度数学模型，具体包括如下步骤：

步骤4-1：所有电力系统数学模型均写成如式(15)所示的非线性方程的形式，将整个电力系统数学模型分解成两个不同时间尺度的子系统，分别为快状态变量子系统和慢状态变量子系统，当奇异摄动参数ε趋近于0时，意味着当快状态变量子系统很快衰减时而慢状态变量子系统还未来得及发生相应变化；因此可在相应的时间尺度内，研究子系统模型来对整个系统的特性进行研究；

步骤4-2：给出分布式潮流控制器测试系统的参数，包括：

(i)分布式潮流控制器并联侧背靠背变换器组参数：电网端并联网侧三相变换器VSC1的交流侧等效电感L₁＝0.006H；基频基准频率ω_b1＝314.16rad/s；并联谐波侧(三次谐波端)单相变换器VSC2的交流侧等效电感L₂＝0.0015H；三次谐波基准频率ω_b3＝942.48rad/s；公共直流电容C_sh,dc＝9600μF；

(ii)分布式潮流控制器串联侧单相变换器参数：单相变换器的交流侧等效电感L_se＝0.001H；基频基准频率ω_b1＝314.16rad/s；三次谐波基准频率ω_b3＝942.48rad/s；直流电容C_se,dc＝2200μF；

(iii)单机无穷大系统输电线路参数：分布式潮流控制器测试系统输电线路的等效阻抗Z＝0.279+j3.99Ω；阻抗角为86°；相应的等效电阻为R＝0.279Ω；基频等效电感L_line1＝0.0127H；三次谐波等效电感L_line3＝0.0381H；

步骤4-3：结合步骤4-2中分布式潮流控制器测试系统的参数，得到相应的奇异摄动参数ε；并联侧动态数学模型基频电流方程和三次谐波电流方程的奇异摄动参数分别为电压方程的奇异摄动参数为C_sh,dc＝0.0096；串联侧动态数学模型基频电流方程和三次谐波电流方程的奇异摄动参数分别为 电压方程的奇异摄动参数为C_se,dc＝0.0022；

分析上面求得的各数学动态方程的奇异摄动参数的数量级，直流电容电压方程的摄动参数明显大于电流方程的奇异摄动参数一个数量级，因此分布式潮流控制器动态模型分解为快状态变量子系统和慢状态变量子系统(两个子模型)，分析不同变量的状态时，采用不同的子系统进行研究；

令分布式潮流控制器并联侧装置的奇异摄动参数ε₂＝C_sh,dc；快状态变量x＝[i_sh1,d,i_sh1,q,i_sh3,d,i_sh3,q]^T；慢状态变量y＝u_sh,dc；系统输入变量u＝[u_s1,d,u_s1,q]^T，分布式潮流控制器并联侧系统5阶模型化为以下标准的双时间尺度模型，如公式(16)所示；

令分布式潮流控制器串联侧装置的奇异摄动参数ε₄＝C_se,_dc，系统输入变量u＝[u_s1,d,u_s1,q,u_r1,d,u_r1,q,u_s3,d,u_s3,q]^T，快状态变量x＝[i_1,d,i_1,q,i_3,d,i_3,q]^T；慢状态变量y＝u_se,dc；分布式潮流控制器串联侧系统5阶模型化为以下标准的双时间尺度模型，如公式(17)所示。

综上所述，依照本发明的分布式潮流控制器多时间尺度数学模型的建立方法不仅便于分析分布式潮流控制器内部各动态变量的特性。实际上，对线路有功功率潮流和无功功率潮流的调节，都需要通过电流有功分量和无功分量的变化得以实现。根据系统给定的线路潮流调节指令，系统中的电流变量都要根据相应的电流参考值迅速“跟踪”；同时变换器经过相应的功率交换使得直流电容电压在一个相对稳定的范围内“调节”。本发明提供了一种试图固定慢动态变量直流电容电压，仅从快动态变量电流方程设计相关控制器的思路。该模型还可以将模型中摄动参数与其他交流电力系统常规装置(原动机、同步发电机、异步电动机、常规FACTS装置)多时间尺度数学模型中摄动参数进行比较，能够应用于整个电力系统的多时间尺度特性分析，并对其进行降阶处理。

最后应当说明的是所属领域的普通技术人员参照上述说明可以进行修改或者等同替换，这些未脱离本发明精神的任何修改或者等同替换均在本发明的权利要求保护范围之内。

Claims (1)

1.一种分布式潮流控制器多时间尺度数学模型建立方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤S1：将分布式潮流控制器并联侧装置视为一组背靠背连接的变换器组，包括并联网侧三相变换器VSC1、并联谐波侧单相变换器VSC2以及并联侧公共直流电容C_sh三部分等值电路；

步骤S2：将分布式潮流控制器串联侧装置视为一个同时作用于电力系统的交流基波网络和交流三次谐波网络和串联侧直流电容Cse三部分等值电路；

步骤S3：根据电压型PWM变换器开关周期平均模型的原理，分别建立分布式潮流控制器动态数学模型，具体包括如下步骤：

步骤3-1：建立分布式潮流控制器并联侧动态数学模型，包括：

(1)建立分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1数学模型

式中，u_s1,d和i_sh1,d分别表示网侧电压和电流d轴分量，u_s1,q和i_sh1,q分别表示网侧电压和电流表示q轴分量；u_sh1,d和u_sh1,q分别表示等效输入电压的d、q轴分量；R₁和L₁分别表示网侧滤波器的电阻和电感；ω表示电网基频角速度；

(2)建立分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2数学模型

式中，u_sh3和i_sh3分别表示单相变换器VSC2交流测输出电压和三次谐波电流；L_∑3表示三次谐波网络中的电感之和；R_∑3表示三次谐波网络中的电阻之和；

经过单相dq变换得到在两相旋转坐标系下的模型：

式中，i_sh3,d和i_sh3,q分别表示三次谐波网络中输出电流的d轴分量和q轴分量；u_sh3,d和u_sh3,q分别表示变换器等效输出电压的d轴分量和q轴分量；

(3)建立分布式潮流控制器并联侧公共直流电容C_sh数学模型

式中，i_dc1和i_dc3分别表示网侧三相变换器VSC1输出电流和谐波侧变换器VSC2的流入电流；i_sh,dc和u_sh,dc分别表示公共直流电容C_sh的电流和电压；C_sh,dc表示分布式潮流控制器并联侧装置的公共直流电容C_sh的容量；

当分布式潮流控制器工作时，忽略功率器件损耗，根据功率守恒定律，并联网侧基波有功功率P_sh1、公共直流电容C_sh上充电功率P_Csh、并联网侧三次谐波有功功率P_sh3在dq坐标系下满足以下关系：

式中，P_sh3取dq坐标系下瞬时功率的一半；

步骤3-2：建立分布式潮流控制器串联侧动态数学模型，包括：

(1)建立分布式潮流控制器串联侧交流基波网络和交流三次谐波网络模型

式中，i_1,d、i_3,d和i_1,q、i_3,q分别表示电力系统基波网络电流和三次谐波网络电流的d轴分量、q轴分量；R_∑1和L_∑1分别为基波网络的电阻之和、电感之和，R_∑3和L_∑3分别为三次谐波网络的电阻之和、电感之和；u_s1,d、u_s1,q和u_s1,d、u_r1,q分别表示基波网络送端电压和受端电压的d轴分量、q轴分量；u_se1,d、u_se3,d和u_se1,q、u_se3,q分别表示为单相变换器输出基波电压和三次谐波电压的d轴分量、q轴分量；

(2)建立分布式潮流控制器串联侧直流电容C_se模型

式中，i_se,dc和u_se,dc分别表示直流电容C_se的电流和电压，C_se,dc表示直流电容C_se的容量；

当分布式潮流控制器工作时，忽略功率器件损耗，根据功率守恒定律，串联网侧基波有功功率P_se1、直流电容C_se上充电功率P_Cse、串联网侧三次谐波有功功率P_se3在dq坐标系下满足以下关系：

引入电压型PWM变换器开关周期平均模型中常用的开关函数概念：

对于三相变换器，式中S_k代表a、b、c三相桥臂的开关状态，由于每相的上下桥臂不能同时导通，设定上桥臂导通时值为1，下桥臂导通时值为0；

对于单相变换器，式中S_i为单相桥式变换器两个接入点桥臂开关状态，其中上桥臂导通值为1，下桥臂导通值为0；

三相变换器abc三相的调制参数m_a、m_b、m_c满足下式：

单相变换器的调制参数m满足下式：

m＝S₁-S₂ (12)

结合式(1)至式(12)，分别建立分布式潮流控制器并联侧装置和串联侧装置动态数学方程；

分布式潮流控制器并联侧装置动态数学方程如式(13)所示：

式(13)中，m_sh1,d、m_sh1,q分别为分布式潮流控制器并联网侧三相变换器VSC1在dq坐标系下的调制参数；m_sh3,d、m_sh3,q分别为分布式潮流控制器并联谐波侧单相变换器VSC2在dq坐标系下的调制参数；

分布式潮流控制器串联侧装置动态数学方程如式(14)所示：

分布式潮流控制器串联侧装置存在两套调制参数，式(14)中，m_se1,d和m_se1,q分别为基波网络调制参数；m_se3,d和m_se3,q分别为三次谐波网络调制参数；

步骤S4：结合奇异摄动原理对分布式潮流控制器动态数学模型进行多时间尺度分析，建立分布式潮流控制多时间尺度数学模型，具体包括如下步骤：

步骤4-1：所有电力系统数学模型均写成如下的非线性方程的形式：

式中，m为慢状态变量，n为快状态变量，u为系统输入变量，ε为奇异摄动参数；将整个电力系统数学模型分解成两个不同时间尺度的子系统，分别为快状态变量子系统和慢状态变量子系统，当奇异摄动参数ε趋近于0时，意味着当快状态变量子系统很快衰减时而慢状态变量子系统还未来得及发生相应变化；

步骤4-2：给出分布式潮流控制器测试系统的参数，包括：

(i)分布式潮流控制器并联侧背靠背变换器组参数：并联网侧三相变换器VSC1的交流侧等效电感L₁；基频基准频率ω_b1；并联谐波侧单相变换器VSC2的交流侧等效电感L₂；三次谐波基准频率ω_b3；公共直流电容C_sh,dc；

(ii)分布式潮流控制器串联侧单相变换器参数：单相变换器的交流侧等效电感L_se；基频基准频率ω_b1；三次谐波基准频率ω_b3；直流电容C_se,dc；

(iii)单机无穷大系统输电线路参数：分布式潮流控制器测试系统输电线路的等效阻抗Z；阻抗角；相应的等效电阻R；基频等效电感L_line1；三次谐波等效电感L_line3；

步骤4-3：结合步骤4-2中分布式潮流控制器测试系统的参数，得到相应的奇异摄动参数ε；并联侧动态数学模型基频电流方程和三次谐波电流方程的奇异摄动参数分别为 电压方程的奇异摄动参数为C_sh,dc；串联侧动态数学模型基频电流方程和三次谐波电流方程的奇异摄动参数分别为电压方程的奇异摄动参数为C_se,dc；

分析上面求得的各数学动态方程的奇异摄动参数的数量级，直流电容电压方程的摄动参数明显大于电流方程的奇异摄动参数一个数量级，因此分布式潮流控制器动态模型分解为快状态变量子系统和慢状态变量子系统，分析不同变量的状态时，采用不同的子系统进行研究；

令分布式潮流控制器并联侧装置的奇异摄动参数ε₂＝C_sh,dc；快状态变量x＝[i_sh1,d,i_sh1,q,i_sh3,d,i_sh3,q]^T；慢状态变量y＝u_sh,dc；系统输入变量u＝[u_s1,d,u_s1,q]^T，分布式潮流控制器并联侧系统5阶模型化为以下标准的双时间尺度模型：

令分布式潮流控制器串联侧装置的奇异摄动参数ε₄＝C_se,dc，系统输入变量u＝[u_s1,d,u_s1,q,u_r1,d,u_r1,q,u_s3,d,u_s3,q]^T，快状态变量x＝[i_1,d,i_1,q,i_3,d,i_3,q]^T；慢状态变量y＝u_se,dc；分布式潮流控制器串联侧系统5阶模型化为以下标准的双时间尺度模型：