CN106919797A - 一种量子拉普拉斯特征映射方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种量子拉普拉斯特征映射方法，在现有的拉普拉斯特征映射算法之上，将拉普拉斯矩阵视为数据集的协方差矩阵，可以简便地得到一个密度矩阵，同时将现有的特征向量问题进行相应的转换，采用量子的方式进行计算。本发明提出了一种量子版本的拉普拉斯特征映射方法‑QLE（Quantum Laplacian Eigenmaps），应用了共轭链以及矩阵运算以解决非线性的降维问题。比起经典的拉普拉斯特征映射需要的多项式时间，本发明可以提供指数级的加速。

Description

一种量子拉普拉斯特征映射方法

技术领域

本发明涉及一种量子拉普拉斯特征映射方法。

背景技术

机器学习与数据分析在降维，预测和分类中扮演着越来越重要的角色。在许多例子中原有的数据在高维的特征空间，如一张有n平方像素的图片(每个像素作为一个特征)。所以为了分析这些高维度的特征数据，我们需要将自然结构视为低维流形嵌入高维空间的数据降维。

为了将高维的数据降维，无论我们选择哪种方式，我们都需要考虑所需要的时间。正如我们所知的，一个设计良好的量子算法可以极大的改善我们的经典算法。劳埃德等人提出量子版本的PCA，可以指数级的提高算法速度。cong等人泛化了HHL算法，使之可以应用于量子判别式分析。尽管如此，这里依旧没有非线性的量子版本的降维方法。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种量子拉普拉斯特征映射方法，应用了共轭链以及矩阵运算，解决非线性的降维问题，指数级地加快原有的拉普拉斯特征算法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种量子拉普拉斯特征映射方法，包括以下步骤：

S1：利用数据的位置信息建立一个图G，顶点V是数据，边E是不同领域数据的相似性；为了使数据降维，需要最小化目标函数J(u)：

式中，y_i是数据点x_i的低维表现，w_ij对应x_i与x_j的权重，L代表图G的拉普拉斯矩阵；

S2：将目标函数min(2Y^TLY)求解转化为广义特征值求解：

Lv＝λDv

式中，D是一个对角矩阵，D_ii＝∑_jW(i,j)，特征向量v的最小非零特征值构造出数据的低维表示Y，λ表示特征值；

S3：将拉普拉斯矩阵L视为数据集的协方差矩阵，得到一个密度矩阵，即L＝I·I^T；其中I是图G＝(V,E)的关联矩阵；所述的关联矩阵I存储每个节点及其连接边之间的关系，如果一个有向边j从点i出发，则I_ij＝1，如果在点i结束，则I_ij＝-1，否则I_ij＝0；

S4：将步骤S2中的广义特征值求解转换为：

D^-1I·I^Tv＝λv；

S5：将关联矩阵I和对角矩阵D转化为可以在量子随机存储器QRAM中输入的形式，a_i为关联矩阵I的列，d_i为对角矩阵D的列；

S6：访问QRAM以得到关联矩阵I和对角矩阵D的量子态：

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|d_i＞||d_i|＞

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|a_i＞||a_i|＞

S7：通过QRAM构造|ψ₁＞和|ψ₂＞的状态：

式中，I是|ψ₁＞的密度矩阵，D是|ψ₂＞的密度矩阵，m表示为列的数量；

S8：得到对应量子态的密度矩阵，由于|ψ₁＞的第二个寄存器中的密度矩阵|a_i＞与I、以及|ψ₂＞的第二个寄存器中的密度矩阵|d_i＞和D都是成正比的，因此：

S9：由于D和I都是半正定的厄米算符，令：

u＝I^-1/2v

于是，步骤S4中的求解转换为：

I^1/2D^-1/2D^-1/2I^1/2u＝λu

令L＝I^1/2D^-1/2D^-1/2I^1/2，采用共轭链式乘法，转化L：

其中：

S10：采矩阵运算技术，并应用量子相位估计得到|φ＞的状态：

式中，φ表示最终的结果态；通过对|φ＞的取样，得到特征向量u，并进一步得到特征向量v与L。

本发明的有益效果是：本发明提出了一种量子版本的拉普拉斯特征映射方法-QLE(Quantum Laplacian Eigenmaps)，应用了共轭链以及矩阵运算以解决非线性的降维问题。比起经典的拉普拉斯特征映射需要的多项式时间，本发明可以提供指数级的加速。QLE可以在O(poly(log(mn))/ε³)进行非线性降维，其中m是数据点的数量，n是边的数量，ε为容许误差。

具体实施方式

下面进一步详细描述本发明的技术方案：

对于经典拉普拉斯特征映射算法：拉普拉斯特征映射算法为假设在高维空间中的数据有对应的低维结构。利用数据的位置信息建立一个图G，顶点V是数据，边E是不同领域数据的相似性。

为了使数据降维，我们要最小化目标函数J(u)，通过下面的方程：

其中，y_i是数据点x_i的低维表现，w_ij对应x_i与x_j的权重，L代表图G的拉普拉斯矩阵。

而对于优化min(2Y^TLY)的问题可以转化为一个广义特征值问题：

Lv＝λDv

其中D是一个对角矩阵，D_ii＝∑_jW(i,j)，W_ij对应与x_i与x_j的权重，λ表示特征值。

最后特征向量v的最小非零特征值可以构造出数据的低维表示Y。

而在本实施例中的量子拉普拉斯特征映射方法，将拉普拉斯矩阵视为数据集的协方差矩阵，则可以简便地得到一个密度矩阵，即L＝I·I^T，其中I是图G＝(V,E)的关联矩阵。关联矩阵存储每个节点及其连接边之间的关系。如果一个有向边j从点i出发，则I_ij＝1，如果在点i结束，则I_ij＝-1，否则I_ij＝0(边j与点i之间没有连接)。

最终的特征向量问题可以转换为：

D^-1I·I^Tv＝λv

我们的任务就是将拉普拉斯矩阵转换为密度矩阵，并解出上面的方程。

解决问题之前，需要将上述中提到的I与D转化为可以在量子随机存储器QRAM中输入 的形式，并假设I的列为a_i，D的列为d_i。于是我们可以通过下面的一些过程来得到关联矩阵I＝∑_i|a_i||a_i＞＜i|，对角矩阵D＝∑_i|d_i||d_i＞＜i|的量子形式。

(1)访问QRAM，通过QRAM构造关联矩阵I和对角矩阵D的量子态：

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|d_i＞||d_i|＞

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|a_i＞||a_i|＞

其中O()表示Operation，存取操作，即分别表示对QRAM进行从0到d_i以及对QRAM进行从0到a_i的获取操作。

并且构造|ψ₁＞和|ψ₂＞的状态：

式中，I是|ψ₁＞的密度矩阵，D是|ψ₂＞的密度矩阵，m表示列的数量，每一个|＞均表示一个寄存器；和为归一化的系数，归一化的原因为为了满足量子力学的基本假设。

(2)得到对应量子态的密度矩阵，由于现在第二个寄存器中的密度矩阵在两种情况下与I和D都是成正比的：

归一化的系数也是成正比的原因。

(3)由于D和I都是半正定的厄米算符(Hermitian matrices)，令：

u＝I^-1/2v

于是，原问题转换为：

I^1/2D^-1/2D^-1/2I^1/2u＝λu

令L＝I^1/2D^-1/2D^-1/2I^1/2，并使用文献[1]中提出的共轭链式乘法(Hermitian ChainProduct)，转化L：

其中：

f₂(X)＝X^-1/2

f₁(X)＝X^1/2。

文献[1]为Cong I,Duan L.Quantum Discriminant Analysis forDimensionality Reduction and Classification[J].arXiv preprint arXiv:1510.00113,2015。具体地，这里文献[1]就是提出了将D^-1I·I^Tv＝λv转化成I^1/2D^-1/2D^-1/2I^{1/ 2}u＝λu。

(4)最后的任务只剩下解出(3)中得到的最后方程组，方法为：使用文献[2]中的矩阵运算技术(matrix exponentiation technique，就是一种方法计算e^-iX，这里X是矩阵)，并应用量子相位估计得到|φ＞的状态：

式中，φ表示最终的结果态，最后求的结果都保存在这个态里面；通过对|φ＞的取样，得到特征向量u；根据u＝I^-1/2v进一步得到特征向量v；根据Lv＝λDv得到L。

文献[2]为Harrow A W,Hassidim A,Lloyd S.Quantum algorithm for linearsystems of equations[J].Physical review letters,2009,103(15):150502。

Claims (1)

1.一种量子拉普拉斯特征映射方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：利用数据的位置信息建立一个图G，顶点V是数据，边E是不同领域数据的相似性；为了使数据降维，需要最小化目标函数J(u)：

$J\left(Y\right)=\underset{i,j}{\mathrm{\Σ}}{(y_i-y_j)}^2{w}_{ij}=2Y^{T}LY$

式中，y_i是数据点x_i的低维表现，w_ij对应x_i与x_j的权重，L代表图G的拉普拉斯矩阵；

S2：将目标函数min(2Y^TLY)求解转化为广义特征值求解：

Lv＝λDv

式中，D是一个对角矩阵，D_ii＝∑_jW(i,j)，特征向量v的最小非零特征值构造出数据的低维表示Y，λ表示特征值；

S3：将拉普拉斯矩阵L视为数据集的协方差矩阵，得到一个密度矩阵，即L＝I·I^T；其中I是图G＝(V,E)的关联矩阵；所述的关联矩阵I存储每个节点及其连接边之间的关系，如果一个有向边j从点i出发，则I_ij＝1，如果在点i结束，则I_ij＝-1，否则I_ij＝0；

S4：将步骤S2中的广义特征值求解转换为：

D^-1I·I^Tv＝λv；

S5：将关联矩阵I和对角矩阵D转化为可以在量子随机存储器QRAM中输入的形式，a_i为关联矩阵I的列，d_i为对角矩阵D的列；

S6：访问QRAM以得到关联矩阵I和对角矩阵D的量子态：

O(|i＞|0＞|0＞)→|i＞|d_i>||d_i|>

O(|i>|0>|0>)→|i>|a_i>||a_i|>

S7：通过QRAM构造|ψ₁>和|ψ₂＞的状态：

$|{\mathrm{\ψ}}_1>=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\Σ}}_i^m{\left|a_i\right|}^2}}\left|a_i\right||i>|a_i>|\left|a_i\right|>$

$|{\mathrm{\ψ}}_2>=\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{\Σ}}_i^m{\left|d_i\right|}^2}}\left|d_i\right||i>|d_i>|\left|d_i\right|>$

式中，I是|ψ₁>的密度矩阵，D是|ψ₂>的密度矩阵，m表示为列的数量；

S8：得到对应量子态的密度矩阵，由于|ψ₁>的第二个寄存器中的密度矩阵|a_i>与I、以及|ψ₂>的第二个寄存器中的密度矩阵|d_i>和D都是成正比的，因此：

$I=\frac{1}{{\mathrm{\&Sigma;}}_i^m{\left|a_i\right|}^2}{\mathrm{\&Sigma;}}_i{\left|a_i\right|}^2|a_i><a_i|$

$D=\frac{1}{{\mathrm{\&Sigma;}}_i^m{\left|d_i\right|}^2}{\mathrm{\&Sigma;}}_i{\left|d_i\right|}^2|d_i><d_i|;$

S9：由于D和I都是半正定的厄米算符，令：

u＝I^-1/2v

于是，步骤S4中的求解转换为：

I^1/2D^-1/2D^-1/2I^1/2u＝λu

令L＝I^1/2D^-1/2D^-1/2I^1/2，采用共轭链式乘法，转化L：

其中：

$\begin{array}{c}{f}_2\left(X\right)=X^{-1/2}\\ f_1\left(X\right)=X^{1/2}\end{array};$

S10：采矩阵运算技术，并应用量子相位估计得到|φ>的状态：

$|\mathrm{\&phi;}>=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{\mathrm{\&lambda;}}_i|u_i><u_i|\&CircleTimes;|{\mathrm{\&lambda;}}_i><{\mathrm{\&lambda;}}_i|$

式中，φ表示最终的结果态；通过对|φ＞的取样，得到特征向量u，并进一步得到特征向量v与L。