CN106910142B - 一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法 - Google Patents

Abstract

一种含风电有功‑频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法，首先根据单台风电机组等效虚拟惯性时间常数H_equ，计算求解风电场聚合惯性时间常数H_eqWF；根据H_eqWF计算不同风电渗透率下的系统等效惯性时间常数H_∑；根据单台风电机组一次调频响应模型的传递函数h_1mwt(s)，采用加权动态等值参数聚合方法，计算求解风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_1mWF(s)；根据单台汽轮机‑调速器模型传递函数h_mT(s)和水轮机‑调速器的传递函数h_mH(s)，计算求解多台机组的等值聚合模型传递函数h_mTΣ(s)和h_mHΣ(s)，计算以电网功率缺额扰动为输入，并以系统频率偏差为输出的闭环系统传递函数，采用频域‑时域变换方法求解系统频率偏差的时域解Δω_s(t)。最后通过仿真算例系统验证了计算方法的有效性。

Description

一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算 方法

技术领域

本发明涉及含风电的电力系统频率特性分析与计算技术领域，尤其是涉及一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法。

背景技术

在传统的电网频率特性研究中，通过建立包含水电机组、火电机组的原动机-调速器模型，同时考虑常规机组的惯性响应作用和负荷调节效应来建立频率响应评估模型，通过设置预想频率事故来计算、分析电网频率响应特性，但并未考虑风电对系统频率响应的贡献，在当前含风电的电力系统中，该模型将不再适应。随着风电渗透率持续增加，为保障电网频率安全稳定，风电虚拟惯性控制技术和一次调频辅助控制技术成为研究热点，并在学术界、风机制造厂商和电网实际运行中逐步推广应用。与同步发电机组一样，需要通过建立风电场的有功-频率响应模型来定量表征风电虚拟惯性响应作用和一次调频响应作用，并纳入到传统频率响应评估模型中进行更新，才能真实、客观地反映含风电有功-频率响应作用的电网频率特性。因此，含风电有功-频率耦合作用(包括了虚拟惯性控制技术和一次调频辅助控制技术)的电力系统频率特性分析与计算问题成为电网发展新形势下的新研究问题。

发明内容

以大规模风电接入电力系统为对象，考虑风电虚拟惯性响应和一次调频响应共同作用时，本发明提供了一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法，可以客观真实地评估功率缺额下含风电电力系统的频率响应特性，尤其对于风电渗透率越高的系统具有重要意义。

本发明采取的技术方案为：

一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法，包括以下步骤：

步骤1：计算求解风电场聚合惯性时间常数H_eqWF；首先需求计算单台风机等效虚拟惯性时间常数H_equ为，由发明专利(专利号：2015102015896)可知：

上式中J_equ，ω_s0，△ω_s分别为风机虚拟转动惯量，系统初始同步角速度和系统同步角速度增量，ω_nom为风机额定角速度，P，S_N，J_DFIG，ω_r0，Δω_r分别为风机机械功率，额定容量，固有转动惯量，初始转子角速度和转子角速度增量，H_DFIG为风机固有惯性时间常数。

根据加权动态等值参数聚合方法，风电场聚合惯性时间常数H_eqWF等于风电场储存总动能与总容量比值为：

根据上式，可得系统中含虚拟惯性控制的第i个风电场等效惯性时间常数为：

上式中，s为拉普拉斯频域算子，

为第i个风电场内风机的平均转速，ω_roj为第j台风机的初始转子角速度，

ω_nomi为第i个风电场中风机额定角速度，K_dfi为转速控制增益系数，H_DFIGi为第i个风电场内风机固有惯性时间常数，ω_roi为第i个风电场内风机的初始转子角速度，K_pTi，K_iTi分别为速度控制器比例系数和积分系数，T_fi为滤波时间常数。

步骤2：根据H_eqWF，计算不同风电渗透率下的系统等效惯性时间常数H_∑为：

上式中，α_pi为第i个风电场的风电渗透率，H_eqWFi，S_eqWFi，S_WFi，H_CONi，S_CONi分别为含虚拟惯性控制的风电场等效惯性时间常数、额定容量，不含虚拟惯性控制的风电场惯性时间常数，常规电厂惯性时间常数额定容量、额定容量，H₀为不考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数，ΔH为考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数增量。风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数增量ΔH(s)为：

上式中，ΔH_i(s)为含虚拟惯性响应的第i个风电场产生的系统等效惯量增量，公式中其余物理量如前述所示。

步骤3：计算求解风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_1mWF(s)：基于转速控制的一次调频辅助控制策略，从发明专利(CN106227949A)可知，单台风电机组一次调频响应模型的传递函数h_1mwt(s)为：

上式中n₀，m₀，m₁，m₂，m₃为传递函数系数。

根据加权动态等值参数聚合方法，风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_1mWF(s)为：

上式中，n_0G，m_0G，m_1G，m_2G，m_3G为传递函数h_1mWF(s)的各阶等值系数。

步骤4：根据单台汽轮机-调速器模型传递函数h_mT(s)和水轮机-调速器的传递函数h_mH(s)，采用加权动态等值参数聚合方法，分别计算得到它们的等值聚合模型h_mTΣ(s)和h_mHΣ(s)为：

上式中，R_TG，R_HG，T_RHG，F_HPG，T_wG分别为汽轮机调差系数，水轮机调差系数，再热器时间常数，高压涡轮级功率占比，水锤效应系数的等值聚合参数。

步骤5：根据建立图2改进型SFR频率响应模型，当采用转速一次调频辅助控制策略时，根据步骤1和步骤2，可计算前向开环传递函数G(s)：

上式中，D为负荷阻尼系数，公式中其余物理量如前述所示。

根据步骤3和步骤4，即可计算反馈传递函数h₁(s)为：

对应的闭环传递函数为：

上式中，b_1m，b_1m-1...b₁₀，a_1n，a_1n-1...a₁₀分别为闭环传递函数各次项系数。

步骤6：以负荷功率缺额ΔP_L(s)为模型输入，系统频率偏差Δω_s(s)为模型输出，对频率响应模型进行化简，利用部分分式展开法求解系统频率偏差的时域解Δω_s(t)为：

上式中，r为部分分式展开的余数数组，p为部分分式展开的极点数组，k为常数项；n₁是实数根个数，n₂是共轭复数根的对数，ζ_l是共轭复数根反映的二阶系统阻尼系数，ω_nl是共轭复数根反映的二阶系统振荡角频率，A₀是Δω_s(s)在s＝0处的留数，A_j是Δω_s(s)在实数极点s＝-p_j处的留数，B_l和C_l分别为Δω_s(s)在共轭复数极点处s＝-(B_l±jC_l)留数的实部和虚部，，由此可得到频率偏差的时域解为：

上式中，公式中其余物理量如前述所示。

本发明一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法，优点在于：对含大规模风电接入的电力系统，提出采用风电场等效惯性时间常数表征虚拟惯性响应作用，建立风电场一次调频辅助控制系统传递函数模型来描述一次调频响应作用，并将二者纳入、融合到传统频率响应评估模型中，从而可以客观真实地评估功率缺额下含风电电力系统的频率响应特性，这尤其对于风电渗透率越高的系统具有重要意义。

附图说明

图1为本发明实施例的流程图。

图2为本发明实施例的改进型SFR频率响应模型。

图3为本发明实施例的采用风电转速控制一次调频响应传递函数框图。

图4为本发明实施例的仿真系统图。

图5为突增负荷时风电渗透率为10％下系统频率响应曲线图。

图6为突增负荷时风电渗透率为15％下系统频率响应曲线图。

图7为突增负荷时风电渗透率为20％下系统频率响应曲线图。

图8为突增负荷时风电渗透率为25％下系统频率响应曲线图。

图9为突增负荷时风电渗透率为30％下系统频率响应曲线图。

图10为突减负荷时风电渗透率为10％下系统频率响应曲线图。

图11为突减负荷时风电渗透率为15％下系统频率响应曲线图。

图12为突减负荷时风电渗透率为20％下系统频率响应曲线图。

图13为突减负荷时风电渗透率为25％下系统频率响应曲线图。

图14为突减负荷时风电渗透率为30％下系统频率响应曲线图。

具体实施方式

为了便于本领域普通技术人员理解和实施本发明，下面结合附图及实施例对本发明作进一步的详细描述，应当理解，此处所描述的实施示例仅用于说明和解释本发明，并不用于限定本发明。本发明中基于转速控制的风电一次调频响应传递函数框图3所示，各部分控制模型均由该图给出。

一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法，包括以下步骤：

步骤1：计算求解风电场聚合惯性时间常数H_eqWF；首先需求计算单台风机等效虚拟惯性时间常数H_equ为，由发明专利(专利号：2015102015896)可知：

上式中J_equ，ω_s0，△ω_s分别为风机虚拟转动惯量，系统初始同步角速度和系统同步角速度增量，ω_nom为风机额定角速度，P，S_N，J_DFIG，ω_r0，△ω_r分别为风机机械功率，额定容量，固有转动惯量，初始转子角速度和转子角速度增量，H_DFIG为固有惯性时间常数。

根据加权动态等值参数聚合方法风电场聚合惯性时间常数H_eqWF等于风电场储存总动能与总容量比值为：

根据上式，可得系统中含虚拟惯性控制的第i个风电场等效惯性时间常数为：

上式中，s为拉普拉斯频域算子，

为第i个风电场内风机的平均转速，ω_roj为第j台风机的初始转子角速度，

ω_nomi为第i个风电场中风机额定角速度，K_dfi为转速控制增益系数，H_DFIGi为第i个风电场内风机固有惯性时间常数，ω_roi为第i个风电场内风机的初始转子角速度，K_pTi，K_iTi分别为速度控制器比例系数和积分系数，T_fi为滤波时间常数。

步骤2：根据H_eqWF，计算不同风电渗透率下的系统等效惯性时间常数H_∑为：

上式中，α_pi为第i个风电场的风电渗透率，H_eqWFi，S_eqWFi，S_WFi，H_CONi，S_CONi分别为含虚拟惯性控制的风电场等效惯性时间常数、额定容量，不含虚拟惯性控制的风电场惯性时间常数，常规电厂惯性时间常数额定容量、额定容量，H₀为不考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数，ΔH为考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数增量。风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数增量ΔH(s)为：

上式中，α_pi为第i个风电场的风电渗透率，H₀为不考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数，ΔH为考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数增量。

步骤3：计算求解风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_mWF(s)：基于转速控制的一次调频辅助控制策略，从发明专利(CN106227949A)可知，单台风电机组一次调频响应模型的传递函数h_1mwt(s)为：

上式中n₀，m₀，m₁，m₂，m₃为传递函数系数。

根据加权动态等值参数聚合方法，风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_1mWF(s)为：

上式中，n_0G，m_0G，m_1G，m_2G，m_3G为传递函数h_1mWF(s)的各阶等值系数。

步骤4：根据单台汽轮机-调速器模型传递函数h_mT(s)和水轮机-调速器的传递函数h_mH(s)，采用加权动态等值参数聚合方法，分别计算得到它们的等值聚合模型h_mTΣ(s)和h_mHΣ(s)为：

上式中，R_TG，R_HG，T_RHG，F_HPG，T_wG分别为汽轮机调差系数，水轮机调差系数，再热器时间常数，高压涡轮级功率占比，水锤效应系数的等值聚合参数。

步骤5：根据建立图2改进型SFR频率响应模型，当采用转速一次调频辅助控制策略时，根据步骤1和步骤2，可计算前向开环传递函数G(s)：

上式中，D为负荷阻尼系数，公式中其余物理量如前述所示。

根据步骤3和步骤4，即可计算反馈传递函数h₁(s)为：

对应的闭环传递函数为：

上式中，b_1m，b_1m-1...b₁₀，a_1n，a_1n-1...a₁₀分别为闭环传递函数各次项系数。

步骤6：以负荷功率缺额ΔP_L(s)为模型输入，系统频率偏差Δω_s(s)为模型输出，对频率响应模型进行化简，利用部分分式展开法求解系统频率偏差的时域解Δω_s(t)为：

上式中，r为部分分式展开的余数数组，p为部分分式展开的极点数组，k为常数项；n₁是实数根个数，n₂是共轭复数根的对数，ζ_l是共轭复数根反映的二阶系统阻尼系数，ω_nl是共轭复数根反映的二阶系统振荡角频率，A₀是Δω_s(s)在s＝0处的留数，A_j是Δω_s(s)在实数极点s＝-p_j处的留数，B_l和C_l分别为Δω_s(s)在共轭复数极点处s＝-(B_l±jC_l)留数的实部和虚部，，由此可得到频率偏差的时域解为：

步骤7：上述建立的一种含风电有功-频率耦合作用的电力系统频率特性计算方法，通过仿真算例验证其精确性。

在Matlab/simulink环境下，建立了图4的仿真系统，系统中两个区域通过两条联络线联接，区域1包含一台水电机组G2和一个风电场，区域2包含两台火电机组G3和G4，负荷L1，L2，C1，C2分别在两个区域接口母线处接入，负荷L3作为扰动负荷，通过L3接入和切除来模拟该仿真系统功率缺额的频率事故。对图4中风电场的风电机组分别施加虚拟惯性控制策略和转速一次调频辅助控制策略，验证步骤6中系统频率偏差解析模型计算结果的精确性，证明采用图2的改进SFR解析模型能客观描述含风电有功/频率控制的电力系统频率特性。具体通过比较无风电有功/频率控制的非线性全状态仿真模型(后称模型1)、计及风电有功频率控制的非线性全状态仿真模型(后称模型2)和改进SFR模型(后称模型3)来进行验证和说明。模型1不考虑风电惯性响应及一次调频作用，仅考虑同步发电机简化模型；模型2计及同步发电机惯性响应、一次调频完整的非线性模型，包括原动机动态过程和调速器动态过程，计及风电虚拟惯性响应、一次调频非线性模型；模型3则采用图2和图3中的解析模型。

其中仿真参数如下：

双馈风机参数：额定电压V_n＝575V，额定功率P_n＝1.5MW，定子电阻R_s＝0.023pu，定子电感L_s＝0.18pu，转子电阻R_r＝0.016pu，转子电感L_r＝0.16pu，励磁电感L_m＝2.9pu，固有惯性时间常数H_DFIG＝5.29s，速度控制器积分系数K_i＝0.6。额定角速度ω_nom＝157.08rad/s，额定风速V_wN＝11.7m/s，变流器时间常数τ＝0.02s。

发电机参数(G2、G3、G4)：S_n＝900MVA，U_n＝20kV，X_d＝1.8，X_q＝1.7，X_a＝0.2，X_d′＝0.3，X_q′＝0.55，X_d″＝0.25，X_q″＝0.25，R_a＝0.0025，T_d0′＝8.0，T_q0′＝0.4，T_d0″＝0.03，T_q0″＝0.05，H＝6.5(G2)，H＝6.175(G3、G4)

变压器参数(T1、T2、T3、T4)：S_n＝900MVA，U_n1/U_n2＝20Kv/230kV，R_t+jX_t＝0+j0.15pu

输电线路参数(100MVA，230kV为基准)：

R_L＝0.0001pu/km，X_L＝0.001pu/km，B_C＝0.00175pu/km

负荷数据：P_L1＝800MW，Q_L＝100MVAR，Q_C1＝-187MVAR，Q_C2＝-200MVAR，P_L2＝800MW，Q_L＝100MVAR，Q_C1＝-187MVAR，Q_C2＝-350MVAR附加负荷P_L3＝160MW

仿真项目包括：1)不同风电渗透率条件下，负荷突增时，基于转速一次调频辅助控制的系统频率响应，该项目通过图5-图9验证；3)不同风电渗透率条件下，负荷突减时，基于转速一次调频辅助控制的系统频率响应，该项目通过图10-图14验证；

图5-图9，均设置风速V_w＝10m/s，系统突增10％有功负荷的频率事故，风电渗透率分别为10％，15％，20％，25％，30％。

从图5-图9对比情况看，在同一的渗透率下的情况下，模型1与模型2在频率动态响应上吻合度差：模型1未施加风电虚拟惯性控制和转速一次调频辅助控制，造成系统频率跌落速度明显更快、频率稳态偏差增大。而模型3与模型2在频率跌落速度上接近、频率跌落最低点基本相同，但模型3不能模拟模型2的动态扰动特征；模型3与模型2在频率稳态偏差上也基本保持一致；在不同渗透率下的情况下，随着风电渗透率提高，模型1和模型2在动态频率响应过程中的下降速度和频率跌落最低点均呈现出偏差增大的趋势，此外二者的频率稳态精度偏差也具有增大特征，30％渗透率时频率上升最高点差值达到-0.23Hz；相反，从模型2和模型3的比较结果看，在频率事故发生的初始阶段，二者动态响应过程较为接近，且具有随风电渗透率升高动态响应精度提高的趋势。此外，在任何一种电网条件，采用解析模型计算的频率响应与实际全状态模型仿真得到的频率响应在稳态精度上吻合度高。

图10-图14，均设置风速V_w＝10m/s，系统突减10％有功负荷的频率事故，风电渗透率分别为10％，15％，20％，25％，30％。

从图10-图14对比情况看，在同一的渗透率下的情况下，模型1与模型2在频率动态响应上吻合度差。模型1因未施加风电虚拟惯性控制和转速一次调频辅助控制，导致系统频率攀升速度明显更快、频率稳态偏差增大。而模型3与模型2在频率跌落速度上接近、频率上升最高点基本相同，但模型3依然不能模拟模型1的动态扰动特征；模型3与模型1在频率稳态偏差上也保持一致。在不同渗透率下的情况下，随着风电渗透率提高，模型2和模型1在动态频率响应过程中的上升速度和频率上升最高点呈现出偏差增大的趋势，此外二者的频率稳态精度偏差也具有增大特征，30％渗透率时频率上升最高点差值达到0.26Hz；相反地，从模型3和模型1的比较结果看，在频率事故发生的初始阶段，二者动态响应过程较为接近，且具有随风电渗透率升高动态响应精度提高的趋势。此外，在任何一种电网条件，采用解析模型计算的频率响应与实际全状态模型仿真得到的频率响应在稳态精度上吻合度均很高。

Claims (7)

1.一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：根据单台风电机组等效虚拟惯性时间常数H_equ，采用加权动态等值参数聚合方法，计算求解风电场聚合惯性时间常数H_eqWF；

步骤2：根据H_eqWF，计算不同风电渗透率下的系统等效惯性时间常数H_∑；

步骤3：基于转速控制的一次调频辅助控制策略，根据单台风电机组一次调频响应模型的传递函数h_1mwt(s)，采用加权动态等值参数聚合方法，计算求解风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_1mWF(s)；

步骤4：根据单台汽轮机-调速器模型传递函数h_mT(s)和水轮机-调速器的传递函数h_mH(s)，采用加权动态等值参数聚合方法，计算求解多台机组的等值聚合模型传递函数h_mTΣ(s)和h_mHΣ(s)；

步骤5：在前述步骤基础上，并计及负荷阻尼效应，建立含H_∑、h_1mWF(s)，以及汽轮机-调速器聚合模型h_mTΣ(s)，水轮机-调速器聚合模型h_mHΣ(s)的电力系统改进SFR模型；

步骤6：以负荷功率缺额ΔP_L(s)为模型输入，系统频率偏差Δω_s(s)为模型输出，对电力系统改进SFR模型进行化简，利用部分分式展开法求解系统频率偏差的时域解Δω_s(t)。

2.根据权利要求1所述一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于：所述步骤1中的计算风电场聚合惯性时间常数H_eqWF具体为：

(1)、单台风电机组等效虚拟惯性时间常数H_equ为：

上式中，J_equ，ω_s0，△ω_s分别为风机虚拟转动惯量，系统初始同步角速度和系统同步角速度增量，ω_nom为风机额定角速度，P，S_N，J_DFIG，ω_r0，△ω_r分别为风机机械功率，额定容量，固有转动惯量，初始转子角速度和转子角速度增量，H_DFIG为固有惯性时间常数；

(2)、引入基于加权的动态等值参数聚合方法，等值机组的参数K_G为：

上式中，下标j，G分别为机群中第j台机组和等值机，S_j为第j台机组的额定容量；

(3)、根据加权动态等值参数聚合方法，计算风电场聚合惯性时间常数H_eqWF为：

上式中E_k为储存动能，S_DFIG为风机固有额定容量；

由上式(1)、(3)可得系统中含虚拟惯性控制的第i个风电场等效惯性时间常数为：

上式中s为拉普拉斯频域算子，

为第i个风电场内风机的平均转速，ω_roj为第j台风机的初始转子角速度，

ω_nomi为第i个风电场中风机额定角速度，K_dfi为转速控制增益系数，H_DFIGi为第i个风电场内风机固有惯性时间常数，ω_roi为第i个风电场内风机的初始转子角速度，K_pTi，K_iTi分别为速度控制器比例系数和积分系数，T_fi为滤波时间常数。

3.根据权利要求2中所述一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于：所述步骤2中不同风电渗透率下的系统等效惯性时间常数H_∑为：

上式中，H₀为不考虑风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数，H_eqWFi，S_eqWFi，S_WFi，H_CONi，S_CONi分别为含虚拟惯性控制的风电场等效惯性时间常数、额定容量，不含虚拟惯性控制的风电场惯性时间常数，常规电厂惯性时间常数、额定容量；风电虚拟惯性响应时系统等效惯性时间常数增量ΔH(s)为：

上式中，ΔH_m(s)为含虚拟惯性响应的第m个风电场产生的系统等效惯量增量，α_pm为第m个风电场的风电渗透率。

4.根据权利要求2所述一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于：所述步骤3中风电场一次调频响应聚合模型，采用转速一次调频辅助控制策略时，单台风电机组一次调频响应模型的传递函数h_1mwt(s)为：

上式中n₀，m₀，m₁，m₂，m₃为传递函数系数；

根据加权动态等值参数聚合方法，风电场一次调频响应等值聚合模型的传递函数h_1mWF(s)为：

上式中n_0G，m_0G，m_1G，m_2G，m_3G为传递函数h_1mWF(s)的各项等值参数。

5.根据权利要求4所述一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于：所述步骤4中多台机组的等值聚合模型，根据单台汽轮机-调速器模型传递函数h_mT(s)和水轮机-调速器的传递函数h_mH(s)，采用加权动态等值参数聚合方法，可分别求得汽轮机-调速器聚合模型h_mTΣ(s)和水轮机-调速器聚合模型h_mHΣ(s)为：

上式中R_TG，R_HG，T_RHG，F_HPG，T_wG分别为汽轮机调差系数，水轮机调差系数，再热器时间常数，高压涡轮级功率占比，水锤效应系数的等值聚合参数。

6.根据权利要求5所述一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于：所述步骤5中的电力系统改进SFR模型，前向开环传递函数G(s)为：

上式中，D为负荷阻尼系数；α_i为第i个风电场的风电渗透率；

根据步骤3和步骤4，即可计算反馈传递函数h₁(s)为：

对应的闭环传递函数为：

上式中，b_1m，b_1m-1...b₁₀，a_1n，a_1n-1...a₁₀分别为闭环传递函数各次项系数。

7.根据权利要求1所述一种含风电有功-频率耦合的电力系统频率特性计算方法，其特征在于：所述步骤6中，具体为：要求解系统频率偏差的时域解Δω_s(t)，首先在负荷突增阶跃响应ΔP_L(s)/s下得到频率偏差频域解Δω_s(s)为：

上式中，r为部分分式展开的余数数组，p为部分分式展开的极点数组，k为常数项；n₁是实数根个数，n₂是共轭复数根的对数，ζ_l是共轭复数根反映的二阶系统阻尼系数，ω_nl是共轭复数根反映的二阶系统振荡角频率，A₀是Δω_s(s)在s＝0处的留数，A_j是Δω_s(s)在实数极点s＝-p_j处的留数，B_l和C_l分别为Δω_s(s)在共轭复数极点处s＝-(B_l±jC_l)留数的实部和虚部，由此可得到频率偏差的时域解为：

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