CN107045017A - 基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，方法包括：选取具有裂纹的薄板，在其激励点A处激发单一模态的兰姆波IA(t)；采用分段法获得接收点B接收到的多模态时域信号，通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)，计算出重构信号I′A(t)与激励信号IA(t)的波性损伤指数DI；选择含有不同裂纹深度L的薄板重复以上过程得到对应的波形损伤指数DI，通过最小二乘法进行数据拟合，得出裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式；当检测含有未知深度裂纹的薄板时，先检测得到其DI值，来确定裂纹深度L。本发明采用分段计算的方法有效地解决了Lamb波在含缺陷板材的传播问题；采用时间反转理论重构信号波形，解决了由于长距离传输导致接收点处多模态问题及无法识别的问题。
Description
技术领域
本发明属于无损检测技术领域，具体涉及基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法。
背景技术
随着材料科学和机械化制造业的高速发展，板材在航空工业、汽车工业、船舶工业以及压力锅炉和大型化工容器等方面均有广泛的应用，具体应用介绍可参见文献：HanhuiXu,Chunguang Xu,Shiyuan Zhou,Study of Lamb Wave Propagation in Plate for UNDEby 2-D FEM Model[J].IEE,2010:556-559。但是，由于板件在成型和使用过程中所产生的裂纹都会对制件的使用安全造成威胁，因此对材料进行快速、全面的质量安全检测是不可缺少的环节(见文献：Percival W.J,E.A.Birt.Insight:Non-Destructive Testing andCondition Monitoring[J],1997:728-735.)。
目前的研究已经可以通过正交匹配追踪算法和成像理论相结合的方法，实现对薄板中通孔的成像。张海燕等用解析法求解薄板中盲孔缺陷对于零阶对称Lamb波模式的散射，为盲孔缺陷的研究提供了理论指导(见文献：张海燕,孙修立,曹亚萍,陈先华,于建波.基于时间反转方法的聚焦Lamb波结构损伤成像[J].物理学报,2010,10:7111-7119.)。Lamb波在薄板中的传播都采用明德林板理论进行对波场的解析，有已知的入射波场解析出散射波场(见文献：Xu K,Ta D.Su Z,et al.Transmission analysis of ultrasonic Lambmode conversion in a plate with partial-thickness notch[J].Ultrasonics,2014,54(1):395-401.)。张宇等采用了短时傅里叶变换对铝板Lamb波检测信号进行了模式识别，可识别出时域中混叠的缺陷Lamb波信号。(见文献：张宇,黄松岭,赵伟,王珅.基于STFT的金属板缺陷Lamb波检测信号模式识别[J].电测与仪表,2015,04:19-23.)。但是Lamb波传播过程中还会产生频散现象使得得到的波形和原始激励波形有很大的差别，所以很难提取出接收波形的有效信息。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术中的不足，提供了基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，采用分段计算的方法有效的解决了Lamb波在含缺陷板材的传播分析，解决Lamb波在板材缺陷处无法传播及信号波形扭曲、频散形成的多模态特性导致接收信号难以识别的问题。
为解决上述技术问题，本发明提供了基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，包括以下步骤：
步骤S1，选取具有裂纹的薄板，此裂纹与板面垂直且深度已知，在其激励点A处激发单一模态的兰姆波IA(t)；
步骤S2，采用分段法获得接收点B接收到的多模态时域信号，其具体过程为：
将兰姆波从激励点A处到接收点B处的传播路径划分为m条沿着不同的传播路径rm进行传播，并将每条传播路径沿裂纹处分为两段，点A到裂纹处为前半段路径；裂纹到接收点B为后半段路径；
通过两个半段路径的传递函数相乘获得一条传播路径的传递函数，在B点接收到的波形可视为不同传播路径的波形叠加，进而获得所有路径的传递函数；
基于激励信号IA(t)和传递函数获得接收点B接收的多模态频域信号IB(ω)，经傅里叶逆变换得到B点接收到的多模态时域信号IB(t)；
步骤S3，通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)，根据重构信号I′A(t)与原始激励信号IA(t)计算出其波性损伤指数DI；
步骤S4，选择含有不同裂纹深度L的薄板重复步骤S1到S3得到对应的波形损伤指数DI，通过最小二乘法进行数据拟合，得出裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式；
步骤S5，当检测含有未知深度裂纹的薄板时，通过步骤S1至S3检测得到其对应的DI值，根据步骤S4中获得的裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式，来确定裂纹深度L。
进一步的，步骤S2中从A点到B点的传递函数的计算过程包括：当含有裂纹时将传播路径划分为m条不考虑包含裂纹处的路径，每条传播路径均可以利用下式进行运算，
其中，ri为其中一条传播路径，将每条路径在裂纹处分为两段，rAi为激励点A到裂纹的一条传播路径，其传递函数为rBi为裂纹到接收点B的一条传播路径，其传递函数为因为每条路径均看作是点与点之间的传播，且接收点同时又可以作为次级波源，可以将两段的传递函数直接相乘可得第i条路径的传递函数为：
最后根据惠更斯原理对不同的路径进行叠加可得所有路径的传递函数为：
其中，i表示不同传播路径的下标，m为传播路径总数。
进一步的，步骤S2中B点接收到的频域信号IB(ω)的表达式为：
其中，Dm为裂纹上下两个连续区域的坐标，IA(ω)为激励信号IA(t)经过傅里叶变换得到的频域信号，R(ω)为机电转换效率，把得到的频域波形IB(ω)通过傅里叶逆变换可以获得接收点B的多模态时域信号波形IB(t)。
进一步的，通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)的具体过程包括：
步骤S01，将多模态信号IB(t)取采样时间窗为T′，通过时间反转公式得到IB(t)的时域反转多模态信号I′B(t)，即I′B(t)＝IB(T′-t)，F-1为傅里叶逆变换，为IB(t)频域信号的复共轭；
步骤S02，交换激励点和接收点位置，将反转多模态信号I′B(t)作为激励信号进行传播；
步骤S03，通过步骤S2过程获得在A点接收得时域信号I′A(t)，对I′A(t)再次进行时间反转得到重构的单模态信号I′A(t)。可得到在A点的重构信号I′A(t)为：
其中包括重构信号波形和在其两侧分布的旁瓣，G(r,ω)为传递函数，上边加横线表示复共轭，表示实部，表示虚部。
进一步的，在步骤S3中，通过分析重建波形I′A(t)和原始激励信号IA(t)来获得损伤指数DI的公式为：
其中，t0和t1分别表示起止时间。
进一步的，裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系以幂函数为模型进行数据拟合。
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：本发明通过将Lamb的传播规律与时间反转法相结合，实现了信号聚焦和有效重构，提高了检测能力和精度；通过用分段法计算Lamb在薄板中的接收信号，解决了因裂纹导致的传播问题。采用时间反转理论重构信号波形，解决了由于长距离传输导致接收点处多模态问题，以及多模态引起波形叠加无法识别的问题；通过比较含有不同深度裂纹薄板的重构信号波形与原始激励波形的波形损伤指数DI，得到了裂纹的深度和DI值间有着一一对应关系，通过DI值得到裂纹的深度信息，为确定裂纹的具体位置提供了简便的计算方法。
附图说明
图1是Lamb在铝板中传播的宏观图；
图2是3mm厚铝制薄板中Lamb群速度频散曲线；
图3是铝板零阶反对称(S0)模态各点波结构图；
图4是薄板中含有裂纹时分段模型；
图5是本发明实施例中带裂纹的铝板模型；
图6是本发明实施例中不同裂纹深度时接收到的信号波形图：(a)是无裂纹时接收到的信号波形；(b)是L为0时接收到的信号波形；(c)是L为0.25mm时接收到的信号波形；(d)是L为0.5mm时接收到的信号波形；(e)是L为0.75mm时接收到的信号波形；
图7是本发明实施例中不同裂纹深度时重构的信号波形图：(a)是无裂纹时的重构信号波形；(b)是L为0时的重构信号波形；(c)是L为0.25mm时的重构信号波形；(d)是L为0.5mm时的重构信号波形；(e)是L为0.75mm时的重构信号波形；
图8是不同深度裂纹L与对应的DI值曲线图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。
超声Lamb(兰姆波)是边界自由的弹性固体板中传播的一种导波，其中板的厚度与激励Lamb波的波长在同一数量级，是纵波和横波的质点运动相互耦合所形成的结果如图1所示。Lamb波是超声无损检测中最常见的一种导波形式，当Lamb波在板中传播时，会和结构进行相互作用，遇到有缺陷时，会发生散射、反射，甚至是模式转换等现象，此时的Lamb波已经包含了结构内部的完整信息，利用Lamb波的这个特性对采集到的信号进行分析研究，就能判断和评估板内部的结构损伤情况，这正是Lamb波无损检测的基本原理。
本发明的一种基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，包括以下步骤：
步骤S1，选取具有裂纹的薄板，此裂纹与板面垂直且深度已知，在其激励点A处激发单一模态的兰姆波IA(t)。
已知兰姆波具有频散特性和多模态特性。图2为3mm厚铝制薄板中Lamb群速度频散曲线，当Lamb波在金属板中传播时，每种波模式的相速度和群速度都不同，会随频率的变化而变化，这种特点则称为Lamb波的频散。Lamb波的相速度频散曲线可反映此特性，群速度频散曲线则反映了Lamb波在金属板中传播的多模态特性。
由于金属板中传播的兰姆波具有频散及多模态等特点，使多种模式兰姆波的回波重叠在一起形成波包，对裂纹(也可称为缺陷)检测回波信号的分析及识别异常困难。所以，在检测时需选择纯净的单一模态及激发频率才能更准确地进行信号分析。因此，根据薄板中传播兰姆波频散曲线，确定激发频率，运用电磁超声原理激励产生单一模态兰姆波对薄板裂纹进行检测。图3是铝板零阶反对称(S0)模态各点波结构图，以3mm铝制薄板为研究对象，运用电磁超声原理在激励点处产生较为纯净的单一模态Lamb波(S0阶模态)，激发频率为500KHz，图中实线ω为沿厚度方向的面内位移，虚线u为离面位移。可以看出铝板中零阶反对称模态的Lamb波面内位移在板内分量较大，适合检测板内与中性面垂直的缺陷。而且面内位移离板中面越近的质点位移振动的幅度越大，越靠近板面的质点振动的幅度越小，质点在板内振动也是不均匀的。所以零阶反对称模态的Lamb波适合裂纹缺陷的检测。
选取有裂纹的板材一块，此板材为有裂纹的铝制薄板，裂纹与板面垂直且大小已知。在板材左侧选取一个激励点A，板材右侧选取一个接收点B，激励点A与接收点B的连线与所选板材中线平行；采用电磁超声换能器激发单一模态的Lamb波时域信号IA(t)作为激励点A的激励信号。
步骤S2，将从激励点A处到接收点B处的传播路径划分为m条沿着不同的传播路径rm进行传播，将薄板沿裂纹处分为两段，点A到裂纹处为前半段路径；裂纹到接收点B为后半段路径，在B点接收到的波形可视为不同传播路径的波形叠加，获得波形传递函数以及B点接收到的多模态时域信号。
当薄板中无缺陷时，可以采用明德林板理论推导得到点到点的波形传递函数，已知研究的薄板中无缺陷时，采用明德林板理论推导得到经过简化的波形传递函数为：
式中，i为虚数单位，ω为角频率，W为薄板的抗弯刚度，d为板厚，k1和k2表示不同模态的波数，a为传感器的有效半径，J1()是一阶贝塞尔函数，为第一类零阶Hankel函数，ρ为密度，M为有效的横向切变模量。此频率响应函数可应用于无缺陷时Lamb波在板材中的传播问题。而检测薄板裂纹时兰姆波的传播，无法直接采用式(1)来研究Lamb波的传播问题。因此本发明采用分段计算的方法，当薄板中含有裂纹缺陷时，如图4所示，沿裂纹从上到下，将从激励点A处到接收点B处的传播路径划分为m条沿着不同的传播路径rm进行传播。将薄板沿裂纹处分为两段，点A到裂纹处为前半段路径；裂纹到接收点B为后半段路径，在B点接收到的波形可视为不同传播路径的波形叠加。
将无裂纹时的频率响应函数式(1)简化，并提取出与位置相关项得
其中，称为波形传递函数N(r,ω)的频率响应函数，k(ω)为ω对应的波数。当含有裂纹时将传播路径划分为m条不考虑包含裂纹处的路径，每条传播路径均可以利用式(2)进行运算
其中，ri为其中一条传播路径，将每条路径在裂纹处分为两段，rAi为激励点A到裂纹的一条传播路径，其传递函数为rBi为裂纹到接收点B的一条传播路径，其传递函数为因为每条路径均看作是点与点之间的传播，且接收点同时又可以作为次级波源，可以将两段的传递函数直接相乘可得第i条路径的传递函数为：
最后根据惠更斯原理对不同的路径进行叠加可得
其中，i表示不同传播路径的下标，m为传播路径总数。
因为次级波源(裂纹的上下点阵作为前段的接收点以及后段的激励点)是连续的点，所述激励信号IA(t)在传播过程中经过有裂纹的板材到达接收点B，接收的信号为多模态，其频域信号IB(ω)可以将求和直接进行积分求得IB(ω)的表达式：
其中，Dm为裂纹上下两个连续区域的坐标，不同深度的裂纹对应的Dm所表示的区域也不同。其中IA(ω)为激励信号IA(t)经过傅里叶变换得到的频域信号，R(ω)为机电转换效率。把得到的频域波形IB(ω)通过傅里叶逆变换可以获得接收点B的多模态时域信号波形IB(t)。计算公式为：
IB(t)＝F-1[IB(ω)] (7)
步骤S3，通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)，计算出重构信号I′A(t)与原始激励信号IA(t)的波性损伤指数DI。
通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)的具体过程包括：
步骤S01，将多模态信号IB(t)取采样时间窗为T′，通过时间反转公式得到IB(t)的时域反转多模态信号I′B(t)，即I′B(t)＝IB(T′-t)。F-1为傅里叶逆变换，为IB(t)频域信号的复共轭；
步骤S02，交换激励点和接收点位置，将反转多模态信号I′B(t)作为激励信号进行传播，这是多模态向单模态转变的过程；
步骤S03，通过以上分段计算方法获得在A点接收得多模态时域信号I′A(t)，对I′A(t)再次进行时间反转得到重构的单模态信号I′A(t)。可得到在A点的重构信号I′A(t)为：
其中包括重构信号波形和在其两侧分布的旁瓣，R(ω)为机电转换效率，G(r,ω)为传递函数，上边加横线表示复共轭，表示实部，表示虚部。
将时间反转法应用于导波检测技术中，一方面可使同损伤源相关的多个导波信号在同一时间汇聚到损伤处，另一方面可降低导波的频散特性，使再次采集到的损伤散射信号得到增强，波形易于识别。
重建波形相比于原始激励信号波形产生了极大的波形扭曲。基于这一原则，可通过比较这两个波形的相似度来校对基于时间反转的损伤指数(Damage index，DI)，并识别传播路径影响区域内的缺陷信息。《结合时间反转的兰姆波与加权分布成像算法对多损伤识别的研究》中证明，如果缺陷出现在激励感应波信号的传感路径上，基于时间反转的DI值会增大。不同深度的裂纹对应了不同的波性损伤指数，重构波形的波形损伤指数(DI)是衡量重构信号波形和原始激励信号波形匹配程度，如果重构波形和原始激励波形完全匹配时DI值等于零；当波形扭曲严重失配时DI值不等于零。
通过分析重建波形I′A(t)和原始波形IA(t)的相关性来获得损伤指数DI的公式为：
其中，t0和t1分别表示起止时间。
步骤S4，选择含有不同裂纹深度L的薄板重复步骤S1到S3得到对应的波形损伤指数DI，通过最小二乘法进行数据拟合，得出裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式；
通过最小二乘法进行数据拟合，得出裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式，裂纹深度L是指裂纹中心与薄板中面距离，单位为mm。
步骤S5，当检测含有未知深度裂纹的薄板时，通过步骤S1至S3检测得到其对应的DI值，基于步骤S4中获得的裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式，来确定裂纹深度L。
可以看出当裂纹大小一定时随着裂纹深度的变浅DI值也随之变小，呈现出特有的线性相关性。说明时间反转理论得到的重构波形也完全加载了缺陷的位置信息。而实际生活中深度信息是未知的，所以可以对检测到的信号进行处理得到DI值，从得到的DI值来确定裂纹深度这一位置信息。
实施例
本发明实施例以铝制薄板为例对裂纹深度进行分析。首先通过检测接收反射波所需的时间和传播速度乘积可获得裂纹的纵向位置X1；其次，再通过反射系数或透射系数可得出裂纹的大小P，其中裂纹的厚度可视为很薄。再次，以裂纹的中心与中面的距离L表示裂纹的深度，如图5所示。需要说明的是裂纹的深度对评价板材的优劣取舍，以及确定裂纹出现原因的评估都有着至关重要的参考价值，而且在力学的角度分析可知，如果裂纹在靠近板面处时受到持续性的压力会比在中面附近时的薄板更容易断裂。
Lamb波检测裂纹深度的有限元模型如图5所示，有限元模型在物理仿真软件COMSOL的环境下建立，采用电磁模块和固体力学模块相结合的方法进行求解(参见R.l.Su,S.j.Wang and G.f.Zhai.Nondestructive Evaluation/Testing(FENDT))，并将计算结果导入MATLAB进行后处理。本实施例中对含有深度不同既L不同的含裂纹铝制薄板进行建模仿真。式(10)是通过物理仿真软件COMSOL构建的电磁模块和固体力学模块共同作用产生一个入射信号
IA(t)＝I·sin(2πft)·sin(2πft/10) (10)
其中电流大小I为10A、激励周期T为5个、频率f为500kHz、铝板的厚度d为3mm、长l为300mm。为避免有反射波影响，把激励波形的电磁模块放在铝板的中间、裂纹在距离激励点A为60mm处，在距离激励点A为120mm处为接收点B。因为在S0阶模态中频厚积为1.5MHz·mm的Lamb面内位移占主导，所以接收波形信号为铝板质点的面内位移。
仿真结果，如图6所示，(a)是无裂纹时接收到的信号波形；(b)是L为0时接收到的信号波形；(c)是L为0.25mm时接收到的信号波形；(d)是L为0.5mm时接收到的信号波形；(e)是L为0.75mm时接收到的信号波形。从仿真结果看出；当裂纹处于不同位置时所得到的信号波形的形状也是不同的。因为当传播路径存在裂纹时，Lamb波与裂纹进行交互作用会发生散射现象从而产生其它模态的Lamb波，由波结构图可知质点在薄板中不同位置的振幅不同，所以不同深度的裂纹会发生不同程度的散射现象。从发射信号到接收信号的距离为120mm，如图6所示，可以从接收数据的非零纵坐标对应的时间坐标准确的确定信号的接收时间。接收到信号所用的时间为2.67*10-5s，由此计算得超声波的传播速度为4494m/s。由于铝板厚度为3mm，而且超声波的频率为500kHz，所以频厚积为1.5MHz·mm。在频厚积为1.5MHz·mm处的S0阶模态的群速度为4483m/s，故接收信号是S0阶模态Lamb波。由于Lamb波具有多模态特性，当入射单一模态的Lamb波时，与缺陷的交互作用使得散射场中仍然会检测到所有可能存在的模态，且不同的模态散射场分布不同，整个散射场由多种模态的散射场共同作用形成。因此，在不同模态的相互叠加下，接收波形信号和原始波形信号会有明显的差异，这也是频散特性的本质。
由于频散特性的存在导致的波形失真问题，引入了时间反转这一理论重构信号波形，不同裂纹深度重构信号波形如图7所示。图7：(a)是无裂纹时的重构信号波形；(b)是L为0时的重构信号波形；(c)是L为0.25mm时的重构信号波形；(d)是L为0.5mm时的重构信号波形；(e)是L为0.75mm时的重构信号波形。由于薄板中裂纹的存在影响了时间反转的可逆性，并且裂纹深度的不同使得重构的信号波形产生不同程度的波形扭曲，所以重构信号也完全加载了裂纹位置的相关信息。
通过分析重建波形I′A(t)和原始波形IA(t)的相关性来校对损伤指数。如果重构波形和原始激励波形完全匹配时DI值很小约等于零；当波形扭曲严重时DI值就越大。如图5所示，为铝制薄板且上下表面平滑无附着层，存在一处裂纹而裂纹的深度可以在仿真模型上任意设定。有单发射单接收模块作为激励点和接收点，分别位于裂纹的两侧。当裂纹大小一定时随着裂纹深度的改变DI值也随之改变，呈现出特有的线性相关性，如图8所示。说明时间反转理论得到的重构波形也完全加载了缺陷的位置信息。通过最小二乘法以幂函数为模型进行数据拟合，得出裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式，L＝8.9*10^(-4)*DI^(-2.046)-0.6846，单位为mm，当检测含有未知深度裂纹的薄板时，可以通过检测得到其对应额DI值，带入关系式来确定裂纹深度L。
目前，现有的方法没有能对6mm以下的薄板中的裂纹深度做出准确的检测，本文采用Lamb波结合时间反转理论重构原始信号。建立波形损伤指数与裂纹深度的线性关系式，通过此关系式可确定裂纹深度。
本发明针对工程中的实际需求，通过将Lamb的传播规律与时间反转法相结合，实现了信号聚焦和有效重构，提高了检测能力和精度；通过用分段法计算Lamb在薄板中的传播规律，解决了因缺陷导致的传播问题。从结果中分析可知采用这种方法可以有效的得到裂纹的深度信息，为确定缺陷的具体位置提供了更有利的理论保证。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变型，这些改进和变型也应视为本发明的保护范围。
Claims (6)
1.基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，其特征是，包括以下步骤：
步骤S1，选取具有裂纹的薄板，此裂纹与板面垂直且深度已知，在其激励点A处激发单一模态的兰姆波IA(t)；
步骤S2，采用分段法获得接收点B接收到的多模态时域信号，其具体过程为：
将兰姆波从激励点A处到接收点B处的传播路径划分为m条沿着不同的传播路径rm进行传播，并将每条传播路径沿裂纹处分为两段，点A到裂纹处为前半段路径；裂纹到接收点B为后半段路径；
通过两个半段路径的传递函数相乘获得一条传播路径的传递函数，在B点接收到的波形可视为不同传播路径的波形叠加，进而获得所有路径的传递函数；
基于激励信号IA(t)和传递函数获得接收点B接收的多模态频域信号IB(ω)，经傅里叶逆变换得到B点接收到的多模态时域信号IB(t)；
步骤S3，通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)，根据重构信号I′A(t)与激励信号IA(t)计算出其波性损伤指数DI；
步骤S4，选择含有不同裂纹深度L的薄板重复步骤S1到S3得到对应的波形损伤指数DI，通过最小二乘法进行数据拟合，得出裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式；
步骤S5，当检测含有未知深度裂纹的薄板时，通过步骤S1至S3检测得到其对应的DI值，根据步骤S4中获得的裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系式，来确定裂纹深度L。
2.根据权利要求1所述的基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，其特征是，步骤S2中从A点到B点的传递函数的计算过程包括：当含有裂纹时将传播路径划分为m条不考虑包含裂纹处的路径，每条传播路径均可以利用下式进行运算，
<mrow>
<mi>N</mi>
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</mrow>
其中，ri为其中一条传播路径，将每条路径在裂纹处分为两段，rAi为激励点A到裂纹的一条传播路径，其传递函数为rBi为裂纹到接收点B的一条传播路径，其传递函数为
因为每条路径均看作是点与点之间的传播，且接收点同时又可以作为次级波源，可以将两段的传递函数直接相乘可得第i条路径的传递函数为：
<mrow>
<mi>G</mi>
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最后根据惠更斯原理对不同的路径进行叠加可得所有路径的传递函数为：
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</mrow>
其中，i表示不同传播路径的下标，m为传播路径总数。
3.根据权利要求2所述的基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，其特征是，步骤S2中B点接收到的频域信号IB(ω)的表达式为：
<mfenced open = "" close = "">
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1
其中，Dm为裂纹上下两个连续区域的坐标，IA(ω)为激励信号IA(t)经过傅里叶变换得到的频域信号，R(ω)为机电转换效率，把得到的频域波形IB(ω)通过傅里叶逆变换可以获得接收点B的多模态时域信号波形IB(t)。
4.根据权利要求1所述的基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，其特征是，通过时间反转方法得到在A点的重构信号I′A(t)的具体过程包括：
步骤S01，将多模态信号IB(t)取采样时间窗为T′，通过时间反转公式得到IB(t)的时域反转多模态信号I′B(t)，即I′B(t)＝IB(T′-t)，F-1为傅里叶逆变换，为IB(t)频域信号的复共轭；
步骤S02，交换激励点和接收点位置，将反转多模态信号I′B(t)作为激励信号进行传播；
步骤S03，通过步骤S2过程获得在A点接收得时域信号I′A(t)，对I′A(t)再次进行时间反转得到重构的单模态信号I′A(t)。可得到在A点的重构信号I′A(t)为：
其中包括重构信号波形和在其两侧分布的旁瓣，G(r,ω)为传递函数，上边加横线表示复共轭，表示实部，表示虚部。
5.根据权利要求1所述的基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，其特征是，在步骤S3中，通过分析重建波形I′A(t)和原始激励信号IA(t)来获得损伤指数DI的公式为：
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</mrow>
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</mrow>
其中，t0和t1分别表示起止时间。
6.根据权利要求1所述的基于超声兰姆波和时间反转理论的薄板裂纹深度分析方法，其特征是，裂纹深度L与波形损伤指数DI的关系以幂函数为模型进行数据拟合。
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