CN107015287B - 一种重力梯度测量装置及测量方法 - Google Patents

Abstract

一种重力梯度测量装置，其旋转台(3)绕地垂轴水平旋转。旋转台(3)上从外到内依次为真空层(7)、第一磁屏蔽层(4)、液氮层(6)和第二磁屏蔽层(5)。在第二磁屏蔽层(5)内，在x轴上两个三轴加速度计(1、2)关于坐标轴原点以半径R的距离对称布置。第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)在z轴上的距离坐标轴原点的距离分别是h/2。第一磁屏蔽层(4)为常温金属屏蔽层，用于屏蔽外界地磁场干扰，第二磁屏蔽层(5)是高温超导屏蔽层，用于屏蔽外界交流磁场干扰。本发明通过两个三轴加速度计实现全张量重力梯度的测量。

Description

一种重力梯度测量装置及测量方法

技术领域

本发明涉一种重力梯度测量装置及其测量方法。

背景技术

重力梯度测量始于油气普查勘探应用。在20年代的美国，扭秤重力梯度仪是油气勘探普查的唯一有效工具。由于仪器笨重，效率低，梯度数据的解释方法研究又没有跟上，后来逐渐被淘汰。但是随着时代的发展，高精度重力梯度数据的重要性逐渐显现出来，无论是对于地质勘探，地球重力场的精细模拟还是高精度的惯性导航，它都不可或缺。重力梯度测量，即测量地球重力加速度随空间的变化。由于重力梯度是地球重力场的空间微分，反映重力沿空间不同方向的变化率，因此，重力梯度测量能够反映场源的细节。由于重力梯度值或重力高次导数具有比重力本身更高的分辨率，这是重力梯度测量最主要的优点，用测量重力势二阶导数的重力梯度仪实时测量重力梯度张量分量，就能获得更准确的重力值和垂直偏差，对空间科学、地球科学和地质科学等科学技术发展起着重要作用。惯性导航系统定位精度高，但缺陷在于误差随时间积累不断增加，必须定期重调。重力梯度测量是水下修正或限定无源自主惯导系统误差积累的一种重要方法，不仅可以提高惯性导航的精度，而且解决了水下导航的长期隐蔽性问题。

重力梯度：重力加速度矢量的一阶空间导数，即重力位的二阶空间导数，可由下述张量表示：

其中由于重力梯度场的对称性和无旋性，又有Γ_xy＝Γ_yx,Γ_xz＝Γ_zx,Γ_yz＝Γ_zy，Γ_xx+Γ_yy+Γ_zz＝0。因此，重力梯度的9个张量可以简化为5个独立张量。如果测量得到5个独立张量，即可得到所有9个张量信息，即全张量重力梯度测量。

目前重力梯度测量方法主要是基于差分加速度测量原理，通过加速度计之间观测量的不同组合能够获取引力梯度张量的各个分量。

全张量重力梯度测量要么需要三个正交旋转轴来分离梯度信号，特别是重力梯度的非对角分量；要么需要额外使用角加速度计来测量非对角分量以及消除动态误差，一般需要6个以上加速度计的组合结构，大大增加了仪器系统的复杂性和成本。

发明内容

本发明的目的是克服目前重力梯度测量结构和测量方法复杂的缺点，提出一种简单的重力梯度测量装置和测量方法，本发明可以进行全张量重力梯度测量。

本发明重力梯度测量装置，包括旋转台、第一三轴加速度计、第二三轴加速度计、第一磁屏蔽层、第二磁屏蔽层、液氮层和真空层。

所述的旋转台可绕地垂轴水平旋转。在旋转台上从外到内依次布置有真空层、第一磁屏蔽层、液氮层、第二磁屏蔽层。在第二磁屏蔽层内，在x轴上两个三轴加速度计关于坐标轴原点以半径R的距离对称布置。第一三轴加速度计和第二三轴加速度计在z轴上的距离坐标轴原点的距离分别是h/2，h为在z轴上第一三轴加速度计和第二三轴加速度计之间的距离。

所述的第一三轴加速度计和第二三轴加速度计的结构和功能相同，均包括悬浮质量体、x轴加速度检测电极、y轴加速度检测电极和z轴加速度检测电极。x轴加速度检测电极、y轴加速度检测电极和z轴加速度检测电极组成一个腔，悬浮质量体悬浮在该腔的中心位置。悬浮质量体为一个空心的外表面封闭的金属质量体。x轴加速度检测电极、y轴加速度检测电极和z轴加速度检测电极通过高频电容电桥电路实现x轴、y轴和z轴加速度值测量，即通过测量悬浮质量体在x轴、y轴和z轴方向上的位移，然后通过位移对时间的二阶求导得到x轴、y轴和z轴方向上的加速度大小。x轴加速度检测电极、y轴加速度检测电极和z轴加速度检测电极通过加载在电极上的低频电压实现x轴、y轴、z轴三个正交方向上的静电力支承和反馈控制的功能。

所述的第一磁屏蔽层为常温金属屏蔽层，材料为坡莫合金。第二磁屏蔽层为高温超导屏蔽层，材料为YBCO金属化合物。第一磁屏蔽层用来屏蔽外界地磁场干扰，第二磁屏蔽层用来屏蔽外界交流磁场干扰。

所述的液氮层为一个圆柱形的双层金属薄壁层，在金属薄壁层内充入液体氮。液氮层内部实现77K左右的低温环境，使得第二磁屏蔽层的YBCO金属化合物实现超导态，液氮层还可以降低第一三轴加速度计和第二三轴加速度计的布朗运动热噪声，提高第一三轴加速度计和第二三轴加速度计的测量精度。

本发明装置工作时，首先旋转台绕垂直于水平面的旋转轴低速旋转，第一三轴加速度计和第二三轴加速度计分别在旋转过程中测量x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度。通过以下测量方法及公式(1-11)，将第一三轴加速度计和第二三轴加速度计测量得到的加速度信号a_1x、a_2x、a_3x，a_1y、a_2y、a_3y，a_1z、a_2z、a_3z进行滤波分离处理，即可得到五个重力梯度独立分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)，Γ_ZZ值，即可获得全张量重力梯度。

应用本发明重力梯度测量装置测量重力梯度的方法如下：

首先通过第一三轴加速度计和第二三轴加速度计分别在旋转过程中测量x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度值，两个三轴加速度计测量的x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度值相减，得到差分加速度，重力梯度参数与差分加速度值之间关系的公式为：

其中，f₁ ^a，分别为第一三轴加速度计和第二三轴加速度计在坐标系a内的测量值矩阵；Γ^a为第一三轴加速度计和第二三轴加速度计所在坐标系a系下的重力梯度矩阵，惯性系下的重力梯度矩阵可以通过坐标变换得到；ρ^a为第一三轴加速度计和第二三轴加速度计位置向量的差值矩阵，当第一三轴加速度计和第二三轴加速度计的摆放位置相对固定时，此值恒定；L^a为第一三轴加速度计和第二三轴加速度计测量值对位移直接差分后得到的梯度测量矩阵，其中还包含角速度分量及角加速度分量 为惯性坐标系旋转加速度，为坐标系a的角速度。

角速度矩阵：

角加速度矩阵：

ω_x、ω_y、ω_z为惯性坐标系下旋转角速度在x、y、z轴上的分量。

第一三轴加速度计和第二三轴加速度计在坐标系a内的测量值矩阵为：

位移差分矩阵为：

将式(4)、(5)代入公式(1)可得：

L^a为梯度测量矩阵，其中还包含角速度及角加速度分量。

将式(2)的角速度矩阵和式(3)的角加速度矩阵代入式(6)，展开可得：

至此获得了第一三轴加速度计和第二三轴加速度计的测量值与坐标系a下重力梯度的直接关系，下面进行坐标系a与惯性坐标系的坐标变换。

坐标系a下的重力梯度矩阵Γ^a与惯性系下的重力梯度矩阵Γ^g的坐标变换公式为：

其中，为a坐标系下x向重力加速度在x轴上的重力梯度值、为a坐标系下y向重力加速度在y轴上的重力梯度值、为a坐标系下z向重力加速度在z轴上的重力梯度值，为a坐标系下x向重力加速度在y轴上的重力梯度值、为a坐标系下y向重力加速度在x轴上的重力梯度值，为a坐标系下x向重力加速度在z轴上的重力梯度值、为a坐标系下y向重力加速度在z轴上的重力梯度值，为a坐标系下z向重力加速度在y轴上的重力梯度值、为a坐标系下z向重力加速度在x轴上的重力梯度值；

Γ_XX为惯性坐标系下x向重力加速度在x轴上的重力梯度值、Γ_YY为惯性坐标系下y向重力加速度在y轴上的重力梯度值、Γ_ZZ为惯性坐标系下z向重力加速度在z轴上的重力梯度值，Γ_XY为惯性坐标系下x向重力加速度在y轴上的重力梯度值、Γ_YX为惯性坐标系下y向重力加速度在x轴上的重力梯度值，Γ_XZ为惯性坐标系下x向重力加速度在z轴上的重力梯度值、Γ_YZ为惯性坐标系下y向重力加速度在z轴上的重力梯度值，Γ_ZY为惯性坐标系下z向重力加速度在y轴上的重力梯度值、Γ_ZX为惯性坐标系下z向重力加速度在x坐标轴上的重力梯度值。

当坐标系a绕惯性系旋转的角速度为ω时，变换公式的转置矩阵为：

将式(9)代入式(8)展开，得到：

得到：

由于第一三轴加速度计和第二三轴加速度计仅绕Z轴旋转，因此ω_x＝ω_y＝0，ω_z恒等于ω，故将式(10)代入式(7)，整理可得：

a_1Z-a_2Z＝2RsinωtΓ_YZ-2RcosωtΓ_XZ-hΓ_ZZ (11)

对式(11)所示的所得结果进行分析，可以发现四个重力梯度分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)分别附加在第一三轴加速度计和第二三轴加速度计输出组合中的旋转角速度ω的一倍频和二倍频正交信号上。首先对四个重力梯度分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)通过分频，分别获取一倍频和二倍频的信号，再分别通过放大解调，并经由两个相差90°的滤波信号分离处理，即可获得4个重力梯度分量。而Γ_ZZ分量为Z轴方向上的加速度输出组合a_1Z-a_2Z中的常量，即Γ_ZZ＝(a_2z-a_1z)/h，通过滤波即可获得该分量。至此，可以获得重力梯度的全部5个独立分量，即可获得全张量重力梯度。

上述各公式及数学表达式中的符号含义为：

X,Y,Z：空间的三个坐标轴；

O：空间坐标轴的零点；

a₁,a₂：分别表示两个三轴加速度计；

a_1X,a_1Y,a_1Z：分别表示三轴加速度计a₁在X轴,Y轴,Z轴方向上的测量输出；

a_2X,a_2Y,a_2Z：分别表示三轴加速度计a₂在X,Y,Z轴方向上的测量输出；

R：三轴加速度计a₁或a₂与零点O在X轴上的距离；

h：三轴加速度计a₁和a₂在z轴上的距离；

ω：角速度矢量。正常有ω_x,ω_y,ω_z三个分量，是一个3×1向量，但是本发明装置只绕Z轴旋转，所以在计算中其标量值等于ω_z；

角加速度矢量，为角速度ω的一阶导。正常有三个分量，是一个3×1向量。按理想匀角速度旋转，

ω_x,ω_y,ω_z：分别为绕X轴,Y轴,Z轴的角速度。角速度矢量方向通过右手定则判断，即所围绕旋转的轴为该轴的角速度方向；

分别为绕X轴,Y轴,Z轴的角加速度；

X_a-O-Y_a：为X-O-Y平面上的坐标系a，与三轴加速度计固连，随三轴加速度计一起旋转，即三轴加速度计在X_a-O-Y_a坐标系中的位置向量保持不变；

X_g-O-Y_g：为X-O-Y平面上的坐标系g，为惯性系，静止，不与三轴加速度计一起旋转；

f₁ ^a,分别为两个三轴加速度计在坐标系a内的测量值矩阵；

Γ^a：为三轴加速度计所在坐标系a系下的重力梯度矩阵；

Γ^g：为坐标系g系，即惯性坐标系下的重力梯度矩阵；

r₁ ^a：三轴加速度计a₁在坐标系a中的位置向量，为

三轴加速度计a₂在坐标系a中的位置向量，为

ρ^a：为三轴加速度计a₁和a₂在坐标系a中位置向量的差值矩阵；

Ω：角速度矩阵；

角加速度矩阵；

L^a：梯度测量矩阵，为加速度计输出值的组合直接除以位移差分得到的量，其中含有角速度及角加速度等杂质量。因为是在a坐标系下，所以右上角标a。

梯度测量矩阵L^a内包含：

坐标系a下的梯度矩阵Γ^a包含：

惯性坐标系g下的梯度矩阵Γ^g包含：

Γ^g也是本发明测量方法的目标梯度矩阵。

附图说明

图1重力梯度测量装置示意图，图中：1第一三轴加速度计、2第二三轴加速度计、3旋转台、4第一磁屏蔽层、5第二磁屏蔽层、6液氮层、7真空层；

图2三轴加速度计电极结构示意图，图中：8悬浮质量体，9x轴加速度检测电极，10y轴加速度检测电极，11z轴加速度检测电极；

图3三轴加速度计位置布置示意图，其中图3a为立体图，图3b为正视图，图3c为俯视图；

图4三轴加速度计的坐标旋转示意图。

具体实施方式

以下结合附图及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明重力梯度测量装置包括旋转台3、第一三轴加速度计1、第二三轴加速度计2、第一磁屏蔽层4、第二磁屏蔽层5、液氮层6和真空层7。

所述的旋转台3可绕地垂轴水平旋转，在旋转台3上从外到内依次布置的是真空层7、第一磁屏蔽层4、液氮层6、第二磁屏蔽层5。在旋转台3上的第二磁屏蔽层5内，在x在x轴上两个三轴加速度计(1、2)关于坐标轴原点以半径R的距离对称布置。第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2在z轴上的距离坐标轴原点的距离分别是h/2，h为第一三轴加速度计和第二三轴加速度计两者之间在z轴上的距离。

所述的第一磁屏蔽层4为常温金属屏蔽层，材料为坡莫合金。第二磁屏蔽层5是高温超导屏蔽层，材料为YBCO金属化合物。第一磁屏蔽层4用来屏蔽外界地磁场干扰，第二磁屏蔽层5用来屏蔽外界交流磁场干扰。

所述的液氮层6为一个圆柱形的双层金属薄壁层，在金属薄壁层内充入液体氮。液氮层6内部实现77K左右的低温环境，使得第二磁屏蔽层5的YBCO金属化合物实现超导态，并可以降低第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2的布朗运动热噪声，提高两个第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2的测量精度。

如图2所示，所述的第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2的结构和功能相同，均包括悬浮质量体8、x轴加速度检测电极9、y轴加速度检测电极10和z轴加速度检测电极11。x轴加速度检测电极9、y轴加速度检测电极10和z轴加速度检测电极11组成一个腔，悬浮质量体8悬浮在该腔的中心位置。悬浮质量体8为一个空心的外表面封闭的金属质量体。x轴加速度检测电极9、y轴加速度检测电极10和z轴加速度检测电极11通过高频电容电桥电路实现x轴、y轴和z轴加速度值测量，即通过测量悬浮质量体8在x轴、y轴和z轴方向上的位移，然后通过位移对时间的二阶求导得到x轴、y轴和z轴方向上的加速度大小。x轴加速度检测电极9、y轴加速度检测电极10和z轴加速度检测电极11通过加载在电极上的低频电压实现x轴、y轴、z轴三个正交方向上的静电力支承和反馈控制的功能。

应用本发明重力梯度测量装置测量重力梯度的方法如下：

如图3所示，第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2在x轴、y轴、z轴上的位置坐标分别为(R、0、h/2)和(-R、0、-h/2)。确定一个加速度计坐标系X_a-O-Y_a，称之为坐标系a，与图3所示的坐标系X-O-Y在同一平面上。但是坐标系a与三轴加速度计是固连的，即加速度计坐标系X_a-O-Y_a是随三轴加速度计一起旋转的坐标系，而X_g-O-Y_g则是惯性坐标系。

首先通过第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2分别在旋转过程中测量x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度的差值，两个三轴加速度计测量的x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度相减，得到差分加速度，差分加速度与重力梯度参数的关系公式为：

其中，f₁ ^a,分别为第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2在坐标系a内的测量值矩阵；Γ^a为第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2所在坐标系a系下的重力梯度矩阵，惯性系下的重力梯度矩阵可以通过坐标变换得到；ρ^a为第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2位置向量的差值矩阵，当第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2之间的摆放位置相对固定时，此值恒定；L^a为第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2测量值对位移直接差分后得到的梯度测量矩阵，其中还包含角速度分量及角加速度分量 为惯性坐标系旋转加速度，为坐标系a的角速度。

角速度矩阵：

角加速度矩阵：

第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2在坐标系a内的测量值矩阵可写为：

位移差分矩阵为：

将式(4)、式(5)代入公式(1)可得：

L^a为梯度测量矩阵，其中还包含角速度及角加速度分量，将角速度矩阵(2)和角加速度矩阵(3)代入式(6)，展开可得：

至此获得了第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2测量值与坐标系a下重力梯度的直接关系，以下进行坐标系a下的重力梯度与惯性系的坐标变换。

坐标系a下的重力梯度与惯性坐标系下的重力梯度的坐标变换公式为：

如图4所示，当坐标系a绕惯性系旋转的角速度为ω时，变换公式的转置矩阵为：

将式(9)代入式(8)，展开：

得到：

由于第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2仅绕Z轴旋转，因此ω_x＝ω_y＝0，ω_z恒等于ω，故将式(10)代入式(7)，整理可得：

a_1Z-a_2Z＝2RsinωtΓ_YZ-2RcosωtΓ_XZ-hΓ_ZZ (11)

对式(11)所示的所得结果进行分析，可以发现四个重力梯度分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)分别附加在第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2输出组合中的旋转角速度ω的一倍频和二倍频正交信号上。首先通过对四个重力梯度分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)分频，分别获取一倍频和二倍频的信号，再分别通过放大解调，并经由两个相差90°的检波信号分离处理，即可获得4个重力梯度分量。而Γ_ZZ分量为Z轴方向上的加速度输出组合a_1Z-a_2Z中的常量，即Γ_ZZ＝(a_2z-a_1z)/h，直接通过a_1Z和a_2Z输出值的差值进行滤波即可获得该分量。至此获得了重力梯度的全部5个独立分量，即可获得全张量重力梯度。

上述公式和表达式中的符号的含义为:

X,Y,Z：空间的三个坐标轴；

O：空间坐标轴的零点；

a₁,a₂：分别表示第一三轴加速度计1和第二三轴加速度计2；

a_1X,a_1Y,a_1Z：分别表示第一三轴加速度计a₁在X,Y,Z轴方向上的测量输出；

a_2X,a_2Y,a_2Z：分别表示第二三轴加速度计a₂在X,Y,Z轴方向上的测量输出；

R：第一三轴加速度计a₁或第二三轴加速度计a₂与零点O在X轴上的距离；

h：第一三轴加速度计a₁和第二三轴加速度计a₂在z轴上的距离；

ω：角速度矢量。正常有ω_x,ω_y,ω_z三个分量，是个3×1向量，但是本发明装置是只绕Z轴旋转，所以其标量值等于ω_z；

角加速度矢量，为角速度ω的一阶导。正常有三个分量，是个3×1向量。按理想匀角速度旋转，

ω_x,ω_y,ω_z：分别为绕X轴,Y轴,Z轴的角速度。角速度矢量的方向通过右手定则判断，即所绕的轴为该轴的角速度方向；

分别为绕X轴,Y轴,Z轴的角加速度；

X_a-O-Y_a：为X-O-Y平面上的坐标系a，与三轴加速度计一起固连，并随三轴加速度计一起旋转，即三轴加速度计在X_a-O-Y_a坐标系中的位置向量保持不变；

X_g-O-Y_g：为X-O-Y平面上的坐标系g，为惯性系，静止，不与三轴加速度计一起旋转；

f₁ ^a,分别为两个三轴加速度计在坐标系a内的测量值矩阵；

Γ^a：为三轴加速度计所在坐标系a系下的重力梯度矩阵；

Γ^g：为坐标系g系，即惯性坐标系下的重力梯度矩阵；

r₁ ^a：第一三轴加速度计a₁在坐标系a中的位置向量，为

第二三轴加速度计a₂在坐标系a中的位置向量，为

ρ^a：为第一三轴加速度计a₁和第二三轴加速度计a₂在坐标系a中位置向量的差值矩阵；

Ω：角速度矩阵；

角加速度矩阵；

L^a：梯度测量矩阵，为加速度计输出值的组合直接除以位移差分得到的量，其中含有角速度及角加速度等分量。因为是在a坐标系下，所以右上角标a；

梯度测量矩阵L^a内包含：

坐标系a下的梯度矩阵Γ^a包含：

惯性坐标系g下的梯度矩阵Γ^g包含：

Γ^g也是本发明测量方法的目标梯度矩阵。

Claims (4)

1.一种重力梯度测量装置，其特征在于：所述的重力梯度测量装置包括旋转台(3)、第一三轴加速度计(1)、第二三轴加速度计(2)、第一磁屏蔽层(4)、第二磁屏蔽层(5)、液氮层(6)和真空层(7)；所述的旋转台(3)绕地垂轴水平旋转；旋转台(3)上从外到内依次布置有真空层(7)、第一磁屏蔽层(4)、液氮层(6)和第二磁屏蔽层(5)；在所述的第二磁屏蔽层(5)内，在x轴上第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)关于坐标轴原点以半径R的距离对称布置；第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)在z轴上的距离坐标轴原点的距离分别是h/2，h为第一三轴加速度计和第二三轴加速度计在z轴上的距离。

2.按照权利要求1所述的重力梯度测量装置，其特征在于：所述的第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)的结构和功能相同，均包括悬浮质量体(8)、x轴加速度检测电极(9)、y轴加速度检测电极(10)和z轴加速度检测电极(11)；x轴加速度检测电极(9)、y轴加速度检测电极(10)和z轴加速度检测电极(11)组成一个腔，悬浮质量体(8)悬浮在该腔的中心位置；悬浮质量体(8)为一个空心的外表面封闭的金属质量体；x轴加速度检测电极(9)、y轴加速度检测电极(10)和z轴加速度检测电极(11)通过高频电容电桥电路实现x轴、y轴和z轴加速度值测量，即通过测量悬浮质量体(8)在x轴、y轴和z轴方向上的位移，然后通过位移对时间的二阶求导得到x轴、y轴和z轴方向上的加速度；x轴加速度检测电极(9)、y轴加速度检测电极(10)和z轴加速度检测电极(11)通过加载在电极上的低频电压实现x轴、y轴、z轴三个正交方向上的静电力支承和反馈控制的功能。

3.按照权利要求1所述的重力梯度测量装置，其特征在于：所述的第一磁屏蔽层(4)为常温金属屏蔽层，材料为坡莫合金；第二磁屏蔽层(5)是高温超导屏蔽层，材料为YBCO金属化合物；第一磁屏蔽层(4)用于屏蔽外界地磁场干扰，第二磁屏蔽层(5)用于屏蔽外界交流磁场干扰。

4.应用权利要求1所述测量装置测量重力梯度的方法，其特征在于：所述的测量方法步骤如下：

首先通过第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)分别在旋转过程中测量x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度，两个三轴加速度计测量的x轴、y轴、z轴方向上的直线加速度值相减，得到差分加速度；重力梯度参数与差分加速度值之间关系的公式为：

其中，f₁ ^a,分别为第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)在坐标系a内的测量值矩阵；Γ^a为第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)所在坐标系a系下的重力梯度矩阵，惯性坐标系下的重力梯度矩阵可以通过坐标变换得到；ρ^a为第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)位置向量的差值矩阵，当第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)之间的摆放位置相对固定时，此值恒定；L^a为第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)测量值对位移直接差分后得到的梯度测量矩阵，其中包含角速度分量及角加速度分量 为惯性坐标系旋转加速度，为坐标系a的角速度；

角速度矩阵：

角加速度矩阵：

ω_x、ω_y、ω_z为惯性坐标系下旋转角速度在x、y、z轴上的分量；

第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)在坐标系a内的测量值矩阵为：

位移差分矩阵为：

将式(4)、式(5)代入公式(1)可得：

L^a为梯度测量矩阵，其中还包含角速度及角加速度分量；

将角速度矩阵(2)和角加速度矩阵(3)代入式(6)，展开可得：

至此获得了第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)测量值与坐标系a下重力梯度的直接关系；

以下进行坐标系a与惯性坐标系的坐标变换；

坐标系a下的重力梯度矩阵Γ^a与惯性系下的重力梯度矩阵Γ^g的坐标变换公式为：

其中，为a坐标系下x向重力加速度在x轴上的重力梯度值、为a坐标系下y向重力加速度在y轴上的重力梯度值、为a坐标系下z向重力加速度在z轴上的重力梯度值，为a坐标系下x向重力加速度在y轴上的重力梯度值、为a坐标系下y向重力加速度在x轴上的重力梯度值，为a坐标系下x向重力加速度在z轴上的重力梯度值、为a坐标系下y向重力加速度在z轴上的重力梯度值，为a坐标系下z向重力加速度在y轴上的重力梯度值、为a坐标系下z向重力加速度在x轴上的重力梯度值；

Γ_XX为惯性坐标系下x向重力加速度在x轴上的重力梯度值、Γ_YY为惯性坐标系下y向重力加速度在y轴上的重力梯度值、Γ_ZZ为惯性坐标系下z向重力加速度在z轴上的重力梯度值，Γ_XY为惯性坐标系下x向重力加速度在y轴上的重力梯度值、Γ_YX为惯性坐标系下y向重力加速度在x轴上的重力梯度值，Γ_XZ为惯性坐标系下x向重力加速度在z轴上的重力梯度值、Γ_YZ为惯性坐标系下y向重力加速度在z轴上的重力梯度值，Γ_ZY为惯性坐标系下z向重力加速度在y轴上的重力梯度值、Γ_ZX为惯性坐标系下z向重力加速度在x坐标轴上的重力梯度值；

当坐标系a绕惯性系旋转的角速度为ω时，变换公式的转置矩阵为：

将式(9)代入式(8)展开，得到：

由于第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)仅绕Z轴旋转，因此ω_x＝ω_y＝0，ω_z恒等于ω，故将式(10)代入式(7)，整理可得：

a_1Z-a_2Z＝2RsinωtΓ_YZ-2RcosωtΓ_XZ-hΓ_ZZ (11)

分析式(11)所示的所得结果，四个重力梯度分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)分别附加在第一三轴加速度计(1)和第二三轴加速度计(2)输出组合中的旋转角速度ω的一倍频和二倍频正交信号上；首先对四个重力梯度分量Γ_YZ,Γ_XZ,Γ_XY,(Γ_XX-Γ_YY)分频，分别获取一倍频和二倍频的信号，再分别通过放大解调，并经由两个相差90°的滤波信号分离处理，获得4个重力梯度分量；而Γ_ZZ分量为Z轴方向上的加速度输出组合a_1Z-a_2Z中的常量，即Γ_ZZ＝(a_2z-a_1z)/h，通过滤波即能获得该分量，至此获得了重力梯度的全部5个独立分量；

上述各公式及数学表达式中的符号含义为：

X,Y,Z：空间的三个坐标轴；

O：空间坐标轴的原点；

a₁,a₂：分别表示两个三轴加速度计；

a_1X,a_1Y,a_1Z：分别表示三轴加速度计a₁在X轴,Y轴,Z轴方向上的测量输出；

a_2X,a_2Y,a_2Z：分别表示三轴加速度计a₂在X,Y,Z轴方向上的测量输出；

R：三轴加速度计a₁或a₂与零点O在X轴上的距离；

h：三轴加速度计a₁和a₂在z轴上的距离；

ω：角速度矢量；正常情况下有ω_x,ω_y,ω_z三个分量，是个3×1向量，但是所述重力测量装置只绕Z轴旋转，所以在计算中其标量值等于ω_z；

角加速度矢量，为角速度ω的一阶导；正常情况下有三个分量，是一个3×1向量；按理想匀角速度旋转，

ω_x,ω_y,ω_z：分别为绕X轴,Y轴,Z轴的角速度；角速度矢量方向通过右手定则判断，即所围绕旋转的轴为该轴的角速度方向；

分别为绕X轴,Y轴,Z轴的角加速度；

X_a-O-Y_a：为X-O-Y平面上的坐标系a，与三轴加速度计固连，随三轴加速度计一起旋转，即三轴加速度计在X_a-O-Y_a坐标系中的位置向量保持不变；

X_g-O-Y_g：为X-O-Y平面上的坐标系g，为惯性系，静止，不与三轴加速度计一起旋转；

f₁ ^a,分别为两个三轴加速度计在坐标系a内的测量值矩阵；

Γ^a：为三轴加速度计所在坐标系a系下的重力梯度矩阵；

Γ^g：为坐标系g系，即惯性坐标系下的重力梯度矩阵；

r₁ ^a：三轴加速度计a₁在坐标系a中的位置向量，为

三轴加速度计a₂在坐标系a中的位置向量，为

ρ^a：为三轴加速度计a₁和a₂在坐标系a中位置向量的差值矩阵；

Ω：角速度矩阵；

角加速度矩阵；

L^a：梯度测量矩阵，为加速度计输出值的组合直接除以位移差分得到的量，其中含有角速度及角加速度等分量；因为是在a坐标系下，所以右上角标a；

梯度测量矩阵L^a内包含：

坐标系a下的重力梯度矩阵Γ^a包含：

惯性坐标系g下的重力梯度矩阵Γ^g包含：