CN106909699A - 基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，步骤包括：1)将薄板上给定的矩形区域用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元；2)选取形函数矩阵，计算每一个条形单元的刚度阵，质量阵以及荷载向量；3)组装总体运动微分方程，并针对总体运动微分方程处理边界条件；4)计算总体运动微分方程的传递矩阵以及边界矩阵；5)根据传递矩阵以及边界矩阵计算固有频率。本发明具有求解精度高、计算过程数据存储量少、计算效率高的优点。

Description

基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法

技术领域

本发明涉及弹性力学领域，具体涉及一种基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法。

背景技术

在弹性力学中，只有极少数问题能够给出解析解，大多数问题需要通过数值方法来求解，Kirchhoff板振动特性的求解亦如此。在众多数值方法中，有限元法最常见，也是最实用的一种方法。有限元法最大的优点是不受求解区域、边界条件以及材料属性的限制，可以分析具有复杂几何形状的弹性力学问题。但是，有限元方法计算量大，计算时间长，对计算机性能要求高。特别是对某些特殊问题，如弹性体的主动控制的实时计算问题，高梯度应力分布的求解问题，以及高频动态响应计算问题等，有限元法求解精度不高。

条形传递函数方法是一种求解二维弹性力学问题的半解析数值方法。这种方法的思想类似于有限条法，也是将求解区域分为若干个条形区域，称为条形单元，在条形单元内利用多项式和连续函数近似横向和纵向位移，从而得到基于条形单元的整体微分方程，最后利用传递函数方法求解微分方程，得到半解析解。该方法的一个显著优点是，其既具有有限元方法的灵活性，可以分析复杂形状的几何区域，同时又能给出封闭形式的高精度半解析解。然而，传统的条形传递函数方法基于Hamilton原理，需要先给出待求问题对应的能量泛函。而问题是，并非所有问题都可以很容易地给出其相应的能量泛函，如基于微分型非局部本构模型的薄板弯曲问题，这使得条形传递函数方法的应用受到了限制。然而，Galerkin方法不需要先写出待研究问题的能量泛函，可以直接对微分方程进行近似求解。

发明内容

本发明要解决的技术问题：针对现有技术的上述问题，提供一种求解精度高、计算过程数据存储量少、计算效率高的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法。

为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：

一种基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其步骤包括：

1)将薄板上给定的矩形区域用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元，第j个条形单元包含第j条结线和第j+1条结线以及4个节点；

2)选取形函数矩阵N(y)，分别根据选取的形函数矩阵N(y)计算每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e；

3)基于每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e组装总体运动微分方程，并针对所述总体运动微分方程处理边界条件；

4)计算所述总体运动微分方程的传递矩阵F(s)以及边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；

5)根据传递矩阵F(s)以及边界矩阵M_b(s)与N_b(s)计算固有频率ω。

优选地，所述步骤1)中第j个条形单元的结线位移函数向量如式(1)所示；第j个条形单元的横向位移函数可以通过插值表示如式(2)所示；

φ(x,t)＝{w_j θ_j w_j+1 θ_j+1}^T (1)

式(1)中，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，w_j为第j条结线的位移，θ_j为第j条结线的转角，w_j+1为第j+1条结线的位移，θ_j+1为第j+1条结线的转角；

w(x,y,t)＝N(y)φ(x,t) (2)

式(2)中，w(x,y,t)为第j个条形单元的横向位移函数，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，N(y)为形函数矩阵。

优选地，所述步骤2)中选取的形函数矩阵N(y)为标准Euler梁单元的形函数。

优选地，所述步骤2)中刚度阵的计算函数表达式如式(3)所示；

式(3)中，为条形单元刚度矩阵，y为条形单元的宽度方向坐标轴，l为条形单元的宽度，D为薄板的弯曲刚度，N为选取的形函数矩阵N(y)，v为薄板的泊松比。

优选地，所述步骤2)中质量阵m_e的计算函数表达式如式(4)所示；

式(4)中，m_e为条形单元的质量阵，l为条形单元的宽度，ρ为薄板的密度，h为为薄板的厚度，N为选取的形函数矩阵，y为条形单元的宽度方向坐标轴。

优选地，所述步骤2)中荷载向量f_e的计算函数表达式如式(5)所示；

式(5)中，f_e为条形单元的荷载向量；为容许函数，容许函数为选取的形函数矩阵N的转置矩阵N^T，为条形单元结线上的等效剪力，M_y为条形单元结线上的y方向弯矩，l为条形单元的宽度。

优选地，所述步骤3)中组装的总体运动微分方程如式(6)所示；

式(6)中，为总体刚度阵，分别由条形单元的刚度矩阵组装而成，M为由条形单元质量阵m_e组成的总体质量阵，F为由条形单元荷载向量f_e组成的总体荷载向量，Φ(x,t)为由条形单元结线位移函数向量组装而成的总体位移向量，总体位移向量Φ(x,t)的函数表达式如式(7)所示；

Φ(x,t)＝{w₁(x,t) θ₁(x,t) w₂(x,t) θ₂(x,t) … w_NE(x,t) θ_NE(x,t)}^T (7)

式(7)中，Φ(x,t)为总体位移向量，w_NE(x,t)为第NE条结线的位移，θ_NE(x,t)为第NE条结线的转角。

优选地，所述步骤3)中基于每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e组成的总体运动微分方程处理边界条件后如式(8)所示；

式(8)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，为处理边界条件后得到的总体荷载向量，为处理边界条件后的总体位移向量。

优选地，所述步骤4)的详细步骤包括：

4.1)采用式(9)所示函数表达式计算所述总体运动微分方程的传递矩阵F(s)；

式(9)中，I为单位阵，D(s)和D₂的函数表达式如式(10)所示；

式(10)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，s为Laplace变换系数；

4.2)判断薄板的边界类型，如果边界类型为简支边界条件，则根据式(11)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；否则如果边界类型为固支边界条件，则根据式(12)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；

式(11)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，为N₁阶单位阵，N₁为未知位移个数。

式(12)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，为N₁阶单位阵，N₁为未知位移个数。

优选地，所述步骤5)中计算薄板自由振动的固有频率ω的函数表达式如式(13)所示；

det(M_b(iω)e^-0.5aF(iω)+N_b(ⁱω)e^0.5aF(iω))＝0 (13)

式(13)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，F(s)为总体运动微分方程的传递矩阵，a为条形单元长度，det为行列式符号，i为虚数单位。

本发明基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法具有下述优点：

1、本发明直接从薄板平衡方程出发，利用虚功原理，建立条形单元的运动微分方程，不需要给出薄板对应的能量泛函，适用性更广，计算更简便；

2、本发明相对于有限元方法，Galerkin条形传递函数方法在空间的一个方向给出了解析解，在整个空间上给出了半解析解，从而可以显著地提高求解精度和求解效率；

3、本发明方法解的形式统一，易于利用计算机编程，并且可以用于相对较复杂的几何区域以及边界条件问题的求解。

4、本发明直接从薄板平衡方程出发，利用虚功原理，建立条形单元的运动微分方程，不需要给出薄板对应的能量泛函，不仅适用于基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，而且同样也可用于其他难以直接写出能量泛函的二维数学物理问题的求解。

附图说明

图1为本发明实施例方法的基本流程示意图。

图2为本发明实施例中给定的矩形区域划分原理示意图。

图3为本发明实施例中某一个条形单元的结构示意图。

具体实施方式

如图1所示，本实施例基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法的步骤包括：

1)将薄板上给定的矩形区域用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元，第j个条形单元包含第j条结线和第j+1条结线以及4个节点；参见图2和图3，本实施例中给定的矩形区域长度为a、总宽度为b，用NE+1条结线划分为NE个矩形区域后，每一个条形单元的宽度为l，Oxy为条形单元局部坐标系；

2)选取形函数矩阵N(y)，分别根据选取的形函数矩阵N(y)计算每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e；

3)基于每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e组装总体运动微分方程，并针对总体运动微分方程处理边界条件；

4)计算总体运动微分方程的传递矩阵F(s)以及边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；

5)根据传递矩阵F(s)以及边界矩阵M_b(s)与N_b(s)计算固有频率ω。

本实施例中，步骤1)中第j个条形单元的结线位移函数向量如式(1)所示；第j个条形单元的横向位移函数可以通过插值表示如式(2)所示；

φ(x,t)＝{w_j θ_j w_j+1 θ_j+1}^T (1)

式(1)中，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，w_j为第j条结线的位移，θ_j为第j条结线的转角，w_j+1为第j+1条结线的位移，θ_j+1为第j+1条结线的转角；

w(x,y,t)＝N(y)φ(x,t) (2)

式(2)中，w(x,y,t)为第j个条形单元的横向位移函数，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，N(y)为形函数矩阵。

本实施例中，步骤2)中选取的形函数矩阵N(y)为标准Euler梁单元的形函数，其表达式具体为N＝[N₁ N₂ N₃ N₄]。

本实施例中，步骤2)中刚度阵的计算函数表达式如式(3)所示；

式(3)中，为条形单元刚度矩阵，y为条形单元的宽度方向坐标轴，l为条形单元的宽度，D为薄板的弯曲刚度，N为选取的形函数矩阵N(y)，v为薄板的泊松比。

本实施例中，步骤2)中质量阵m_e的计算函数表达式如式(4)所示；

式(4)中，m_e为条形单元的质量阵，l为条形单元的宽度，ρ为薄板的密度，h为为薄板的厚度，N为选取的形函数矩阵，y为条形单元的宽度方向坐标轴。

本实施例中，步骤2)中荷载向量f_e的计算函数表达式如式(5)所示；

式(5)中，f_e为条形单元的荷载向量，为容许函数，容许函数为选取的形函数矩阵N的转置矩阵N^T，为条形单元结线上的等效剪力，M_y为条形单元结线上的y方向弯矩，l为条形单元的宽度。

对于图3所示的每个条形单元，用弯矩和扭矩表示的动力学方程如式(5-1)所示；

式(5-1)中，ρ为薄板的密度，h为为薄板的厚度，w为条形单元的位移，M_x为薄板的x方向弯矩，M_y为薄板的y方向弯矩，M_xy为薄板的扭矩，如式(5-2)所示；

式(5-2)中，D为弹性矩阵，其余符号参数与式(5-1)相同，弹性矩阵D的具体形式如式(5-3)所示；

式(5-3)中，D为弹性矩阵，D为薄板的弯曲刚度，v为薄板的泊松比。

条形单元上下边界分别作用等效剪力与弯矩如式(5-4)所示；

式(5-4)中，为剪力，为条形单元结线上的等效剪力，M_y为条形单元结线上的弯矩，M_xy为条形单元结线上的扭矩，l为条形单元的宽度。

式(5-1)所示动力学方程在y方向上的等效积分“弱”形式如式(5-5)所示；

式(5-5)中，为权函数，M_x为条形单元结线上的x方向弯矩，M_y为条形单元结线上的y方向弯矩，M_xy为条形单元结线上的扭矩，l为条形单元的宽度。

式(5-5)等于式(5-6)所示函数表达式；

式(5-6)中，各个字符参数含义与式(5-5)相同。

将式(5-2)代入式(5-6)，且令条形单元的位移w等于形函数N(y)和横向位移函数的乘积φ(x,t)(即w＝N(y)φ(x,t))，权函数为选取的形函数矩阵N的转置矩阵N^T 即可得到式(5-7)；

式(5-7)中，D为薄板的弯曲刚度，v为薄板的泊松比，N为选取的形函数矩阵，ρ为薄板的密度，h为为薄板的厚度，x为条形单元的长度方向坐标轴，y为条形单元的宽度方向坐标轴，为容许函数，容许函数为选取的形函数矩阵N的转置矩阵N^T，l为条形单元的宽度，φ为处理边界条件后的总体位移。

式(5-7)可记为式(5-8)所示函数表达式；

式(5-8)中，为条形单元的刚度矩阵，m_e为条形单元的质量阵，f_e为条形单元的荷载向量，φ为处理边界条件后的总体位移。式(5-8)中刚度阵的计算函数表达式如式(3)所示，质量阵m_e的计算函数表达式如式(4)所示，荷载向量f_e的计算函数表达式如式(5)所示。

本实施例中，本实施例中，步骤3)中组装的总体运动微分方程时，将单元刚度矩阵组装成总体刚度阵的过程和有限元法相同，总体运动微分方程如式(6)所示；

式(6)中，K⁽⁴⁾、K⁽²⁾、K⁽⁰⁾为总体刚度阵，分别由条形单元的刚度矩阵组装而成，M为由条形单元质量阵m_e组成的总体质量阵，F为由条形单元荷载向量f_e组成的总体荷载向量，Φ(x,t)为由条形单元结线位移函数向量组装而成的总体位移向量，总体位移向量Φ(x,t)的函数表达式如式(7)所示；

Φ(x,t)＝{w₁(x,t) θ₁(x,t) w₂(x,t) θ₂(x,t) … w_NE(x,t) θ_NE(x,t)}^T (7)

式(7)中，Φ(x,t)为总体位移向量，w_NE(x,t)为第NE条结线的位移，θ_NE(x,t)为第NE条结线的转角。

本实施例中，步骤3)中基于每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e组成的总体运动微分方程处理边界条件后如式(8)所示；

式(8)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，为处理边界条件后得到的总体荷载向量，为处理边界条件后的总体位移向量。

本实施例中，步骤4)的详细步骤包括：

4.1)采用式(9)所示函数表达式计算总体运动微分方程的传递矩阵F(s)；

式(9)中，I为单位阵，D(s)和D₂的函数表达式如式(10)所示；

式(10)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，s为Laplace变换系数；

4.2)判断薄板的边界类型，如果边界类型为简支边界条件，则根据式(11)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；否则如果边界类型为固支边界条件，则根据式(12)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；

式(11)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，为N₁阶单位阵，N₁为未知位移个数。

式(12)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，为N₁阶单位阵，N₁为未知位移个数。

本实施例中，步骤5)中计算薄板自由振动的固有频率ω的函数表达式如式(13)所示；

det(M_b(iω)e^-0.5aF(iω)+N_b(iω)e^0.5aF(iω))＝0 (13)

式(13)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，F(s)为总体运动微分方程的传递矩阵，a为条形单元长度，det为行列式符号，i为虚数单位。

如式(8)所示总体运动微分方程取时间的Laplace变化可得式(13-1)；

式(13-1)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，为处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换，为处理边界条件后得到的总体荷载向量的Laplace变换，s为Laplace变换系数。

对于薄板的自由振动，总体荷载向量的Laplace变换因此可得式(13-2)；

式(13-2)中，为处理边界条件后的总体位移向量的Laplace变换，D(s)和D₂的函数表达式可参见式(10)。

定义状态向量η(x,s)如式(13-3)所示；

则式(13-2)可写成式(13-4)所示函数表达式；

式(13-4)中，η(x,s)为定义的状态向量，F(s)为状态矩阵，如式(9)所示。基于式(13-4)，即可推导得出左右边界条件如式(13-5)所示。

M_b(s)η(-0.5a)+N_b(s)η(0.5a)＝0 (13-5)

式(13-5)中，M_b(s)与N_b(s)称为边界矩阵，a为条形单元的长度。判断薄板的边界类型，如果边界类型为简支边界条件，则根据式(11)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；否则如果边界类型为固支边界条件，则根据式(12)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)。

求解式(13-4)和式(13-5)，即可得到如式(13-6)所示的解；

η(x,s)＝e^xF(s)(M_b(s)e^-0.5aF(s)+N_b(s)e^0.5aF(s))^-1(13-6)

式(13-6)中，η(x,s)为定义的状态向量，F(s)为状态矩阵，a为条形单元的长度，M_b(s)与N_b(s)称为边界矩阵，最终可推导出式(13-6)的特征方程如式(13)所示。在式(13)所示特征方程的基础上，令s＝iω，i为虚数单位，则ω即为薄板自由振动的固有频率。

综上所述，本实施例将Galerkin方法与条形传递函数方法相结合，提出了用于薄板振动特性问题的求解的Galerkin条形传递函数方法，为求解薄板振动特性问题提供一种精度高、计算速度快的新方法。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (10)

1.一种基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于步骤包括：

1)将薄板上给定的矩形区域用NE+1条结线划分为NE个矩形区域，每一个矩形区域为一个条形单元，第j个条形单元包含第j条结线和第j+1条结线以及4个节点；

2)选取形函数矩阵N(y)，分别根据选取的形函数矩阵N(y)计算每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e；

3)基于每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e组装总体运动微分方程，并针对所述总体运动微分方程处理边界条件；

4)计算所述总体运动微分方程的传递矩阵F(s)以及边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；

5)根据传递矩阵F(s)以及边界矩阵M_b(s)与N_b(s)计算薄板自由振动的固有频率ω。

2.根据权利要求1所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤1)中第j个条形单元的结线位移函数向量如式(1)所示；第j个条形单元的横向位移函数可以通过插值表示如式(2)所示；

φ(x,t)＝{w_j θ_j w_j+1 θ_j+1}^T (1)

式(1)中，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，w_j为第j条结线的位移，θ_j为第j条结线的转角，w_j+1为第j+1条结线的位移，θ_j+1为第j+1条结线的转角；

w(x,y,t)＝N(y)φ(x,t) (2)

式(2)中，w(x,y,t)为第j个条形单元的横向位移函数，φ(x,t)为第j个条形单元的结线位移函数向量，N(y)为形函数矩阵。

3.根据权利要求2所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤2)中选取的形函数矩阵N(y)为标准Euler梁单元的形函数。

4.根据权利要求3所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤2)中刚度阵的计算函数表达式如式(3)所示；

$\left\{\begin{array}{c}{k}_e^{\left(4\right)}={\∫}_0^l{\mathrm{DN}}^{T}Ndy\\ k_e^{\left(2\right)}={\∫}_0^{l}D\[{\mathrm{vN}}^T\frac{{\∂}^{2}N}{\∂y^2}-2(1-v)\frac{\∂N^T}{\∂y}\frac{\∂N}{\∂y}+v\frac{{\∂}^2{N}^T}{\∂y^2}N\]dy\\ k_e^{\left(0\right)}={\∫}_0^{l}D\frac{{\∂}^2{N}^T}{\∂y^2}\frac{{\∂}^{2}N}{\∂y^2}dy\end{array}\right.---\left(3\right)$

式(3)中，和为条形单元刚度矩阵，y为条形单元的宽度方向坐标轴，l为条形单元的宽度，D为薄板的弯曲刚度，N为选取的形函数矩阵N(y)，v为薄板的泊松比。

5.根据权利要求4所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤2)中质量阵m_e的计算函数表达式如式(4)所示；

$m_e={\∫}_0^l{\mathrm{\ρhN}}^{T}Ndy---\left(4\right)$

式(4)中，m_e为条形单元的质量阵，l为条形单元的宽度，ρ为薄板的密度，h为为薄板的厚度，N为选取的形函数矩阵，y为条形单元的宽度方向坐标轴。

6.根据权利要求5所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤2)中荷载向量f_e的计算函数表达式如式(5)所示；

$f_e=\stackrel{\‾}{W}{F}_{sy}^t{|}_0^l+\frac{\∂\stackrel{\‾}{W}}{\∂y}{M}_y{|}_0^l---\left(5\right)$

式(5)中，f_e为条形单元的荷载向量；为容许函数，容许函数为选取的形函数矩阵N的转置矩阵N^T，为条形单元结线上的等效剪力，M_y为条形单元结线上的y方向弯矩，l为条形单元的宽度。

7.根据权利要求1～6中任意一项所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤3)中组装的总体运动微分方程如式(6)所示；

$K^{\left(4\right)}\frac{{\∂}^4\mathrm{\Φ}(x,t)}{\∂x^4}+K^{\left(2\right)}\frac{{\∂}^2\mathrm{\Φ}(x,t)}{\∂x^2}+K^{\left(0\right)}\mathrm{\Φ}(x,t)+M\frac{{\∂}^2\mathrm{\Φ}(x,t)}{\∂t^2}+F=0---\left(6\right)$

式(6)中，K⁽⁴⁾、K⁽²⁾、K⁽⁰⁾为总体刚度阵，分别由条形单元的刚度矩阵组装而成，M为由条形单元质量阵m_e组成的总体质量阵，F为由条形单元荷载向量f_e组成的总体荷载向量，Φ(x,t)为由条形单元结线位移函数向量组装而成的总体位移向量，总体位移向量Φ(x,t)的函数表达式如式(7)所示；

Φ(x,t)＝{w₁(x,t) θ₁(x,t) w₂(x,t) θ₂(x,t) … w_NE(x,t) θ_NE(x,t)}^T (7)

式(7)中，Φ(x,t)为总体位移向量，w_NE(x,t)为第NE条结线的位移，θ_NE(x,t)为第NE条结线的转角。

8.根据权利要求7所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤3)中基于每一个条形单元的刚度阵质量阵m_e以及荷载向量f_e组成的总体运动微分方程处理边界条件后如式(8)所示；

${\stackrel{\‾}{K}}^{\left(4\right)}\frac{{\∂}^4\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}{\∂x^4}+{\stackrel{\‾}{K}}^{\left(2\right)}\frac{{\∂}^2\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}{\∂x^2}+{\stackrel{\‾}{K}}^{\left(0\right)}\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}+\stackrel{\‾}{M}\frac{{\∂}^2\stackrel{\‾}{\mathrm{\Φ}}}{\∂t^2}+\stackrel{\‾}{F}=0---\left(8\right)$

式(8)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，为处理边界条件后得到的总体荷载向量，为处理边界条件后的总体位移向量。

9.根据权利要求8所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤4)的详细步骤包括：

4.1)采用式(9)所示函数表达式计算所述总体运动微分方程的传递矩阵F(s)；

$F\left(s\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& I& 0& 0\\ 0& 0& I& 0\\ 0& 0& 0& I\\ D\left(s\right)& 0& D_2& 0\end{array}\right]---\left(9\right)$

式(9)中，I为单位阵，D(s)和D₂的函数表达式如式(10)所示；

$\left\{\begin{array}{c}D\left(s\right)=-A({\stackrel{\‾}{K}}^{\left(0\right)}+s^2\stackrel{\‾}{M})\\ D_2=-A{\stackrel{\‾}{K}}^{\left(2\right)}\\ A={\left({\stackrel{\‾}{K}}^{\left(4\right)}\right)}^{-1}\end{array}\right.---\left(10\right)$

式(10)中，分别为处理边界条件后得到的总体刚度阵，为处理边界条件后得到的总体质量阵，s为Laplace变换系数；

4.2)判断薄板的边界类型，如果边界类型为简支边界条件，则根据式(11)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；否则如果边界类型为固支边界条件，则根据式(12)计算总体运动微分方程的边界矩阵M_b(s)与N_b(s)；

$M_b\left(s\right)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_{N_1\×N_1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_{N_1\×N_1}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}_{4N_1\×4N_1},N_b\left(s\right)={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ I_{N_1\×N_1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& I_{N_1\×N_1}& 0\end{array}\right]}_{4N_1\×4N_1}---\left(11\right)$

式(11)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，为N₁阶单位阵，N₁为未知位移个数。

$M_b\left(s\right)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_{N_1\×N_1}& 0& 0& 0\\ 0& I_{N_1\×N_1}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}_{4N_1\×4N_1},N_b\left(s\right)={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ I_{N_1\×N_1}& 0& 0& 0\\ 0& I_{N_1\×N_1}& 0& 0\end{array}\right]}_{4N_1\×4N_1}---\left(12\right)$

式(12)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，为N₁阶单位阵，N₁为未知位移个数。

10.根据权利要求9所述的基于Galerkin条形传递函数的薄板振动特性分析方法，其特征在于，所述步骤5)中计算薄板自由振动的固有频率ω的函数表达式如式(13)所示；

det(M_b(iω)e^-0.5aF(iω)+N_b(iω)e^0.5aF(iω))＝0 (13)

式(13)中，M_b(s)与N_b(s)分别为总体运动微分方程的边界矩阵，F(s)为总体运动微分方程的传递矩阵，a为条形单元长度，det为行列式符号，i为虚数单位。