CN106949204B - 变松弛量自补偿的多轮式非圆同步带传动的设计方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了变松弛量自补偿的多轮式非圆同步带传动的设计方法。本发明利用切极坐标理论计算，根据给定主动轮和多个从动轮之间的不同传动比，分别建立同步带主从动轮的节曲线方程；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代算法得到张紧轮节曲线的各项参数。本发明中的张紧轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿主动圆同步带轮和多个从动自由节曲线非圆同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量，克服传统两轮式非圆带传动不能同时满足工作所要求的非匀速传动比变化规律和实时张紧问题，实现一个匀速输入和多个不同非匀速输出的大中心距之间的直接精确传动。

Description

变松弛量自补偿的多轮式非圆同步带传动的设计方法
技术领域
本发明涉及一种非圆同步传动的设计方法，具体涉及一种变松弛量自补偿的多轮式自由节曲线同步带传动的设计方法。
背景技术
传动机构改变了输入输出构件的运动形式和速度，以满足不同工作环境要求，其中非匀速传动机构占据非常重要地位，常见的有连杆机构、凸轮机构、非圆齿轮机构等。相对于连杆机构和凸轮机构，非圆齿轮机构具有结构紧凑、传动平稳、传递功率较大、容易实现动平衡等优点，因此已成功应用于加工机床、自动机械、运输、仪器仪表、泵类、流量计、纺织机械和农业机械上。但是非圆齿轮传动只适合用于中心距较小、润滑方便的非匀速传动场合，因此适合于大中心距、润滑不方便和低制造成本场合的非圆挠性件(带/链)传动应运而生。其中非圆链传动的多边形效应明显，因此在对非匀速传动比变化规律有严格要求时就受到限制；同时普通的摩擦式带传动由于弹性滑动而不能保证准确的传动比规律。
目前的非圆带(链)传动，都只有2个非圆的带(链)轮——主动轮和从动轮，在传动过程中由于其节曲线是非圆，带(链)的松弛量是实时变化的，因此就不能同时保证工作所要求的非匀速传动比变化规律和带(链)的实时张紧。实际应用中为了补偿在传动中带(链)的松弛量变化，通过附加弹簧以实现张紧，由于在一个运动周期中其张紧力是变化的，而且随着非匀速特性的加剧张紧力的变化幅度越大，这样反过来会影响非匀速传动的精度，并且动力学特性变差；因此在实际工程中，非圆带(链)传动很少应用于精确的负载高速传动场合。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提出一种变松弛量自补偿的多轮式自由节曲线同步带传动的设计方法，为非圆同步带轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，实现一个匀速输入和多个不同非匀速输出的大中心距之间的直接精确传动。该设计方法首先利用切极坐标理论计算，根据给定主动轮和多个从动轮之间的不同传动比，建立同步带主动轮和多个从动轮的节曲线方程，并计算同步带主动轮和多个从动轮节曲线之间的公切线段长；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化确定张紧轮节曲线的各项参数。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：
本发明的具体步骤如下：
步骤一、根据传动规律确定主动圆型同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线的节曲线方程；
主动圆型同步带轮为匀速转动的输入构件，其节曲线的切极坐标方程：
p1＝r1 (1)
s＝2π×r1 (2)
式中，r1为主动圆型同步带轮节曲线半径，s为主动圆型同步带轮节曲线周长，p1为主动圆型同步带轮节曲线的切径。
与主动圆型同步带轮相邻的第一个自由非圆从动同步带轮为其中一个输出构件，第一个自由非圆节曲线切极坐标方程的计算步骤如下：
1)主动圆型同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮转角关系：
式中，为主动圆型同步带轮的转角，为第一个自由非圆从动同步带轮的转角，i12为主动圆型同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮的传动比，i12根据设计要求给定变化规律；
2)主动圆型同步带轮和第一个自由非圆从动同步带轮的切角、转角存在以下关系
式中，θ1为主动圆型同步带轮的切径p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ2为第一个自由非圆自由非圆从动同步带轮的切径p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角；
p2＝i12×p1 (6)
式中，L1为主动圆型同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮的中心距；
同理，计算顺序排布的第N个自由非圆从动同步带轮节曲线方程的步骤为：
1)第N-1个自由非圆从动同步带轮与第N个自由非圆从动同步带轮转角关系：
式中，n＝N+1，N＝2,…，M，M取3～7中的一个数，为第N-1个自由非圆从动同步带轮转角，为第N个自由非圆从动同步带轮的转角，i(n-1)n为第N-1个自由非圆从动同步带轮和第N个自由非圆从动同步带轮的传动比，i(n-1)n根据设计要求给定变化规律；
2)第N个自由非圆从动同步带轮和第N-1个自由非圆从动同步带轮的切角、转角存在以下关系
式中，θn-1为第N-1个自由非圆从动同步带轮的切径pn-1到动坐标系xn-1on-1yn-1中xn-1轴的转角，θn为第N个自由非圆从动同步带轮的切径pn到动坐标系xnonyn中xn轴的转角；
式中，Ln-1为第N-1个自由非圆从动同步带轮与第N个自由非圆从动同步带轮之间的中心距，p3为第三个自由非圆从动同步带轮节曲线的切径，i23为第二个自由非圆从动同步带轮与第三个自由非圆从动同步带轮的传动比，pn为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线的切径，pn-1为第N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线的切径；
步骤二、计算初始时刻主动圆型同步带轮与相邻自由非圆从动同步带轮及相邻两自由非圆从动同步带轮间两切点之间的公切线段长度；
初始位置，主动圆型同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角与主动圆型同步带轮相邻第一个自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角与主动圆型同步带轮相邻第M个自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系xMoMyM中xM轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为主动圆型同步带轮节曲线与第一个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两个切点的切径，p1(θ1a)和pa(θa1)分别为主动圆型同步带轮节曲线与第M个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两个切点的切径，θ120为主动圆型同步带轮节曲线切径p1(θ12)与第一个自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的角初值，θ1a0为主动圆型同步带轮节曲线切径p1(θ1a)与第M个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pa(θa1)到各自动坐标系水平轴的角初值，θ12、θ1a分别为主动圆型同步带轮节曲线上两切点对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的角，θ21为第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与主动圆型同步带轮节曲线公切线上的切点C2对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的角，θa1为第M个自由非圆从动同步带轮节曲线与主动圆型同步带轮节曲线公切线上的切点对应切径到动坐标系xM+1oM+1yM+1中xM+1轴的角，L1为主动圆型同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮中心距，La为主动圆型同步带轮与第M个自由非圆从动同步带轮中心距；
初始时刻主动圆型同步带轮与两个相邻自由非圆从动同步带轮节曲线的两切点之间公切线段长度分别为：
式中，p′1(θ120)为p1(θ120)的一阶微分，p'2(θ120)为p2(θ120)的一阶微分，p'a(θ1a0)为pa(θ1a0)的一阶微分。
当N＜M时，初始时刻第N-1个自由非圆从动同步带轮和第N个自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度为：
T(n-1)n0＝p'n-1(θ(n-1)n0)+Ln-1cos(θ(n-1)n0-90°)-p'n(θ(n-1)n0) (14)
式中，pn(θn(n-1))和pn-1(θ(n-1)n)分别为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线和第N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点对应的切径，p'n-1(θ(n-1)n0)、p'n(θ(n-1)n0)分别为pn-1(θ(n-1)n0)、pn(θ(n-1)n0)的一阶微分，θ(n-1)n0为第N-1与第N个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pn-1(θ(n-1)n0)与pn(θ(n-1)n0)到各自动坐标系水平轴的角初值，θ(n-1)n为第N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线与第N个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C2n-1对应切径到动坐标系xn-1on-1yn-1中xn-1轴的角，θn(n-1)为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线与第N+1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系xnonyn中xn轴的角。
假定第k个自由非圆从动同步带轮为张紧轮，1＜k＜M，则：
式中，pk+1(θ(k+1)(k+2))和pk+2(θ(k+2)(k+1))分别为张紧轮节曲线与张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点的切径，pk+1(θ(k+1)k)和pk(θk(k+1))分别为张紧轮节曲线与张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点的切径，θk(k+1)0为张紧轮节曲线切径pk+1(θ(k+1)k)与张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pk(θk(k+1))到各自动坐标系水平轴的角初值，θ(k+1)(k+2)0为张紧轮节曲线切径pk+1(θ(k+1)(k+2))与张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pk+2(θ(k+2)(k+1))到各自动坐标系水平轴的角初值，θ(k+1)k、θ(k+1)(k+2)分别为张紧轮节曲线上切点C2k、C2k+1对应切径到动坐标系xk+1ok+1yk+1中xk+1轴的角，θk(k+1)为张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮节曲线与张紧轮公切线上切点对应切径到动坐标系xkokyk中xk轴的角，θ(k+2)(k+1)为张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮节曲线与张紧轮公切线上切点对应切径到动坐标系xk+2ok+2yk+2中xk+2轴的角，Lk为张紧轮与张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮中心距，Lk+1为张紧轮与张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮中心距；
初始时刻张紧轮与相邻两自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度为：
式中，p'k(θk(k+1)0)为pk(θk(k+1)0)的一阶微分，p'k+2(θ(k+1)(k+2)0)为pk+2(θ(k+1)(k+2)0)的一阶微分，p'k+1(θk(k+1)0)和p'k+1(θ(k+1)(k+2)0)分别为pk+1(θk(k+1)0)和pk+1(θ(k+1)(k+2)0)的一阶微分。
步骤三、计算任意时刻同步带周长；
主动圆型同步带轮匀速转动，主动圆型同步带轮每转过1°，计算一次同步带周长，任意时刻主动圆型同步带轮节曲线与相邻两自由非圆从动同步带轮节曲线之间公切线段长分别记为T12,T1a，任意时刻张紧轮节曲线与第k-1、k+1个自由非圆从动同步带轮节曲线之间的公切线段长分别记为T1，T2，N＜M且N≠k时，任意时刻第N、N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线之间的公切线段长记为T(n-1)n。
根据式(17)计算T12,T1a，T1，T2，T(n-1)n。
式中，分别为第k-1个自由非圆从动同步带轮和张紧轮的转角；
任意时刻主动圆型同步带轮节曲线与相邻自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c11；任意时刻第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与主动圆型同步带轮节曲线及第二个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c22(2)，任意时刻张紧轮节曲线与相邻两自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c33，N＜M且N≠k时，任意时刻第N个自由非圆从动同步带轮节曲线与相邻两个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c22(n)，任意时刻第M个自由非圆从动同步带轮节曲线与主动圆型同步带轮及第M-1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c22(a)，则：
式中，p″1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p″2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p″n(θn)为pn(θn)的二阶微分，p″a(θa1)为pa(θa1)的二阶微分，p″k+1(θk+1)为pk+1(θk+1)的二阶微分，θn(n+1)为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线与第N+1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系xnonyn中xn轴的角，θ(M+1)M为第M个自由非圆从动同步带轮节曲线与第M-1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系xMoMyM中xM轴的角，θ21为第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与主动圆型同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的角，θ23为第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与第二个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的角，θk+1为第k个自由非圆从动同步带轮的切径pk+1到动坐标系xk+1ok+1yk+1中xk+1轴的转角。
任意时刻，同步带周长计算公式如下：
步骤四、张紧轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)假设各时刻张紧轮节曲线均为圆，设定张紧轮转动中心，张紧轮的半径设置为变量，张紧轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(19)计算带长初始值记为C0。
(b)主动圆型同步带轮转过1°，根据传动比要求计算各个自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，张紧轮的转角与主动圆型同步带轮相同。在保证带长C不变的前提下，根据式(19)反求主动圆型同步带轮转过1°时对应的张紧轮半径r3-1。
(c)重复(b)358次，得到主动圆型同步带轮转过2°，3°，…，359°时分别对应的张紧轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧轮向径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧轮转动中心为圆心，将360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆张紧轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧轮的周长与主动圆型同步带轮及各个自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的向径值代入式(19)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧轮。
(i)将经(h)调整后的非圆张紧轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧轮的周长与主动圆型同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆张紧轮向径代入式(19)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)建立非圆张紧轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧轮节曲线方程。
本发明具有的有益效果：
1、本发明为变松弛量自补偿的多轮自由节曲线非圆同步带传动在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有多轮自由节曲线非圆同步带传动机构，促进了多轮自由节曲线非圆同步带传动的推广使用。
2、本发明中的张紧轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿主动圆型同步带轮和多个从动自由节曲线非圆同步带轮传动过程中产生的带松弛变化量，实现一个匀速输入和多个不同非匀速输出的大中心距之间的直接精确传动。
3、本发明中主动轮节曲线为圆，多个从动轮的节曲线均为自由曲线，不受特定曲线形式的约束，设计灵活，可以满足传动比变化更自由的大中心距非匀速传动。
4、本发明采用切极坐标理论，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。
附图说明
图1是本发明的传动原理图；
图2-1是本发明实施例的主动圆型同步带轮与相邻一个自由非圆从动同步带轮的传动比对应主动圆型同步带轮转角的关系曲线图；
图2-2是本发明实施例的主动圆型同步带轮与相邻另一个自由非圆从动同步带轮的传动比对应主动圆型同步带轮转角的关系曲线图；
图3是采用本发明实施例的非圆张紧轮的节曲线时同步带带长变化曲线图；
图4是本发明中非圆张紧轮的节曲线拟合图；
图5-1是本发明实施例中与圆型主动同步带轮相邻第一个自由非圆从动同步带轮的节曲线示意图；
图5-2是本发明实施例中与圆型主动同步带轮相邻最后一个自由非圆从动同步带轮的节曲线示意图；
图6是本发明实施例中四轮同步带传动示意图。
具体实施方式
图1为有N个自由非圆从动同步带轮时的多轮式非圆同步带传动原理图，其中，圆形节曲线的为主动圆型同步带轮，参数k对应的节曲线为张紧轮，其余均为自由非圆从动同步带轮。下面实施例仅结合图6的四轮同步带传动对本发明作进一步说明，但本发明的保护范围不限于本实施例。
变松弛量自补偿的多轮式非圆同步带传动的设计方法，具体步骤如下：
步骤一、给定主动圆型同步带轮节曲线半径r1＝30mm，与主动圆型同步带轮相邻的第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮作为从动轮，如图6，第二自由非圆从动同步带轮作为张紧轮，张紧轮为拟合出来的自由节曲线非圆；根据下面公式计算主动圆型同步带轮的周长s＝188.4956mm：
s＝2π×r1 (1)
步骤二、计算自由非圆从动同步带轮节曲线方程
主动圆型同步带轮与相邻两个自由非圆从动同步带轮的转角关系为：
式中，为主动圆型同步带轮的转角，和分别为第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮的转角，和分别为主动圆型同步带轮与第一自由非圆从动同步带轮及第三自由非圆从动同步带轮的传动比，如图2-1和2-2所示；
由图6可知主动圆型同步带轮与相邻两个自由非圆从动同步带轮切角与转角存在以下关系
式中，θ1为主动圆型同步带轮的切角，θ2和θ4分别为第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮节曲线的切角；
p2＝i12×p1 (8)
p4＝i14×p1 (9)
式中，p1为主动圆型同步带轮节曲线的切径，p2和p4分别为第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮节曲线的切径，L1和L4分别为主动圆型同步带轮与第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮的中心距。
第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮的节曲线分别如图5-1、5-2所示。
步骤三、计算初始位置时主动圆型同步带轮与相邻自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度；
式中，θ120、θ140分别为初始时刻时主动圆型同步带轮的切径p1(θ12)、p1(θ14)到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，p′1(θ120)、p′1(θ140)分别为p1(θ120)、p1(θ140)的一阶微分，p'2(θ120)、p'4(θ140)分别为p2(θ120)、p4(θ140)的一阶微分。
根据公式(10)计算得初始位置时主动圆型同步带轮与第一自由非圆从动同步带轮和第三自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度分别为T120＝76.3370mm，T140＝81.6350mm。
初始时刻，设定张紧轮节曲线为给定半径的圆，张紧轮与相邻两自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度为：
式中，θ230、θ340分别为张紧轮的切径p3(θ23)、p3(θ34)到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角初值，p'2(θ230)、p'3(θ340)分别为p2(θ230)、p3(θ340)的一阶微分，p'3(θ230)、p′4(θ340)分别为p3(θ230)、p4(θ340)的一阶微分。
根据公式(11)计算得初始位置时主动圆型同步带轮与相邻自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度分别为T230＝109.3660mm，T340＝108.6920mm。
步骤四、主动圆型同步带轮匀速转动，主动圆型同步带轮每转过1°，计算一次同步带周长，任意时刻主动圆型同步带轮节曲线与相邻自由非圆从动同步带轮节曲线之间公切线段长为T12,T14，任意时刻张紧轮节曲线与第一、第三自由非圆从动同步带轮节曲线之间的公切线段长分别为T23，T34。
根据式(12)计算T12,T14，T23，T34。
式中，L2为张紧轮与第一个自由非圆从动同步带轮之间的中心距，L3为张紧轮与第三个自由非圆从动同步带轮之间的中心距。
步骤五、计算同步带周长；
任意时刻主动圆型同步带轮与相邻自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长c11、任意时刻第一自由非圆从动同步带轮节曲线与主动圆型同步带轮节曲线及张紧轮节曲线公切线上两切点间的弧长c22、任意时刻张紧轮节曲线与第一自由非圆从动同步带轮节曲线及第三自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长c33、任意时刻第三自由非圆从动同步带轮节曲线与张紧轮节曲线及主动圆型同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长c44计算如下：
式中，θ12，θ13分别为主动圆型同步带轮节曲线上切点C1、C8对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ21和θ23分别为第一自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C2、C3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角，θ41和θ43分别为第三自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C6、C7对应切径到动坐标系x4o4y4中x4轴的转角，θ31，θ32分别为张紧轮节曲线上切点C4、C5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角。
C＝T12+T14+T23+T34+c11+c22+c33+c44 (14)
在初始时刻，计算同步带的初始周长为C0＝1021.1672mm；
随着主动圆型同步带轮的匀速转动，任意时刻的周长也可以求出，得同步带周长与主动圆型同步带轮转角关系曲线如图3。
步骤六、张紧轮自由节曲线计算。
迭代算法如下：
(a)假设各时刻张紧轮节曲线均为圆，已知张紧轮转动中心，张紧轮的半径设置为变量，张紧轮半径初始值记为r3-0＝10mm，同步带初始周长C0＝1021.1672mm。
(b)主动圆型同步带轮转过根据主动圆型同步带轮与相邻两自由非圆从动同步带轮传动比关系，计算自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，张紧轮的转角与主动圆型同步带轮相同，即在保证同步带周长C不变的前提下，计算r3-1＝30.1562mm。
(c)重复(b)358次，得到r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧轮向径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧轮转动中心为圆心，将360个向径值的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆张紧轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧轮的周长与主动圆型同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的向径作代入式(14)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧轮各自向径值的3％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加减小非圆张紧轮各自向径值的3％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧轮。
(i)将经(h)后的非圆张紧轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧轮的周长与主动圆型同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆张紧轮向径代入式(14)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)四个轮的节曲线及相位角、转动中心都确定，建立非圆张紧轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧轮节曲线方程。计算后的张紧轮自由节曲线如图4。
该实施例中同步带理论带长变化量为22.34mm，为同步带总长度的2.2％，因为带需要张紧，可以满足实际使用要求。

Claims (1)

1.变松弛量自补偿的多轮式非圆同步带传动的设计方法，其特征在于：该方法的具体步骤如下：
步骤一、根据传动规律确定圆形主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线的节曲线方程；
圆形主动同步带轮为匀速转动的输入构件，其节曲线的切极坐标方程：
p1＝r1 (1)
s＝2π×r1 (2)
式中，r1为圆形主动同步带轮节曲线半径，s为圆形主动同步带轮节曲线周长，p1为圆形主动同步带轮节曲线的切径；
与圆形主动同步带轮相邻的第一个自由非圆从动同步带轮为其中一个输出构件，第一个自由非圆节曲线切极坐标方程的计算步骤如下：
1)圆形主动同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮转角关系：
式中，为圆形主动同步带轮的转角，为第一个自由非圆从动同步带轮的转角，i12为圆形主动同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮的传动比，i12根据设计要求给定变化规律；
2)圆形主动同步带轮和第一个自由非圆从动同步带轮的切角、转角存在以下关系
式中，θ1为圆形主动同步带轮的切径p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的转角，θ2为第一个自由非圆自由非圆从动同步带轮的切径p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的转角；
p2＝i12×p1 (6)
式中，L1为圆形主动同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮的中心距；
同理，计算顺序排布的第N个自由非圆从动同步带轮节曲线方程的步骤为：
1)第N-1个自由非圆从动同步带轮与第N个自由非圆从动同步带轮转角关系：
式中，n＝N+1，N＝2,…，M，M取3～7中的一个数，为第N-1个自由非圆从动同步带轮转角，为第N个自由非圆从动同步带轮的转角，i(n-1)n为第N-1个自由非圆从动同步带轮和第N个自由非圆从动同步带轮的传动比，i(n-1)n根据设计要求给定变化规律；
2)第N个自由非圆从动同步带轮和第N-1个自由非圆从动同步带轮的切角、转角存在以下关系
式中，θn-1为第N-1个自由非圆从动同步带轮的切径pn-1到动坐标系xn-1on-1yn-1中xn-1轴的转角，θn为第N个自由非圆从动同步带轮的切径pn到动坐标系xnonyn中xn轴的转角；
式中，Ln-1为第N-1个自由非圆从动同步带轮与第N个自由非圆从动同步带轮之间的中心距，p3为第三个自由非圆从动同步带轮节曲线的切径，i23为第二个自由非圆从动同步带轮与第三个自由非圆从动同步带轮的传动比，pn为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线的切径，pn-1为第N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线的切径；
步骤二、计算初始时刻圆形主动同步带轮与相邻自由非圆从动同步带轮及相邻两自由非圆从动同步带轮间两切点之间的公切线段长度；
初始位置，圆形主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角与主动圆型同步带轮相邻第一个自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x2o2y2中x2轴到静坐标系xo1y中x轴的转角与主动圆型同步带轮相邻第M个自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系xMoMyM中xM轴到静坐标系xo1y中x轴的转角根据切极坐标理论得：
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为圆形主动同步带轮节曲线与第一个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两个切点的切径，p1(θ1a)和pa(θa1)分别为圆形主动同步带轮节曲线与第M个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两个切点的切径，θ120为圆形主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与第一个自由非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的角初值，θ1a0为圆形主动同步带轮节曲线切径p1(θ1a)与第M个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pa(θa1)到各自动坐标系水平轴的角初值，θ12、θ1a分别为圆形主动同步带轮节曲线上两切点对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的角，θ21为第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与圆形主动同步带轮节曲线公切线上的切点C2对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的角，θa1为第M个自由非圆从动同步带轮节曲线与圆形主动同步带轮节曲线公切线上的切点对应切径到动坐标系xM+1oM+1yM+1中xM+1轴的角，L1为圆形主动同步带轮与第一个自由非圆从动同步带轮中心距，La为圆形主动同步带轮与第M个自由非圆从动同步带轮中心距；
初始时刻圆形主动同步带轮与两个相邻自由非圆从动同步带轮节曲线的两切点之间公切线段长度分别为：
式中，p′1(θ120)为p1(θ120)的一阶微分，p'2(θ120)为p2(θ120)的一阶微分，p'a(θ1a0)为pa(θ1a0)的一阶微分；
当N＜M时，初始时刻第N-1个自由非圆从动同步带轮和第N个自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度为：
T(n-1)n0＝p'n-1(θ(n-1)n0)+Ln-1cos(θ(n-1)n0-90°)-p'n(θ(n-1)n0) (14)
式中，pn(θn(n-1))和pn-1(θ(n-1)n)分别为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线和第N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点对应的切径，p'n-1(θ(n-1)n0)、p'n(θ(n-1)n0)分别为pn-1(θ(n-1)n0)、pn(θ(n-1)n0)的一阶微分，θ(n-1)n0为第N-1与第N个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pn-1(θ(n-1)n0)与pn(θ(n-1)n0)到各自动坐标系水平轴的角初值，θ(n-1)n为第N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线与第N个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C2n-1对应切径到动坐标系xn-1on-1yn-1中xn-1轴的角，θn(n-1)为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线与第N+1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系xnonyn中xn轴的角；
假定第k个自由非圆从动同步带轮为张紧轮，1＜k＜M，则：
式中，pk+1(θ(k+1)(k+2))和pk+2(θ(k+2)(k+1))分别为张紧轮节曲线与张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点的切径，pk+1(θ(k+1)k)和pk(θk(k+1))分别为张紧轮节曲线与张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点的切径，θk(k+1)0为张紧轮节曲线切径pk+1(θ(k+1)k)与张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pk(θk(k+1))到各自动坐标系水平轴的角初值，θ(k+1)(k+2)0为张紧轮节曲线切径pk+1(θ(k+1)(k+2))与张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮节曲线切径pk+2(θ(k+2)(k+1))到各自动坐标系水平轴的角初值，θ(k+1)k、θ(k+1)(k+2)分别为张紧轮节曲线上切点C2k、C2k+1对应切径到动坐标系xk+1ok+1yk+1中xk+1轴的角，θk(k+1)为张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮节曲线与张紧轮公切线上切点对应切径到动坐标系xkokyk中xk轴的角，θ(k+2)(k+1)为张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮节曲线与张紧轮公切线上切点对应切径到动坐标系xk+2ok+2yk+2中xk+2轴的角，Lk为张紧轮与张紧轮前一个自由非圆从动同步带轮中心距，Lk+1为张紧轮与张紧轮后一个自由非圆从动同步带轮中心距；
初始时刻张紧轮与相邻两自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度为：
式中，p'k(θk(k+1)0)为pk(θk(k+1)0)的一阶微分，p'k+2(θ(k+1)(k+2)0)为pk+2(θ(k+1)(k+2)0)的一阶微分，p'k+1(θk(k+1)0)和p'k+1(θ(k+1)(k+2)0)分别为pk+1(θk(k+1)0)和pk+1(θ(k+1)(k+2)0)的一阶微分；
步骤三、计算任意时刻同步带周长；
圆形主动同步带轮匀速转动，圆形主动同步带轮每转过1°，计算一次同步带周长，任意时刻圆形主动同步带轮节曲线与相邻两自由非圆从动同步带轮节曲线之间公切线段长分别记为T12,T1a，任意时刻张紧轮节曲线与第k-1、k+1个自由非圆从动同步带轮节曲线之间的公切线段长分别记为T1，T2，N＜M且N≠k时，任意时刻第N、N-1个自由非圆从动同步带轮节曲线之间的公切线段长记为T(n-1)n；
根据式(17)计算T12,T1a，T1，T2，T(n-1)n；
式中，分别为第k-1个自由非圆从动同步带轮和张紧轮的转角；
任意时刻圆形主动同步带轮节曲线与相邻自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c11；任意时刻第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与圆形主动同步带轮节曲线及第二个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c22(2)，任意时刻张紧轮节曲线与相邻两自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c33，N＜M且N≠k时，任意时刻第N个自由非圆从动同步带轮节曲线与相邻两个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c22(n)，任意时刻第M个自由非圆从动同步带轮节曲线与圆形主动同步带轮及第M-1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上两切点间的弧长记为c22(a)，则：
式中，p″1(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p″2(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p″n(θn)为pn(θn)的二阶微分，p″a(θa1)为pa(θa1)的二阶微分，p″k+1(θk+1)为pk+1(θk+1)的二阶微分，θn(n+1)为第N个自由非圆从动同步带轮节曲线与第N+1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系xnonyn中xn轴的角，θ(M+1)M为第M个自由非圆从动同步带轮节曲线与第M-1个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系xMoMyM中xM轴的角，θ21为第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与圆形主动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的角，θ23为第一个自由非圆从动同步带轮节曲线与第二个自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的角，θk+1为第k个自由非圆从动同步带轮的切径pk+1到动坐标系xk+1ok+1yk+1中xk+1轴的转角；
任意时刻，同步带周长计算公式如下：
步骤四、张紧轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)假设各时刻张紧轮节曲线均为圆，设定张紧轮转动中心，张紧轮的半径设置为变量，张紧轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(19)计算带长初始值记为C0；
(b)圆形主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算各个自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，张紧轮的转角与圆形主动同步带轮相同；在保证C不变的前提下，根据式(19)反求圆形主动同步带轮转过1°时对应的张紧轮半径r3-1；
(c)重复(b)358次，得到圆形主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时分别对应的张紧轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359；
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的张紧轮向径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定张紧轮转动中心为圆心，将360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆；
(e)将(d)中得到的非圆张紧轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧轮的周长与圆形主动同步带轮及各个自由非圆从动同步带轮的周长均相等；
(f)将(e)所求得的各个时刻的向径值代入式(19)计算各个时刻的带长；
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)；
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆张紧轮；
(i)将经(h)后的非圆张紧轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧轮的周长与圆形主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等；
(j)将经(i)后的非圆张紧轮向径代入式(19)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)；
(k)建立非圆张紧轮的各时刻的向径与对应转角关系即为张紧轮节曲线方程。
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