CN107066674A - 计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法 - Google Patents
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Abstract
本申请公开了计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，包括以下步骤：将储层分为体积压裂区和未改造基质区，收集所述体积压裂区、未改造基质区、水平井的基本参数；体积压裂区为达西流动，未改造基质区为克努森流动；根据质量守恒定律，建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式；基于压力传播公式、稳态产量公式、物质平衡方程，运用连续拟稳定法计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量；重复上一步，计算得到页岩气藏体积压裂水平井的非稳态产量。本申请的方法充分考虑了页岩气藏体积压裂水平井生产过程中压力逐渐向边界传播的过程，页岩气气体在体积改造区和未改造基质区的不同渗流规律以及页岩气吸附解吸效应，这与实际情况更加吻合。
Description
技术领域
本申请属于油气田开发领域，具体地说，涉及一种计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法。
背景技术
页岩气藏孔隙直径为纳米级，渗透率极低，属于特低渗透致密气藏。页岩气的赋存状态主要有溶解气、游离气和吸附气。针对页岩气藏水平井体积压裂形成复杂缝网，可以显著提高储层的整体渗透率，从而实现页岩气藏水平井的大幅度增产。在特低渗页岩气藏体积压裂水平井生产过程中，未改造基质区的渗透率极低，达西公式不能有效的描述这个流动规律，而在体积改造区域内的流体流动满足达西流动规律；同时，随着生产时间增加，压力波从井眼附近向体积改造和未改造基质区域不断扩散，页岩气不断从基质孔隙中解吸出来。因此，在对页岩气藏体积压裂水平井进行产量预测时，必须综合考虑体积压裂水平井改造区域储层物性、渗流特征以及页岩气藏中游离气、解吸气等对产量的影响。
目前预测页岩气藏压裂水平井产量的半解析方法主要有等值渗流阻力法、保角变换发、叠加原理、复变函数理论等方法。上述方法均假设在页岩气藏压裂水平井在一投入生产后压力波就已经传到储层边界，这与实际情况显著不符合。S.Shahamat(M.S.Shahamat,L.Mattar.A physics-based method to forecast production from tight and shalepetroleum reservoirs by use of succession of pseudo-steady states[J].SpeReservoir Evaluation&Engineering,2015,18(4).)等运用连续拟稳定法，考虑压力波传播与储层物性、流体性质以及时间等要素的相关性，采用拟稳态法建立起了页岩气藏体积压裂水平井非稳态下的产量计算方法。并将该计算结果与实际生产数据进行对比，表明该方法计算结果准确。但M.S.Shahamat等人是在假设页岩气藏压裂水平井的流动为线性流的假设下完成的，并且没有考虑页岩气具有解吸的特点。
电模拟方法和解析-半解析方法主要通过储层渗透率加权平均方法将取渗透率为平均值，即视储层为均质储层，并未考虑储层的非均质性特征；数值模拟方法可以考虑储层的非均质性，但是运用该方法时，需要大量储层数据，计算速度也比较慢。因此针对页岩气藏体积压裂水平井的非稳态产量预测时，急需一种快速高效的产量计算方法。
发明内容
有鉴于此，本申请所要解决的技术问题是提供一种计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法。
为了解决上述技术问题，本申请公开了一种计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，包括以下步骤：
1)将储层分为体积压裂区和未改造基质区，收集所述体积压裂区、未改造基质区、水平井的基本参数；
2)所述体积压裂区为达西流动，所述未改造基质区为克努森流动；根据质量守恒定律，建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式；
3)基于压力传播公式、稳态产量公式、物质平衡方程，运用连续拟稳定法计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量。
4)重复步骤3)，计算得到页岩气藏体积压裂水平井的非稳态产量。
进一步的，步骤1)中所述体积压裂区、未改造基质区、水平井的参数具体包括：体积压裂区渗透率、体积压裂区裂缝孔隙度、体积压裂改造区域综合压缩系数、体积压裂区半径；稀薄系数、滑脱系数、孔喉半径、页岩基质孔隙度、页岩基质渗透率、基质综合压缩系数、页岩基质压缩系数、供给半径、页岩基质密度、储层厚度、气体粘度、朗格缪尔体积、朗格缪尔压力、储层压力、原始地层压力、井底流压、储层温度、束缚水饱和度、水的压缩系数；井眼半径。
进一步的，步骤2)所述建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式的步骤具体为：理想气体流动方程为：
式中：v为流体流速，m/s；Km为页岩基质渗透率，10-3μm2；μ为气体粘度，mPa·s；α为稀薄系数，无量纲；Kn为克努森数，无量纲；b为滑脱系数，无量纲；dp/dx为沿程压力梯度，MPa/m；
克努森数为气体分子平均自由程与孔喉半径的比值为：
式中：Kn为克努森数，无量纲；为气体分子平均自由程，nm；rp为孔喉半径，nm；
气体分子平均自由程的表达式为：
式中：Z为气体的压缩因子，无量纲；Rg为气体通用常数，J/kmol/K；T为储层温度，K；μ为气体粘度，mPa·s；Mw为气体的相对分子质量，kg/kmol；p为储层压力，MPa；
克努森扩散系数为：
式中：Dk为扩散系数，mm2/s；
页岩岩石渗透率表达式可以表示为：
式中：φm为页岩基质孔隙度，无量纲；τ为孔隙迂曲度，无量纲，此处取1；
联立式(2)、(3)、(4)、(5)可以得到：
令α＝0，b＝1，把(1)式用泰勒级数展开，忽略其高阶项得到
把式(6)代入式(7)得到在页岩基质纳米孔隙中的气体渗流微分方程：
内部体积压裂区达西渗流数学模型：
外部未改造基质区克努森扩散渗流数学模型：
考虑流量为气体渗流速度与气体渗流通过面积的乘积，并进一步根据体积压裂区和页岩储层未改造基质区交界处的气体体积流量相等，可以建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式：
其中，
式中，qsc为页岩气标况下的产量，m3/d；pf为体积压裂区外边界压力，MPa；pwf为井底流压，MPa；pe为储层边界压力，MPa；为平均页岩气粘度，mPa·s；为平均压缩因子，无量纲；psc为标准状况下的压力，MPa；rw为井眼半径，m；rf为体积压裂区的半径，m；re为供给半径，m；Kf为体积压裂区渗透率，10-3μm2；h为储层厚度，m；Tsc为标准状况下的温度，K。
进一步的，所述步骤3)的具体步骤为：
(1)求解初始产量
将页岩气气藏压裂水平井的整个生产阶段划分成由若干个时间步长组成，针对第一个投产的时间步长Δt，可计算出Δt时刻的压力波传播半径R1：
式中：R1为Δt时刻的压力波传播半径，m；Δt为一个生产时间步长的时间，d；φf为体积压裂区裂缝孔隙度，无量纲；Ctf为体积压裂改造区域综合压缩系数，MPa-1；
将原始地层压力代替为第一个投产时间步长Δt下压力传播到的边界压力，根据稳态产量公式，可以计算Δt时刻的产量q1：
式中：q1为Δt时刻的产量，m3/d；Pi为原始地层压力，MPa；
Δt取值尽量小，以免R1超出体积压裂区外边界，造成较大误差；
(2)求解下一个生产时间步长下的产量
以q1作为初始产量，那么经过一个生产时间段Δtf后，可求得(Δt+Δtf)时刻压力波传播的距离R2：
式中，R2为Δt+Δtf时刻的压力波传播半径，m；Δtf为压力波在体积改造区域传播所用的时间，d；
设在Δtf时间段内，页岩气渗流为稳定渗流，产量为q1，求得累计产量Gp2：
Gp2＝q1×Δtf (15)
式中，Gp2为Δtf时间段内的累计产量，m3；
采用容积法计算在该压力波传播半径内的游离气地质储量：
Gm2＝πR2 2hφm(1-Sw)/Bgi (16)
Gf2＝πR2 2hφf(1-Sw)/Bgi (17)
式中：Gm2为Δt+Δtf时刻泄油半径内的页岩基质中的游离气量，m3；Sw为束缚水饱和度，无量纲；Bgi为原始地层条件下页岩气的体积系数，无量纲；Gf2为Δt+Δtf时刻泄油半径内的裂缝中的游离气量，m3；
根据物质平衡方程可求得压力传播半R2范围内的地层平均压力p2：
式中：p2为Δt+Δtf时刻压力波及半径内的地层平均压力，MPa；Cm为页岩基质压缩系数，MPa-1；Cw为水的压缩系数，MPa-1；Zi为原始状态下的气体压缩因子，无量纲；ρs为页岩基质密度，kg/m3；VL为朗格缪尔体积，m3/kg；pL为朗格缪尔压力，MPa；
根据稳态产量公式，求得Δt+Δtf时刻的产量q2：
式中，q2为Δt+Δtf时刻的产量，m3/d；
进一步的，步骤4)计算得到页岩气藏体积压裂水平井的非稳态产量的具体步骤为：重复步骤3)中的(2)求解下一个生产时间下的产量，计算不同生产时间下压力波及半径以及波及半径下的地层平均压力，并结合稳态产量计算公式就可以得到不同生产时刻下的产量；依次类推，就可以得到整个生产阶段页岩气藏压裂井的产量。
与现有技术相比，本申请可以获得包括以下技术效果：
1)本申请的方法在M.S.Shahamat提出的拟稳态法计算页岩气藏压裂水平井产量的基础上，把页岩气藏压裂水平井的渗流场分为体积压裂改造区和未改造基质区两个渗流场，体积压裂区为径向达西流动，未改造区为径向克努森流动，通过耦合他们之间的流动关系；并同时考虑页岩气的解析、吸附特性，建立了考虑压力波逐渐向外传播过程中的非稳态页岩气藏体积压裂水平井产量的计算方法。
2)常规计算页岩气藏体积压裂井产量的方法假设页岩气体积压裂井一投入生产，压力波就传到储层边界，这与实际情况明显不符；并且建立的数学模型复杂、需要的参数众多，求解困难。改进的技术方案充分考虑了页岩气井生产过程中压力逐渐向边界传播的过程，压力波在体积改造区和页岩基质区的不同渗流规律以及页岩气吸附解吸效应，与实际情况更加吻合。
当然，实施本申请的任一产品必不一定需要同时达到以上所述的所有技术效果。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本申请的进一步理解，构成本申请的一部分，本申请的示意性实施例及其说明用于解释本申请，并不构成对本申请的不当限定。在附图中：
图1是本申请实施例的页岩气藏体积压裂水平井物理模型图；
图2是本申请实施例的非稳态下页岩气的产量随时间的变化曲线图；
图3是本申请实施例的扩散系数对日产量的影响图；
图4是本申请实施例的页岩气解吸对日产气量的影响图；
图5是本申请实施例的朗格缪尔体积对产量的影响图；
图6是本申请实施例的朗格缪尔压力对产量的影响图。
具体实施方式
以下将配合附图及实施例来详细说明本申请的实施方式，藉此对本申请如何应用技术手段来解决技术问题并达成技术功效的实现过程能充分理解并据以实施。
实施例
(1)基本参数
某页岩气藏体积压裂水平井的主要参数如表1-表4所示。
表1压裂区物理参数表
表2页岩基质物理参数
表3页岩气物理参数
表4其它地层参数
(2)推导页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式
图1为压裂水平井物理模型，该方法假设体积压裂区和页岩基质区均为均质储层，厚度相等，只有渗透率存在差异，体积压裂区为达西流动，页岩基质区为克努森流动。rw为井眼半径，m；rf为体积压裂区半径，m；re为储层供给半径，m。
页岩基质为纳米孔隙，达西定律不再适用于描述页岩气的流动。Roy(Roy S,RajuR,Chuang H F,et al.Modeling gas flow through microchannels and nanopores[J].Appl Phys,2003,93(8):4870-4879.)等人提出根据克努森数的不同可以把流体在多孔介质中的流动划分为4个不同的流态：Kn>10为自由分子流；0.1<Kn<10为过渡流；0.001<Kn<0.1为滑移流；Kn<0.001为连续流。Beskok和Karniadakis建立起了普遍适用于连续流、滑移流、过渡流和分子流的理想气体流动方程。
式中：v为流体流速，m/s；Km为页岩基质渗透率，10-3μm2；μ为气体粘度，mPa·s；α为稀薄系数，无量纲；Kn为克努森数，无量纲；b为滑脱系数，无量纲；dp/dx为沿程压力梯度，MPa/m；
克努森数为气体分子平均自由程与孔喉半径的比值为：
式中：Kn为克努森数，无量纲；为气体分子平均自由程，nm；rp为孔喉半径，nm；
气体分子平均自由程的表达式为
式中：Z为气体的压缩因子，无量纲；Rg为气体通用常数，J/kmol/K；T为储层温度，K；μ为气体粘度，mPa·s；Mw为气体的相对分子质量，kg/kmol；p为储层压力，MPa；
克努森扩散系数为：
式中：Dk为扩散系数，mm2/s；
页岩岩石渗透率表达式可以表示为：
式中：φm为页岩基质孔隙度，无量纲；τ为孔隙迂曲度，无量纲，此处取1；
联立式(2)、(3)、(4)、(5)可以得到
令α＝0，b＝1，把(1)式用泰勒级数展开，忽略其高阶项得到
把式(6)代入式(7)得到在页岩基质纳米孔隙中的气体渗流微分方程
内部体积压裂区达西渗流数学模型：
外部页岩基质克努森扩散渗流数学模型：
考虑流量为气体渗流速度与气体渗流通过面积的乘积，并进一步根据体积压裂区和页岩储层基质区交界处的气体体积流量相等，可以建立页岩气藏压裂水平井稳态产量公式：
其中，
式中，qsc为页岩气标况下的产量，m3/s；Pf为压裂区外边界压力，MPa；Pwf为井底流压，MPa；Pe为储层边界压力，MPa；为平均页岩气粘度，mPa·s；为平均压缩因子，无量纲；Psc为标准状况下的压力，MPa；rw为井眼半径，m；rf为体积压裂区的半径，m；re为供给半径，m；Kf为体积压裂区渗透率，10-3μm2；h为储层厚度，m；Tsc为标准状况下的温度，K。
(3)基于压力波传播距离公式、稳态产量公式、物质平衡方程，运用连续拟稳定法计算非稳态下的产量。
①求解初始产量
将页岩气气藏压裂水平井的整个生产阶段划分成由若干个时间步长Δt组成，针对第一个投产的时间步长Δt，可计算出Δt时刻的压力波传播半径R1：
式中：R1为Δt时刻的压力波传播半径，m；Δt为一个生产时间步长的时间，d；φf为裂缝孔隙度，无量纲；Ctf为体积压裂改造区域储层综合压缩系数，MPa-1；
将原始地层压力代替为第一个投产时间步长Δt下压力传播到的边界压力，根据稳态产量公式，可以计算Δt时刻的产量q1：
式中：q1为Δt时刻的产量，m3/d；pi为原始地层压力，MPa；
Δt取值尽量小，以免R1超出体积压裂区外边界，造成较大误差；
②求解第二个生产时间步长下的产量
以q1作为初始产量，假定经过一个生产时间段Δtf后，可求得Δt+Δtf时刻压力波传播的距离R2；
式中，R2为Δt+Δtf时刻的压力波传播半径，m；Δtf为压力波在体积改造区域传播所用的时间，d；
假设在Δtf时间段内，页岩气渗流为稳定渗流，产量为q1，求得累计产量Gp2：
Gp2＝q1×Δtf (15)
式中，Gp2为Δtf时间段内的累计产量，m3；
用容积法计算在该压力波传播半径内的游离气地质储量：
Gm2＝πR2 2hφm(1-Sw)/Bgi (16)
Gf2＝πR2 2hφf(1-Sw)/Bgi (17)
式中：Gm2为Δt+Δtf时刻泄油半径内的页岩基质中的游离气量，m3；Sw为束缚水饱和度，无量纲；Bgi为原始地层条件下页岩气的体积系数，无量纲；Gf2为Δt+Δtf时刻泄油半径内的裂缝中的游离气量，m3；
根据物质平衡可以求得压力传播半R2范围内的地层平均压力p2：
式中：p2为Δt+Δtf时刻压力波及半径内的地层平均压力，MPa；Cm为页岩基质压缩系数，MPa-1；Cw为水的压缩系数，MPa-1；Zi为原始状态下的气体压缩因子，无量纲；ρs为页岩基质密度，kg/m3；VL为朗格缪尔体积，m3/kg；pL为朗格缪尔压力，MPa；
根据稳态产量公式，求得Δt+Δtf时刻的产量q2：
式中，q2为Δt+Δtf时刻的产量，m3/d；
③重复步骤②，计算不同生产时间下压力波及半径以及波及半径下的地层平均压力，并结合稳态产量计算公式就可以得到不同生产时刻下的产量；依次类推，就可以得到整个生产阶段页岩气藏压裂井的产量。
(3)根据输入(1)的基础参数，在总生产时间为1440d，给定时间步长为0.05d的参数条件下，计算出不同时间的压力波及半径和产量，按照上述步骤可以得到整个模拟生产阶段的产量(如图2所示)。
(4)影响页岩气藏体积压裂井产量的因素分析
图2为体积压裂页岩气日产量随时间的变化曲线。可以看出，在生产初期产量很高为14.7×104m3/d，然后产量迅速降低并趋于稳定。这是因为当页岩气藏投入开发后，压力波从井底附近向页岩气藏的边界传播。生产初期的产量主要是来自体积压裂区裂缝中的游离气，由于体积压裂区的储层渗透率高，渗流阻力小，因此压力波传播速度快，产量很高；当压力波传到体积压裂区外边界后继续向压裂区以外的未改造基质中传播时，由于页岩基质的渗透性极差，压力波传播十分缓慢，随着体积压裂区的游离气不断被采出，基质中的气体会流入体积压裂区。但由于基质渗透性极差，渗流阻力随压力波传播区域的增加而增大，并且体积压裂区不能及时补充气体，因此产量迅速降低，生产100d后的产量约为3.8×104m3/d。与生产初期相比，产量递减了将近74.1％。压力波在页岩基质中的传播是一个缓慢的过程，投入生产820d后，压力波才波及到储层边界，压力波传到边界后，产量趋于稳定，日产量为2×104m3/d。
图3是扩散系数对产量的影响结果。可以看出，当生产时间一定时，随着扩散系数增大，页岩气井体积压裂产量增高；当页岩气扩散系数增加到一定程度后，日产量的增加幅度变小。
图4是考虑页岩气解吸效应和不考虑解吸效应时页岩气日产量随时间变化的对比曲线。可以看出，在生产初期，两种情况的产量几乎一致，这表明在生产初期主要是以体积压裂改造区域的游离气为主；而随着生产时间的增加，考虑解析的页岩气体积压裂井产量要大于不考虑解析的页岩气井产量，生产50d后日产气量为4.6×104m3/d，解吸气开始贡献产量，解析页岩气的产量为4000m3/d。
图5是朗格缪尔体积对累计产气量的影响规律。朗格缪尔体积的物理意义是单位质量页岩所吸附的页岩气在标准状况下的体积。可以看出，在生产200d前，朗格缪尔体积对累计产气量的影响较小；生产200d后，随着朗格缪尔体积增大，累计产气量也在逐渐增大，但是增加幅度减小；当朗格缪尔体积达到0.1m3/kg时，累计产气量几乎不再增加。
图6是朗格缪尔压力对累计产气量的影响曲线。可以看出，随朗格缪尔压力的增加，累计产气量略有增加，但增加幅度不明显。朗格缪尔压力和朗格缪尔体积是朗格缪尔等温吸附模型中的两个重要参数，页岩气解吸对产气量有很大影响，对比图5、图6可知，朗格缪尔体积比朗格缪尔压力对页岩气藏体积压裂井的产量影响更大。
本申请的方法在M.S.Shahamat提出的拟稳态法计算页岩气藏压裂水平井产量的基础上，把页岩气藏压裂水平井的渗流场分为体积压裂改造区和未改造区两个渗流场，体积压裂区为径向达西流动，页岩基质区为径向克努森流动，通过耦合他们之间的流动关系；并同时考虑页岩气的解析、吸附特性，建立了考虑压力波逐渐向外传播过程中的非稳态页岩气藏体积压裂水平井产量的计算方法。
常规计算页岩气藏体积压裂井产量的方法假设页岩气体积压裂井一投入生产，压力波就传到储层边界，这与实际情况明显不符；并且建立的数学模型复杂、需要的参数众多，求解困难。改进的技术方案充分考虑了页岩气井生产过程中压力逐渐向边界传播的过程，压力波在体积改造区和页岩基质区的不同渗流规律以及页岩气吸附解吸效应，与实际情况更加吻合。
如在说明书及权利要求当中使用了某些词汇来指称特定成分或方法。本领域技术人员应可理解，不同地区可能会用不同名词来称呼同一个成分。本说明书及权利要求并不以名称的差异来作为区分成分的方式。如在通篇说明书及权利要求当中所提及的“包含”为一开放式用语，故应解释成“包含但不限定于”。“大致”是指在可接收的误差范围内，本领域技术人员能够在一定误差范围内解决所述技术问题，基本达到所述技术效果。说明书后续描述为实施本发明的较佳实施方式，然所述描述乃以说明本发明的一般原则为目的，并非用以限定本发明的范围。本发明的保护范围当视所附权利要求所界定者为准。
还需要说明的是，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的商品或者系统不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种商品或者系统所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的商品或者系统中还存在另外的相同要素。
上述说明示出并描述了本发明的若干优选实施例，但如前所述，应当理解本发明并非局限于本文所披露的形式，不应看作是对其他实施例的排除，而可用于各种其他组合、修改和环境，并能够在本文所述发明构想范围内，通过上述教导或相关领域的技术或知识进行改动。而本领域人员所进行的改动和变化不脱离本发明的精神和范围，则都应在本发明所附权利要求的保护范围内。
Claims (5)
1.计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，其特征在于，包括以下步骤：
1)将储层分为体积压裂区和未改造基质区，收集所述体积压裂区、未改造基质区、水平井的基本参数；
2)所述体积压裂区为达西流动，所述未改造基质区为克努森流动；根据质量守恒定律，建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式；
3)基于压力传播公式、稳态产量公式、物质平衡方程，运用连续拟稳定法计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量。
4)重复步骤3)，计算得到页岩气藏体积压裂水平井的非稳态产量。
2.如权利要求1所述的计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，其特征在于，步骤1)中所述体积压裂区、未改造基质区、水平井的参数具体包括：体积压裂区渗透率、体积压裂区裂缝孔隙度、体积压裂改造区域综合压缩系数、体积压裂区半径；稀薄系数、滑脱系数、孔喉半径、页岩基质孔隙度、页岩基质渗透率、基质综合压缩系数、页岩基质压缩系数、供给半径、页岩基质密度、储层厚度、气体粘度、朗格缪尔体积、朗格缪尔压力、储层压力、原始地层压力、井底流压、储层温度、束缚水饱和度、水的压缩系数；井眼半径。
3.如权利要求2所述的连续拟稳定法计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，其特征在于，步骤2)所述建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式的步骤具体为：理想气体流动方程为：
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<mi>K</mi>
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<mn>1</mn>
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</mrow>
</mrow>
式中：v为流体流速，m/s；Km为页岩基质渗透率，10-3μm2；μ为气体粘度，mPa·s；α为稀薄系数，无量纲；Kn为克努森数，无量纲；b为滑脱系数，无量纲；dp/dx为沿程压力梯度，MPa/m；
克努森数为气体分子平均自由程与孔喉半径的比值为：
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>n</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mover>
<mi>&lambda;</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<msub>
<mi>r</mi>
<mi>p</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：Kn为克努森数，无量纲；为气体分子平均自由程，nm；rp为孔喉半径，nm；
气体分子平均自由程的表达式为：
<mrow>
<mover>
<mi>&lambda;</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>&pi;ZR</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mi>T</mi>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>M</mi>
<mi>w</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mfrac>
<mi>&mu;</mi>
<mi>p</mi>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：Z为气体的压缩因子，无量纲；Rg为气体通用常数，J/kmol/K；T为储层温度，K；μ为气体粘度，mPa·s；Mw为气体的相对分子质量，kg/kmol；p为储层压力，MPa；
克努森扩散系数为：
<mrow>
<msub>
<mi>D</mi>
<mi>k</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>4</mn>
<msub>
<mi>r</mi>
<mi>p</mi>
</msub>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
<msqrt>
<mfrac>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>ZR</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mi>T</mi>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>&pi;M</mi>
<mi>w</mi>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
</msqrt>
<mo>&times;</mo>
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<mn>10</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：Dk为扩散系数，mm2/s；
页岩岩石渗透率表达式可以表示为：
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
<msub>
<mi>r</mi>
<mi>p</mi>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
<msub>
<mi>&phi;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mn>8</mn>
<msup>
<mi>&tau;</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>&times;</mo>
<msup>
<mn>10</mn>
<mrow>
<mo>-</mo>
<mn>3</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：φm为页岩基质孔隙度，无量纲；τ为孔隙迂曲度，无量纲，此处取1；
联立式(2)、(3)、(4)、(5)可以得到：
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>n</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>3</mn>
<msub>
<mi>&pi;&mu;&phi;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>D</mi>
<mi>k</mi>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mn>64</mn>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>p</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
令α＝0，b＝1，把(1)式用泰勒级数展开，忽略其高阶项得到
<mrow>
<mi>v</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>&mu;</mi>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mn>4</mn>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>n</mi>
</msub>
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</mrow>
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<mrow>
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<mi>p</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>7</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
把式(6)代入式(7)得到在页岩基质纳米孔隙中的气体渗流微分方程：
<mrow>
<mi>v</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>&mu;</mi>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mn>3</mn>
<msub>
<mi>&pi;&mu;&phi;</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>D</mi>
<mi>k</mi>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mn>16</mn>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>p</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
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<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>p</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
内部体积压裂区达西渗流数学模型：
<mrow>
<mi>v</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
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<mi>K</mi>
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</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
外部未改造基质区克努森扩散渗流数学模型：
<mrow>
<mi>v</mi>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>&mu;</mi>
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<mrow>
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<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
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<mn>3</mn>
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<mi>m</mi>
</msub>
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<mi>D</mi>
<mi>k</mi>
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</mrow>
<mrow>
<mn>16</mn>
<msub>
<mi>K</mi>
<mi>m</mi>
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</mrow>
</mfrac>
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<mrow>
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<mi>p</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>r</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>10</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
考虑流量为气体渗流速度与气体渗流通过面积的乘积，并进一步根据体积压裂区和页岩储层未改造基质区交界处的气体体积流量相等，可以建立页岩气藏体积压裂水平井稳态产量公式：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>q</mi>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup>
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<mi>p</mi>
<mi>f</mi>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>-</mo>
<msup>
<msub>
<mi>p</mi>
<mrow>
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<mi>f</mi>
</mrow>
</msub>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mfrac>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
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<mn>2</mn>
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<mi>B</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
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<mn>3</mn>
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<mrow>
<mn>8</mn>
<msub>
<mi>K</mi>
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</msub>
<mi>B</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，
式中，qsc为页岩气标况下的产量，m3/d；pf为体积压裂区外边界压力，MPa；pwf为井底流压，MPa；pe为储层边界压力，MPa；为平均页岩气粘度，mPa·s；为平均压缩因子，无量纲；psc为标准状况下的压力，MPa；rw为井眼半径，m；rf为体积压裂区的半径，m；re为供给半径，m；Kf为体积压裂区渗透率，10-3μm2；h为储层厚度，m；Tsc为标准状况下的温度，K。
4.如权利要求3所述的计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，其特征在于，所述步骤3)的具体步骤为：
(1)求解初始产量
将页岩气气藏压裂水平井的整个生产阶段划分成由若干个时间步长组成，针对第一个投产的时间步长Δt，可计算出Δt时刻的压力波传播半径R1：
<mrow>
<msub>
<mi>R</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>0.5879</mn>
<msqrt>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：R1为Δt时刻的压力波传播半径，m；Δt为一个生产时间步长的时间，d；φf为体积压裂区裂缝孔隙度，无量纲；Ctf为体积压裂改造区域综合压缩系数，MPa-1；
将原始地层压力代替为第一个投产时间步长Δt下压力传播到的边界压力，根据稳态产量公式，可以计算Δt时刻的产量q1：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>q</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
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<msup>
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<mn>2</mn>
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</mrow>
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<mn>2</mn>
</msup>
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<mtr>
<mtd>
<mrow>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：q1为Δt时刻的产量，m3/d；Pi为原始地层压力，MPa；
Δt取值尽量小，以免R1超出体积压裂区外边界，造成较大误差；
(2)求解下一个生产时间步长下的产量
以q1作为初始产量，那么经过一个生产时间段Δtf后，可求得(Δt+Δtf)时刻压力波传播的距离R2：
<mrow>
<msub>
<mi>R</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>0.5879</mn>
<msqrt>
<mfrac>
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<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，R2为Δt+Δtf时刻的压力波传播半径，m；Δtf为压力波在体积改造区域传播所用的时间，d；
设在Δtf时间段内，页岩气渗流为稳定渗流，产量为q1，求得累计产量Gp2：
Gp2＝q1×Δtf (15)
式中，Gp2为Δtf时间段内的累计产量，m3；
采用容积法计算在该压力波传播半径内的游离气地质储量：
Gm2＝πR2 2hφm(1-Sw)/Bgi (16)
Gf2＝πR2 2hφf(1-Sw)/Bgi (17)
式中：Gm2为Δt+Δtf时刻泄油半径内的页岩基质中的游离气量，m3；Sw为束缚水饱和度，无量纲；Bgi为原始地层条件下页岩气的体积系数，无量纲；Gf2为Δt+Δtf时刻泄油半径内的裂缝中的游离气量，m3；
根据物质平衡方程可求得压力传播半R2范围内的地层平均压力p2：
<mrow>
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<msub>
<mi>p</mi>
<mn>2</mn>
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</mrow>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>18</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：p2为Δt+Δtf时刻压力波及半径内的地层平均压力，MPa；Cm为页岩基质压缩系数，MPa-1；Cw为水的压缩系数，MPa-1；Zi为原始状态下的气体压缩因子，无量纲；ρs为页岩基质密度，kg/m3；VL为朗格缪尔体积，m3/kg；pL为朗格缪尔压力，MPa；
根据稳态产量公式，求得Δt+Δtf时刻的产量q2：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mi>q</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>19</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中，q2为Δt+Δtf时刻的产量，m3/d。
5.如权利要求4所述的计算页岩气藏体积压裂水平井非稳态产量的方法，其特征在于，所述步骤4)计算得到页岩气藏体积压裂水平井的非稳态产量的具体步骤为：重复步骤3)中的(2)求解下一个生产时间下的产量，计算不同生产时间下压力波及半径以及波及半径下的地层平均压力，并结合稳态产量计算公式就可以得到不同生产时刻下的产量；依次类推，就可以得到整个生产阶段页岩气藏压裂井的产量。
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